逆矩陣的求法及逆矩陣的應用

1、逆矩陣的幾種求法及逆矩陣的應用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學中，矩陣是一個非常有效而且應用廣泛的工具，而逆矩陣則是矩陣理論中一個非常重要的概念。關于逆矩陣的求法及逆矩陣的應用的探討具有非常重要的意義。目前，對于逆矩陣的求法及其應用領域的研究已比較成熟。本文將對逆矩陣的定義、性質、判定方法及求法進行總結，并初步探討矩陣的逆在編碼、解碼等方面的應用。關鍵詞：矩陣 逆矩陣 逆矩陣的求法 逆矩陣的應用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrixAbstract: In modern mathematics，m

2、atrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and p

3、roperties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言 在現(xiàn)代數(shù)學中

4、，矩陣是一個有效而應用廣泛的工具。在矩陣理論中，逆矩陣又一個非常重要的概念。本文將對矩陣可逆性的由來及逆矩陣的定義、性質、判定方法進行探討，并進一步了解逆矩陣在現(xiàn)代數(shù)學中的應用，以激發(fā)學生的學習興趣，讓學生進一步了解逆矩陣的應用，從而提高教育教學質量。二：矩陣的逆的定義 對于n矩陣A，如果存在一個n矩陣B，使得AB=BA=E（E為單位矩陣），那么說矩陣A可逆，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。記A的逆矩陣為A.三：可逆矩陣的性質 1、如果矩陣A、B均可逆,那么矩陣AB可逆，其逆矩陣為BA.（推廣：如果矩陣A1 ，A2 , An 均可逆,那么矩陣A1A2An可逆，其逆陣為AnA2A1） 2、如果A可逆，

5、那么可逆，且=A； 3、如果A可逆，那么可逆，且. 4、. 5、如果A可逆，數(shù)，那么可逆，且； 6、如果矩陣A的逆存在，那么該逆矩陣唯一。以上結論見文獻1 四：矩陣可逆的幾種判別方法設矩陣A為n階方陣，那么A可逆的充要條件有：1、存在n階方陣B，使得AB=I；2、對PAQ=，其中P為s矩陣，Q為n×m矩陣，r（A）=n；3、；4、是非退化矩陣.5、A的行向量（列向量）組線性無關；6、A可由一系列初等矩陣的乘積表示；7、A可經(jīng)過一系列初等行變換（列變換）化成單位矩陣I；8、齊次線性方程組AX=0只有零解.以上結論見文獻1 8五：逆矩陣的幾種求法（一）定義法定義：矩陣A為n階方陣，如果存

6、在n階方陣B，使得AB=E,那么稱A可逆，稱B為A的逆矩陣，記為.求矩陣的逆矩陣.解 ： 因為0,所以存在.設,由定義知A=E,所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;.故（二）伴隨矩陣法定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化.且，其中，Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，即有A-1 = A*.該定理見文獻1注 此方法適用于計算階數(shù)較低矩陣（一般不超過3階）的逆，或用于元素的代數(shù)余子式易于計算的矩陣求逆。注意A* = （Aji）n×n的元素位置以及各元素的符號。特別地，對于2階方陣，其伴隨矩陣為.對于分塊矩陣，上述求伴隨矩陣的規(guī)律不適用

7、.例2：已知，求A-1.解: = -1 0 A可逆.由已知得A-1 = A* = （三）行(列)初等變化法 設n階矩陣A，作n×2n矩陣，對該矩陣作初等行變換，如果把子塊A變?yōu)椋敲醋訅K變?yōu)?，即由A,E作初等行變換得E,A-1，所得的即為A的逆矩陣.注 對于階數(shù)較高的矩陣（n3），用初等行變換法求逆矩陣，一般比用伴隨矩陣法簡便.用上述方法求逆矩陣，只允許作初等行變換.也可以利用求得A的逆矩陣.若矩陣A可逆，可利用得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點是不需求出A的逆矩陣和進行矩陣乘法僅通過初等變換，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解：所以（四）用Crame

8、r法則求矩陣的逆若線性方程組的系數(shù)行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.定理1 若以 = (1 , 0 , 0 , , 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 0 , 1) 表示Fn(Fn表示數(shù)域F上的n維行向量空間)上的一組標準基,那么Fn中任一向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示為: =a1 + a2 + an的形式,這里aiF(i = 1 , 2 , , n).定理2 若稱矩陣A與矩陣B相乘所得的矩陣為AB，以A的第i行右乘以B，其乘積即為矩陣AB的第i行.求矩陣的逆可用以下方法:令n階可逆矩陣A=(aij)

9、,A的行向量分別為 , 其中=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得: =aij(i = 1 , 2 , , n) ，解方程組（, , ,為未知量）,由于系數(shù)行列式D=|A| 0 (因為A 可逆),所以, 由Cramer法則可得唯一解: = bj1+ bj2+ + bjn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是用方程組的常數(shù)項1 ,2,n替換行列式D的第j列的元素得到的n階行列式.由定理2可得: BA = I ( I 為單位矩陣),從而有A-1= B.其中B=(bij).以上定理見文獻1、 7 、8下面舉例說明這種方法.例4：求矩陣的逆矩陣.解：矩陣A的行向量為，由

