數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題解析及測(cè)試-專題《銳角三角函數(shù)與解直角三角形》

1、專題八銳角三角函數(shù)與解直角三角形中考點(diǎn)擊考點(diǎn)分析：內(nèi)容要求1、特殊角的三角函數(shù)值2、利用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)已知的三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角3、綜合運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題命題預(yù)測(cè)：本專題內(nèi)容主要涉及兩方面，一是銳角三角函數(shù)問題的基本運(yùn)算，二是解直角三角形其中，解直角三角形的應(yīng)用題是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，題型廣泛，有測(cè)建筑物高度的，有與航海有關(guān)的問題，有與筑路、修堤有關(guān)的問題要注意把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算時(shí)不能直接算出某些量時(shí)，要通過列方程的辦法加以解決預(yù)測(cè)2015年中考的考查熱點(diǎn)，主要要求能夠正確地應(yīng)用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形兩

2、邊的比，并且要熟記30°、45°、60°角的各個(gè)三角函數(shù)值理解直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，會(huì)用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用相關(guān)的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，尤其是在計(jì)算距離、高度和角度等方面難點(diǎn)透視例1已知RtABC中，C90°，AC2，BC3，那么下列各式中，正確的是A、B、C、D、【考點(diǎn)要求】本題考查銳角三角函數(shù)的概念。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給條件，可畫出直角三角形，結(jié)合圖形容易判斷是B的正切值。【答案】選C?！痉椒c(diǎn)撥】部分學(xué)生會(huì)直接憑想象判斷并選擇結(jié)果，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。突破方法：這類題目本身難度不大，但卻容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，關(guān)鍵是要

3、畫出圖形，結(jié)合圖形進(jìn)行判斷更具直觀性，可減少錯(cuò)誤的發(fā)生。例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前進(jìn)200米,那么他在原來基礎(chǔ)上升高了_米【考點(diǎn)要求】本是考查坡度與坡角正切值關(guān)系。【思路點(diǎn)撥】坡度即坡角的正切值為，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿著山路前進(jìn)200米，則升高200×=10（米）?！敬鸢浮刻?0。【方法點(diǎn)撥】少數(shù)學(xué)生因?yàn)槲茨苷_理解坡度的意義，而出現(xiàn)使用錯(cuò)誤。突破方法：牢記坡度表示坡角的正切值即坡角的對(duì)邊：坡角的鄰邊=，然后再結(jié)合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結(jié)果。圖8-1例3如圖8-1，在ABC中，C90°，點(diǎn)D在BC上，BD4，ADBC，cosA

4、DC=求：（1）DC的長(zhǎng)；（2）sinB的值【考點(diǎn)要求】本題考查銳三角函數(shù)概念的相關(guān)知識(shí)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）在RtABC中，cosADC，設(shè)CD3k，AD5k又BCAD，3k+45k，k2 CD3k6（2）BC3k46410，AC4k8ABsinB= 【答案】（1）CD6；（2）sinB=?！痉椒c(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是抓住“ADBC”這一相等的關(guān)系，應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題0.5m3m圖8-3-1例4如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板（大小忽略不計(jì)）距地面0.5m秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為，則秋千踏板與地面的最大距離約為多

5、少？(參考數(shù)據(jù)：0.8,0.6)【考點(diǎn)要求】本題考查利用銳角三角函數(shù)知識(shí)和解直角三角形解決實(shí)際生活中的直角三角形問題【思路點(diǎn)撥】設(shè)秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動(dòng)到最高位置時(shí)踏板位于B處過點(diǎn)A，B的鉛垂線分別為AD，BE，點(diǎn)D，E在地面上，過B作BCAD于點(diǎn)C在Rt中， AC=1.8（m） 圖8-3-2 （m） （m）【答案】秋千擺動(dòng)時(shí)踏板與地面的最大距離約為m【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生想直接求出踏板離地最高的距離即BE，但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉(zhuǎn)化到CD位置上，根據(jù)題目所給條件容易求出AC，從而可求得CD的長(zhǎng)。解題關(guān)鍵：利用解直角三角形求解實(shí)際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯?/p>

