第八章 平穩(wěn)時間序列.

1、第八章 平穩(wěn)時間序列stationarynon-stationary根據(jù)時間序列的隨機過程特性，可以分為平穩(wěn)序列（）與非平穩(wěn)序列（）兩類，需要使用不同的計量方法。本章介紹平穩(wěn)序列，下一章介紹非平穩(wěn)序列一、時間序列的數(shù)字特征12T12Tyyyy時間序列指的是同一個體在不同時點上的數(shù)據(jù)。對于離散時間 ， ， ，記隨機變量 的相應(yīng)觀測值為， ， ，并假設(shè)其為（嚴(yán)格）平穩(wěn)過程。因此，該時間序列的期望、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征均不隨時間推移而改變。 Tti=1T2ti=1E y1yyTVar y1yyT-1期望反映該序列的平均水平，可以用樣本均值來估計方差反映該序列的波動幅度，可以用來估計。

2、通常，不同期的觀測值之間存在相關(guān)性。為此，引入以下兩個概念： tkttkttk0ykautocovariance of order kCov yyEyyykkVar y定義：時間序列的“ 階自協(xié)方差”（）為，。反映同一變量 相隔 期之間的自相關(guān)程度。顯然，當(dāng) 0時， kT-kkttki=11yyyyT-k對 的估計為“樣本自協(xié)方差” tkttkttktkkykautocorrelation of order kCorr yyCov yyVar y11kAutocorrelation FunctionACFk定義：時間序列的“ 階自相關(guān)系數(shù)”（ ）為， 。它將自協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化為介于 ，之間的量。顯

3、然，對于嚴(yán)平穩(wěn)過程，不依賴于時間，而僅僅是滯后階數(shù) 的函數(shù)，故被稱為“自相關(guān)函數(shù)”（ ，）將（ ，）畫成kk圖，即為自相關(guān)圖。自相關(guān)函數(shù)關(guān)于原點對稱（）kkk0對的估計量為“樣本自相關(guān)系數(shù)”： tt+kt+1t+k-1ktt+kt+1t+k-1tktt+kt+1t+k-1t+1t+k-yyyyCorr yyyyykpartial autocorrelation of order kCorr yyyyyy然而，與的相關(guān)性可能由二者之間的變量， ，所引起，而，并未對， ，的作用進行控制。為此，引入以下概念： 定義：時間序列的“ 階偏自相關(guān)系數(shù)”（ ）為 ， ，即在給定， ，1tt+kkyykPar

4、tial Autocorrelation FunctionPACF條件下，與的條件相關(guān)系數(shù)。顯然，也只是 的函數(shù)，故稱為“偏自相關(guān)函數(shù)”（ ，） AR p二、自回歸模型kkt01t-1kt-ktkkkOLS yyyk為了得到對的樣本估計值，可以證明，對以下階自回歸方程進行估計：則就是“ 階樣本偏自相關(guān)系數(shù)”回歸模型是以因果關(guān)系來推測被解釋變量。而有些現(xiàn)象在時間上具有延續(xù)性，時間序列模型可利用此延續(xù)性來推算時序變量。 t01t-1ttt2ttsAR 1 yytTE0VarCov0ts最簡單的推算方法為一階自回歸（）： （ 2， ， ）其中，擾動項 為白噪聲，滿足 ，同方差，且無自相關(guān)， ， 1t

5、t-1t-11tt-11t-1tqCov yy0yyMA qACF 在實踐中，常常先考察數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)（）和偏自相關(guān)函數(shù)（），以判斷是否存在或的情形。如果，則為： 顯然，如果，則， ，因為產(chǎn)生 的擾動項， ，與產(chǎn)生的擾動項， ，沒有重疊的部分。這意味著，對于模型，函數(shù)在jq時都等于零，即出現(xiàn)“截尾”。 AR 1ACF另一方面，對于，我們知道其函數(shù)呈指數(shù)衰減，稱為“拖尾”。 t01t-1pt-ptq=0ARMA pqAR p yyy如果，則，簡化為模型： t01t-1pt-pp1ttp+1p1p1p1TAR pOLSAR p1yyyyplim00p+1AR pPACFjp0MA qPACF假設(shè)

