電路分析第9章 阻抗與導(dǎo)納B

1、第第8章章 阻抗和導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納8-1 變換方法的概念變換方法的概念8-4 相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)8-5 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式8-7 VCR相量形式的統(tǒng)一相量形式的統(tǒng)一阻抗和導(dǎo)納的引入阻抗和導(dǎo)納的引入8-8 正弦電路與電阻電路的類比正弦電路與電阻電路的類比相量模型的引入相量模型的引入8-6 三種基本電路元件三種基本電路元件VCR的相量形式的相量形式8-9 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 8-11 相量模型的等效相量模型的等效 8-12 有效值有效值 有效值相量有效值相量 8-13 兩類特殊問題兩類特殊問題 相量圖法相量圖法 8-2

2、 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)8-3 相量相量8-10 相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法 正弦交流電路是指含有正弦電源正弦交流電路是指含有正弦電源( (激勵(lì)激勵(lì)) )而且電路而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流各部分所產(chǎn)生的電壓和電流( (穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)) )均按正弦規(guī)律均按正弦規(guī)律變化的電路。變化的電路。 在生產(chǎn)和生活中普遍應(yīng)用正弦交流電，特別是三在生產(chǎn)和生活中普遍應(yīng)用正弦交流電，特別是三相電路應(yīng)用更為廣泛。相電路應(yīng)用更為廣泛。 本章和下一章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的一些基本本章和下一章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法。概念、基本理論和基本分析方法。 交流電路具有

3、用直流電路的概念無法理解和分析交流電路具有用直流電路的概念無法理解和分析的物理現(xiàn)象，因此在學(xué)習(xí)時(shí)注意建立交流的概念，以的物理現(xiàn)象，因此在學(xué)習(xí)時(shí)注意建立交流的概念，以免引起錯(cuò)誤。免引起錯(cuò)誤。 直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時(shí)間變化的，如圖所示。小和方向是不隨時(shí)間變化的，如圖所示。 tI U0 正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖所示。變化的，其波形如圖所示。 tu i0 +uiR +uiR 電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。方向，即代表正半周的

4、方向。 負(fù)半周時(shí)，由于電壓（或電流）為負(fù)值，負(fù)半周時(shí)，由于電壓（或電流）為負(fù)值，所以其實(shí)際方向與參考方向相反。所以其實(shí)際方向與參考方向相反。+ 實(shí)實(shí)際際方方向向 一一.周期電壓和電流周期電壓和電流按周期變化，即經(jīng)過相等的時(shí)間重復(fù)出現(xiàn)的電壓和電流。按周期變化，即經(jīng)過相等的時(shí)間重復(fù)出現(xiàn)的電壓和電流。u(t)=Umcos(t)u(t)=Umsin(t+/2)Um 振幅振幅 角頻率角頻率i (t)= Imcos ( t+ )i0 t (rad) 2 t(s)T/2T 正弦交流電的三要素：正弦交流電的三要素：（1）幅值）幅值 Im（2）角頻率）角頻率 （3）初相位）初相位 u0 t (rad)Um 2

5、t(s)T/2T 二二.正弦電壓和電流正弦電壓和電流 隨時(shí)間按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓和電流。隨時(shí)間按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓和電流。T周期周期 T ：正弦量變化一周所需要的時(shí)間；：正弦量變化一周所需要的時(shí)間；角頻率角頻率 : t 2 例我國和大多數(shù)國家的電力標(biāo)準(zhǔn)頻率是例我國和大多數(shù)國家的電力標(biāo)準(zhǔn)頻率是50Hz，試求其，試求其周期和角頻率。周期和角頻率。解解 = 2 f = 2 3.14 50 = 314rad/sImTf1 S02. 01 fT t i0頻率頻率 f ：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)；：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)；fT22 Im 交流電每交變一個(gè)周期便變交流電每交變一個(gè)周期便變化了化