6、三角形。 圖8-4EACBD北東例5如圖8-5，一條漁船某時(shí)刻在位置A觀測(cè)燈塔B、C(燈塔B距離A處較近)，兩個(gè)燈塔恰好在北偏東65°45的方向上，漁船向正東方向航行l(wèi)小時(shí)45分鐘之后到達(dá)D點(diǎn)，觀測(cè)到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個(gè)燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里時(shí)，又知在燈塔C周圍18.6海里內(nèi)有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續(xù)航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)?【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運(yùn)用，解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形幫助解題【思路點(diǎn)撥】在RtABD中，（海里），BAD=90°-65°45=24°15.cos24

7、°15=，(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).在RtACE中，sin24°15=，CE=AC·sin24°15=42.71×0.4107=17.54(海里).17.5418.6，有觸礁危險(xiǎn)。【答案】有觸礁危險(xiǎn)，不能繼續(xù)航行?！痉椒c(diǎn)撥】本題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是要能將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，二是構(gòu)造合適的直角形。突破方法：有無觸礁危險(xiǎn)，關(guān)鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關(guān)系，如果最近的距離大于18.6，則不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)。解題關(guān)鍵：離燈塔最近的距離是從燈塔向航線作垂線段。例6某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測(cè)量樹高已測(cè)出樹A

8、B的影長(zhǎng)AC為9米，并測(cè)出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角 （1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長(zhǎng)度（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.414， 1.732）圖8-5-1圖8-5-2【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在測(cè)量中的實(shí)際運(yùn)用【思路點(diǎn)撥】（1）在RtA BC中，BAC90°，C30°tanC ABAC·tanC9×5.2（米）（2）以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長(zhǎng)，點(diǎn)D為切點(diǎn)，DEAD交AC于E

9、點(diǎn)，（如圖2）在RtADE中，ADE90°，E30°，AE2AD2×5.210.4（米）【答案】樹高AB約為5.2米，樹影有最長(zhǎng)值，最長(zhǎng)值約為10.4米。【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生第（1）問沒有太大困難，第（2）問中樹在傾倒過程中，確定何處樹影最長(zhǎng)比較困難。突破方法：以A為圓心，AB為半徑作圓弧，其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長(zhǎng)。解題關(guān)鍵：如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現(xiàn)出來，這是解決該題的關(guān)鍵所在。圖8-6-1例7初三（5）班綜合實(shí)踐小組去湖濱花園測(cè)量人工湖的長(zhǎng)，如圖1A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東同學(xué)進(jìn)行如下測(cè)量，B點(diǎn)在A點(diǎn)

10、北偏東60o方向，C點(diǎn)在B點(diǎn)北偏東45o方向，C點(diǎn)在D點(diǎn)正東方向，且測(cè)得AB=20米，BC=40米，求AD的長(zhǎng)（，結(jié)果精確到0.01米）【考點(diǎn)要求】本題考查解直角三角形在實(shí)際生活當(dāng)中的綜合運(yùn)用要求學(xué)生能根據(jù)問題實(shí)際快速確定正確解決問題的方法【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作BED，BFD，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖2圖8-6-2由題意知，ADCD四邊形BFDE為矩形BF=ED 在RtABE中，AE=AB·cosEAB在RtBCF中，BF=BC·cosFBC AD=AE+BF=20·cos60o+40·cos45o =10+20×1.414=38.28（米）【答案

11、】38.28米?！痉椒c(diǎn)撥】部分學(xué)生知道需要利用解直角三角形來解題，但卻又不知從何處入手。突破方法：在無法直接求出AD長(zhǎng)的情況下，可考慮分段計(jì)算，也就是構(gòu)造多個(gè)直角三角形，化整為零，各個(gè)突破，再積零為整，求得結(jié)果。難點(diǎn)突破方法總結(jié)銳角三角函數(shù)與解直角三角形在近年的中考中，難度比以前有所降低，與課改相一致的是提高了應(yīng)用的要求，強(qiáng)調(diào)利用解直角三角形知識(shí)解決生活實(shí)際中的有關(guān)測(cè)量、航海、定位等方面的運(yùn)用。因此，在本專題中，有以下幾點(diǎn)應(yīng)加以注意。1.正確理解銳三角函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)各三角函數(shù)，并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時(shí)，要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形解