6、真實模型是，卻用來估計即 ，則 ，因為 ，而正是對階偏自相關(guān)函數(shù)的估計。由此可知，對于模型函數(shù)在時都等于 ，即出現(xiàn)截尾。另一方面，對于模型，函數(shù)逐漸衰減，即拖尾，但不存在截尾。 AR pACFPACFMA qACFPACFACFPACFARMA pq綜上所述，對于模型，其函數(shù)拖尾，而函數(shù)截尾。而對于模型，其函數(shù)截尾，而函數(shù)拖尾。而如果函數(shù)與函數(shù)均拖尾，則為，模型。BoxJenkinsReinselp2q2時間序列分析的鼻祖、認(rèn)為，對大多數(shù)情況，與就足夠了。 tdiagnostic checkingARMA pq在估計完模型之后，仍然需要進行一些診斷性分析（ ），以確定，模型的假定是否成立。其中

7、最重要的假定是，擾動項為白噪聲。ppqqQ如果模型過小，即或，則相當(dāng)于遺漏解釋變量。這些被遺漏的解釋變量納入擾動項中，導(dǎo)致擾動項出現(xiàn)自相關(guān)，不再是白噪聲。為此可以使用檢驗等來檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠翊嬖谧韵嚓P(guān)。如果殘差存在自相關(guān)，則應(yīng)考慮增加自回歸或移動平均的階數(shù)，重新對模型進行估計，然后再檢驗新模型的殘差是否為白噪聲，如此反復(fù)，直至殘差為白噪聲五、自回歸分布滯后模型t01t-1pt-p1t-1qt-qtAutoregressive DistributedLag ModelADL pq yyyxx在自回歸模型中，也可以引入其他變量來構(gòu)成“自回歸分布滯后模型”（ ，）：ttt01t12t23t34t4

8、1t1tttununy例如，令通貨膨脹率為 ，失業(yè)率為，則一個可能的預(yù)測模型為： ，其中，相當(dāng)于1ADL 41empirical Phillip Curve0這個，反映的是宏觀經(jīng)濟學(xué)中的經(jīng)驗菲利普斯曲線。如果，則失業(yè)率越低，物價越有上漲的壓力。另一方面，通漲的調(diào)整也受到過去通漲變化的滯后作用。11kk1tktjtjt01t-1pt-p111t-11q1t-qk1k,t-1k,qk,t-qtkxxjxqj1kyyyxxxx，也可以引入更多的解釋變量。比如，共有 個解釋變量， ，其中第 個解釋變量共有 個滯后值包括在模型中， ， ， ： 1ktt-1t-p1t-11t-qkt-1k,t-qt1kt

9、-(p+1)p+1t-(p+1)tOLS1 Eyyxx xxpqqyy，如果自回歸分布滯后模型滿足以下假定，就可以用來估計它：（， ， ， ， ，）0。這個假定意味著擾動項與所有解釋變量的整個歷史無關(guān)。這保證了對滯后期數(shù)， ， ，的設(shè)定是正確的。如果滯后期數(shù)的設(shè)定不正確，比如真實模型還應(yīng)該包括但該項卻被納入擾動項 中tOLS，則擾動項 便與解釋變量相關(guān)，導(dǎo)致不一致。 t1tkt2yxx， ，為漸近獨立的平穩(wěn)序列 t1tkt3yxx4， ，有非零的有限四階矩解釋變量無完全多重共線性ARMAARMAX更一般地，可以在模型中引入其他變量，稱為模型六、誤差修正模型ADLError Correction

10、 ModelECM模型是一種動態(tài)模型。從經(jīng)濟理論而言，相關(guān)的變量之間可能存在長期的均衡關(guān)系，而變量的短期變動則是向著這個長期均衡關(guān)系的部分調(diào)整。誤差修正模型（ ，）正是這一思想在計量經(jīng)濟學(xué)中的體現(xiàn) t01t-1t1ttt-10011t-1t11t-1tt1t-1terror correctionAR 1yy1yyE yE yy1y1yy1y1yy1yyAR 1 考慮模型： 其中，故為平穩(wěn)過程。對方程兩邊求期望，并令長期均衡值 ，則可得。將 代入該方程，并在兩邊同時減去可得： 這就是的誤差修正模型，它將tt-1yyy 表達(dá)為對長期均衡的偏離的部分調(diào)整（即誤差修正）加上擾動項。t01t-10t1t