6、了2 弧度，即弧度，即 T = 2 是交流電任一時(shí)刻的值。是交流電任一時(shí)刻的值。用小寫字母表示用小寫字母表示。如如 i、u、e分別表分別表示電流、電壓、電動(dòng)勢的瞬時(shí)值。示電流、電壓、電動(dòng)勢的瞬時(shí)值。 幅值幅值是交流電的是交流電的。用大。用大寫字母加下標(biāo)表示。如寫字母加下標(biāo)表示。如Im、Um、Em。交流電流通過一個(gè)電阻交流電流通過一個(gè)電阻時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)消耗的電能與某直時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)消耗的電能與某直流電流通過同一電阻在相同時(shí)間內(nèi)流電流通過同一電阻在相同時(shí)間內(nèi)消耗的電能相等消耗的電能相等, 就將這一直流電就將這一直流電流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。 TtiTI02d

7、12mII 2mUU t 2 Im t i0Im同理可得同理可得根據(jù)上述定義，有根據(jù)上述定義，有有效值有效值當(dāng)電流為正弦量時(shí)當(dāng)電流為正弦量時(shí):2mEE Ri2dt=RI2T0Ti(t)= Imcos ( t+ i ) 對(duì)于正弦量而言，所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，其初始值對(duì)于正弦量而言，所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，其初始值 (t=0時(shí)的值時(shí)的值)就不同，到達(dá)某一特定值就不同，到達(dá)某一特定值（如（如0值）值）所需的時(shí)間也就不同。所需的時(shí)間也就不同。例如例如:t=0時(shí)的相位角時(shí)的相位角 稱為稱為初相位角初相位角或或初相位。初相位。 ( t+ )稱為正弦量的稱為正弦量的相位角相位角或或相位。相位。它反映出正弦量變化它反映

8、出正弦量變化的進(jìn)程。的進(jìn)程。若所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，則正弦量若所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，則正弦量初相位不同。初相位不同。i (t)= Imcos ti (t)= Imcos ( t+ )t=0時(shí)，時(shí)， i (0)= Imi (0)= Imcos i t0i0 ti0Im 相位差相位差i1= I1mcos( t+ i1)i2= I2 mcos( t+ i2)的相位差的相位差 和和 = ( t+ i1)- ( t+ i2)= i1- i2i2 超前超前i1i2 滯后滯后i1 ti10 ti10 ti10 ti10 ti10i2i2i2i1與與i2反相反相i2i1與與i2同相同相i2i1與與i2正交正交在一個(gè)交

9、流電路中，通常各支路電流的頻率相同，在一個(gè)交流電路中，通常各支路電流的頻率相同，而相位常不相同。而相位常不相同。 正弦電量正弦電量（時(shí)間函數(shù)）（時(shí)間函數(shù)）正弦量運(yùn)算正弦量運(yùn)算所求正弦量所求正弦量變換變換相量相量（復(fù)數(shù)）（復(fù)數(shù)）相量結(jié)果相量結(jié)果反變換反變換相量運(yùn)算相量運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算) 正弦量具有幅值、頻率和初相位三個(gè)要素，它們除了用三角正弦量具有幅值、頻率和初相位三個(gè)要素，它們除了用三角函數(shù)式和正弦波形表示外，還可用函數(shù)式和正弦波形表示外，還可用相量相量來表示同頻率的正弦量。來表示同頻率的正弦量。正弦量的正弦量的相量表示法相量表示法就是用就是用復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)來表示正弦量。來表示正弦量。 相量

10、法相量法是一種用來表示和計(jì)算同頻率正弦量的數(shù)學(xué)工具，是一種用來表示和計(jì)算同頻率正弦量的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用相量法可以使正弦量的計(jì)算變得很簡單。應(yīng)用相量法可以使正弦量的計(jì)算變得很簡單。例如：已知兩個(gè)支路電流例如：已知兩個(gè)支路電流 i1= I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)若求：若求： i1 + i2aA0 b+1+jr模模輻角輻角a=rcos b=rsin r= a2+b2 =arctanba cos +jsin =ej 歐拉公式歐拉公式A=a+jb=r(cos +jsin )=rej =r 代數(shù)式代數(shù)式指數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式極坐標(biāo)式復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)采用代數(shù)式，

