第2章數學基礎2

1、2.3 2.3 地圖投影地圖投影 w 1.定義定義w 按照一定的數學法則，將地球橢球面上的經緯按照一定的數學法則，將地球橢球面上的經緯網轉換到平面上，使地面點位的地理坐標（網轉換到平面上，使地面點位的地理坐標（，）與地圖上相對應的點位的平面直角坐標）與地圖上相對應的點位的平面直角坐標（x,yx,y）或平面極坐標間，建立一一對應的函數）或平面極坐標間，建立一一對應的函數關系。關系。w 數學公式：數學公式：w x=f1（，） w y=f2（，） w 給定不同的具體條件，可得到不同種類的投影公式 2.3.12.3.1地圖投影概述地圖投影概述 為了制作地圖，需要將地球體面這個不可展的曲面展成平面，從而

2、造成地球體面某些部分的破裂或重疊，使位于地表這部分的地物和地貌變得不連續(xù)和不完整。2.2.地圖投影變形地圖投影變形但從實際應用角度而言，則要求地圖所反映的事物必須是連續(xù)而完整的。為此就須將裂開的部分予以均勻地拉伸且重疊的部分予以均勻地壓縮，以消除裂縫和褶皺，從而構成事物圖像完整的地圖。地圖投影是球面與平面間保持一一對應關系球面與平面間保持一一對應關系，但不能保持其長度、面長度、面積、角度積、角度完全不變完全不變。 地球儀上的經緯網地球儀上的經緯網特征：w 1所有的經線圈均為大圓，長度相等，并隨著緯度的增大，由在赤道上的互相平行逐漸收斂于極點；w 2所有緯線圈均為互相平行的圓，長度不等，赤道最長

3、，隨緯度增大而逐漸縮短，到了極點稱為一點；w 3經線與緯線均互相正交，交點處處成直角；w 4同一緯線上，經差相同的緯線弧長相等；w 5同一經線上，緯差相同的經線弧長基本相等（正球體完全相等，橢球體向兩極逐漸增長，但相差很?。粀 6同一緯度帶內，相同經差構成的球面梯形形狀相同、面積相等；w 7同一經度帶內，相同緯差構成的球面梯形形狀不同、面積不等，由低緯向高緯逐漸縮?。?4.4.地圖投影分類地圖投影分類w （1）幾何投影：w a按承載面不同分為方位投影（平面），圓柱投影（橢圓柱投影，圓柱投影），圓錐投影（橢圓錐投影，圓錐投影）；w b按照承載面與球軸之間的關系分為正軸投影（短軸），橫軸投影（長

4、軸），斜軸投影；w c 按承載面與球體的關系分為相切投影，相割投影；a.a.按構成方法分類按構成方法分類 （2）非幾何投影： 幾何投影是地圖投影的基礎，具有局限性，通過數學解析方法，不借助任何投影面，根據制圖的某些特殊要求，如考慮制圖區(qū)域形狀等特點，選用適合的投影條件，求出投影公式，確定球面與平面的函數關系。如偽方位投影、偽圓柱投影等(1)等角投影等角投影系指投影面上某點的任意兩方向線夾角與地球橢球體面上相應的夾角相等的投影。等角投影在小范圍內沒有方向變形，因而便于在圖上量測方向和距離，適用于編制風向、洋流、航海、航空等地圖和各種比例尺地形圖。(2)等積投影等積投影系指投影面上的任意圖形面積與

5、地球橢球體面上相應的圖形面積相等的投影。等積投影便于在地圖上量測面積，主要用于編制要求面積無變形的地圖，如政區(qū)、人口密度、土地利用、森林和礦藏分布圖以及其它自然和經濟地圖。 (3)任意投影任意投影系指既不是等角投影也不是等積投影，是角度、面積和長度三種變形同時存在的一類投影。即包括了除等角、等積兩類投影之外的所有投影。在任意投影中，有一類保持沿變形橢圓一個主方向一個主方向長度變形為零，稱等距投影，在等距投影的地圖上，面積變形較等角投影小，角度變形較等積投影小，是一種變形較適中的投影，多用于對投影性質無特殊要求或區(qū)域較大的地圖，如教學地圖、科普地圖、世界地圖、大洋地圖，以及要求在一方向一方向上具