11、-1t1ADL yyxx1考慮以下模型： ，其中，tt-1tt-10101100100111yx yxyE yE yxE xE x yyxx1yx yx11假設(shè)經(jīng)濟理論認(rèn)為，之間存在長期均衡關(guān)系 。對方程兩邊求期望，并令 ， ，可得 0011101111long-run multiplier1xy由此可得， ， 。其中，稱為長期乘數(shù) ，它衡量的是當(dāng) 永久性地變化一單位時，將會導(dǎo)致的永久性變化幅度。01011t-10t-1t01t-10tt-101t-1t11ADLyxy1yxxx 顯然， ， 。對以上模型作如下變形，即可得到誤差修正模型。在模型兩邊同時減去，并在右邊加上減去可得 01t11t-

12、10t01t-1t011t0t1t-1t-1terror correction1t-1t-1011y11yxx1yx1yx1yx1 代入 ，可得 代入 ，則有 這就是誤差修正的形式。其中 稱為誤差修正項。參數(shù)，稱為長期參數(shù)，而參數(shù)， 稱為短期參數(shù)。ADLOLSADLECM可以把誤差修正模型還原為模型，然后用來估計。一般來說，模型都可以變換成模型。誤差修正模型的優(yōu)點是，經(jīng)濟含義十分明確，而且可以分別考察長期效應(yīng)與短期效應(yīng) MA 七、與滯后算子tt-12pttt-2tt-p0tttlag operatorLyyL yL LyyL yy L yyy為了計算方便，在時間序列分析中常引入滯后算子（ ）。

13、定義：， ，。特別地，1 pqp+qttt1tt01t1ptptpt01tpttL LLyyy1L y1LAR pyyyyLyL y 顯然，滯后算子的運算相當(dāng)于冪函數(shù)。例如，。由于 ，故差分算子 。對于， ，可以用滯后算子簡潔地表示： pt1tpt0tpt1pt0tp1pt0tyLyL yy1LLylag polynomialL1LLL y移項后可得， 提取公因子 ，定義“滯后多項式”（ ）：，則有 jj=0jj=0AbsolutelySummableAS定義：序列為“絕對值可加總”（，），滿足（有限） 0122012filterLLL定義：對于任意一個實數(shù)序列， ，定義其對應(yīng)的“濾波”（）為

14、： 。 因此，濾波的實質(zhì)就是一個 無窮多項 的滯后多項式。 tjj=0tjt-jj=0ttxASyxxy定理：假設(shè)為弱平穩(wěn)過程，序列為絕對值可加總，則 有定義且為弱平穩(wěn)進一步，若為獨立同分布，則為嚴(yán)平穩(wěn)AS這個定理告訴我們，弱平穩(wěn)過程經(jīng)過濾波的作用后，仍為弱平穩(wěn)過程。 20122012LLLLLL定義：對于兩個濾波與，定義其乘積為： 201220120001102201102LLLLLLLLL 001L110LLinverseL 顯然，濾波的乘積滿足交換律。我們最感興趣的情形是，即令上式第二行之常數(shù)項而其余各項的系數(shù)均為 。此時，我們稱為的“逆”，并記為 100120011000LLL11 只

15、要，則都有定義且唯一，因為可以得到滿足的唯一解， ， ，即， ，等等1231L1LLL例： 2311L 1LLL11LAS證明：顯然， 需要注意的是，不再是122331L1LLL例：1LL11LAS證明：只要將上例中的 換成即可。如果則 為 t01t-1t1yy1AR 1MA定理：對于 ，假設(shè)，則此是t01t-1t0101t-2t1t20011t-21t1t2001101t-3t1t1t2320111t-31t1t1tyyyyy1y 22證明：方法一（迭代法）： 223011t1t11t1t230t1t11t1t111 2323 1t0t1t10t223311102233111t223011t

16、1t11t1t230t1t11t1t11L yy1L1LLL1LLL11 2323方法二（濾波求逆法）：由于 故， AR 1因此，可以將平穩(wěn)的看成是過去所有擾動項的總效應(yīng)之和，而且離現(xiàn)在越遠(yuǎn)的擾動項其影響力呈幾何級數(shù)遞減。從證明方法二可以看出濾波求逆方法的威力。脈沖響應(yīng)函數(shù) t+jjt1ttjt+jttt+jAR 1MAyyytjydynamic multiplier從的表達(dá)式可以看出 表示的是，當(dāng)?shù)?期的擾動項 變化一單位時 而其他期的擾動項均不變 ，對相隔 期的的影響，稱為“動態(tài)乘子”（ ）tj顯然，動態(tài)乘子與絕對時間 無關(guān)，而是時間間隔的函數(shù)。t+jtt+jtt+jtyjImpulse