11、復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)采用代數(shù)式，實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。復(fù)數(shù)在進(jìn)行乘運(yùn)算時(shí)宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，復(fù)數(shù)在進(jìn)行乘運(yùn)算時(shí)宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，模與模相乘，輻角與輻角相加。模與模相乘，輻角與輻角相加。有向線段可用復(fù)數(shù)表示有向線段可用復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)可用幾種形式表示可用幾種形式表示1j 復(fù)數(shù)在進(jìn)行除運(yùn)算時(shí)宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，復(fù)數(shù)在進(jìn)行除運(yùn)算時(shí)宜采用指數(shù)式或極坐標(biāo)式，模與模相除，輻角與輻角相減。模與模相除，輻角與輻角相減。8-3 相量相量由歐拉恒等式，由歐拉恒等式， ej = cos +jsin 令令 = t+ Imej( t+ )= Imcos(

12、 t+ ) +jImsin( t+ )設(shè)設(shè) i(t)= Imcos( t+ )ReImej( t+ ) =Imcos( t+ )= i(t)ImImej( t+ ) =Imsin( t+ )Re(ej )= cos Im(ej )= sin 8-3 相量相量Imej( t+ )= Imcos( t+ ) +jImsin( t+ )設(shè)設(shè) i(t)= Imcos( t+ )i(t) = Imcos( t+ ) = ReImej( t+ ) =ReImej ej t由歐拉恒等式，由歐拉恒等式， ej = cos +jsin = ReIm ej t= Imej =Im / = Imcos +jImsi

13、n Im式中式中稱為正弦電流稱為正弦電流i(t)的的幅值相量幅值相量ImI = 2= Iej =I/ = Icos +jIsin 稱為正弦電流稱為正弦電流i(t)的的有效值相量有效值相量 +1 + j0 t1+ Im ti 0 t1 A t2A i= Imsin( t+ )i t t1 有向線段長度是有向線段長度是Im，t=0時(shí)，與橫時(shí)，與橫軸的夾角是軸的夾角是 ，以以角速度角速度 逆時(shí)針方逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，它在向旋轉(zhuǎn)，它在實(shí)軸上的投影，實(shí)軸上的投影，即為即為正弦電流的正弦電流的瞬時(shí)值瞬時(shí)值i= Imcos( t+ )t=t1時(shí)，時(shí)， i(t1)= Imcos( t1+ ) 由以上分析可知，一個(gè)

14、復(fù)數(shù)由模和輻角兩個(gè)特征量確定。由以上分析可知，一個(gè)復(fù)數(shù)由模和輻角兩個(gè)特征量確定。而正弦量具有幅值、初相位角和頻率三個(gè)要素。但在分析線性而正弦量具有幅值、初相位角和頻率三個(gè)要素。但在分析線性電路時(shí)，電路中各部分電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，電路時(shí)，電路中各部分電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個(gè)正弦量可以由幅值因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個(gè)正弦量可以由幅值和初相位兩個(gè)特征量來確定。和初相位兩個(gè)特征量來確定。 比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)來表示。復(fù)數(shù)的模即為比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)來表示。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值（或有效值），復(fù)數(shù)的輻

15、角即為正弦量的初相位。正弦量的幅值（或有效值），復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。 為與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并用為與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并用在大寫字母上打一在大寫字母上打一“”的符號(hào)表示。的符號(hào)表示。I=I = Iej =I(cos +jsin ) (有效值相量有效值相量) Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) (最大值相量最大值相量)的相量為的相量為例如例如i (t)= Imcos ( t+ ) = Ia +j Ib=Icos +jIsin =Iej =I最大最大值相量值相量有效有效值相量值相量0Im +1+jI IaIbI

16、= Iam +j Ibm=Imcos +jImsin =Imej =ImIm相相量量圖圖相量是相量是正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是時(shí)間的函數(shù)，所以二者之間并電是時(shí)間的函數(shù)，所以二者之間并。正弦量正弦量用用旋轉(zhuǎn)有向線段表示旋轉(zhuǎn)有向線段表示用復(fù)函數(shù)表示。用復(fù)函數(shù)表示。同頻率正弦量同頻率正弦量可以用可以用復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)來表示，稱之為來表示，稱之為相量相量。用大寫字母上打用大寫字母上打“”表示。表示。 IUm i= Imcos( t+ )例：已知某正弦電壓例：已知某正弦電壓Um=311V，f =50Hz， u=30，試，試寫出此電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式、最大值相量和有效值相量寫出此電壓的