6、有等距性質的地圖，如交通地圖和時區(qū)地圖等。 b.b.按投影變形分類按投影變形分類5.5.地圖投影的變換地圖投影的變換w 地圖投影變換可廣義地理解為研究空間數據處理，變換及應用的理論和方法，它可表達為：w (x，y)(，)(X，Y)w 地圖投影變換可狹義地理解為建立兩平面場之間點的一一對應的函數關系。w 數字地圖的投影變換：數字化（求反解）投影w 前一投影： 后一投影：w x=f1（，） X=f1（，）w y=f2（，） (，) Y=f2（，）w 根據前一投影求出地理坐標，帶入后一公式計算；在計算機中完成。 w 1：100萬：蘭勃投影（正軸等積割圓錐投影）w 大部分分省圖、大多數同級比例尺也采用

7、蘭勃投影w 1：50萬、1：25萬、1：10萬、1：5萬、1：2.5萬、1:1萬、1：5000采用高斯克呂格投影。等角橫軸切橢圓柱投影等角橫軸切橢圓柱投影 500kmOOYXX5522242332266222424442222cos)5814185(1201cos)1 (61coscos)3302705861(7201cos)495(241cos21BltttNBltNBlNyBltttNtBltNtBlNtSx4.4.高斯投影性質高斯投影性質 a a中央經線投影后為直線，且長度不變形；中央經線投影后為直線，且長度不變形；wb b其余經線投影后為凹向中央經線的曲線，長度其余經線投影后為凹向中央

8、經線的曲線，長度均有變形，且比實際經線長；（同一緯線上，距中均有變形，且比實際經線長；（同一緯線上，距中央經線越遠，即經差越大，變形越大）央經線越遠，即經差越大，變形越大）wc c赤道投影后為直線，長度有變形，且比實際赤赤道投影后為直線，長度有變形，且比實際赤道長；道長；wd d其余緯線的投影為凸向赤道的曲線，長度有變其余緯線的投影為凸向赤道的曲線，長度有變形，且比實際緯線長；（同一經線上，緯度越低，形，且比實際緯線長；（同一經線上，緯度越低，變形越大）變形越大）we e角度無變形（經緯線正交）；角度無變形（經緯線正交）；wf f投影后的面積大于投影前的面積；投影后的面積大于投影前的面積；wg

9、 g具有對稱性（南北對稱，東西對稱）。具有對稱性（南北對稱，東西對稱）。 5.5.高斯投影分帶高斯投影分帶 w經差越小長度變形越小分帶越多直角坐標系越多w劃分投影帶的原則：w在滿足長度變形的情況下，分帶越少，越好。w我國地形圖除1：100萬為等角正軸割圓錐投影外，其余采用的是高斯投影，分別采取了6分帶投影（1:2.5萬1:50萬）和3分帶投影（1；5000和1：1萬）。高斯克呂格投影 投影分帶6分帶：小于、等于1:2.5萬3分帶：大于、等于1:1萬12121314151617181920212223138061266727884909610210811412012613212325272931

10、3335373941434539697581879399105111117123129135高斯高斯6 6分帶投影分帶投影 w6分帶投影是從零子午線起零子午線起，由西向東由西向東，每每6為一帶，全球共分60帶，東半球東半球劃分30個投影帶，從0至180，用1、230表示。w6分帶投影的帶號：n= E/6 +1，取整 wE=1121503，計算n，該帶的經度范圍，及該帶中央經線的經度。wn=18+1=19，即在高斯6分帶投影中，第19帶；w經度范圍：經度范圍：6*（n-1）6*n=108114w中央經線：中央經線：6*n-3=111 高斯高斯3 3分帶投影分帶投影w 3分帶投影是從東經東經130

11、 ，由西向東由西向東，每3為一帶，全球共分120帶，用1120表示。w 3分帶投影帶號：n= E- 130 /3 +1，取整 w E=1121503，計算n，該帶的經度范圍，及該帶中央經線的經度。w n=36+1=37，即在3分帶投影中，第37帶；w 經度范圍：經度范圍：3 *（n-1）+ 130 3*n+ 130 w =109.5112.5 w 中央經線：中央經線：3 *n=111 6.6.高斯投影坐標高斯投影坐標網網w a a經緯網經緯網w 在1：5000至1：25萬比例尺地形圖上，經緯線只以內圖廓線形式直接表現(xiàn)出來，并在圖幅四個角點處注出相應的度數。為了便于在用圖時加密成網，在其中1：1