17、Response FunctionIRFy1ImpulseResponsejyIRF將視為 的函數(shù)，則稱為“脈沖響應(yīng)函數(shù)”（ ，），它刻畫的是對 的 單位脈沖的響應(yīng)。將，畫圖，就可以得到對的直觀認(rèn)識 t01t-1pt-pt1t0t11t0tAR pMAAR pyyyL yLASyLLMA類似地，也是。將“ ”寫為“ ”，如果為，則，顯然這是形式 t01t-1pt-pt1t-1qt-qpqt1tpt0t1tqtt0t1q1q11t0tARMA p,qMAyyyyLyL yLLL yLL1LLLASyLLLMA 同理，更一般的也是： 其中，。假設(shè)為則， ，即八、向量自回歸過程GDPmutually

18、 consistentmultivariate time seriesVector AutoregressionVAR我們常常同時關(guān)心幾個經(jīng)濟變量的預(yù)測，比如增長率與失業(yè)率。一種方法是用單變量時間序列的方法對每個變量分別作預(yù)測。另一種方法則是將這些變量放在一起，作為一個系統(tǒng)來預(yù)測，以使得預(yù)測相互自洽（ ），這被稱為“多變量時間序列”（ ）。“向量自回歸”（ ，）正是這樣一種方法。 1t2t1t10111t-11p1t-p112t-11p2t-p1t2t20211t-12p1t-p212t-1yypbivariateVAR pyyyyyyyyy，假設(shè)有兩個時間序列變量，分別作為兩個回歸方程的被解

19、釋變量。而解釋變量為這兩個變量的 階滯后值，構(gòu)成一個二元（）的系統(tǒng)： 2p2t-p2t1t2ty， 其中，與均為白噪聲過程（故不存在自相關(guān)）121t2scontemporaneous correlationt=s Cov0但允許兩個方程的擾動項之間存在同期相關(guān)性（ ）：，若，其他1p1t10111t-11t-p2p2t20211p1t112t-12t-p2p2t21yyyyyy，注意到上面兩個方程的解釋變量完全一樣。將兩個方程寫在一起： 1t-11t1011112t-12t2021211p1p1t-p1t2p2p2t-p2t1t1tt2t2t10t20yyyyyyyyyy，將同期變量寫成列向量

20、并把相應(yīng)的系數(shù)合并為矩陣 記，則有1p1p1111t-1t-pt2p2p2121yy 01pt01t-1pt-ptt yyyAR pVAR p定義相應(yīng)的系數(shù)矩陣為， ， ，可得這個形式與很相似，故名。其中是一維白噪聲過程的推廣，稱為向量白噪聲過程。 tttttstttsE0EEtspositivedefinite matrixEE 定義：向量白噪聲過程是一個弱平穩(wěn)的隨機過程，滿足以下條件： ， ，0。其中 為正定矩陣（ ）。由于不要求 為對角矩陣，故向量白噪聲過程的各個分量之間可以存在同期相關(guān)。注意，與是兩個不同的矩陣innovation process有時也將白噪聲過程稱為“新息過程”（ ）

21、。 t-1t-pt-1t-2tt-1t-2ttVAR pyyOLSOLS由于系統(tǒng)中的解釋變量， ，依賴于， ，而 與， 不相關(guān)，故可視所有解釋變量為前定變量，與當(dāng)期擾動項 不相關(guān)，故可以用對每個方程分別進行估計。由此可見擾動項不存在自相關(guān)是保證一致性的重要條件。滯后階數(shù)的選擇VARVAR在進行建模時，需要確定變量的滯后階數(shù)，以及系統(tǒng)中包含幾個變量。tTijitjtt=1ij1 TT 方法之一是使用信息準(zhǔn)則。根據(jù)殘差 可以估計協(xié)方差矩陣 ，記為 。矩陣 的 ， 元素為，其中 為樣本容量。 VARAICBIC2 AIC plnn np1Tln2 BIC plnn np1TnVARpn np1VAR

