第九章多元函數(shù)微分法

1、1多元函數(shù)的基本概念第一節(jié) 區(qū)域一.鄰域. 1以點(diǎn) 為中心, 以 為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為 p0 的 鄰域.),(000yxp),(0p記作)()(| ),(),(20200yyxxyxpU即記 (p0, ) = U (p0, ) p0 , 稱為 p0 的去心 鄰域.如圖用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)第九章 2p0p0U (p0, ) (p0, )32.區(qū)域區(qū)域.)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP .為開集為開集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都

2、是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集4的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDD 5連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41|

3、),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo60| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點(diǎn)集則稱為無界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點(diǎn)集對于點(diǎn)集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx7 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對對于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(， 變變量量

4、z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)二、多元函數(shù)的概念定義. 18的定義域求函數(shù)例221:1yxz1| ),(:22yxyxD定義域?yàn)榻獾亩x域求函數(shù)例49. 22222yxyxz94| ),(:22yxyxD定義域?yàn)榻?例例3

5、3 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?42| ),(222yxyxyxD且10 2.二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁圖）（如下頁圖）11二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.12xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,球面球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:13代表一個(gè)平面cbyaxz11 xxz代表一條直線1111yyxxz01zx)0, 1 , 1(代表一

6、個(gè)點(diǎn)14三、多元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限. )(lim0語言表示用Axfxx就是 0, 0.當(dāng)0|x x0| 時(shí), 有|f (x) A | 0, 0, 當(dāng), )()(02020時(shí)yyxx對應(yīng)的函數(shù)值滿足| f (x,y) A | 則稱 A 為z = f (x,y), 當(dāng) P 趨近于P0時(shí)(二重)極限.記作Ayxfyxyxpp),(lim),(),(000或,),(lim00Ayxfyyxx二元函數(shù)的極限16說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算

7、法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似17例例1 1 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立18xxyyx)sin(lim. 220求例0),()sin(),(:1xyxDxxyyxf在區(qū)域這里解.0),(2內(nèi)部都有定義和區(qū)域xyxD.)2 , 0(210的邊界點(diǎn)及同時(shí)為DDp.,21下列運(yùn)算都是正確的內(nèi)考慮內(nèi)還是在但無論在DD2lim)sin(lim)sin(lim22020yxyxy

8、xxyyyxyx19例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 20例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在21（1）

9、 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：22：定義1DPDyxfyxP0000)(),(),(且或邊界點(diǎn)一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的的定義域?yàn)楹瘮?shù)設(shè)),(),(lim0000yxfyxfyyxx若連續(xù)在點(diǎn)則稱函數(shù)),(),(000yxPyxf上連續(xù)在則稱中每一點(diǎn)連續(xù)在定義域

10、若DyxfzDyxf),(,),(點(diǎn)點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)就叫做間斷不連續(xù)的點(diǎn)就叫做間斷),(yxf四、多元函數(shù)的連續(xù)性23是間斷點(diǎn))0,0(11222yxz：例上各點(diǎn)均為間斷點(diǎn)122 yx000),(:12222yxyxyxxyyxf例24性性質(zhì)質(zhì)：且取得最大值與最小值上有界在則上連續(xù)在有界閉區(qū)域設(shè)函數(shù). ),(,),(. 1DyxfDyxfkyxfyxPDkyxfkyxfyxfyxfDyxPyxPDyxf),( ),(. ),(),( ),(),(),( ),(,),(. 20000022112211222111使得中的點(diǎn)必存在的實(shí)數(shù)則對任何滿足不等式中兩點(diǎn)，且為與上連續(xù)在有界閉區(qū)域介值定理：設(shè)函數(shù)

11、25均為連續(xù)函數(shù)，商（分母不為零）連續(xù)函數(shù)的和，差，積 . 3連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是. 4是連續(xù)的定義區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)都一切多元初等函數(shù)在其 . 526偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)第第二二節(jié)節(jié) .偏導(dǎo)數(shù)的定義及其算法一.27同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.28如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一

12、點(diǎn)),(yx處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.29偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzy

13、yxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 30處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在求求例例)2 , 1(3:122yxyxz yxyz23 21yxxz21yxyz,82312.72213 ,32yx 把把 y 看成常量看成常量把把 x 看成常量看成常量 xz:解31xz解：;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 32zyxrrrzyxr,3222求：例rxzyxxrx 22222解：解：rzrryrzy 330242yxyxzyzxez求證：例212yezyxx證：)2(32yxezyxy0)2(122232

14、yxyxeyxyeyxyxzyzx23466PxTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點(diǎn)為曲面設(shè)yxfzyxfyxM35偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，)00

15、lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(00 xxxxfxff36偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：、 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 37內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域設(shè)函數(shù)Dyxfz),(),(yxfxzx 的二階偏導(dǎo)數(shù)就叫它們是函數(shù)),(yxfz ),(yxfyzy .數(shù)也存在如果是兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)的函數(shù)yxyxfyxfD

16、yx,),(),(一般仍是內(nèi)顯然在二、高階偏導(dǎo)數(shù)38),(22yxfxzxzxxx),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx),(22yxfyzyzyyy3933222222xzyzyxzxyzxz及求yyyxxz32233:解xxyyxyz23922226xyxz196222yyxxyz131323yxxyyxz：設(shè)例196222yyxyxzxyxyz182322402336 yxz從上述例子中得到xyzyxz22.我們說并不是如此都具有此性質(zhì)，是否所有的二階偏導(dǎo)數(shù)41定理：導(dǎo)數(shù)必相等在該區(qū)域這兩個(gè)二階偏則內(nèi)連續(xù)在區(qū)域及.22Dxyzyxz的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)如果),(yxfz

17、 42滿足方程其中：證明例222,1 2zyxrru0222222zuyuxu322221rxzyxxrxrruxu證：xrrxrrxxxu43322312224331zyxxrxr52331rxr43由對稱性得：5232231ryryu5232231rzrzu0)(3352223222222rzyxrzuyuxu方程這個(gè)方程叫作拉普拉斯44全微分第三節(jié).)()()(xoxAxfxxfy對于一元函數(shù)增量可可微微 的的全全增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)定定義義：設(shè)設(shè)),(),(yxyxfz 可可表表示示為為),(),(yxfyyxxfz yyxBxyxAz),(),(0,0)()(22當(dāng)其中yx全微分的定義一

18、.45),(),(),(yxfzyyxBxyxA稱為即記作的全微分在點(diǎn).),(dzyxyyxBxyxAdz),(),(.內(nèi)可微分那么稱這函數(shù)在內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，如果函數(shù)在區(qū)域DD處可微在則稱),(),(yxyxfz 有關(guān)而僅與不依賴于yxyxBA,46是可微的例：證明：xyyxfz),(),(),(:yxfyyxxfz解yxyyxx)(yxyxxyyxyx2222)()()()(yxyxyxyxxyyBxA47xByA,其中：22)()(yxyx（由第一節(jié)例）時(shí)0000yxyxxydzyxxyz.),(處可微在高階無窮小差一個(gè)比全微分與全增量之間相xyxy4870.P偏增量偏微分得得增增量量與

19、與微微分分的的關(guān)關(guān)系系，可可根根據(jù)據(jù)一一元元函函數(shù)數(shù)微微分分學(xué)學(xué)中中xyxfyxfyxxfx ),(),(),(yyxfyxfyyxfy ),(),(),(的的偏偏微微分分和和對對做做二二元元函函數(shù)數(shù)對對偏偏增增量量，而而右右端端分分別別叫叫的的和和做做二二元元函函數(shù)數(shù)對對上上面面兩兩式式的的左左端端分分別別叫叫yxyx49AxfxfxoxAdyxfy)( .)( )()(且存在則可微若在一元函數(shù)中)(必要條件定理yyxfxyxfdzyxfyxByxfyxAyxfyxfyxyxyxfzyxyxyx),(),(),(),(),(),(.),(),(),(,),(),(即且存在及的偏導(dǎo)數(shù)則該函數(shù)在

