第14章_電流第一部分

1、第第14章章第第14章主要內(nèi)容章主要內(nèi)容14.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)14.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換14.4 動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型（運(yùn)算電路）動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型（運(yùn)算電路）14.5 利用復(fù)頻域法分析動(dòng)態(tài)電路利用復(fù)頻域法分析動(dòng)態(tài)電路第第14章基本要求章基本要求1.了解拉普拉斯變換的基本概念以及了解拉普拉斯變換的基本概念以及常見函數(shù)的拉普拉斯正變換；常見函數(shù)的拉普拉斯正變換；2. 利用拉普拉斯變換的基本定理，拉普利用拉普拉斯變換的基本定理，拉普拉斯變換表以及部分分式展開法對(duì)常見拉斯變換表以及部分分式展開法對(duì)常見函數(shù)進(jìn)行

2、拉普拉斯反變換；函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換；3. 掌握利用拉普拉斯正反變換求解線性掌握利用拉普拉斯正反變換求解線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析法。動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析法。 第第14章章 第一講：拉普拉斯變換的定義、第一講：拉普拉斯變換的定義、基本性質(zhì)及拉普拉斯反變換基本性質(zhì)及拉普拉斯反變換 在高等數(shù)學(xué)中，為了把復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化在高等數(shù)學(xué)中，為了把復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為較簡單的計(jì)算，往往采用變換的方法，為較簡單的計(jì)算，往往采用變換的方法，拉拉普拉斯變換普拉斯變換(簡稱拉氏變換簡稱拉氏變換)就是其中的一種。就是其中的一種。 拉氏變換拉氏變換是分析和求解常系數(shù)線性微分是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的常用方法。用拉普拉斯

3、變換分析綜合方程的常用方法。用拉普拉斯變換分析綜合線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(如線性電路如線性電路)的運(yùn)動(dòng)過程，在工程上的運(yùn)動(dòng)過程，在工程上有著廣泛的應(yīng)用。有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯變換拉普拉斯變換本章與其它章節(jié)的聯(lián)系及特點(diǎn)本章與其它章節(jié)的聯(lián)系及特點(diǎn)1 本章講述基于拉氏變換的動(dòng)態(tài)電路的分析方法，稱本章講述基于拉氏變換的動(dòng)態(tài)電路的分析方法，稱為為運(yùn)算法運(yùn)算法；主要解決一般動(dòng)態(tài)電路、特別是高階動(dòng)；主要解決一般動(dòng)態(tài)電路、特別是高階動(dòng)態(tài)電路的分析問題；態(tài)電路的分析問題；2 是變換域分析方法（相量法）思想的延續(xù)，把時(shí)域是變換域分析方法（相量法）思想的延續(xù)，把時(shí)域問題變換為復(fù)頻域問題。問題變換為復(fù)頻域問題。3 具有兩

4、個(gè)特點(diǎn)：一是把時(shí)間域的高階微分方程變換具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是把時(shí)間域的高階微分方程變換關(guān)為復(fù)頻域的代數(shù)方程；二是將電流和電壓的初始值關(guān)為復(fù)頻域的代數(shù)方程；二是將電流和電壓的初始值自動(dòng)引入代數(shù)方程中，在變換處理過程中，初始條件自動(dòng)引入代數(shù)方程中，在變換處理過程中，初始條件成為變換的一部分，所以成為變換的一部分，所以比求解時(shí)域微分方程更有規(guī)比求解時(shí)域微分方程更有規(guī)律性，這也是應(yīng)用廣泛的一個(gè)原因。律性，這也是應(yīng)用廣泛的一個(gè)原因。 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)其核心是把時(shí)間函數(shù) f(t) 與復(fù)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù) F(s) 聯(lián)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)

