高中數(shù)學(xué)所有公式(非常有用)

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系x AxCuA,xCuAxA.2. 德摩根公式Cu(ADB) CuAUCuB；Cu(AUB) CuAdCuB.3. 包含關(guān)系A(chǔ)% A AUb B A BCu B Cu AaDcuBCuaUb r4集合ai,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n - 1個; 非空子集有2n - 1個；非空的真子集有2n - 2個.5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1) 一般式 f (x)(2) 頂點式f (x)(3) 零點式f (x)2ax bx c(a 0);2a(x h) k(a 0);a(x x,)(x x2)(a 0).6.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的 最值二次函數(shù)

2、f (x) ax2 bx c(a 0)在閉區(qū)間p, q上的最值只能在x 處 2a及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(1) 當(dāng) a0 時， 假 設(shè) x p,q , 那么 2af(X)minf (亍)，f(X)max max f(P), f(q)；假設(shè) x p,q ,2a2af (p), f(q),f(x)minmin f (P), f (q).f(x) max max當(dāng)a0 , p是一個無理數(shù)，那么-P表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)幕都適用17.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log - Nb -b N (-0,-1,N0).18.對數(shù)的換底公式log- Ng( -0,且-1,

3、 m 0,且 m 1, N 0).logm-推論 log .m bn log-b(-0,且-1 , m,n 0 ,且 m 1, n 1, N 0).m19. 對數(shù)的四那么運算法那么假設(shè)-0,-工 1, e0, N0,那么(1) log-(MN) log- M log- N ;(2) log-M log - M log - N ;N(3) log - M n n log-M(n R).20. 等差數(shù)列的通項公式* -n -| (n 1)d dn 印 d(n N )；其前n項和公式為n(ai a.)n(n 1)snd2 2dn2 (a1】d) n.2 221. 等比數(shù)列的通項公式n 1 ai n*

4、an aiq q (n N );q其前n項的和公式為內(nèi)(1 qn) qSnq1 qna1,q 122. 常見三角不等式1假設(shè) x (0,-)，那么 sin x x tan x .2(2) 假設(shè) x (0,)，那么 1 sin x cosx 、2 .2(3) |sinx| | cosx | 1.23. 同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式22sin丄丄sin cos 1， tan =， tan cot 1.cos24. 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 奇變偶不變符號看象限25.和角與差角公式sin() sin coscos sin ;cos() cos cos “in sin ;,、 tantantan()1 十 t

5、an tana sin bcos = , a2 b2 s in()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定，tan).a26. 二倍角公式sin2sin cos .2cos21 1 2sin2cos2cos2 sin22 ta n tan 2廠.1 tan27. 三角函數(shù)的周期公式函數(shù) y sin( x ) , x R 及函數(shù) y cos( x ), x R(A, 3 ,為常數(shù),且Am0,3 0)的周期T函數(shù) y tan( x ) , x k ,k Z (A, 3, 為常數(shù)，且 2 0,3 0)2的周期T -.28. 正弦定理2R.R是外接圓的半徑a b csi nA sin B sinC29

6、. 余弦定理a2 b2 c2 2bccosA;222b c a 2cacosB;222cab 2abcosC .30. 面積定理1S2S*ha21 absin C211亠bhbchc ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高.221bcsin A21 casin B.231.三角形內(nèi)角和定理在厶 ABC中，有 AC _ A B2 2 2(A B)2C 22(A B).32.向量的數(shù)量積的運算律：(1)a b= b a交換律；a b=a b= a b= a(3)a+b c= a c +b c.b33. 平面向量根本定理如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任 向量，

7、有且只有一對實數(shù)入1、入2,使得a=X e+入總.不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底.34. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a b=| a| b|cos B.數(shù)量積a b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影 |b|cosB的乘積.35. 平面向量的坐標(biāo)運算(1) 設(shè) a=(x1,yj ,b=(X2,y2)，那么 a+b=(x紅屮y2).(2) 設(shè) a=(x1,yj ,b=(X2,y2)，那么 a-b=(x畑屮y?).設(shè) A(x1,yJ，B(X2,y2),那么 AB OB OA (x?為必 yj. 設(shè) a=(x, y), R，貝U a=( x, y).(5)設(shè) a=(xi