12、萬的地形圖內外圖廓間，以1為單位繪出分度帶短線，供需要量圖時連對應短線構成加密的經緯網。在1：25萬地形圖上，除在內圖廓線上繪有分度帶外，在圖內還以10為單位繪出加密用的十字線。1：50萬至1：100萬地形圖，除在內圖廓線上繪出加密分劃短線外，還在圖面上直接繪出經緯網。 b b方里網方里網w 方里網，是由距離高斯投影帶縱橫坐標軸均為整整公里數公里數的兩組平行直線所構成的方格網，因方里線是平行于直角坐標軸的坐標網線，故又稱直角坐標網。w 鑒于經緯線在實地和地圖上均為曲線，其單位長度不是常數，不便于量測距離和方向，因此，在大大比例尺地形圖比例尺地形圖上除有地理坐標網外，還繪了直角坐標網。 w 高斯

13、投影平面直角坐標以中央經線投影為縱坐標軸X軸（北為正，南為負），以赤道投影為橫坐標軸Y軸（東為正，西為負），交點為原點。 我國位于北半球，X值全為正值。在每個投影帶中有一半的Y 值為負值。為避免計算中因出現(xiàn)負值而出現(xiàn)差錯，規(guī)定縱坐標軸向西平移500km（？）？）思考：方里網一般是正北嗎？w YB=-148474.8+500000=351525.2(m)w 由高斯投影公式可知，在分帶投影時，同緯度，距中央經線經差相同時，其直角坐標相同，因此為了區(qū)分在橫坐標加上500km后，在前面再加上其所在的帶號，變成通用坐標。如19 6 53，其意義是該點為高斯6 投影帶，第19帶，橫坐標653km。 w 我

14、國規(guī)定在1：1萬至1：25萬地形圖上均標繪方里網，方里網密度不同：w 1：1萬，每網線相隔10cm，代表1km；w 1：2.5萬，每網線相隔4cm，代表1km；w 1：5萬，每網線相隔2cm，代表1km；w 1：10萬，每網線相隔2cm，代表2km；w 1：25萬，每網線相隔4cm，代表10km； w 鄰帶坐標網，系指一幅地形圖上所繪的相鄰投影帶的坐標網。w 高斯投影的經線是向兩極收斂兩極收斂的，而且又分帶各自單獨投影，自成一個坐標系統(tǒng)；而地圖的分幅是按照經緯度進行分幅的，致使鄰帶間相同比例尺圖幅方里網互不聯(lián)系，給拼接使用地圖帶來困難。c c鄰帶坐標鄰帶坐標網網AB2.4 地圖比例尺w2.4.

15、12.4.1定義：定義：w圖上一直線的長度與地面相應直線圖上一直線的長度與地面相應直線距離水平投影長度之比距離水平投影長度之比?？杀磉_為（d為圖上距離，D為實地距離）1dDMw 比例尺精度比例尺精度w 某一比例尺地圖上某一比例尺地圖上0.1mm0.1mm相當于實地的相當于實地的水平長度，稱為比例尺精度，又稱極限水平長度，稱為比例尺精度，又稱極限精度。精度。 2.4.2 表現(xiàn)形式 數字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百萬分之一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復式比例尺 特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺數字比例尺數字比例尺文字比例尺文字比例尺圖上圖上1cm相當于實地相當

16、于實地km數數實地實地1km相當于圖上相當于圖上cm數數 1 10000一萬分之一一萬分之一0.1101 25000二萬五千分之一二萬五千分之一0.2541 50000五萬分之一五萬分之一0.521 100000十萬分之一十萬分之一111 250000二十五萬分之一二十五萬分之一2.50.41 500000五十萬分之一五十萬分之一50.21 1000000百萬分之一百萬分之一100.1 2.4.3 國家基本地圖的比例尺系列 w2.5地圖分幅編號w 按一定幅面大小將某種比例尺地圖所包按一定幅面大小將某種比例尺地圖所包含范圍內的圖幅劃分成許多幅地圖，并含范圍內的圖幅劃分成許多幅地圖，并編注其序號的

17、做法稱地圖的編注其序號的做法稱地圖的分幅編號分幅編號。 w 1 1意義：意義： 測制地圖時，防止漏測和重測；使用地圖時，便于檢索和管理；w 2 2原則：原則：w （1） 以投影帶為基礎，按經緯度劃分；w （2）圖面大小適宜，各種比例尺圖大小基本一致；w （3）照顧編繪系列，防止割裂圖幅；w （4）經緯度盡可能整分w （5）編號簡單明了2.5.12.5.1意義、原則和方法意義、原則和方法 w 3 3主要分幅方法主要分幅方法w （1）矩形分幅矩形分幅：w 按直角坐標網格（矩形）進行分幅；w （2）梯形分幅梯形分幅：w 按經緯網格（梯形）進行分幅；w常用于1：5000；使用范圍：掛圖、地圖集、專題地

