遙感數(shù)字圖像處理 第三章 圖像變換

1、第三章 圖像變換講解內(nèi)容 1. 圖像變換的目的、要求和應(yīng)用 2. 傅立葉級(jí)數(shù)、 頻譜分析概念及其意義 3.一維、二維連續(xù)、離散傅立葉變換定義、 性質(zhì)及其應(yīng)用目的 1. 熟悉二維傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用； 2. 掌握一維傅立葉變換算法及頻譜分析方法 從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包從感性理解傅立葉變換，一幅數(shù)字圖像里面包含有各種信號(hào)，有變化緩慢的背景，有變換激含有各種信號(hào)，有變化緩慢的背景，有變換激烈的邊緣和噪聲部分，而傅立葉變換就像光學(xué)烈的邊緣和噪聲部分，而傅立葉變換就像光學(xué)中的三棱鏡，在三棱鏡的作用下，一束自然光中的三棱鏡，在三棱鏡的作用下，一束自然光光信號(hào)可以分為無(wú)數(shù)的單色光信

2、號(hào)，單色光信光信號(hào)可以分為無(wú)數(shù)的單色光信號(hào)，單色光信號(hào)從頻譜中心開(kāi)心頻率逐漸增加，那么一幅圖號(hào)從頻譜中心開(kāi)心頻率逐漸增加，那么一幅圖像經(jīng)過(guò)一個(gè)類(lèi)似三棱鏡的系統(tǒng)（傅里葉變換）像經(jīng)過(guò)一個(gè)類(lèi)似三棱鏡的系統(tǒng)（傅里葉變換）就把源圖像中的信號(hào)給分開(kāi)了，這樣我們就可就把源圖像中的信號(hào)給分開(kāi)了，這樣我們就可以做各種處理就更為方便。以做各種處理就更為方便。第三章第三章 圖像變換圖像變換圖像變換的目的在于：使圖像處理問(wèn)題簡(jiǎn)化；有利于圖像特征提?。挥兄趶母拍钌显鰪?qiáng)對(duì)圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求： 正交變換必須是可逆的； 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜； 正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能

3、量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面。在此討論常用的傅立葉變換 。第一幅圖是一個(gè)余弦波 cos（x）；第二幅圖是 2 個(gè)余弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)；第三幅圖是 4 個(gè)余弦波的疊加；第四幅圖是 10 個(gè)余弦波的疊加；隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。 正弦波就是一個(gè)圓

4、周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓 各波在頻域的樣子 矩形波在頻域的樣子 矩形波在頻率域的樣子時(shí)間時(shí)間幅值幅值頻率頻率時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析信號(hào)頻譜信號(hào)頻譜X(f)X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。 為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？ 大自然界的很多系統(tǒng)，一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說(shuō)正弦信號(hào)是系統(tǒng)的特征向量！ 分解信號(hào)的方法

5、是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。這樣，用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)。 當(dāng)然，指數(shù)信號(hào)也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴(kuò)散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的，或者既有波動(dòng)又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù)形式）。 因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù)。 所以，除了指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)以外的其他波形都不是線性系統(tǒng)的特征信號(hào)。 頻域(frequency domain)是描述信號(hào)在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系。 用線性代數(shù)的語(yǔ)言就是裝著正弦函數(shù)的空間。 頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)

6、的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。 正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對(duì)頻域的描述，因?yàn)闀r(shí)域中的任何波形都可用正弦波合成 。圖像的傅立葉變換 傅立葉變換以前，圖像是由對(duì)連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，一般是用一個(gè)二維矩陣二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。 由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度梯度來(lái)表示，這樣可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖像的傅立葉變換 灰度在平面空間上的梯度表征圖像中灰度變化劇烈程度，可以描述為圖像的頻率。 如：大面積的沙漠在圖像

7、中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低； 而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。圖像的傅立葉變換 對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻頻譜圖譜圖，就是圖像梯度的分布圖。 傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，是圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。圖像的傅立葉變換 梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。 通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，首先就可以看出，圖像的能量分布： 如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。?/p>