17、瞬時(shí)值表達(dá)式、最大值相量和有效值相量，畫出此電壓的相量圖，求出，畫出此電壓的相量圖，求出t=0.01S時(shí)電壓的瞬時(shí)電壓的瞬 時(shí)值。時(shí)值。解：解： 瞬時(shí)值瞬時(shí)值 u=311cos(100 t+30 )=311 30 VUm u( 0.01) =311cos(100 0.01 +30 )= 269.3VU 30 =220VU = 2Um= 2311=220 30 VU 有效值相量有效值相量最大值相量最大值相量有效值有效值相量是相量是正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是正弦交流電的復(fù)數(shù)，正弦交流電是時(shí)間的函數(shù)，二者之間并時(shí)間的函數(shù)，二者之間并。 按照正弦量的大小和相位關(guān)系畫出的若干個(gè)相量的按照正弦量的大小

18、和相位關(guān)系畫出的若干個(gè)相量的圖形，稱為圖形，稱為相量圖相量圖。注意注意只有正弦量才能用相量表示；只有正弦量才能用相量表示；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；相相量量圖圖1j0 i1 i2I1mI2m例例 若若 i1= I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)，已知已知 i1=30， i2=65，I1m=2I1m試畫出相量圖。試畫出相量圖。i1(t)= 5cos(314t+ 60) Ai2(t)=10sin(314t+ 60)Ai3(t)= 7cos(314t+ 60 ) A寫出相量，繪相量圖寫出相量，繪相量圖i2(t)

19、 =10sin(314t+60) =10cos(314t30 ) =7cos(314t120 )A例例:i3(t) = 7cos(314t+ 60) I1m=5/60 AI3m=7/120 AI2m=10/30 A解：解：+j+160I1m -30-120I2m I3m 8-4 相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)1. 相量的線性性質(zhì)相量的線性性質(zhì) 表示若干個(gè)同頻率正弦量（可帶有實(shí)系數(shù)）線性組合表示若干個(gè)同頻率正弦量（可帶有實(shí)系數(shù)）線性組合的相量等于表示各個(gè)正弦量的相量的同一線性組合。亦即的相量等于表示各個(gè)正弦量的相量的同一線性組合。亦即 如設(shè)兩個(gè)正弦量分別為：如設(shè)兩個(gè)正弦量分別為

20、：i1(t) = Im1cos( t+ 1) = ReIm1 ej t 設(shè)設(shè) k1和和k2為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則正弦量為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t)可用相量可用相量 = ReIm2 ej ti2(t) = Im2cos( t+ 2) Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。表示。例例 若已知若已知 i1=I1mcos( t+ 1)=100cos( t+45 )A， i2=I2mcos( t+ 2)=60cos( t 30 )A ，試，試求求 i=i1+i2 。解解 j30-j452m1mme60e100IIIAe129)03j52()7 .70j7 .

21、70(02j18 于是得于是得 i2=129cos( t+18.33 )A 正弦電量的運(yùn)算可按正弦電量的運(yùn)算可按下列步驟下列步驟進(jìn)行進(jìn)行 正弦電量正弦電量（時(shí)間函數(shù)）（時(shí)間函數(shù)）正弦量運(yùn)算正弦量運(yùn)算所求正弦量所求正弦量變換變換相量相量（復(fù)數(shù)）（復(fù)數(shù)）相量結(jié)果相量結(jié)果反變換反變換相量運(yùn)算相量運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算（復(fù)數(shù)運(yùn)算)例例 若已知若已知 i1= I1 mcos( t+ i1)、 i2= I2 mcos( t+ i2)，用用相量圖求解相量圖求解 i1 + i2解：用相量圖求解解：用相量圖求解1j0 i1 i2ImIm1Im2 ii= I mcos( t+ i)8-4 相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)相量的線

22、性性質(zhì)和微分性質(zhì)2. 相量的微分性質(zhì)相量的微分性質(zhì) 這一性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容：這一性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容： 若若 Am 為給定正弦量為給定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，則的相量，則 j Am為為該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是可交換的（取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是可交換的（ Re和和可交換）；可交換）；dtd復(fù)值函數(shù)復(fù)值函數(shù) Amej t 對(duì)對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與 j 的乘積。的乘積。Ai1i3i2i1= I1 mcos( t+ 1)i2= I2 mcos

