萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用專題復(fù)習(xí)

1、第七講萬(wàn)有引力定律(二)1 18 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系的第七個(gè)行星天王星的運(yùn)動(dòng)軌道有些古怪：根據(jù)_ 計(jì)算出的軌道與實(shí)際觀測(cè)的結(jié)果總有一些偏差據(jù)此，人們推測(cè)， 在天王星軌道的外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星，它對(duì)天王星的_使其軌道發(fā)生了偏離2若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于 _對(duì)物體的 _，即 _，式中是地球的質(zhì)量，R是地球的半徑，也就是物體到地心mgM的距離由此可得出地球的質(zhì)量M _.3將行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)近似看成_ 運(yùn)動(dòng)，行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由_ 提供，則有 _ ，式中是 _的質(zhì)量，是Mm_的質(zhì)量， r 是 _ ，也就是行星和太陽(yáng)中心的距離，T是 _ 由此可得出太陽(yáng)的質(zhì)

2、量為：_.4同樣的道理，如果已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的_和衛(wèi)星與行星之間的 _，也可以計(jì)算出行星的質(zhì)量_ 和 _確立了萬(wàn)有引力定律的地位5應(yīng)用萬(wàn)有引力定律解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的兩條思路是：(1) 把天體 ( 行星或衛(wèi)星 ) 的運(yùn)動(dòng)近似看成是 _ 運(yùn)動(dòng)，向心力由它們之間的_提供，即 F 萬(wàn) F 向 ，可以用來(lái)計(jì)算天體的質(zhì)量， 討論行星 ( 或衛(wèi)星 ) 的線速度、角速度、周期等問(wèn)題基本公式： _v224 2mr mrmr T2 .(2) 地面及其附近物體的重力近似等于物體與地球間的_，即 F 萬(wàn) mg，主要用于計(jì)算涉及重力加速度的問(wèn)題基本公式： _(在的表面上 ) ，即 2.mgmMGM gR6下列說(shuō)法正確

3、的是()A海王星是人們直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算的軌道而發(fā)現(xiàn)的B天王星是人們依據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算的軌道而發(fā)現(xiàn)的C海王星是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的太空觀測(cè)而發(fā)現(xiàn)的D天王星的運(yùn)行軌道與由萬(wàn)有引力定律計(jì)算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此，人們發(fā)現(xiàn)了海王星7利用下列數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A已知地球的半徑R和地面的重力加速度gB已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑C已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rr和周期 T和線速度vD已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v 和周期T【考點(diǎn)演練】考點(diǎn)一發(fā)現(xiàn)未知天體1科學(xué)家們推測(cè)，太陽(yáng)系的第九大行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽(yáng)的

4、背面， 人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說(shuō)是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”息我們可以推知()A這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等由以上信B這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相等C這顆行星的質(zhì)量與地球相等D這顆行星的密度與地球相等考點(diǎn)二計(jì)算天體的質(zhì)量. 解決天體圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的兩條思路(1) 在地面附近萬(wàn)有引力近似等于物體的重力, F 引 =mg, 即G? =mg, 整理得 GM=gR2。(2) 天體運(yùn)動(dòng)都可以近似地看成勻速圓周運(yùn)動(dòng) , 其向心力由萬(wàn)有引力提供 , 即 F引=F向。一般有以下幾種表達(dá)形式: G? =m? G? =m 2r G? =m? r2. 天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1“自力更生”法(g R)利用天體表面的重

5、力加速度g 和天體半徑R。MmgR2(1) 由 GR2 mg得天體質(zhì)量 M G 。(2)MM3g天體密度 。V44GR3R3(3)GM gR2 稱為黃金代換公式。2“借助外援”法 (T r)測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T 和半徑 r 。Mm 42r42r3(1)由 Gr2 m T2 得天體的質(zhì)量 M GT 2 。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度MM3r3 。V4R3GT2R333(3) 若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)， 可認(rèn)為軌道半徑 r 等于天體半徑 R，則天體密度 GT 2，可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。典例2014 年 11 月 1 日早上6