5、學(xué)變換轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)頻域問題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻頻域問題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)運(yùn)算法算法。復(fù)復(fù)頻域分析法（運(yùn)算法）頻域分析法（運(yùn)算法） 對(duì)于一階電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的對(duì)于一階電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根據(jù)換路后動(dòng)態(tài)元件的初值求列出微分方程，根據(jù)換路后動(dòng)態(tài)元件的初值求解微分方程。對(duì)于含有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件的復(fù)雜電路，解微分方程。對(duì)于含有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件的復(fù)雜電路，用經(jīng)典的微分方

6、程法來求解比較困難（各階導(dǎo)數(shù)在用經(jīng)典的微分方程法來求解比較困難（各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)刻的值難以確定）。時(shí)刻的值難以確定）。拉氏變換法拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時(shí)域的高階微分方程變換為的積分變換方法，可將時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解。頻域的代數(shù)方程來求解。優(yōu)點(diǎn)：不需要確定積分常數(shù)，適用于優(yōu)點(diǎn)：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電路。高階復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電路。一些常用的變換一些常用的變換對(duì)數(shù)變換對(duì)數(shù)變換ABBAABBAlglglg 乘法運(yùn)算變換乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算為加法運(yùn)算相量法相量法IIIiii2121 相量正弦量時(shí)域的正弦運(yùn)算時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)

7、數(shù)運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算拉氏變換拉氏變換F(s)( (頻域象函數(shù)頻域象函數(shù)) )對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)f(t)( (時(shí)域原函數(shù)時(shí)域原函數(shù)) )14-1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義定義式：設(shè)有一定義式：設(shè)有一個(gè)定義在個(gè)定義在0,)區(qū)間的時(shí)區(qū)間的時(shí)間函數(shù)間函數(shù)f(t)，其拉普拉斯變換式定義為：其拉普拉斯變換式定義為： tdetfsFt s0)()(其中，其中，s=+j 是復(fù)參變量，稱為復(fù)頻率。是復(fù)參變量，稱為復(fù)頻率。F(s)稱為稱為f(t)的象函數(shù)，的象函數(shù)， f(t)稱為稱為F(s)的原函的原函數(shù)；數(shù)；拉普拉斯變換拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換。簡稱為拉氏變換。積分變換積分變換 0 )()(dtetfsFs

8、t 上式是拉氏變換的定義式。由定義式可知：一個(gè)時(shí)域函數(shù)通過拉氏變換可成為一個(gè)復(fù)頻域函數(shù)。式中的e-st稱為收斂因子收斂因子，收斂因子中的s=+j是一個(gè)復(fù)數(shù)形式的頻率，稱為，其實(shí)部恒為正，虛部既可為正、為負(fù)，也可為零。上式左邊的，是的拉氏變換， F(s)也叫做f(t)的。記作)()(tfLsFF(s)= f (t) 0 )()(dtetfsFst 式中式中L 是一個(gè)算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的是一個(gè)算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換。電路分析中所遇到的電函數(shù)進(jìn)行拉氏變換。電路分析中所遇到的電壓、電流一般均為時(shí)間的函數(shù)，因此其拉氏壓、電流一般均為時(shí)間的函數(shù)，因此其拉氏變換都是存在的。變換都是存在的。)(

9、)(tfLsFsdesFjtfjcjcts)(21)(c為正的有限常數(shù)。為正的有限常數(shù)。拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下F(s)=Lf(t) ； f(t)=L-1F(s)如果復(fù)頻域函數(shù)如果復(fù)頻域函數(shù)F(s) 已知，要求出與它對(duì)應(yīng)的已知，要求出與它對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)時(shí)域函數(shù)f(t) ，又要用到，又要用到拉氏反拉氏反(逆逆)變換變換，即：，即： 式中式中L-1 也是一個(gè)算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)也是一個(gè)算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換。的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換。 在拉氏變換中，一個(gè)時(shí)域函數(shù)在拉氏變換中，一個(gè)時(shí)域函數(shù)f(t)唯一地對(duì)唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)頻域函數(shù)應(yīng)一個(gè)復(fù)頻域函數(shù)F(s