23、( t+ 2)i3= I3 mcos( t+ 3)由由基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)A的電流方程為的電流方程為i1 + i2 - i3 = 0節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)A的電流方程相量表達(dá)式為的電流方程相量表達(dá)式為AI1I2I3I2I3I1+= 0基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 8-4 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式根據(jù)相量的線性性質(zhì)根據(jù)相量的線性性質(zhì) 電路分析是確定電路中電路分析是確定電路中電壓與電流電壓與電流關(guān)系及關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)換能量的轉(zhuǎn)換問題。問題。iRu 本節(jié)從電阻、電容、電感兩端電壓與電流一般關(guān)系式入手，本節(jié)從電阻、電容、電感兩端電壓與電

24、流一般關(guān)系式入手，介紹在正弦交流電路中這些理想元件的介紹在正弦交流電路中這些理想元件的電壓電壓與與電流電流之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，為分析交流電路奠定基礎(chǔ)。下章再討論為分析交流電路奠定基礎(chǔ)。下章再討論功率功率和和能量轉(zhuǎn)換能量轉(zhuǎn)換問題。問題。R +ui電壓與電流的關(guān)系電壓與電流的關(guān)系在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。根據(jù)歐姆定律根據(jù)歐姆定律設(shè)設(shè)則則式中式中mmRIU 或或RIUIU mm可見，可見，R 等于電壓與電流有效值或最大值之比。等于電壓與電流有效值或最大值之比。8-4 三種基本電路元件三種基本電路元件VCR的相量形式的相

25、量形式i (t)= Imcos ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ ) 電壓與電流同頻率、同相位；電壓與電流同頻率、同相位； 電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 UI 電壓與電流相量表達(dá)式電壓與電流相量表達(dá)式 相量圖相量圖+1+j0RIU IRU R +uiU=UI=Ii (t)= Imcos ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ )iu波形圖波形圖 t0設(shè)設(shè) =0 設(shè)設(shè) 0fXL感抗感抗由由，有，有 感抗與頻率感抗與頻率f 和和L成正比。因此，電成正比。因此，電感線圈對(duì)高頻電流的阻礙作用很大，而感線圈對(duì)高頻電流的

26、阻礙作用很大，而對(duì)直流可視為短路。對(duì)直流可視為短路。tiLudd LmmmXILIU 式式中中LXL fLXL2 設(shè)在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。 +uiLXL與與 f 的關(guān)系的關(guān)系i= Imcos tu= LImsin t = Umcos( t+90)90 ； Um = XLIm U =XLI 用相量法可以把電感的電壓和電流的上面三方面用相量法可以把電感的電壓和電流的上面三方面的關(guān)系的的關(guān)系的(2)和和(3)統(tǒng)一用相量表示：統(tǒng)一用相量表示：Um = j XL ImU = j XLI即即: j I=I ej90 =I e

27、j ej90 =Ie j( +90 )因因jI 相當(dāng)于將相量相當(dāng)于將相量 I 逆時(shí)針轉(zhuǎn)了逆時(shí)針轉(zhuǎn)了90 U +1+j0I相量圖相量圖由上面的分析可知電感的電壓和電流的關(guān)系為由上面的分析可知電感的電壓和電流的關(guān)系為依據(jù)依據(jù)“相量的微分性質(zhì)相量的微分性質(zhì) ”,重新審視重新審視 這一性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容：這一性質(zhì)包含兩個(gè)內(nèi)容： 若若 Am 為給定正弦量為給定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，則的相量，則 j Am為為該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即該正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是可交換的（取實(shí)部和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

28、算是可交換的（ Re和和可交換）；可交換）；dtd復(fù)值函數(shù)復(fù)值函數(shù) Amej t 對(duì)對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與 j 的乘積。的乘積。U=j LItiLudd U +1+j0電壓超前電流電壓超前電流90 ；相量圖相量圖 電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 LIXU +uiLIi= Imcos tu= Umcos( t+90)i波形圖波形圖 t0uU I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL解：解：XL2=2 f2L=3140 10 30 j 31.4=0. 318 60A10 30 j 3140=0. 00318 60AXL1=2 f1L=31.4 U. UjXL1