8、, yi) , b=(X2,曲，貝U a b=(xiX2 yy).36. 兩向量的夾角公式cosX1X2y22222Xiyi X2y2(a=(Xi,yi), b=(X2,y2).37. 平面兩點間的距離公式dA,B = | AB| VAB AB(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (A(Xi,yi) , B(X2, y?).38. 向量的平行與垂直設(shè) a=(Xi,yi), b=(X2,y2)，且 b 0,那么 a| b b= X a Xi y2 x2yi 0 .a b(a 0)a b=0xix2 yi y2 0.39. 線段的定比分點公式_設(shè)R(xi,yi),烏(/A) , P(x, y)是線段

9、RP?的分點,是實數(shù)，且PPPP2，那么OPOR OP2%y2iiOP tOPi (i t)OP2 ti40. 三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為Agyi)、Bgh)、C(x3，y 3),那么厶ABC的重心的坐標(biāo)是G( iX2X3yiy2y3).33O為ABC的重心OAOB OC 0.4i.點的平移公式1x x hX1Xhop op ppy y kyyk注：圖形F上的任意一點P(x, y)在平移后圖形F上的對應(yīng)點為P(x,y), 且PP的坐標(biāo)為(h,k).42. “按向量平移的幾個結(jié)論i點P(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到點P (x h, y k).(2) 函數(shù)y f(

10、x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象c,那么c的函數(shù) 解析式為y f(x h) k.(3) 圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,假設(shè)C的解析式y(tǒng) f(x),那么 C的函數(shù)解析式為y f (x h) k . 曲線C: f(x, y) 0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,那么C的方程為 f(x h, y k) 0.(5)向量m=(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為 m=(x, y).43. 常用不等式：1a,b Ra2 b2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時取“=號).2a,b R. ab (當(dāng)且僅當(dāng)a= b時取“=號).23a3b3c33abc(a0, b0

11、,c0).4柯西不等式：(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,d R.5abab ab .44. 最值定理積定和最小 x,y都是正數(shù)，那么有1假設(shè)積xy是定值p，那么當(dāng)x y時和x y有最小值2 p ;2假設(shè)和x y是定值s，那么當(dāng)x y時積xy有最大值丄s2.4 推廣x,y R，那么有(x y)2 (x y)2 2xy1假設(shè)積xy是定值,那么當(dāng)| x y |最大時，|x y |最大； 當(dāng)| x y |最小時,| x y |最小.2假設(shè)和| x y |是定值,那么當(dāng)|x y |最大時，|xy|最小； 當(dāng)| x y |最小時，|xy |最大.45.指數(shù)不等1式與對數(shù)不等式(

12、1)當(dāng) a1時，af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0lOgaf (x) log a,g(x)g(x)0f(x)g(x)(2)當(dāng) 0a 1時,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0lOg af (x) loga g(x)g(x)0f(x)g(x)46.斜率公式y(tǒng)2yiX2XiPi(xi, yi)、F2(X2, y2)47. 直線的五種方程1點斜式y(tǒng)2斜截式y(tǒng)yi k(x Xi)(直線I過點P(xi,yi)，且斜率為k). kx b(b為直線I在y軸上的截距).3兩點式y(tǒng) yiy2yix x (yi y2)( P(Xi, yi)、 P2(X2,y2)( xi X2).(4)

13、截距式 丫 i(a、b分別為直線的橫、縱截距，a b 0) a b5一般式Ax By C 0(其中A、B不同時為0).48. 兩條直線的平行和垂直假設(shè) li: y kix bi， l2: y k?x d li |l2kik2,bi b2； 11I2kik2i.49. li到l2的倒角公式(i)tank?kiik?ki(li： ykixbi， l2: y k2X b2, kik2i)50. 兩種常用直線系方程(1) 平行直線系方程：與直線Ax By C 0平行的直線系方程是Ax By 0 (0)，入是參變量.(2) 垂直直線系方程：與直線 Ax By C 0 (A工0，B0)垂直的直線系 方程是