20、點(diǎn)可微分在點(diǎn)若函數(shù)dyyzdxxzdyyxfdxyxfdzyx ),(),(50，不一定可微而二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微是一回事對一元函數(shù)來說可導(dǎo)與000),(:12222yxyxyxxyyxfz例0)0,0(0)0,0()0,0(yxff及處有在點(diǎn))(可用定義求得51可微在設(shè))0 , 0(),(yxfyfxfyxyxzyx)0 , 0()0 , 0()()(:22則不可微在明接下來我們用反證法說)0 , 0(),(yxf2222)()()()(yxyxyx22)()(yxyx0, 0, 0 ,0但時(shí)當(dāng)yx矛盾處不可微在)0 , 0(),(yxf52（充充分分條條件件）定定理理 2則則函函數(shù)數(shù)在在

21、該該點(diǎn)點(diǎn)可可微微分分連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),(),(),(yxyxfyxfyxfzyx 立立呢呢？答答：不不一一定定此此定定理理的的逆逆定定理理是是否否成成 01sin)(),(32222yxyxyxf：例例0022 yxyx點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)但在但在點(diǎn)存在點(diǎn)存在在在可微可微在在)0 , 0()0 , 0(),(),(.)0 , 0(yxfyxfyx53與可微的關(guān)系。存在）續(xù)，可導(dǎo)（兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)了解二元函數(shù)在一點(diǎn)連非必要條件。分又可導(dǎo)與連續(xù)之間既非充導(dǎo)和連續(xù)的充分條件，件，而可微是可可導(dǎo)僅是可微的必要條導(dǎo)數(shù)連續(xù)）偏一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，一個(gè)條件（此條件亦可降為分偏

22、導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充二元函數(shù)在一點(diǎn)，兩個(gè).的推導(dǎo)關(guān)系：可用簡圖表示它們之間偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微可導(dǎo)連續(xù)極限存在54.:222的全微分計(jì)算函數(shù)例yyxzyxyzxyxz2 2 :2解dyyxxydxdyyzdxxzdz)2(22.(2,1):3處的全微分在點(diǎn)計(jì)算函數(shù)例xyez xyxyxeyzyexz : 解2122122 eyzexzyxyxdyedxedzyx2212255應(yīng)應(yīng)用用全全微微分分在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的二二.近近似似等等式式都都較較小小時(shí)時(shí)，就就有有并并且且連連續(xù)續(xù)和和的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)|,|.),(),(),(),(yxyxfyxfyxPyxfzyx yyxfx

23、yxfdzzyx ),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(56的近似值：求例322)97.1 ()02.2(1322yxz解：令03. 02,02. 02yyxx33222222)(32)(32yxyyzyxxxz322)97. 1 ()02. 2(99667. 1)03. 0()22(32202. 0)22(322223222322232257體積變化的近似值求此圓柱體減少到，高度由增大到發(fā)生變形，它的半徑由：有一圓柱體，受壓后例,9910005.20202cmcmcmcmvhr和高和體積依次為解：設(shè)圓柱體的半徑，,hrv2則hvrvdvvhrhrrhr22

24、代入把110005. 020hhrr)(200) 1(2005. 020232cmv得3200 cm 約約減減少少了了即即此此圓圓體體在在受受壓壓后后體體積積58則則多多元元復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法第第四四節(jié)節(jié).)()()(xfyxuufy 對對于于一一元元函函數(shù)數(shù)dxdududydxdy 有有),(),(),(.yxvyxuvufz若對于二元函數(shù)),(),(yxyxfz導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式呢呢？是是否否也也有有復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的偏偏59定定理理：且可用下列公式計(jì)算個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在的兩在點(diǎn)函數(shù)合具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)在對應(yīng)點(diǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及對具有對都在點(diǎn)及如果.),(),(),(),(),(,)

25、,(),(),(yxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxuxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 60 xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 且可用下列公式計(jì)算個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在的兩在點(diǎn)函數(shù)合具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)在對應(yīng)點(diǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及對具有對都在點(diǎn)及如果.),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(yxyxwyxyxfzwvuwvufzyxyxyxwwyxvyxu61幾幾種種特特殊殊情情況況：只只有有一一個(gè)個(gè)中中間間變變量量 1處有偏導(dǎo)數(shù)存在在數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而如果),(,),(),(),(yxyxyxfzyxuyxufzxfx