8、 如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。22圖像的傅立葉變換 從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。 換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。3.23.2傅立葉變換傅立葉變換 在學(xué)習(xí)傅立葉級(jí)數(shù)的時(shí)候，一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)f(t)在-T/2,T/2上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在-T/2,T/2可以展成傅立葉級(jí)數(shù)其復(fù)數(shù)形式為 其中 可見(jiàn)，傅立葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組成及其所占的比重

9、，從而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析與處理。 )sincos(2)(10nwtbnwtaatfnnnT22)(1TTdtetfTcjnwtTn 3.2.1 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 1. 一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為 若已知F(u)，則傅立葉反變換為 式（3.2-1）和（3.2-2）稱為傅立葉變換對(duì)。) 12 . 3()()(2dxexfuFuxj)22 . 3()()(2dueuFxfuxj這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下： 32

10、 . 3)2cos()()(dxuxxfuR實(shí)部) 42 . 3 ()2sin()()(dxuxxfuI虛部)52 . 3()(2)(2)(21uIuRuF振幅) 62 . 3 ()()()()(222uIuRuFuE能量)72 . 3()()(tan)(1uRuIu相位) 82 . 3(2sin2cos2uxjuxeuxj傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率變量。 2. 2. 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對(duì)為 )102 . 3(),(),()92 . 3(),()

11、,()(2)(2dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為 |F(u，v) =R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (3.211) (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (3.212) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (3.213) 3.2.2 離散函數(shù)的傅立葉變換1.1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換一維離散函數(shù)的傅立葉變換 假定取間隔x單位的抽樣方法將一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個(gè)序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如圖3.2.3所示。 將序列表示成 f(x)=f(x0+xx) (3.21

12、6)即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為 F(u)=式中u=0，1，2，N1。反變換為 f(x)=式中x=0，1，2，N-1。10/21)(NxNuxjNexf10/2)(NxNuxjeuF 例如：對(duì)一維信號(hào)f(x)=1 0 1 0進(jìn)行傅立葉變換。 由得 u=0時(shí)， u=1時(shí),10/21)()(NxNuxjNexfuF2/ 1) 3 () 2 () 1 () 0 ( 1111 )()() 0 (413041304/ 0241ffffxfexfFxxx0)3()2()1()0(11)()1(41

13、2/3041ffffjjexfFjxx2/1)3()2() 1 ()0( 1111 )()2(413041ffffexfFjxu=2時(shí),u=3時(shí),在N=4時(shí)，傅立葉變換以矩陣形式表示為F(u)= =Af(x)0) 3()2() 1 ()0(11 )() 3(412/33041ffffjjexfFxjx010111111111111141jjjj2.2.二維離散函數(shù)的傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉變換在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為 F(u，v)= (3.220)式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。 f(x，y)= (3.221) 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，

14、2，N-1。一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計(jì)算?，F(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計(jì)算量。為提高傅立葉變換算法的速度，從軟件角度來(lái)講，要不斷改進(jìn)算法；另一種途徑為硬件化，它不但體積小且速度快。 1010)/(21),(MxNyNvyMuxjMNeyxf 1010)/(2),(MuNvNvyMuxjevuF原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如例如 數(shù)字圖像的傅立葉變換數(shù)字圖像的傅立葉變換3.2.33.2.3二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 離散傅立葉變換建立了函數(shù)在

15、空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。 1周期性和共軛對(duì)稱性 若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) （3.2-26)傅立葉變換存在共軛對(duì)稱性 F(u，v)=F*(-u，-v) (3.227) 這種周期性和共軛對(duì)稱性對(duì)圖像的頻譜分析和顯示帶來(lái)很大益處。 2.2.分離性分離性 一個(gè)二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。 例如式(3.2-14)可分成下面兩式:10)292 . 3(1.10/2exp),(1),(NyNvNvyjyxfNvxF，10302 . 31,.,1 , 0,/2exp),(1),(NxNvuNuxjvxFNvuF）（xyxvx