10、標準基表示為：解以為未知量的方程組得：所以（五）解方程組求逆矩陣由可逆矩陣的上三角(下三角)矩陣的逆仍為上三角(下三角)矩陣,且對于上(下)三角矩陣的逆矩陣，其主對角元分別為上(下)三角矩陣對應的主對角元的倒數(shù),可設出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E 兩端對應元素相等,依次可得只含有一個待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣. 例5： 求的逆矩陣.解：設,先求A-1 中主對角線下的次對角線上的元素,，.設E為4階單位矩陣, 比較的兩端對應元素,得： 解得，解得，解得，解得，及所求的逆矩陣為（六）求三角矩陣的逆的一種方法定理：若如果n階矩陣 可逆，則

11、它的逆矩陣為 其中 例6： 求上三角陣 的逆矩陣.解：由定理知 （七）用分塊矩陣求逆矩陣設矩陣A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，則：例7：已知，求A-1.解：將A分塊如下：可求得（八）用恒等變形法求矩陣的逆有些計算題看似與求逆矩陣無關,但實際上卻能發(fā)現(xiàn)，這些題是計算需要求出逆矩陣的，需將給定矩陣等式作恒等變形，且通?；癁閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的形式。 例8：已知，試求并證明,其中.解: 由，得 ，故 ,而 A為正交矩陣, ，所以 （九）拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補加上一個單位矩陣E,在A的下方補加上一個負單位矩陣-E, 再在A的右下方補加上一個零矩陣O,從而得到一個新的方陣.對該方陣施行

12、第三種行的初等變換,使其負單位矩陣-E化為零矩陣, 那么原來的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例9：求矩陣的逆矩陣A-1.解:因為 ，所以 存在構造矩陣有：將第一行依次乘以-2，-3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得：將第二行依次乘以-1和1，分別加到第三行和第四行，得：再將第三行依次乘以-3、2和-1，分別加到第四行、第五行、第六行，得：故：（十）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設A是數(shù)域P上的n階矩陣 為A的特征多項式，則 所以 由此，可知 例10：已知，求 A-1.解：A 的特征多項式 由Hamilton-Caley定理

13、可知，所以 （十一）.和化積法 對于有些涉及矩陣和的問題，要先判斷方陣之和A+B的非退化性，并求出它的逆矩陣。則此時A+B可直接轉化為（A+B）C=E的形式,從而得出結論，A+B非退化，且=C.或將A+B表示為幾個已知的非退化陣之積，并得出它的逆矩陣.例11.證明:如果=0,那么E-A是非退化的，并求.證明：因為，所以是非退化的，且=.六：逆矩陣在編碼解碼方面的應用矩陣密碼學是信息編碼和解碼的技術，其中一種利用了可逆矩陣的方法。首先，在26個英文字母和數(shù)字之間建立對應關系，例如，可以是A B Y Z 1 2 25 26使用上面的代碼，則該信息的編碼是19,5,14,4,13，15,14,5,2

14、5，其中5代表字母E。遺憾的是，這個編碼表示的對應關系較為簡易，人們很輕易就能破譯。如果一個信息編碼比較長，那么人們會找出那個出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值，并且猜出它代表哪個字母。比如，以上編碼中，出現(xiàn)次數(shù)最頻繁的編碼值是5，所以人們很自然地會認為，5代表字母E，因由統(tǒng)計規(guī)律我們可以知道，在英文單詞中，字母E出現(xiàn)的頻率最高。利用矩陣的乘法，我們可以對英文信息“SEND MONEY”進行加密，讓其由明文轉換成密文，然后再進行傳遞發(fā)送。這樣，信息一經(jīng)處理，就能有效地對非法用戶破譯編碼增加一定的難度，而又為合法用戶找到一條輕松解密的途徑。若存在一個矩陣A，它的元素均為整數(shù)，而且它的行列式 =1.那么由伴隨矩陣

15、求逆公式 可知，的元素也都是整數(shù)。我們可以通過這樣的方法，利用矩陣A 來對明文進行加密，從而增加加密之后的密文的破譯難度。現(xiàn)在取A=用三列將明文“SEND MONEY”所對應的9 個數(shù)值按以下方法排列，可得矩陣B=矩陣乘積AB=對應上數(shù)矩陣，發(fā)出去的密文編碼為43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用戶可用A-1左乘上述矩陣，即可得到明文從而解密。為了構造“密鑰”矩陣A，我們可以進行有限次的初等行變換，從單位陣I開始對矩陣作變換，為了方便，通常我們只用某行的整數(shù)倍加到另一行。這樣，我們可以得到一個元素均為整數(shù)的矩陣A。并且由于=1，我們可以知道的元素也必然都是整數(shù)。參考文獻1王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2閆曉紅.高等代數(shù)全程導學及習題全解 M.