10、)；反過來，一個(gè)復(fù)頻；反過來，一個(gè)復(fù)頻域函數(shù)域函數(shù)F(s)唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)域函數(shù)唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)域函數(shù)f(t)，即，即不同的原函數(shù)和不同的象函數(shù)之間有著一一不同的原函數(shù)和不同的象函數(shù)之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系對(duì)應(yīng)的關(guān)系，稱為，稱為。在拉氏變換或反變換的過程中，在拉氏變換或反變換的過程中，而而如電壓原函數(shù)為如電壓原函數(shù)為，對(duì)應(yīng)象函數(shù)為，對(duì)應(yīng)象函數(shù)為。拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下F(s)=Lf(t) ； f(t)=L-1F(s)一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù)1、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù) (t)= 0 ，t02、階躍函數(shù)、階躍函數(shù) f (t)=K(t)= 0 ， t0 單位階

11、躍函數(shù)有時(shí)用單位階躍函數(shù)有時(shí)用1(t)表示。表示。幾種常見的函數(shù)幾種常見的函數(shù)3、延遲階躍函數(shù)、延遲階躍函數(shù) f (t)=K(tt0)= 0 ， t t0幾種常見的函數(shù)幾種常見的函數(shù)二、沖激函數(shù)二、沖激函數(shù)2、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù)0( )00ttt00( )1t dt 00100tPtt 1、單位脈沖函數(shù)、單位脈沖函數(shù)沖激函數(shù)的兩個(gè)主要性質(zhì)沖激函數(shù)的兩個(gè)主要性質(zhì)（1）ttdtt)()()()(tdttd( ) ( )(0) ( )f ttft( ) ( )(0)( )(0)f tt dtft dtf（2）篩分性質(zhì)）篩分性質(zhì)001)( dtt例例1：利用定義求解下列：利用定義求解下列 常用

12、函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換 dteeeLstatat 00)(1 taseasas 1 )()(0dtetfsFst)()(. 1ttf )()(. 2tetfat )()(. 3ttf 0)()(dtettLst 00)( dtt = 1 01stes 0)()(dtettLst 0dtests1 (t)s1 e-at=s+a1 (t)114-2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì) af1(t)bf2(t)=a f1(t)b f2(t) =aF1(s)bF2(s)說明：說明：若干個(gè)原函數(shù)的線性組合的若干個(gè)原函數(shù)的線性組合的象函數(shù)，等于各個(gè)原函數(shù)的象函數(shù)的

13、線象函數(shù)，等于各個(gè)原函數(shù)的象函數(shù)的線性組合。性組合。例例2：求：求sint 的象函數(shù)的象函數(shù) 。jeettjtj2sin2121tjtjejejLtnisL21tjtjeLeLj)jsjs(j 11212222221ssjj e-at=s+a1tjtetjsincos)2(costjtjeettnisL2、時(shí)域?qū)?shù)、時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)性質(zhì) :設(shè)設(shè)Lf (t)=F(s)，則有則有)0()()0()()(fsFsftfLstftddLf(t)的二階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)，可重復(fù)利用微分定理的二階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)，可重復(fù)利用微分定理 =ssLf(t)-f(0-) f (0-) =s2 F(s)-sf(0-) f (0-

14、) )0()()(22ftftddLStftddL)0()()(fsFstfL時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)f(t)的的n階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)應(yīng)為階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)應(yīng)為 )0()0()0()0()( )() 1(0)2(21nnnnnnnfsfsfsfstfLstftddL)(sin(1)cos() 1:tdtdLtL解例例3：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。).()()2);cos()()1ttfttf )()()2tdtdt由于)0(122ss22ss)()(tdtdLtLstL1)(01ss1)0()()(fsFstftddL)cos( tL3.頻域?qū)?shù)性質(zhì)頻域?qū)?shù)性質(zhì)