14、Bx Ay 0,入是參變量.5i.點到直線的距離d 1 AXj 2By0(點 P(X0,y),直線 l : Ax By C 0).A2 B252. Ax By C 0或 0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l : Ax By C 0，那么Ax By C 0或0所表示的平面區(qū)域是：I假設(shè)B 0，當(dāng)B與Ax By C同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與 Ax By C異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.2假設(shè)B 0，當(dāng)A與Ax By C同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與 Ax By C異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.53.圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x

15、 a)2(y2 2b) r .2圓的一般方程2 2x yDxEy F 0( D2 E2 4F 0)3圓的參數(shù)方程x ar cosy br sin直線Ax By C0與圓(xdr相離0；dr相切0；dr相交0.其中dAa Bb CJa b254.直線與圓的位置關(guān)系a)2(y b)2r2的位置關(guān)系有三種4圓的直徑式方程(x x1)(x x2) ( y y1)(y y2) 0 (圓的直徑的端點是 A(xi,yj、B(X2, y2).x a cos y bsi n橢圓的的內(nèi)外部2 21點 P(xo, y)在橢圓2 告 1(aa b2 22點P(xo,y。)在橢圓篤 篤 1(aa bb 0)的內(nèi)部b 0

16、)的外部2Xq2 a2 Xo 2 ayob22yob22 255. 橢圓篤與1(a b 0)的參數(shù)方程是a b2 256. 雙曲線 篤 篤1(a 0,b 0)的焦半徑公式 a b22aaPF1 |e(x )|，PF2 |e(x)|.cc雙曲線的內(nèi)外部(1)點P(x0, y)在雙曲線2 x22y.21(a0,b0)的內(nèi)部a2b2(2)點P(x0, y。)在雙曲線x2 ay1(a0,b0)的外部2X2y。12 ab222X0y012.2ab雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2 y 孑b xa2(1丨假設(shè)雙曲線方程為篤a(2)假設(shè)漸近線方程為2假設(shè)雙曲線與冷a0，焦點在y軸上.焦點在x軸上,2漸近線方程

17、：篤a1有公共漸近線,2 y b2雙曲線可設(shè)為可設(shè)為2 X2 a2Xa2y_J57. 拋物線y2 2px的焦半徑公式拋物線y2 2px(p 0)焦半徑CF X。-. 2過焦點弦長CD x1 x2 x1 x2 p .2 258. 直線與圓錐曲線相交的 弦長公式AB 7(1 k2)(x2x1)2 | xi x21 tan2 | y1 y2 | cot2弦端點 A(x1, y1), B(x2, y2)，由方程kx b 消去得到 ax2 bx c 0，F(xiàn)(x,y) 00,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率.59 證明直線與直線的平行 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線

18、平行;3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.證明直線與平面的平行 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點;2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明直線與直線的垂直 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.證明直線與平面垂直 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；5轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.證明

19、 平面與平面的垂直 的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直.60. 平面向量加法的平行四邊形法那么向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和， 等于以這三個向量為棱的平 行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.61. 共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b豐0 ), a/ b 存在實數(shù)入使a=入b.P、A B 三點共線AP | AB AP tAB OP (1 t)OA tOB .AB|CD AB、CD共線且AB CD不共線 AB tCD且AB CD不共線.62. 共面向量定理向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對x, y,使p ax by .推論：

20、空間一點P位于平面MAB內(nèi)的 存在有序?qū)崝?shù)對x,y ,使MP xMA yMB ,或?qū)臻g任一定點0 ,有序?qū)崝?shù)對x, y ,使OP OM xMA yMB .63. 對空間任一點 O和不共線的三點A、B、C,滿足OP xOA yOB zOCx y z k，那么當(dāng)k 1時，對于空間任一點O,總有P、A、B、C四點共面； 當(dāng)k 1時，假設(shè)O 平面ABC貝U P、A B C四點共面；假設(shè)O 平面ABC那么 P、A、B、C四點不共面._A B、C、D四點共面 AD與AB、AC共面 AD xAB yACOD (1 x y)OA xOB yOC O 平面 ABC .64. 空間向量根本定理如果三個向量a、b