29、.=I1=. UjXL2.I2=.I2I1.3060+1 例例: 已知已知L=0.1H，u=10 2cos（ t+30）V， 當(dāng)當(dāng)f1=50Hz，f2=5000Hz時(shí)，求時(shí)，求XL及及I，并畫出，并畫出U、I 相量圖。相量圖。.0fXc容抗容抗設(shè)設(shè)得得由由dtduCi CmmXICIU 1mCX 1C fCX 21C C +uiXC與與f 的關(guān)系的關(guān)系設(shè)在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。式中式中 容抗與頻率容抗與頻率f ，電容電容C 成反比。因成反比。因此，電容元件對(duì)高頻電流所呈現(xiàn)的容抗此，電容元件對(duì)高頻電流所呈現(xiàn)的容抗很小，

30、而對(duì)直流所呈現(xiàn)的容抗趨于無窮很小，而對(duì)直流所呈現(xiàn)的容抗趨于無窮大，故可視為開路。大，故可視為開路。u=Umcos ti= C Umsin t=Imcos( t+90)90 ； Um = XcIm U = Xc I 用相量法可以把電容的電壓用相量法可以把電容的電壓和電流的上面三方面的關(guān)系的和電流的上面三方面的關(guān)系的(2)和和(3) 統(tǒng)一用相量式表示：統(tǒng)一用相量式表示：Um = j Xc ImU = jXcI相量圖IU+1+j0即即: j I=I ej90 =I e j ej90 =Ie j( 90 )因因jI 相當(dāng)于將相量相當(dāng)于將相量 I 順時(shí)針轉(zhuǎn)了順時(shí)針轉(zhuǎn)了90 由上面的分析可知電容的電壓和電

31、流的關(guān)系為由上面的分析可知電容的電壓和電流的關(guān)系為u波形圖波形圖 t0iU +1+j0 電流超前電壓電流超前電壓90 相量圖相量圖I 電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 CIXU C +uiu= Umcos ti= C Umcos( t+90) 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = XC U jI 例例: 下圖中電容下圖中電容C=23 . 5 F，接在電源電壓接在電源電壓U=220V、頻率為頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i 。該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏？該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏？ 額定電壓額定電壓 解解: 容抗容抗 5 .

32、135211CfCCX A62. 1C XUIV311 C +uii= Imcos( t+90)= 2.3cos(314t+90)u =iR 電壓與電流電壓與電流同頻率、同相位同頻率、同相位電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 U=R I 或或 Um=R Im 電壓與電流相量表達(dá)式電壓與電流相量表達(dá)式 U=RI 電壓超前電流電壓超前電流90 didtu= L 電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 U=I XL，XL= LU I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL 電流超前電壓電流超前電壓90 電壓與電流大小關(guān)系電壓與電流大小關(guān)系 U=I XC，XC=1/ Cdudti= C 電壓與

33、電流相量式電壓與電流相量式 = XC U jI 電壓與電流相量表達(dá)式電壓與電流相量表達(dá)式 電壓與電流相量式電壓與電流相量式U I = j XL = ZL = I I YL1U I = R = ZR = I I YR18-6 VCR相量形式的統(tǒng)一相量形式的統(tǒng)一阻抗和導(dǎo)納的引入阻抗和導(dǎo)納的引入電壓與電流相量式電壓與電流相量式U I = j XC = ZC = I I YC1U = Z = I I Y1U Z = I 稱為復(fù)數(shù)阻抗，簡稱稱為復(fù)數(shù)阻抗，簡稱阻抗阻抗，單位為歐姆（，單位為歐姆（ ）。）。稱為復(fù)數(shù)導(dǎo)納，簡稱稱為復(fù)數(shù)導(dǎo)納，簡稱導(dǎo)納導(dǎo)納，單位為西門子（，單位為西門子（S）。）。Y = Z 1相