6、時(shí) 42 分，被譽(yù)為“嫦娥5 號(hào)”的“探路尖兵”載人返回飛行試驗(yàn)返回器在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域順利著陸，標(biāo)志著我國(guó)已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速載人返回關(guān)鍵技術(shù)，為“嫦娥5 號(hào)”任務(wù)順利實(shí)施和探月工程持續(xù)推進(jìn)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。 已知人造航天器在月球表面上空繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t(t小于航天器的繞行周期) ，航天器運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，航天器與月球的中心連線掃過(guò)角度為 ，引力常量為 G，則A航天器的軌道半徑為2tsB航天器的環(huán)繞周期為s332C月球的質(zhì)量為 Gt2D月球的密度為 4Gt2s解析根據(jù)幾何關(guān)系得r ，故 A 錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)時(shí)間 t ，航天器與月球的中心連線掃t2t過(guò)角

7、度為 ，則 ，得 T，故 B 正確；由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力而做圓周運(yùn)動(dòng)，所T 2sMm4242r34 2 3s3，故4r3 4以 G mT 2r ，得MGT22tGt2C 正確；月球的體積 V3r2G23s3sMGt232 3，月球的密度 V4s 4Gt2 ，故 D 錯(cuò)誤。3 3答案BC 易錯(cuò)提醒 (1) 利用萬(wàn)有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2) 區(qū)別天體半徑R 和衛(wèi)星軌道半徑r ，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r R；計(jì)算天4體密度時(shí)， V 3R3 中的 R只能是中心天體的半徑。 針對(duì)訓(xùn)練 1(2015 江蘇高考) 過(guò)去幾千年來(lái)，

8、人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究?jī)H限于太陽(yáng)系內(nèi)，行星“51 peg b ”的發(fā)現(xiàn)拉開(kāi)了研究太陽(yáng)系外行星的序幕。“ 51 peg b ”繞其中心恒星做勻速圓4 天，軌道半徑約為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)半徑的1周運(yùn)動(dòng)， 周期約為20。該中心恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量比約為 ()1A 10B 1C 5D 10解析：行星繞中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得MmGr2m42M1r1T21365r ，則32321，選項(xiàng) B 正確。T2M2r2T1204答案： B2已知引力常量G和下列各組數(shù)據(jù)，能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期及地球離太陽(yáng)的距離B月球繞地球運(yùn)行的周期及月球離地球的距離C人造地球衛(wèi)星

9、在地面附近繞行的速度及運(yùn)行周期D若不考慮地球自轉(zhuǎn)，已知地球的半徑及重力加速度3已知引力常量G 1011Nm2/kg2，重力加速度g 9.8 m/s2 ，地球半徑R106m，則可知地球質(zhì)量的數(shù)量級(jí)是()A 1018kgB 1020kgC 1022kgD 1024kg4一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，若認(rèn)為行星是密度均勻的球體，那么要確定該行星的密度，只需要測(cè)量()A飛船的軌道半徑B飛船的運(yùn)行速度C飛船的運(yùn)行周期D行星的質(zhì)量5假設(shè)在半徑為 R 的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 T1，已知萬(wàn)有引力常量為 G，則該天體的密度是多少若這顆衛(wèi)星距該天

10、體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少【方法技巧訓(xùn)練】應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的方法6近地人造衛(wèi)星1 和 2 繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分別為g1、g2，則 (T1 和)T2，設(shè)在衛(wèi)星1、衛(wèi)T1 ( T2)4/3T2 ( T1)4/3T1T2 ()2T2 ()2T17已知地球半徑R 106m，地面附近重力加速度2106m 的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度g 9.8m/s2. 計(jì)算在距離地面高為v 和周期 T.1若知道太陽(yáng)的某一顆行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為r ，周期為T，引力常量為G，則可求得()A

11、該行星的質(zhì)量B太陽(yáng)的質(zhì)量C該行星的平均密度D太陽(yáng)的平均密度2有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面表面處重力加速度的 4 倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的()B4 倍C16 倍D64 倍3火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)半徑的倍根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中正確的是()A火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面小B火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長(zhǎng)C火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大D火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大4若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其周期為T，引力常量為G，那么該行星的平均密度為()5為了對(duì)火星及其周圍的空

12、間環(huán)境進(jìn)行監(jiān)測(cè)，我國(guó)預(yù)計(jì)于2011 年 10 月發(fā)射第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h1 和 h2 的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T1 和 T2. 火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，引力常量為 G. 僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的質(zhì)量和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力C火星的半徑和“螢火一號(hào)”的質(zhì)量D火星表面的重力加速度和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力6設(shè)地球半徑為R，a 為靜止在地球赤道上的一個(gè)物體，b 為一顆近地繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，c 為地球的一顆同步衛(wèi)星，其軌道半徑為r . 下列說(shuō)法中正確的是()rA a