26、uufxz 且且yfyuufyz 62),(yxufz ),(yxu ,),(yxyxfz , xv 令, yw , 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 63只只有有一一個(gè)個(gè)自自變變量量 2可導(dǎo)且點(diǎn)在偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)在對應(yīng)點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)都在如果ttwttfzwvuwvufzttwwtvtu)(),(),(),(),(.)(),(),(dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 64xvvzxuuzxz解：1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvzyuuzyz 1cossin vexveuu)cos

27、()sin(yxeyxxexyxy 例例 1 1 設(shè)設(shè) vezusin ，而，而 xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . . 65xfxuufxz解：2222222sin22uyxuyxxeyxue.)sin21 (22422sin2xxyxeyxxyfyuufyz2222222)(cos22uyxuyxyeyxue .)2sin2(2422sin4xxyxeyxy66例例 3 3 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而，而teu ，tvcos ， 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù)dtdz. . tzdtdvvzdtduuzdtdz解：ttuevtcossin ttetettcossincos.cos)sin(co

28、stttet67sincos),(. 4ryrxyxfz其中例22222)(1)()()( zrrzyzxz證證明明：sincosyzxzryyzrxxzrz證：yyzxxzz)cos()sin(ryzrxz222)(1)(zrrz222)cossin(1)sincos(yzrxzrryzxz68)(coscossin2)(sin122222222yzryzxzrxzrr22)()(yzxz2222sin)(sincos2cos)(yzyzxzxz6922211)(5yzyzyxzxyxyz可微，求證：例22)(yxuuyz證：uuyyyuyxyxyzyxzx)2(1)(12111222)()

29、(1yzyyxuyxyxzu2)2()(yyuyzu70yxyxzzeyxfzf,),(622求可微：設(shè)例veuyxxy22證：令yefxfxzxyvu2212feyfxxyxefyfyzxyvu )2(212fexfyxy71zxwxwfxyzzyxfw2),(7及求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，：設(shè)例zyxvzyxu解：令xvvfxuufxw211fzyfzyffvuzfzyfyzfzxwvvu2zvvfzuufzfuuu12111fxyfxyffuvuuzvvfzuufzfvvv22211fxyfxyffvvvu72)(2221212112fxyfyzfyfxyfzxw22221211)(fyfz

30、xyfzxyf73全全微微分分形形式式不不變變性性dvvzduuzdzvufz 則則具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)：函函數(shù)數(shù).),(),(),(,yxvyxuyxvu的函數(shù)又是如果的全微分為),(),(yxyxfzdyyzdxxzdz則復(fù)合函數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且這兩個(gè)函數(shù)也具有連.74dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()()()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz叫做全微分形式不變性這個(gè)性質(zhì)式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形或中間變量的函數(shù)是自變量由此可見：無論.,vuvuz75解利用全微分形式不變性例 . 8dvveduveveddzuuucossin)sin(解：dy

31、xdxyxyddu)(代入上式dydxdv)(cos)(sindydxvedyxdxyvedzuuyzxzyxvxyuvezu和求而sindyyxexyxedxyxeyyxexyxyxyxy)cos()sin()cos()sin(76)cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxy結(jié)結(jié)果果相相同同同同例例.177隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第五節(jié) 一個(gè)方程式的情形一.022.0),(yxxyxyyxF例函數(shù)叫做隱函數(shù)的函數(shù)，這種為確定由方程0),(0),(,),(),(000000000zyxFzyxFFFFzyxzyxFzzyx且導(dǎo)數(shù)的某一領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)偏在設(shè)隱函數(shù)存在定理