18、圖等w 優(yōu)點：優(yōu)點：圖幅間接合緊密，便于拼接；w 分幅有意識避開重要地物，保證其完整w 缺點：缺點：整個制圖區(qū)域只能一次投影制成（適于制圖區(qū)域較小，若大，一次投影完成，部分區(qū)域精度影響）。矩形分幅矩形分幅w梯形分幅（經緯線分幅）梯形分幅（經緯線分幅）：w使用范圍：地形圖、小比例尺地圖等。w我國地形圖均采取該種形式；w 優(yōu)點：優(yōu)點：w 系統(tǒng)性強，w 可分帶多次投影（能保證精度）；w 各圖幅有明確的地理位置w 缺點：缺點：w 直角坐標網鄰帶接合不緊密（鄰帶方里網），不便于拼接。w 破壞重要地物的完整性w4 4主要編號方法：主要編號方法：w 行列式編號法，w 自然序數式編號法，w 行列-自然序數式編

19、號法； 2.5.2 我國基本比例尺地形圖 分幅編號體系 w 目前我國基本比例尺地形圖分幅編號系統(tǒng)有兩種：一種是19911991年前年前的以國際百萬分之一國際百萬分之一地形圖為基礎的分幅編號系統(tǒng)；另一種是19911991年后年后的在國際百萬分之一國際百萬分之一基礎上改進的，便于計算機管理和檢索的新國家基本比例尺地形圖分幅和編號系統(tǒng)（新編號系統(tǒng)）。w 兩種系統(tǒng)，分幅是一樣的，所有的分幅經差和緯差均相同；不同的是分幅的基礎圖和編號形式不一樣。 1 1國際百萬分之一地形圖的分幅編號國際百萬分之一地形圖的分幅編號w 分幅：分幅：=6=6，=4=4，即由赤道赤道起向南北緯度88，以緯差4分成22行（=4=

20、4），行代碼為A、B、CV（即代替1、2、322）；從180180經度起，自西向東（逆時針），以經差6分成60列（=6=6），列代碼為1、2、360；w 注意1:100萬分列時和高斯6度分帶投影時帶號起點的區(qū)別!w （梯形圖幅隨緯度升高不斷縮小，在緯度6076時，按經差12，緯差4雙幅合并；在7688，按經差24，緯差4四幅合并；在88以上的極地，以極點為中心單獨成一幅圖），我國陸地經度在72-136，緯度在北緯60以內，屬中緯度區(qū)，不考慮圖幅合并問題。w 編號：編號：行列式編號法，1991年前：行年前：行-列列，1991年后：年后：行列行列。 w 舉例：已知某地E=1121505，=3452

21、36， w 求該地所在1：100萬圖幅號。 4。 6。2 29191年前其它地形圖分幅編號（圖解法）年前其它地形圖分幅編號（圖解法）w （1 1）1 1：5050萬地形圖分幅與編號萬地形圖分幅與編號w 基礎圖：1：100萬地形圖；w 分幅：由1：100萬地形圖分成2 2行行2 2列列，即4幅1：50萬地形圖，=3=3，=2=2，代碼為A A、B B、C C、D D，代碼順序為從左向右，自上而下；w 編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：50萬的代碼，行列-自然序數式編號法，即行-列-自然序數。ABCDE E=112=1121505, 1505, =34=3452365236求該地所在1：50

22、萬圖幅號首先求其基礎圖幅的經緯度范圍：首先求其基礎圖幅的經緯度范圍：緯度：（緯度：（h-1h-1）* *4 4h h* *4 4經度：（經度：（l-31）*6（l-30）*63236108114323610811434111則該地所在1：50萬圖幅號為？I-49-B 你作對了嗎？1：100萬基礎圖：1：100萬地形圖；分幅：由1：100萬地形圖分成4 4行行4 4列列，即16幅1：25萬地形圖，=1=13030，=1=1，代碼為11、22、331616，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：25萬的代碼，行列-自然序數式編號法，即行-列-自然序數。E E=112