21、、c不共面，那么對空間任一向量 p,存在一個唯一的有 序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使 p = xa+yb+ zc.推論 設(shè)O A、B C是不共面的四點，那么對空間任一點 P,都存在唯一的 三個有序?qū)崝?shù)x, y, z,使OP xOA yOB zOC .65. 向量的直角坐標(biāo)運算設(shè) a= (ai, 92,33) , b= (b),b2, b3)那么 a+ b=(aibi,a2b2,a3b3);(2) a b=(aibb2,a3b3);(3) 入 a ( ai, a2, a3)(入 R)；(4) a b aibi a2b2 a3b3 ;設(shè) A(xi,yi,zi) , B(X2,y2,Z2)，那么AB

22、OB OA= (X2 Xi, y2 yi, Z2 Zi).66. 空間的線線平行或垂直all b(x,yi,zi)，a b(bb (X2.y2.Z2)，那么0)a ba b 0XiX2yiy2ZiZ20.67.夾角公式設(shè) a (ai, a2, a3),b (b1.b2.b3)，那么cos a b=a4a2b2a3b32 21 a2a； b2b；th推論aQ a2b2a3b3)2(ai22 2 2a2 a3)(bi68.異面直線所成角cos | cos【a,b .： |=|a b| XiX2yiy2；必|a|b|-Xi22yiZi2 21. X22y22Z2XiyiZiX2y2 ；Z2b； ba

23、，此即三維柯西不等式.其中 0 向向量90 :為異面直線a,b所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方69.直線AB與平面所成角1- 卜m arcs inm為平面 的法向量.|AB|m|70.二面角 丨 的平面角I I arc cos m n 或 arc cos V n m , n為平面 ,的法向量|m| n|m| n|71. 空間兩點間的距離公式假設(shè) A(xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2)，那么dA,B = |AB| v AB AB.化Xi)2卜2一yi)2Zi)2 .72. 點Q到直線I距離7|a |b|2點P在直線丨上，直線丨的方向向量a= PA，向量|a|b=PQ).73.

24、異面直線間的距離d LCDA|ii,i2是兩異面直線，其公垂向量為n ， C、D分別是Ii,l2上任|n|點，d為丨仆丨2間的距離.74.點B到平面的距離d 竺凹n為平面 的法向量，AB是經(jīng)過面 的一條斜線，A 丨. |n|75.異面直線上兩點距離公式d 、 h2m22mn cos.EA,AF兩條異面直線上分別取兩點E、a、F，b所成的角為B,其公垂線段 AA的長度為h.在直線 aea、b76.三個向量和的平方公式a b c2-22-2a b c22a bc 2a b 2b c 2c a2 | a | | b | cos，.a,b, 2 | b | |c|cos：b, c. 21 c| |a|

25、cos；. c, a77.面積射影定理ISS.cos平面多邊形及其射影的面積分別是S、s，它們所在平面所成銳二面角的為.78. 歐拉定理歐拉公式V F E 2簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F.iE=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，假設(shè)每個面的邊數(shù)為n的多邊形，那么1面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：E丄nF ;2E - mV .22假設(shè)每個頂點引出的棱數(shù)為 m，那么頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系:79. 球的半徑是R,那么 其體積V 4 R3,3 其外表積S 4 R2 .1V錐體-Sh S是錐體的底面積、h是錐體的高380.組合數(shù)公式mAC n(n 1) (n m 1)= CF=1 2 m m!(n m)!(

26、n N , m N，且 mn).性質(zhì)：(1)(2)m n mCn =Cnm m 1Cn +Cnm=Cn 1 .注:規(guī)定c0C0 CnC2Cncn 2n.81. n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率Pn(k) C；Pk(1 P)n k.82. 離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)1P0(i1,2,)；2RP21.83.數(shù)學(xué)期望ExFX2&XnPn數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：1E(ab) aE( ) b.2假設(shè) B(n, p),那么 E np . 假設(shè) 服從幾何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，那么E .P84.方差DX2 2 2EP1X2 EP2XnEPn標(biāo)準(zhǔn)差 =D.方差的性質(zhì)：(1)2D a b a D ;(2假設(shè) B(n, p)，那么 Dnp(1 p).假設(shè) 服從幾何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，那么D方差與期望的關(guān)系：D85