13、 與 c 的線速度大小之比為RRB a 與 c 的線速度大小之比為rC b 與 c 的周期之比為rRRRD b 與 c 的周期之比為 rr7 2008 年 9 月 27 日“神舟七號(hào)”宇航員翟志剛順利完成出艙活動(dòng)任務(wù)，他的第一次太空行走標(biāo)志著中國(guó)航天事業(yè)全新時(shí)代的到來(lái)“神舟七號(hào)”繞地球做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r，若另有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2 ，則可以確定r()A衛(wèi)星與“神舟七號(hào)”的加速度大小之比為1 4B衛(wèi)星與“神舟七號(hào)”的線速度大小之比為12C翟志剛出艙后不再受地球引力D翟志剛出艙任務(wù)之一是取回外掛的實(shí)驗(yàn)樣品，假如一不小心使實(shí)驗(yàn)樣品脫手，則它將做自由落體運(yùn)動(dòng)8“嫦

14、娥二號(hào)”是我國(guó)月球探測(cè)第二期工程的先導(dǎo)星 若測(cè)得“嫦娥二號(hào)”在月球 ( 可視為密度均勻的球體 ) 表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為 T，已知引力常量為 G，半徑為 R的球體體積公式 43，則可估算月球的 ()V 3 RA密度B質(zhì)量C半徑D自轉(zhuǎn)周期9. 土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)其中有兩個(gè)巖石顆粒 A 和 B與土星中心的距離分別為r A 10 4km 和 r B 105km，忽略所有巖石顆粒間的相互作用( 結(jié)果可用根式表示 )(1) 求巖石顆粒 A 和 B 的線速度之比5(2) 土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它在距土星中心10 km處受到土星的引

15、力為已知地球半徑為 103km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍11中子星是恒星演化過(guò)程中的一種可能結(jié)果，它的密度很大現(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到1它的自轉(zhuǎn)周期為Ts問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不30致因自轉(zhuǎn)而瓦解 ( 計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體，萬(wàn)有引力常量 1011 32m/( kgs)G第 3 節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用課前預(yù)習(xí)練1萬(wàn)有引力定律吸引22地球引力GMm gR2RGGMm223勻速圓周 太陽(yáng)對(duì)行星的萬(wàn)有引力r 2 mr(T )太陽(yáng)行星行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期M4 2r 32GT4周期距離海王星的發(fā)現(xiàn)哈雷彗星的“按時(shí)回歸”5 (1) 勻速圓周萬(wàn)有引

16、力GMm(2) 萬(wàn)有引力GMmr 2R26 DgR2Mm7ABCD 設(shè)相對(duì)地面靜止的某一物體的質(zhì)量為m，則有 GR2 mg得 M G ，所以 A 選項(xiàng)正確設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為，則萬(wàn)有引力提供向心力，Mm4 2r42r 3Gr2 m2 得2 ，所以 B選項(xiàng)mTMGTMmv2v2r正確設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，由萬(wàn)有引力提供向心力，Gr 2 mr ，得 M G ，所以 C 選項(xiàng)正確 設(shè)Mm222衛(wèi)星質(zhì)量為m，由萬(wàn)有引力提供向心力，Gr 2 mrmv mv T，由 vr r T ，消去r得 v3T ，所以 D 選項(xiàng)正確 M 2 G課堂探究練1 A2 BCD3 D點(diǎn)評(píng) 天體質(zhì)量的計(jì)算僅適用于計(jì)算被環(huán)繞的中心天體的質(zhì)量，

17、 無(wú)法計(jì)算圍繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的天體的質(zhì)量，常見(jiàn)的天體質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題有如下兩種：(1) 已知行星的運(yùn)動(dòng)情況，計(jì)算太陽(yáng)質(zhì)量(2) 已知衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情況，計(jì)算行星質(zhì)量4 C 因?yàn)镚Mm 424 2R343M3，2 m2R，所以 M2，又因?yàn)閂 R， ，所以2RTGT3VGT選項(xiàng) C正確 點(diǎn)評(píng)利用飛船受到行星的萬(wàn)有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力進(jìn)行分析33Rh23GT2R解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M. 衛(wèi)星貼近天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有Mm4 24 2R3G2 m2，則2TRMGTR1143根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知星球的體積V 3 R故該星球密度M4 2R331 42V231GTGT3 R1衛(wèi)星距天

