第9章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(2)

1、1第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)微分法及微分法及其應(yīng)用其應(yīng)用 21. 設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).第六節(jié)第六節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用M.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于;),(0000ttzyxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于設(shè)設(shè)M 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面3考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過(guò)程切線的過(guò)程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzz

2、yyyxxx 4,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) tMM得曲線在得曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切線的方向向量稱為曲線的切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量： )(),(),(000tttT 法平面法平面：過(guò)：過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面,0)()()(000000 zztyytxxt t t t ,000zzzyyyxxx 5解解例例1 1)22, 1, 12( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程. . 點(diǎn)點(diǎn))22, 1, 12( 對(duì)應(yīng)的參數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)2 t, , ，txcos1 ，tysin ，2cos2tz 所以在該點(diǎn)處的切向量為所

3、以在該點(diǎn)處的切向量為 求求曲曲線線ttxsin , ,tycos1 , ,2sin4tz 在在點(diǎn)點(diǎn) ,2, 1, 1 T所求所求切線方程為切線方程為 ,22211112/ zyx 法平面方程為法平面方程為 ，0)22(2112/ zyx .42/2 zyx即即62. 設(shè)空間曲線方程為設(shè)空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為7,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGF

4、FyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為.0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy3. 設(shè)空間曲線方程為設(shè)空間曲線方程為8求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點(diǎn)點(diǎn) 例例2 2)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程. 解解將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 ， 1ddddddddxzxyxxzzxyy，011 zyzyJ解得解得Jzxxy11dd ，zyxz Jxyxz11dd ，zyyx ,0dd Pxy,1dd Pxz9,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,11021

5、1 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx.0 zx由此得切向量由此得切向量 即即101. 曲面方程為曲面方程為0),( zyxF在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M的曲線的曲線,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線nTM并并設(shè)設(shè)0tt 時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)M. 11nTM由由于于曲曲線線在在曲曲面面上上, ,故故有有 ，0)(),(),( tttF 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 ，0)()()( tFtFtFzyx ，0)()()(000 tFtFtFMzMyMx 所以所以而而)(),(),(000ttt 為為

6、曲曲線線上上過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM 的切向量的切向量, ,上式表明它與向量上式表明它與向量,MzMyMxFFFn 垂直垂直. .12 這個(gè)平面稱為曲面在該點(diǎn)的這個(gè)平面稱為曲面在該點(diǎn)的切平面切平面, , 切平面方程為切平面方程為,0)()()(000 zzFyyFxxFMzMyMx通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為 曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線. 法線方程為法線方程為.000MzMyMxFzzFyyFxx n稱稱為為曲曲面面的的法法向向量量, , nTM由由 的的任任意意性性, ,曲曲面面上上所所有有過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)M的的曲曲線線的的切切線線均均在

7、在過(guò)過(guò)M且且以以n為為法法向向的的平平面面上上, , 13求求球球面面14222 zyx在在點(diǎn)點(diǎn))3 , 2 , 1 (0M處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. . 例例3 3解解令令 14),(222 zyxzyxF, , 則則 ,zyxFFFn ，2,2,2zyx 6, 4, 20 Mn，3, 2, 1/所求所求切平面方程為切平面方程為 ，0)3(3)2(2)1( zyx.01432 zyx即即所求法線所求法線方程為方程為 .332211 zyx14),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在

8、M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令xxfF , yyfF , 1 zF, 法法向向量量1, yxffn, , 2. 曲面方程為曲面方程為15)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛處的切平面方程為處的切平面方程為),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyx處的處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增

9、量切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.全微分的幾何意義全微分的幾何意義 16例例4 4求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點(diǎn)點(diǎn))4 , 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx17求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx依題意，切平面方程平行于已

10、知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 例例5 5法法向向量量 6,4,2000zyxn , , 因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足曲面方程滿足曲面方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 2132222 zyx180)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)19練習(xí)：練習(xí)：P45 習(xí)題習(xí)題8-62. 4. 5. 6. 8. 10. 20第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯

11、度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 偏導(dǎo)數(shù)僅僅反映了函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)僅僅反映了函數(shù)),(yxfz 沿沿x軸或軸或y軸軸方向的變化率方向的變化率. .下面考慮函數(shù)下面考慮函數(shù)),(yxfz 沿某個(gè)方向沿某個(gè)方向)sin,(cos l 的變化率的變化率. . oyxlP xyP引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(, pUPlyyxxPlx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) 21 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著

12、l 趨于趨于P 時(shí)，時(shí)，P , z 考慮考慮 ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？oyxlP xyP定義定義若極限若極限 ),(),(lim0000sin:cos:0 yxfyyxxfyx )(22yx 存存在在, ,則則稱稱之之為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處沿沿方方向向 .lz )sin,(cos l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,記記為為 22如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP是是可可微微分分的的, , 那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都 證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，

13、則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以, 得到得到定理定理其其中中 為為 x 軸軸到到方方向向 l 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角. . ， sincosyfxflf 存在存在, , 且有且有23 cos故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf sin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 24求求函函數(shù)數(shù)yxz2e 在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P到到點(diǎn)點(diǎn)) 1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù). 解解;1e)0, 1(2)0, 1( yxz,2e2)0, 1(2)0

14、, 1( yxyz1, 1 PQ,單單位位化化得得 21,21l, , 例例1 1所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù) 212211)0 , 1( lz.21 25求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)沿沿與與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 (1)最大值；最大值； (2)最小值；最小值； (3)等于零？等于零？ 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 例例2

15、 226故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.)4sin(2)1 , 1( lf27求求函函數(shù)數(shù))ln(yxz 在在拋拋物物線線xy42 上上點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處, ,沿沿著著這這拋拋物物線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處偏偏向向x軸軸正正向向的的切切線線方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù). . 解解 sin1cos1)2, 1()2, 1(yxyx 例例3 3，42 yy，1)2, 1( y拋拋物物線線xy42 上上點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處的的切切向向量

16、量( (偏偏向向x軸軸正正向向) )為為 ,11)1(, 1， yT單位化單位化,11210， T sin)2 , 1(cos)2 , 1()1 , 1(yxfflf .32 28對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 三元函數(shù)的方向?qū)?shù)三元函數(shù)的方向?qū)?shù)， coscoscoszfyfxflf 其其中中 ,為為方方向向 L 的的方方向向角角. 29設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(P處的指處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此

17、處沿方在此處沿方向向n的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). 解解令令, 632),(222 zyxzyxFPzyxFFFn, 2, 6, 4 例例4 4，1, 3, 2141/PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 .711 故故PPzuyuxunu)coscoscos( 30定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，都都可可定定出出一一個(gè)個(gè)向向量量jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的梯

18、梯度度，記記為為 二、梯度二、梯度.),(gradjyfixfyxf gradient31在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP處處沿沿方方向向sin,cos l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) 當(dāng)當(dāng)0 , ,即即fflgradgrad 時(shí)時(shí), ,方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)取取到到最最大大值值flzgrad , ,即即沿沿梯梯度度方方向向函函數(shù)數(shù)值值增增加加最最快快; ; cos),(cos),(0000 yxfyxflzyxlyxf ),(grad00， cosgrad f 其中其中),grad(lf 當(dāng)當(dāng) , ,即即fflgradgrad 時(shí)時(shí), ,方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)取取到到最最小小值值flzgrad , ,即即沿沿梯梯度度

19、相相反反方方向向函函數(shù)數(shù)值值減減少少最最快快. . 32),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面,曲面被平面曲面被平面 截得曲線截得曲線cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf 1),(cyxf cyxf ),(等高線等高線),(gradyxf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P,),(cyxf ,0dd yfxfyx,d,dyx切切向向量量33等高線的畫法等高線的畫法播放播放34圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 例如例如,35 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域

20、 G內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度) .),(gradkzfjyfixfzyxf 三元函數(shù)的梯度三元函數(shù)的梯度例例5 5設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)222),(zyxzyxf , ,求求) 2 , 1, 1 (grad f. . 解解,gradzxxffff ，2,2,2zyx .4, 2, 2)2 , 1, 1(grad f所以所以36練習(xí)：練習(xí)：P51 習(xí)題習(xí)題8-71. 3. 5. 8. 10. 37第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxex

21、yz 播放播放38 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有有極大值極大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 則稱函數(shù)在， 則稱函數(shù)在),(00yx有有極極小值小值. . 一、多元函數(shù)的極值及最值一、多元函數(shù)的極值及最值極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. . 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 39(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值

22、在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 40設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件（稱（稱駐點(diǎn)駐點(diǎn)） 推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值

23、的必要條件為有極值的必要條件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz. 例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意：注意：定理定理1 1（必要條件）（必要條件） 41問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 設(shè)設(shè) 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，定理定理2 2（充分條件）（充分條件）則則),(

24、yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 BAC時(shí)具有極值， 且當(dāng)時(shí)具有極值， 且當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值，當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； （2 2）02 BAC時(shí)時(shí)沒(méi)沒(méi)有有極極值值；（3 3）02 BAC時(shí)時(shí)可可能能有有極極值值, ,也也可可能能沒(méi)沒(méi)有有極極值值，還還需需另另作作討討論論 CBBA負(fù)定負(fù)定正定正定42設(shè)設(shè)xyxyxyxf933),(2233 , ,求求極極值值. . 求求得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(

25、),0 , 3( , , 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , CBA 2BAC （- -3,03,0） - -12 0 612 0 6 - - 不是極值不是極值 （1,01,0） 12 0 6 12 0 6 + + 極小值極小值- -5 5 （- -3,23,2） - -12 0 12 0 - -6 6 + + 極大值極大值 3131 （1,21,2） 12 0 6 12 0 6 - - 不是極值不是極值 例例4 4解解，令令 063096322 yyfxxfyx43求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所

26、有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大者即為最大值，最小者即為最小值. .多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值44求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x 軸軸和和 y 軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值與與最最小小值值. 解解xyo6 yxD例例5 5先求函數(shù)在先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)，內(nèi)的駐點(diǎn)， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f

27、, 再再求求),(yxf在在 D邊邊界界上上的的最最值值， 解方程組解方程組 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,45在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值, 64)2 , 4( f為最小值為最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz得得區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f, 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,46一一塊塊寬寬2 24 4cm的的矩矩形形鐵

28、鐵皮皮, ,兩兩邊邊折折起起, ,做做成成一一個(gè)個(gè)梯梯形形槽槽, ,當(dāng)當(dāng)x和和 為為何何值值時(shí)時(shí), ,使使槽槽的的截截面面積積最最大大？ 若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題, ,目標(biāo)函數(shù)有最大值目標(biāo)函數(shù)有最大值( (或最小或最小值值),),而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大( (小小) )值點(diǎn)值點(diǎn), ,則則可以斷定該極大可以斷定該極大( (小小) )值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)即為最大( (小小) )值點(diǎn)值點(diǎn). . 例例6 6解解 sincos222422421xxxxS ， cossinsin2sin2422xxx 47其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0

29、 x, ,化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后后解解得得 3, 8 x, , 由由實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題可可知知, ,S必必有有最最大大值值, ,且且內(nèi)內(nèi)部部唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,故故當(dāng)當(dāng)3, 8 x時(shí)時(shí), ,槽槽的的截截面面積積最最大大, ,348 最最大大S. . ， cossinsin2sin2422xxxS 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxxSxxSx 令令48 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱, ,要求容積為要求容積為V, ,問(wèn)怎么做用料最??？問(wèn)怎么做用料最?。?二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)、寬

30、寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 實(shí)際問(wèn)題中實(shí)際問(wèn)題中, ,目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外域的限制外, , 往往還受到一些附加條件的約束往往還受到一些附加條件的約束, ,這類這類極值問(wèn)題稱極值問(wèn)題稱條件極值條件極值問(wèn)題問(wèn)題. . 例例7 7解解 即表面積最小即表面積最小. . ，xyVz 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù), ,化為無(wú)條件極值問(wèn)題：化為無(wú)條件極值問(wèn)題： xyz49令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一駐點(diǎn)求得唯一駐點(diǎn)3Vyx , ,從而從而