22、np1n則模型的與分別為其中， 為系統(tǒng)中變量的個數(shù)， 為滯后階數(shù)為 的行列式，而 為模型中待估系數(shù)的總數(shù)（每個方程共有 個系數(shù)，共有 個方程）。 T2tt=1n11SSR TT2AIC pln SSR Tp1TAICp1容易看出，以上表達(dá)式為單一方程的信息準(zhǔn)則向多方程情形的推廣。比如，當(dāng) 1時， 為 階矩陣，故 ，故，這正是單一方程的表達(dá)式 其中 為系數(shù)個數(shù)，含常數(shù)項 01p2p1p2ptVAR pVAR p1H方法之二是檢驗最后一階系數(shù)的顯著性（類似于由大到小的序貫 規(guī)則）。在上面的例子中，假設(shè)要確定使用還是 ，則可以檢驗原假設(shè)：0 t-ptVARVAR pVAR p1y方法之三是檢驗?zāi)Ｐ偷?/p>

23、殘差是否為白噪聲，即是否存在自相關(guān)。如果真實模型為，但被錯誤地設(shè)置為 ，則解釋變量的最后一階滯后被納入擾動項 ，導(dǎo)致擾動項出現(xiàn)自相關(guān)。 ttptt1tp-1yyyyOLSVAR更糟糕的是，由于的相關(guān)性，包含的擾動項將與解釋變量， ，相關(guān)，導(dǎo)致估計不一致。為此，需要檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠翊嬖谧韵嚓P(guān)。如果存在自相關(guān)，則可能意味著應(yīng)該在解釋變量中加入更高階的滯后變量。VAR變量個數(shù)的選擇VAR54VAR105VAR系統(tǒng)中包含的變量個數(shù)越多，則需要估計的系數(shù)越多。假設(shè)有 個變量，滯后 期，則每個方程中共有21個待估系數(shù)（含截距項），而整個系統(tǒng)共有個待估參數(shù)！待估參數(shù)過多將使得樣本容量過?。ㄗ杂啥冗^?。?，增

24、大估計誤差，降低預(yù)測精度。因此，模型通常僅包含為數(shù)不多的幾個變量。VARVARVAR更重要的是，要根據(jù)經(jīng)濟理論來確定模型中的各個變量確實有較強相關(guān)性。比如，經(jīng)濟理論告訴我們，通貨膨脹率、失業(yè)率、短期利息率互相關(guān)聯(lián)，可以構(gòu)成一個三變量的模型。如果模型包含不相關(guān)的變量，則會增大估計量的方差，降低預(yù)測能力。九、向量移動平均過程 t0t1t12t2jtjj=00nj2012MAnVector Moving AverageVMAyInmultivariate filterlag matrix polynomialLLL 將向多維推廣，可以定義 維無窮階向量移動平均過程（ ，）： 其中， ，皆為 維方陣。

25、定義“多維濾波”（ ）為無窮項滯后矩陣多項式（ ）： 因 ttVMAyL此，可以將簡潔地寫為 1LL對于兩個多維濾波，可以類似于一維濾波那樣地定義其乘積，以及多維濾波的逆。 t01t-1pt-ptp1pt0tt0tp1p111t0tVAR pyyyVMAILLyL yLILLLyLL使用滯后算子，可以把上述模型 寫成的形式： ，即其中，。在上式兩邊同時左乘可得 1201210t0t1t12t2LLLLLVMA y 記， ，則得標(biāo)準(zhǔn)的的形式： 脈沖響應(yīng)函數(shù)t+sstt+stt+stssit+sjtyynynnnsijy，根據(jù)向量微分法則可知： 其中為 維列向量對 維行向量 求偏導(dǎo)數(shù)，故得到矩陣。

26、矩陣是一維情形下相隔 期的動態(tài)乘子向多維的推廣，其第 行、第 列元素等于jtit+sit+sjtjtit+syysIRF，它表示的是，當(dāng)?shù)?個變量在第 期的擾動項增加一單位時（而其他變量與其他期的擾動項均不變），對第 個變量在第期的取值的影響。將視為時間間隔 的函數(shù)，就是脈沖響應(yīng)函數(shù)（）it+sjtjtttyE ，以上脈沖響應(yīng)函數(shù)的一個缺點是，它假定在計算時，只讓變動，而所有其他同期擾動項均不變。這個假定只有當(dāng)擾動項的協(xié)方差矩陣為對角矩陣時才成立（即同期擾動項之間正交）。jttttOrthogonalized Impulse ResponseFunctionOIRFuu否則，當(dāng)變動時，必然伴隨著其他方程的同期擾動項發(fā)生相應(yīng)的變動。為此