2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

1、12.2 12.2 周期函數(shù)分解為傅里葉周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)一、周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)T為周期函數(shù)為周期函數(shù)f(t)的周期，的周期，k=0，1，2，如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。能展開成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。電路中的非正弦周期量都能滿足這個(gè)條件。電路中的非正弦周期量都能滿足這個(gè)條件。)sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos()(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)sin()cos(kkktkbtkaa二、傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式二

2、、傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式1、第一種形式、第一種形式式中：式中：K=1，2，32200)(1)(1TTTdttfTdttfTaTkdttktfTa01)cos()(22011)()cos()(1tdtktf)()cos()(111tdtktf221)cos()(2TTdttktfT系數(shù)的計(jì)算公式系數(shù)的計(jì)算公式1110)sin()cos()(kkktkbtkaatfTkdttktfTb01)sin()(22011)()sin()(1tdtktf)()sin()(111tdtktf221)sin()(2TTdttktfT1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf)cos( )2cos(

3、)cos()(12121110kkmmmtkAtAtAAtf110)cos(kkkmtkAA2、第二種形式、第二種形式A0稱為周期函數(shù)的恒定分量或直流分量）；稱為周期函數(shù)的恒定分量或直流分量）；A1mcos(1t+1)稱為稱為1次諧波或基波分量），次諧波或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，即即2次、次、3次、次、4次、次、3、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系110)cos()(kkkmtkAAtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf第一種形式第一種形式第二種形式第二種形式A0

4、=a022kkkmbaAak=Akmcoskbk=- Akmsink)arctan(kkkab4、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義+-傅氏分解傅氏分解A0U1U2+-u(t)u(t)分解后的電源相當(dāng)于無(wú)限個(gè)電壓源串聯(lián)分解后的電源相當(dāng)于無(wú)限個(gè)電壓源串聯(lián)對(duì)于電路分析應(yīng)用的方法是對(duì)于電路分析應(yīng)用的方法是疊加定理疊加定理三、三、f(t)的頻譜的頻譜傅里葉級(jí)數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期傅里葉級(jí)數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅氏級(jí)數(shù)后包為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅氏級(jí)數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量

5、所占含哪些頻率分量以及各分量所占“比重比重”，用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線段，用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，得到的圖形稱為得到的圖形稱為f(t)的頻譜。的頻譜。1、幅度頻譜、幅度頻譜各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。2、相位頻譜、相位頻譜把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。OAkmk14131211例：求周期性矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜例：求周期性矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜Of(t)t1tEm-Em2T2T解：解：f(t)在

6、第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為f(t) =Em-Em20Tt TtT2根據(jù)公式計(jì)算系數(shù)根據(jù)公式計(jì)算系數(shù)TdttfTa00)(10Of(t)t1tEm-Em2T2T2011)()cos()(1tdtktfakOf(t)t1tEm-Em2T2T )()cos()()cos(1211011tdtkEtdtkEmm011)()cos(2tdtkEm=02011)()sin()(1tdtktfbk )()sin()()sin(1211011tdtkEtdtkEmm011)()sin(2tdtkEm01)cos(12tkkEm)cos(1 2kkEm當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)：cos(k)=

7、1bk=0當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)：cos(k)=-1kEbmk4代入求得代入求得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf00a0ka當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)：cos(k)=1bk=0當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)：cos(k)=-1kEbmk4)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOf(t)Em-Em1t圖形曲線分析圖形曲線分析:Of(t)Em-Em1t取到取到11次諧波時(shí)合成的曲線次諧波時(shí)合成的曲線比較兩個(gè)圖可見，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合比較兩個(gè)圖可見，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合成曲線就越接近

8、于原來(lái)的波形。成曲線就越接近于原來(lái)的波形。Of(t)t1tEm-Em2T2T)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtff(t) =Em-Em20Tt TtT2假設(shè)假設(shè) Em=1， 1t=/2，得，得715131141取到取到11次諧波時(shí)，結(jié)果為次諧波時(shí)，結(jié)果為0.95;取到取到13次諧波時(shí)，結(jié)次諧波時(shí)，結(jié)果為果為1.05;取到取到35次諧波時(shí)，結(jié)果為次諧波時(shí)，結(jié)果為0.98,誤差為誤差為2%矩形信號(hào)矩形信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOAkmk171513113、頻譜與非正弦信號(hào)特征的關(guān)系、頻譜與非正弦信號(hào)特

9、征的關(guān)系波形越接近正弦波，波形越接近正弦波，諧波成分越少；諧波成分越少；f(t)=10cos(314t+30)OAkmk111、偶函數(shù)、偶函數(shù)f(t)=f(-t) 縱軸對(duì)稱的性質(zhì)縱軸對(duì)稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之間的關(guān)系間的關(guān)系可以證明：可以證明：bk=01、偶函數(shù)、偶函數(shù)縱軸對(duì)稱的性質(zhì)縱軸對(duì)稱的性質(zhì)f(t)=f(-t)110)cos()(kktkaatf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展開式中只含有余弦項(xiàng)分量和直流分量展開式中只含有余弦項(xiàng)分量和直流分量f(t)=-f(-t)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)原

10、點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot2、奇函數(shù)、奇函數(shù)可以證明：可以證明：a0=0, ak=0原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)f(t)=-f(-t)2、奇函數(shù)、奇函數(shù)11)sin()(kktkbtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展開式中只含有正弦項(xiàng)分量展開式中只含有正弦項(xiàng)分量滿足滿足 f(t)=-f(t+T/2),稱為奇諧波函數(shù)稱為奇諧波函數(shù)Of(t)tT2T3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù):f(t)=-f(t+T/2),叫做叫做 鏡對(duì)稱的性質(zhì)鏡對(duì)稱的性質(zhì)判斷判斷:利用鏡對(duì)稱的性質(zhì)利用鏡對(duì)稱的性質(zhì) f(t)= - f(t+T/2)3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù)可以證明：可以證明：a

11、2k =b2k =0 )3sin()3cos( )sin()cos(13131111tbtatbtaf(t)=1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展開式中只含有奇次諧波分量展開式中只含有奇次諧波分量f(t)Ot判斷下面波形的展開式特點(diǎn)判斷下面波形的展開式特點(diǎn)f(t)是奇函數(shù)是奇函數(shù)展開式中只含有正弦分量展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù)又是奇諧波函數(shù)展開式中只含有奇次諧波展開式中只含有奇次諧波)3sin()sin(1311tbtbf(t)=系數(shù)系數(shù)Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)但與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)但k是有關(guān)的），是有關(guān)的），這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振這是因?yàn)闃?gòu)成非

12、正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對(duì)該函數(shù)波形的相對(duì)位置總是一定的，幅以及各次諧波對(duì)該函數(shù)波形的相對(duì)位置總是一定的，并不會(huì)因計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)；并不會(huì)因計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)；因而，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)只能使各次諧波的初相因而，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)只能使各次諧波的初相作相應(yīng)地改變。作相應(yīng)地改變。由于系數(shù)由于系數(shù)ak和和bk與初相與初相k有關(guān)，所以它們也隨有關(guān)，所以它們也隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)的改變而改變。計(jì)時(shí)起點(diǎn)的改變而改變。4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系由于系數(shù)由于系數(shù)ak和和bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。擇有關(guān)。但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時(shí)起點(diǎn)但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的分解因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的分解簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化。4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系例：已知某信號(hào)半周期的波形，在下列不同條件下例：已知某信號(hào)半周期的波形，在下列不同條件下畫出整個(gè)周期的波形畫出整個(gè)周期的波形Of(t)t1、只含有余