15、dssdFttfL)()(則：)()(sFtfL設(shè)：)1(sdsd)(4ttL：例21s)1(asdsd5atteL：例2)(1as4、積分、積分性質(zhì)性質(zhì) :設(shè)設(shè)Lf (t)=F(s)，則有則有)(1)(1)(0sFstfLstdtfLt20111)(1)()(ssstLstdtLttLt例例6：3202111)(1)()(2sssttLstdttLttLt5.時(shí)域延遲性質(zhì)時(shí)域延遲性質(zhì)f(t) (t)ttf(t-t0) (t-t0)t0)()()(000sFettttfLst則：0)()()(00ttfttsFtfL時(shí)，當(dāng)設(shè)：此性質(zhì)表明此性質(zhì)表明f (t)推遲推遲t0出現(xiàn)，則象函數(shù)應(yīng)乘以出現(xiàn)，

16、則象函數(shù)應(yīng)乘以一個(gè)時(shí)延因子一個(gè)時(shí)延因子 。0tse 例例7 求圖示矩形脈沖的象函數(shù)求圖示矩形脈沖的象函數(shù)1Ttf(t)()()(Ttttf sTesssF11)(TTf(t)()()(Tttttf 221)(sessFsT)()()(000sFettttfLst0-1積分積分 )(t )( t )( tt )( ttn 1 1 S2s1 1! nsn )(sintt )(costt )(e t-t )(sine t-tt )(et-ttn 22s22sSs122)(s1)(!nsn小結(jié)：小結(jié)：)()()(000sFettttfLst微分微分回顧回顧常用信號(hào)的象函數(shù)常用信號(hào)的象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)象

17、函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)象函數(shù)1s t ttsintcos ttesintetcostettte11s22s22ss22s22ss21s21s(1)利用定義利用定義dsesFjtfstjcjc)(21)(2)對(duì)對(duì)F(s)進(jìn)行部分分式展開進(jìn)行部分分式展開)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 14-3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 利用拉普拉斯反變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，常利用拉普拉斯反變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要從象函數(shù)常需要從象函數(shù)F(s)中求出原函數(shù)中求出原函數(shù)f(t)，這就要，這就要用到拉氏反變換。求解反變換的方法如下：用到拉氏反變換。求解反變換的方

18、法如下：利用拉氏變換表，將象函數(shù)F(s)展開為簡單分式之和，再逐項(xiàng)求出其拉氏反變換的方法。nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()( 其中其中m和和n為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且nm。 把把F(s)分解成若干簡單項(xiàng)之和，需要對(duì)分母分解成若干簡單項(xiàng)之和，需要對(duì)分母多項(xiàng)式作因式分解，求出多項(xiàng)式作因式分解，求出D(s)的根。的根。D(s)的根可的根可以是單根、共軛復(fù)根和重根以是單根、共軛復(fù)根和重根3種情況，下面逐一種情況，下面逐一討論。討論。nn2211)(ssksskssksF 1)()(11sssFssk2)()(22sssFssknssnnsFssk)()

19、(1D(s)有有n個(gè)單根個(gè)單根同理可得同理可得 設(shè)設(shè)n個(gè)單根分別為個(gè)單根分別為s1、s2、sn ，于是，于是F2(s)可以展開為可以展開為式中式中k1、k2、k3、kn 為待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按為待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按下述方法確定，即把上式兩邊同乘以下述方法確定，即把上式兩邊同乘以 (s-s1)，得，得令令s=s1，則等式除右邊第一項(xiàng)外其余都變?yōu)榱悖纯汕蟮茫瑒t等式除右邊第一項(xiàng)外其余都變?yōu)榱?，即可求?()()(sDsNsFnnssksskssksF 2211)()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss nn2211)(ssksskssksF 1D(s)有有n個(gè)單根個(gè)單根)()(1s

