川師 概率論第一章習(xí)題解答

1、習(xí)題一詳細(xì)解答1、某工人加工了三個(gè)零件，設(shè)事件為 “加工的第個(gè)零件是合格品”（），試用表示下列事件：（1）只有第一個(gè)零件是合格品；（2）只有一個(gè)零件是合格品；（3）至少有一個(gè)零件是合格品；（4）最多有一個(gè)零件是合格品。解：（1）（2）（3）（4）2、一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，設(shè)表示“該射手第次射擊時(shí)擊中目標(biāo)”（）。試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?；解?表示前兩次均未擊中目標(biāo)；表示三次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；表示第三次擊中但第二次未擊中；表示后兩次中至少有一次未擊中目標(biāo)；表示三次射擊中至少有兩次擊中目標(biāo)。3、設(shè)和是同一試驗(yàn)的兩個(gè)隨機(jī)事件，求證：證明： 由概率的性質(zhì)和事件的運(yùn)算律，可得：4、已知,

2、（1）當(dāng)互斥時(shí)，;（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，求.5、已知,求,. 解 由，得 .6、設(shè)有事件,已知，,求中至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解 由，得，因此，. .7、袋中有均勻的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球，從中任取兩個(gè)球，求摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率。解：設(shè)“摸出的兩個(gè)球都是紅球”，則8、將一枚均勻的色子拋擲兩次，求兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于8的概率。解：設(shè)A=“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于8”，9、將個(gè)人等可能地分配到間房的每一間中去，試求下列事件的概率：（1）某指定的間房中各有一人；（2）恰有間房各有一人解：因?yàn)榘衙恳粋€(gè)人分配到間房去都有種分法，所以樣本空間中含有個(gè)基本事件。（1） 設(shè)=“某指定的間房中各有一人”，

3、則有種分法。所以；（2）設(shè)=“恰有間房各有一人”，則需要先從間房中選出間房，再把它們分配給個(gè)人，所以有種分法。所以10、一副撲克牌52張（沒(méi)有大小王），從中任意抽取13張，求至少有1張“J”的概率？ 解：設(shè)“任意抽取的13張中至少有1張是J”，樣本空間中樣本總數(shù)為。直接計(jì)算很 麻煩，所以由對(duì)立事件來(lái)計(jì)算，則=“任意抽取的13張中沒(méi)有1張是J”.而中的樣本 點(diǎn)數(shù)是。故 11、在一個(gè)池中有3條魚(yú)甲、乙、丙，這三條魚(yú)競(jìng)爭(zhēng)捕食。設(shè)甲或乙競(jìng)爭(zhēng)到食物的機(jī)會(huì)是， 甲或丙競(jìng)爭(zhēng)到食物的機(jī)會(huì)是，且一次競(jìng)爭(zhēng)的食物只能被一條魚(yú)享用。求哪條魚(yú)是最優(yōu)的捕食 者？ 解：設(shè)分別表示魚(yú)甲、乙、丙競(jìng)爭(zhēng)到食物的事件。由題意得： 因

4、此， 又由題意知， 由上面三個(gè)式子解得：. 所以丙魚(yú)是最優(yōu)的捕食者。 12、將C,C,E,L,I,N,S等7個(gè)字母隨機(jī)排成一排，求恰好排成英文單詞SCIENCE的概率？ 解：設(shè)“排成英文單詞SCIENCE”。 由于兩個(gè)E可以交換，兩個(gè)C可以交換，所以事件A的概率為： 13、設(shè)有任意兩數(shù)和滿足，求的概率。解：試驗(yàn)的樣本空間為區(qū)域，為一個(gè)正方形，面積為1，設(shè)所求事件為，則，的面積為所以14、設(shè)某地區(qū)在歷史上從某次特大洪水發(fā)生后30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80%，在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85%?，F(xiàn)該地區(qū)已30年無(wú)特大洪水，問(wèn)未來(lái)10年內(nèi)該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是多少？解：設(shè)“該地區(qū)從某次特大洪

5、水發(fā)生后30年內(nèi)無(wú)特大洪水”。設(shè)“該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生后40年內(nèi)無(wú)特大洪水”,則所求概率為.又,由條件概率的計(jì)算公式和性質(zhì)，得：15、設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，求解：由互不相容，則又，得 由條件概率的定義得： 16、一批燈泡共100只，次品率為10%。不放回地抽取3次，每次一只，求第三次才取到合格品的概率。解：記=第i次取得合格品（）所求概率為17、兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是，加工出來(lái)的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？解：設(shè)事件表示“取出的零件是第i臺(tái)車床加工的零件”（），事件表示“取

6、出的零件是合格品”，則 由全概率公式，得：18、根據(jù)美國(guó)的一份資料報(bào)道，在美國(guó)患肺癌的概率為。在普通人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為，求不吸煙者患肺癌的概率為多少？解：以記“患肺癌”，以記“吸煙”。由已知得,，故所求概率為,由全概率公式，有19、一個(gè)工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種螺釘，每個(gè)車間生產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，每個(gè)車間中二等品分別占50%、40%、20%。今全廠的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)，發(fā)現(xiàn)是二等品，它恰是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的概率分別是多少？解：記=抽到產(chǎn)品是甲車間生產(chǎn)的， =抽到產(chǎn)品是乙車間生產(chǎn)的， =抽到產(chǎn)品是丙車間生產(chǎn)的，以記“抽到螺釘為二等品

7、”，。由題意知：由貝葉斯公式，得隨機(jī)抽取一個(gè)螺釘發(fā)現(xiàn)是二等品，它恰是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的概率分別為：20、設(shè)有4張同樣的卡片，1張涂上紅色，1張涂上黃色，1張涂上綠色，1張涂上紅、黃、綠三種顏色。現(xiàn)在從這4張卡片中任取一張，用分別表示事件“取出的卡片上涂有紅色”，“ 取出的卡片上涂有黃色”，“ 取出的卡片上涂有綠色”。試判斷三個(gè)事件相互獨(dú)立嗎？解：由已知得：所以有，故三個(gè)事件是兩兩獨(dú)立的。但是，所以三個(gè)事件不是相互獨(dú)立的。21、假定每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.004，混合100個(gè)人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。解：記=第個(gè)人的血清中含病毒，。由經(jīng)驗(yàn)可以判定間是相互獨(dú)立的，題

8、目需求，因間顯然不是兩兩相斥的，用加法公式計(jì)算就很麻煩，我們可以用對(duì)偶原理，將事件的并的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為事件的交的運(yùn)算，從而改用乘法公式。即=1（10.004）=0.33。22、設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中每次試驗(yàn)成功的概率是，問(wèn)需要進(jìn)行多少次試驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于？解：設(shè)需要進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則在次試驗(yàn)至少成功一次的概率為由題意得不等式：解得：所以 23、一射手對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為，求該射手的命中率？ 解：設(shè)該射手的命中率為，由貝努里概型的計(jì)算公式，得： 24、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知兩件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率？ 解：設(shè)“已知兩件中