32、：內(nèi)單值連續(xù)某一領(lǐng)域的它在存在唯一的函數(shù)則Dyxyxfz),(),(100780),(,2yxfyxF000),(3zyxf85 ,),(4pFFyzFFxzyzxzDyxfzzyzx且內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在79dxdyxyyxFyx求例022),(. 12ln22ln2yxyxxyFFdxdy解：yzxzzyx,161224. 2222求例0161224),(222zyxzyxF解：令3 6 12zFyFxFzyx80zxzxFFxzzx4312zyzyFFyzzy23681dzyxfzzyx的全微分所確定的函數(shù)求由方程例),(1coscoscos. 322201coscoscos),(222zy

33、xzyxF解：zzxxzzxxFFxzzxsincossincossincos2sincos2zzyyFFyzzycossincossindyyzdxxzdzdyzzyydxzzxxsincoscossinsincossincos82方方程程組組的的情情況況二二.的函數(shù)是考慮方程組yxvuvuyxGvuyxF, 0),(0),(86.P隱函數(shù)存在定理）式）雅可比（所組成的函數(shù)行列式（且偏導(dǎo)數(shù)又量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一領(lǐng)域內(nèi)具有對各個(gè)變的某在點(diǎn)設(shè)JacobivuyxGvuyxFvuyxPvuyxGvuyxF. 0),(, 0),(.),(),(),(000000000000vGuGvFuFvuGFJ),

34、(),(83不等于零在點(diǎn)),(0000vuyxP并有它們滿足條件，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)確定一組單值連續(xù)且的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一),(),(),(),(000000yxvvyxuuyxvvyxuuvvuuvvyyvvuuvvxxGFGFGFGFyuGFGFGFGFxu),(0),(0),(0000vuyxvuyxGvuyxF在點(diǎn)則方程組vvuuyyuuvvuuxxuuGFGFGFGFyvGFGFGFGFxv84xvxuvuzyxvuzyx求：設(shè)例114222220220020001xvvxuuxxvxu解：xxvvxuuxvxu222185uvvxuvxvvuvxxu222221212121uvx

35、uuvuxvuxuxv222221212121dxdzdxdyzyxyxz求設(shè) 2032) 1.(1022222 0642022dxdzzdxdyyxdxdzdxdyyx 26422xdxdzzdxdyyxdxdzdxdyy87法法多多元元函函數(shù)數(shù)的的極極值值及及其其求求第第八八節(jié)節(jié).值值，最最小小值值多多元元函函數(shù)數(shù)的的極極值值及及最最大大一一.稱為極值點(diǎn)值極大值和極小值稱為極值小大處取得極在則稱且若的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義在定義：設(shè)),.(),(),(),(),(),(0,),(),(),(),(000000000000yxyxyxfyxyxMyxyxfyxfyxMyxf有有極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)

36、：例例)0 ,0(43122yxz )0 , 0(043 .)0 , 0(22fyx 周周圍圍函函數(shù)數(shù)值值均均為為正正解解：在在88點(diǎn)點(diǎn)有有極極大大值值在在例例)0 ,0(.222yxz 點(diǎn)點(diǎn)為為極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)解解：)0 , 0()0 , 0(022 fyx是是極極小小點(diǎn)點(diǎn)，既既不不是是極極大大，也也不不在在：例例)0 , 0(3xyz 1101p（必要條件）定理0),(0),(.),(),(0000000 yxfyxfyxMyxfzyx則則有有極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)可可微微分分的的函函數(shù)數(shù)),(),(),(),(),(0),(),(),(00000000yxfyxfyxyxMyxyxMyxf

37、 則則對對取取到到極極大大值值在在證證：設(shè)設(shè)89),(),(0000yxfyxfyy 也也有有取取看看成成一一元元函函數(shù)數(shù)因因此此把把),(0yxf0),(00yxfx0),(00 yxfy同同樣樣可可知知：數(shù)取得極值必有取得極大值，由一元函在0 xx 90的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)我我們們稱稱它它為為函函數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)同同時(shí)時(shí)成成立立的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)：能能使使),(),(0),(, 0),(00yxfyxyxfyxfyX .不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)值值點(diǎn)點(diǎn)必必是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但駐駐點(diǎn)點(diǎn)具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)的的極極在在點(diǎn)點(diǎn)并并無無極極值值數(shù)數(shù)是是這這函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但函函點(diǎn)點(diǎn)例例)0 , 0(