12、題更具直觀性。3.能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題，即把實(shí)際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。4.注重基礎(chǔ)，不斷創(chuàng)新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應(yīng)對(duì)在測(cè)量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢(shì)。拓展練習(xí)第1題圖一、填空題1如圖，如果APB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到APB，且BP=2，那么PP的長(zhǎng)為_ (不取近似值. 以下數(shù)據(jù)供解題使用：sin15°=，cos15°=)2用計(jì)算器計(jì)算： （精確到0.01） 3如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測(cè)得公路的走向是北偏東48

13、6;甲、乙兩地間同時(shí)開工，若干天后，公路準(zhǔn)確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西 度北甲北乙第3題圖第4題圖xOAyB 4如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)，沿著西南方向，行了個(gè)4單位，到達(dá)B點(diǎn)后觀察到原點(diǎn)O在它的南偏東60°的方向上，則原來A的坐標(biāo)為 （結(jié)果保留根號(hào)）5求值：sin260°+cos260°= 6在直角三角形ABC中，A=，BC=13，AB=12，那么 A40°52mCD第5題圖B43°¤7根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針CD的長(zhǎng)約為_m（結(jié)果精確的到0.01m）（可用計(jì)算器求，也可用下列參考數(shù)據(jù)求：sin43°0.6802，s

14、in40°0.6428，cos43°0.7341，cos40°0.7660，tan43°0.9325，tan40°0.8391）第6題圖8如圖，自動(dòng)扶梯AB段的長(zhǎng)度為20米，傾斜角A為，高度BC為米（結(jié)果用含的三角比表示）二、選擇題9在ABC中，C900，ACBC1，則tanA的值是（ ）A B C1 D10在RtABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知ACD的正弦值是，則的值是（ ）第11題圖A B C D11如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到，使梯子的底端到墻根O

15、的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降到，那么（ ）A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能確定第12題圖12如圖，延長(zhǎng)RtABC斜邊AB到D點(diǎn)，使BDAB，連結(jié)CD，若cotBCD3，則tanA（ ）A B1 C D三、解答題13已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC與BD相交于點(diǎn)O，BOC1200，試求AB的長(zhǎng)14如圖，河對(duì)岸有一鐵塔AB在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，向塔前進(jìn)16米到達(dá)D，在D處測(cè)得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高第16題圖 第15題圖第13題圖15如圖，我市某廣場(chǎng)一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且D

16、B=5m，則BC的長(zhǎng)度是多少？現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長(zhǎng)度為多少？（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)：】習(xí)題答案專題七銳角三角函數(shù)與解直角三角形一、填空題1（點(diǎn)撥：連結(jié)PP，過點(diǎn)B作BDPP，因?yàn)镻BP=30°，所以PBD=15°，利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP）22.35348（點(diǎn)撥：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等判斷）4(0，)（點(diǎn)撥：過點(diǎn)B作BCAO，利用勾股定理或三角函數(shù)可分別求得AC與OC的長(zhǎng)）51（點(diǎn)撥：根據(jù)公式sin2+cos2=1）6（點(diǎn)撥：先根據(jù)勾股定理求得AC=5，再根據(jù)求出結(jié)果）74.86（點(diǎn)撥：利用正切函數(shù)分別求了BD，BC的長(zhǎng)）8（點(diǎn)撥：根據(jù)，求得）二、選擇題9 C10D11C（點(diǎn)撥：利用勾股定理先求出AB的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)）12A（點(diǎn)撥：過點(diǎn)D作DECB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易證得ACB與DEB全等，所以A=BDE，BC=BE。又因?yàn)閏otBCD3，所CE=3DE，所tanA=tanBDE=）三、解答題13解：如圖，作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于E，則四邊形ACED是平行四邊形 ADCE，DEAC，易證ABCDCB ACDB，BDDE DBE為等腰三角形 BEBCAD18cm 分別過A、D作AGBC于G，DFBC于F BDEBOC1200，BDF600 BFBE9cm，AGD