18、體表面距離為h 時(shí)有GMm42h2 m2 ( R h)2RTM4 2R h32GT2M 4 2R h 33 R h 3 V243GT2R223GT2 3 R利用公式 M 423 4M 計(jì)算天體的密度，注意點(diǎn)評(píng)2r計(jì)算出天體的質(zhì)量，再利用GT3 R3r 指繞天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，而R指中心天體的半徑，只有貼近中心天體運(yùn)動(dòng)時(shí)才有r R.GMm22T26B 衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 由萬(wàn)有引力提供向心力有R2 m(T )R，可得 R32GMmGMGMk43k 為常數(shù)， 由重力等于萬(wàn)有引力有2mg，聯(lián)立解得 g，則 g 與 T 成反比 R3 T443Tk237 10 3m/s103s解析根據(jù)萬(wàn)有引力提

19、供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有Mm2v2Gh mhRR知 vGMhRMm2由地球表面附近萬(wàn)有引力近似等于重力，即GR2 mg得 GM gR由兩式可得vgR2 10 6 錯(cuò)誤 ! m/sR h 103m/s運(yùn)動(dòng)周期2R hTv2 1062 106s310310 s方法總結(jié)解決天體問(wèn)題的兩種思路(1) 所有做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，所需要的向心力都來(lái)自萬(wàn)有引力因此，向心力等于萬(wàn)有引力是我們研究天體運(yùn)動(dòng)建立方程的基本關(guān)系式，即MmGr 2 ma，式中的a 是向心加速度Mm(2) 物體在地球 ( 天體 ) 表面時(shí)受到的萬(wàn)有引力近似等于物體的重力， 即：GR2 mg，式中的 R為地球 ( 天體 ) 的半徑，

20、g 為地球 ( 天體 ) 表面物體的重力加速度課后鞏固練1 BgR2Mm2 D 由 GR2 mg得 M G ，gR2MG3g 44 GRV33 R3gRg所以 R 4 G，則 R地 g地 424R22gR 4g地64g R根據(jù) M GG地地地G 64M ，所以 D 項(xiàng)正確 地mmm23AB 由 G物g 得 g G ，計(jì)算得火星表面的重力加速度約為地球表面的， A2 m物25RRMm22得 T2r 3，公轉(zhuǎn)軌道半徑大的周期長(zhǎng)，B 對(duì)；周期長(zhǎng)的線速正確；由 G 2 m(T)rrGMGMGM度小 ( 或由 vr 判斷軌道半徑大的線速度小) ， C 錯(cuò)；公轉(zhuǎn)向心加速度a r 2 ， D錯(cuò) Mm224B

21、 設(shè)飛船的質(zhì)量為m，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為行星半徑R，則 GR2 m(T )R，4 2R3232MGT所以行星的質(zhì)量4R3M2，行星的平均密度442， B 項(xiàng)正確 GT33GT3 R3 R5 A 設(shè)火星質(zhì)量為M，半徑為 R，“螢火一號(hào)”的質(zhì)量為m，則有GMm22R h1)R h2 mT(11Mm2 2GR h22 m T2(R h2)GMmGM聯(lián)立兩式可求得M、R，由此可進(jìn)一步求火星密度，由于mgR2，則 g R2，顯然火星表面的重力加速度也可求出，m無(wú)法求出，故火星對(duì)“熒火一號(hào)”的引力也無(wú)法求出，正確答案為 A.6 D 物體 a 與同步衛(wèi)星 c 角速度相等，由v r 可得，二者線速度之比為Rr，選項(xiàng)A、 B 均錯(cuò)誤；而b、c均為衛(wèi)星，由2r 3RR可得，二者周期之比為，選項(xiàng) C錯(cuò)TGMrr誤， D正確 GMGM7AB 根據(jù) a r2，可知 a a 1 4，故 A 正確；根據(jù) vr ，可知 v v 112122，故 B 正確；根據(jù)萬(wàn)有引力定律，翟志剛不論是在艙里還是在艙外，都受地球引力的作用，