38、)0 , 0(xyz 為為極極值值點(diǎn)點(diǎn)呢呢？怎怎樣樣判判斷斷一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)是是否否911111102p（充分條件）定理0),(0),(.),(),(000000 yxfyxfyxPyxfzyx又又設(shè)設(shè)和和二二階階的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的某某領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)2000000),(),(),(BACDyxfCyxfByxfAyyxyxx 記記取得極小值點(diǎn)在時(shí)或而當(dāng)取得極大值在時(shí)或則當(dāng)若),( ),(,)0(0 ),( ),(,)0(0,010000yxPyxfCAyxPyxfCAD的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)不不是是則則若若),(),(, 0200yxfyxPD 92步步討

39、討論論否否取取得得極極值值，需需要要進(jìn)進(jìn)一一處處是是在在不不能能肯肯定定若若),(),(, 0300yxPyxfD 處處是是否否取取得得極極值值在在：討討論論例例)0 , 0(42xyz 處處在在解解：)0 , 0(22xyzyzyx 0 yxzzxzCyzBzAyyxyxx220 0)0 , 0(2 BAC處在0)0 , 0( z處處在在的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不不是是故故可可負(fù)負(fù)可可正正附附近近而而在在2)0 , 0(,),()0 , 0(xyzyxfz 93處處是是否否取取得得極極值值在在：討討論論例例)0 , 0()(5222yxz )(4)(42222yxyzyxxzyx 解解：xyzy

40、xzxyxx841222 22124yxzyy 00000 CBAzzyx）處處，在在（02BAC取取得得極極小小值值在在但但)0 , 0()(222yxz 94111p求極值的步驟求求得得一一切切駐駐點(diǎn)點(diǎn)解解方方程程組組 0),(0),(.1yxfyxfyxCBAyx和和值值求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的對對于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn),),(. 200還還是是極極小小值值是是否否是是極極值值，是是極極大大值值的的結(jié)結(jié)論論判判定定的的符符號(hào)號(hào)，按按定定理理定定出出),(2. 3002yxfBAC 95的極值點(diǎn)確定函數(shù)例 933),(. 62233xyxyxyxf)2 , 3(),0 , 3()

41、,2 , 1(),0 , 1( 駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為66),( xyxfAxx0),( yxfBxy66),( yyxfCyy有極小值而處在0120612)0 , 1 (2ABAC故無極值處在. 0)6(12)2 , 1 (2 BAC 063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx解解：令令96故無極值處在. 06)12()0 , 3(2BAC有極大值而處在012. 0)6()12()2 , 3(2ABAC)2 , 3()0 , 1 (和極值點(diǎn)為97的極值求的函數(shù)確定由例zyxfzzyxzyx).,(010422. 72220422204222yyxxzzzyzzzx解：61121100zyx

42、zyxzzyx令04220042)(22042)(2222xyxyxyyyyyyxxxxxzzzzzzzzzzzzz98zzzzzzzzzzyyyyxxyxxx2)(122)(12241041)6 , 1, 1 (CBA處在604101612有極大值A(chǔ)BAC41041)2, 1, 1 (CBA處在2001612有極小值A(chǔ)BAC99最最大大值值和和最最小小值值數(shù)數(shù)的的利利用用函函數(shù)數(shù)的的極極值值來來求求函函象象一一元元函函數(shù)數(shù)一一樣樣，可可以以112),(PDDyxf值大值，最小的就是最小最比較，其中最大的就是的最大值和最小值相互的邊界上值及內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)在數(shù)值的一般方法是：將函求函數(shù)的最大值和最小上上的的最最大大值值（最最小小值值）在在值值就就是是函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)可可以以肯肯定定該該駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函內(nèi)內(nèi)只只有有一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)，那那么么在在知知道道，如如果果根根據(jù)據(jù)問問題題的的性性質(zhì)質(zhì)在在通通常常遇遇到到實(shí)實(shí)際際問問題題中中DyxfD),(100長方體中，求體積最大的內(nèi)接在橢球例1. 8222222czbya