23、=1121505,=341505,=3452365236求該地所在1：25萬圖幅號（2 2）1 1：2525萬地形圖分幅與編號萬地形圖分幅與編號3236108114361：100萬323610811434111則該地所在1：25萬圖幅號為？I-49-7 111616131399554433221093011230333577基礎圖：1：100萬地形圖；分幅：由1：100萬地形圖分成1212行行1212列列，（如果分成10行10列，那么由1：10萬的圖編繪1：25萬時，將是兩幅半的行列成一幅圖，造成圖幅分裂，因此分成12行12列，3行3列成一幅圖）即1幅基礎圖分成144幅1：10萬地形圖，=30

24、,=20=30,=20，代碼為，代碼為1 1、2 2、3 3144144，代碼順序為從左向右，自上而下；2 2列一經度，列一經度，3 3行一緯度行一緯度；編號：在1:100萬地形圖圖號后加上1：10萬的代碼，行列-自然序數式編號法，即行-列-自然序數，如I-49-45。 （3 3）1 1：1010萬地形圖分幅與編號萬地形圖分幅與編號323610811434111則該地所在1：10萬圖幅號為？I-49-45 10930112303335111301123420344045基礎圖：1：10萬地形圖；分幅：由1：10萬地形圖分成2 2行行2 2列列，即1幅基礎圖分成4幅1：5萬地形圖，=15=15，

25、=10=10，代碼為A、B、C、D，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:10萬地形圖圖號后加上1：5萬的代碼，行列-自然序數式編號法，即行-列-自然序數，。計算：首先計算1：10萬分幅號，找出四點坐標 （4 4）1 1：5 5萬地形圖分幅與編號萬地形圖分幅與編號ABCDE E=112=1121505, 1505, =34=3452365236求該地所在1：5萬圖幅號3511235112則該地所在1：5萬圖幅號為？I-49-45-B 1：10萬112303440345034401123011215基礎圖：1：10萬地形圖；分幅：由1：10萬地形圖分成8 8行行8 8列列，即1幅基礎圖分成6

26、4幅1：1萬地形圖，=3=34545，=2=23030，代，代碼為碼為(1)(1)、(2)(2)、(3) (3) (64)(64)，代碼順序為從左向右，自上而下；編號：在1:10萬地形圖圖號后加上1：1萬的代碼，行列-自然序數式編號法，即行-列-自然序數，。計算：首先計算1：10萬分幅號，找出四點坐標 （5 5）1 1：1 1萬地形圖分幅與編號萬地形圖分幅與編號E E=112=1121505, 1505, =34=3452365236求該地所在1：1萬圖幅號3511235112則該地所在1：1萬圖幅號為？I-49-45-(21) 1：10萬112303440345034401123011215

27、(8) (21) 1：2.5萬和1：5000地形圖分幅與編號平常用的較少，分別以1：5萬，和1：1萬作為基礎圖分成2行行2列列。 1：2.5萬: I-49-45-B 1(或2、3、4)1：5000: I-49-45-（21） a(或b、c、d)91年前其它地形圖分幅編號（解析法） 參考其他書籍自學比例尺比例尺基礎圖基礎圖行行* *列列數數代碼代碼編號示例編號示例1:1001:100萬萬 1 1* *1 166441 1、2 26060， A A、B BV VI-49I-491:501:50萬萬1 : 1 0 01 : 1 0 0萬萬2 2* *2 23322A A、B B、C C、D DI-4

28、9-BI-49-B1:251:25萬萬1 : 1 0 01 : 1 0 0萬萬4 4* *4 41301301111、221616I-49-7I-49-71:101:10萬萬1 : 1 0 01 : 1 0 0萬萬1212* *1212303020201 1、2 2、3 3144144I-49-45I-49-451:51:5萬萬1:101:10萬萬2 2* *2 215151010A A、B B、C C、D DI-49-45-BI-49-45-B1:11:1萬萬1:101:10萬萬8 8* *8 83 4 53 4 5230230(1)(1)、(2) (2) (64)(64)I-49-45-(21)I-49-45-(21) 基礎圖：均為1 1：100100萬地形圖萬地形圖； 分幅：按相應比例尺地形圖的經緯差逐次加密劃分1：100萬圖幅，各比例尺地形圖的行列數和圖幅數呈簡單倍數關系； 3 39191年后國家其他地形圖新分幅編號系統(tǒng)（解析法）年后國家其他地形圖新分幅編號系統(tǒng)（解析法）編號：行列式編號法，共有十位代碼，第1位為1：100萬地形圖的行代碼（A、BV），第2、3位為1：100萬地形圖