31、3Vz , , 內(nèi)部唯一駐點(diǎn)內(nèi)部唯一駐點(diǎn), ,且由實(shí)際問(wèn)題且由實(shí)際問(wèn)題S有最大值有最大值, ,故做成立方故做成立方體表面積最小體表面積最小. . 這種做法的缺點(diǎn)：這種做法的缺點(diǎn)： 1.1.變量之間的平等關(guān)系和對(duì)稱性被破壞；變量之間的平等關(guān)系和對(duì)稱性被破壞； 2.2.有時(shí)解出隱函數(shù)困難甚至不可能有時(shí)解出隱函數(shù)困難甚至不可能. . 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)化化為為：)(2yVxVxyS , , 0, 0 yx 50 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日

32、乘數(shù)法令令,0),(0),(),(0),(),( yxyxyxfyxyxfyyxx 其其中中 為為參參數(shù)數(shù)， 引入拉格朗日函數(shù)引入拉格朗日函數(shù)),(),();,(yxyxfyxF 51如如果果目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)是是三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxf, ,且且約約束束條條件件有有兩兩個(gè)個(gè), , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxL 令令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxh

33、zyxgzyxfzzzyyyxxx 解解出出zyx,，就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). 52 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱, ,要求容積為要求容積為V, ,問(wèn)怎么做用料最??？問(wèn)怎么做用料最?。?例例7 7目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 解解構(gòu)構(gòu)作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) )()( 2VxyzzxyzxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,3Vzyx , , 由實(shí)際問(wèn)題由實(shí)際問(wèn)題, ,即為最小值點(diǎn)即為最小值點(diǎn).

34、 . 53在在周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面積積最最大大的的三三角角形形. . 設(shè)設(shè)三三角角形形的的三三條條邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別為為zyx, , 則則面面積積為為 )()(zpypxppS , , 約約束束條條件件: : pzyx2 , , 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取為為：)()(),(zpypxpzyxf , , 令令 pzyxypxpLzpxpLzpypLzyx20)(0)(0)( , , 例例8 8解解，)2()()(pzyxzpypxpL 解得唯一駐點(diǎn)解得唯一駐點(diǎn) ，pzyx32 即即做成做成正三角形時(shí)面積最大正三角形時(shí)面積最大. . 54用用一一根根長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2

35、的的鐵鐵絲絲做做一一個(gè)個(gè)網(wǎng)網(wǎng)兜兜邊邊框框： 五五邊邊形形( (正正) ): : 222752. 051025251pp ； 圓圓：2223183. 0/ ppRS , ,最最大大. . 三角形中三角形中, ,以正三角形面積為最大以正三角形面積為最大: : .1925. 09322pp 四邊形中四邊形中, ,以正方形面積為最大：以正方形面積為最大： .25. 04122pp 55平平面面0 zyx截截橢橢球球面面124222 zyx 得得一一橢橢圓圓截截線線, ,求求此此橢橢圓圓的的半半軸軸長(zhǎng)長(zhǎng). . 在在約約束束條條件件 0 zyx 及及 442222 zyx 例例9 9解解 此橢圓的中心顯然

36、是坐標(biāo)原點(diǎn)此橢圓的中心顯然是坐標(biāo)原點(diǎn), ,因此問(wèn)題即求因此問(wèn)題即求 2222zyxr 下的最大值和最小值下的最大值和最小值. . 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù) 222),(zyxzyxL )(2)442(222zyxzyx 56 (5) 0(4) 442(3) 042/(2) 022/(1) 02/222zyxzyxzzLyyLxxLzyx zyx )3()2()1( 042 r, , 1x, , 21 y, , 41 z, ,代代入入)5(, , 222),(zyxzyxL )(2)442(222zyxzyx 由由570 , 041121111 , 7227222最最小小最最大大r, , 所

37、所以以長(zhǎng)長(zhǎng)半半軸軸 722 , , ，031414 2 ，72121 2, 1 ， 42 r短短半半軸軸722 . . 58練習(xí)：練習(xí)：P61 習(xí)題習(xí)題8-81. 3. 5. 7. 8. 10. 59等高線的畫法等高線的畫法60等高線的畫法等高線的畫法61等高線的畫法等高線的畫法62等高線的畫法等高線的畫法63等高線的畫法等高線的畫法64等高線的畫法等高線的畫法65等高線的畫法等高線的畫法66等高線的畫法等高線的畫法67等高線的畫法等高線的畫法68第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 69第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 70第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 71第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其