20、FLtf 待定系數(shù)確定之后，對(duì)應(yīng)的原函數(shù)求解公式為待定系數(shù)確定之后，對(duì)應(yīng)的原函數(shù)求解公式為：tsntstsnekekek2121nn22111sskssksskL iississiisDsssNsFssk)()()()()()()(limsDsNsssNissi)()(iisDsN不定式不定式00 另外把分部展開公式兩邊同乘另外把分部展開公式兩邊同乘以以(s-si),再令再令ssi，然后引用數(shù)學(xué)中的羅比塔法則，可得：然后引用數(shù)學(xué)中的羅比塔法則，可得：nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()(tsntstsnekekeksFLtf21211)()( 待定

21、系數(shù)確定之后，對(duì)應(yīng)的原函數(shù)求解公式為待定系數(shù)確定之后，對(duì)應(yīng)的原函數(shù)求解公式為：6554)(:2ssssF例3221sksk21354sssk3725432sssktteetf3273)(3723)(sssF065)(2sssD：令解3, 221ss則)()()(sDsNsF)3)(2(54sss1)()(11sssFssk2) 3)(2(54)2(sssss6554)(:2ssssF例tteetf3273)(52)(ssD065)(2sssD：令解3, 221ss則35254)()(211ssssssDsNk75254)()(322ssssssDsNk)()()(sDsNsF32)(21sks

22、ksF3221sksk例例。的原函數(shù)的原函數(shù)求求)(10712)(23tfsssssF 解：令解：令D(s)=0，則則 s1 = 0，s2=2，s3=5 10143)(2 sssD1 . 01014312)()(0211sssssssDsNktteetf526 . 05 . 01 . 0)( 332211)(ssksskssksF5 . 01014312)()(2222sssssssDsNk6 . 01014312)()(5233sssssssDsNk有共軛復(fù)根，設(shè)0)(. 2sDmnjs2, 1)()()()()()(sQjsjssNsDsNsF)()(21sQsPjskjskjsjssDs

23、NsFjsk)()()()(1jsjssDsNsFjsk)()()()(2tjtjekektf)(2)(1)(k1、k2也是一對(duì)共軛復(fù)根也是一對(duì)共軛復(fù)根111211 jjekkekk ，則，則設(shè)設(shè)tjtjekektf)(2)(1)()cos(211tekttjtjtjtjeeekeeek1111)()(111tjtjteeek有共軛復(fù)根，設(shè)0)(. 2sDmnjs2, 1)()()()()()(sQjsjssNsDsNsF)()(21sQsPjskjsk)cos(2)(11tektft共軛復(fù)根中的共軛復(fù)根中的s1虛部一定是正的！虛部一定是正的！。的原函數(shù)求例)(523)(2tfssssF21,

24、 0)(1jssD則解：令 4525 . 0223)()(21211jSjssssDsNk)452cos(2)(1tektft 4525 . 0223)()(21212jSjssssDsNk2211)(sskssksF)452cos(2tet212js 設(shè)設(shè)s1為為D(s)的二重根的二重根，則則F(s)可分解為：可分解為：2111112)()(sskssksF1112121)()()(kksssFss1)()(2111sssFssk1)()(2112sssFssdsdk由上式把由上式把k11單獨(dú)分離出來，可得：單獨(dú)分離出來，可得：再對(duì)式子中再對(duì)式子中s進(jìn)行一次求導(dǎo)，讓進(jìn)行一次求導(dǎo)，讓k12也單

25、獨(dú)分離出來，得：也單獨(dú)分離出來，得：重根有，設(shè)nsDmn0)(. 3 )()()(21sssNsF21)()(sFss12k 如果如果D(s)具有多重根時(shí)，利用上述方法可以具有多重根時(shí)，利用上述方法可以得到各系數(shù)，即：得到各系數(shù)，即：1 )()()!1(11111ssqqqqsFssdsdqk222211) 1() 1(sksksk2) 1(4sss例：4) 1(4)0(021sssssk3) 1(4) 1(12222sssssk1221)() 1(ssFsdsdk441sssdsdttteetf 344)(2222131321211) 1() 1() 1()(sksksksksksF11)() 1(12131