34、量模型：相量模型：電壓、電流用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示。電壓、電流用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示。U=RIU=j LIU = j I C1RUIIUj LIU j C1RuiuiLCui8-7 正弦電路與電阻電路的類比正弦電路與電阻電路的類比相量模型的引入相量模型的引入根據(jù)根據(jù)KVL可列出可列出已知已知u，求，求i. tiCtiLRid1dd +L +uCRiuLuCuR + +CLRuuuu 在在R、L、C串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。如用相量表示電壓與電流關(guān)系，如用相量表示電壓與電流關(guān)系，可把電路模型改畫為相量模型?？砂央娐?/p>

35、模型改畫為相量模型。CLRUUUU IXIXIRCLjj IXXRCL)( j )( jCLXXRIU RXXCLCLXXR arctanj22e)( jeZ + + + +URULUCUI電路的阻抗，用電路的阻抗，用 表示。表示。Z KVL相量表示式為相量表示式為Z = R2 +X2 =arc tan Z= R+j(XL-XC )XL-XC=X 電抗電抗阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角XR復(fù)數(shù)阻抗復(fù)數(shù)阻抗阻抗三角形阻抗三角形XRZ Z=R+jX = Z +L +uCRiuLuCuR + + + + + +URULUCUI)( jCLXXRIU Z = R2 +X2阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 =arc

36、tan XRZ =UI =UuIi=UIu- i = u- i阻抗阻抗Z=R+jX = Z 當(dāng)當(dāng)XLXC 時(shí)時(shí), X 0， 為正，電路中電壓超前電流為正，電路中電壓超前電流,電路呈電感性；電路呈電感性；當(dāng)當(dāng)XLXC 時(shí)時(shí), X 0， 為負(fù)，則電流超前電壓，電路呈電容性；為負(fù)，則電流超前電壓，電路呈電容性；當(dāng)當(dāng)XL=XC , X=0， =0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。 + + + +URULUCUI設(shè)電流設(shè)電流為參考正弦量為參考正弦量i= Imcos t則電壓則電壓u= Umcos( t+ ) 的大小和正負(fù)由的大小和正負(fù)由電路參數(shù)決定。電路參數(shù)決定。 為正

37、為正時(shí)時(shí)電路電路中電壓中電壓電流相電流相量圖量圖I UURUL UcULUc阻抗阻抗三角形三角形XL- XcR Z + + + +URULUCUIU= U2R+(UL - Uc)2各部分電壓有效值之間關(guān)系各部分電壓有效值之間關(guān)系URXZ 阻阻抗抗三三角角形形電電壓壓三三角角形形電壓、阻抗三角形電壓、阻抗三角形X = XL-XC UXULUC =+ UXUR例題：例題： 已知下圖所示電路中，已知下圖所示電路中，UL= UR= 40V， UC=80V，畫出該電路的相量圖，并計(jì)算總電壓畫出該電路的相量圖，并計(jì)算總電壓U 。CRLuRuLuciu+例題圖例題圖 URULUCI U解：根據(jù)基爾霍夫定律的

38、相量形式及各元解：根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式及各元件電壓、電流的相量關(guān)系，可得相量圖件電壓、電流的相量關(guān)系，可得相量圖由相量圖可知由相量圖可知 2 U = 40 V解：解：1. 感抗感抗 XL= L=314127 10-3=40 容抗容抗 XC= C1=31440 10-61=80 Z = R2 +(XL Xc)2=50 Z = 302 +(40 80)2復(fù)阻抗模復(fù)阻抗模 例例: R、L、C串聯(lián)電路如圖所示，已知串聯(lián)電路如圖所示，已知R=30 、L=127mH、C=40 F，電源電壓，電源電壓u=220 cos(314 t+45 ）V求：求：1. 感抗、容抗及復(fù)阻抗的模感抗、容抗及復(fù)阻抗的模;

39、2 .電流的有效值和瞬時(shí)電流的有效值和瞬時(shí)值表達(dá)式；值表達(dá)式；3. 各元件兩端電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式。各元件兩端電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式。 2CRLuRuLuciu+解：解：1. XL=40 XC= 80 =50 Z2. =220 45 VU 電壓相量電壓相量I =UZ=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 = 4.4 98 A I=4.4 Ai=4.4 cos(314 t+98 )A電流有效值電流有效值瞬時(shí)值瞬時(shí)值 2Ij LR+U URUCULuR= 132 2cos(314 t+98 )V3. =RI =132 98 VUR=I j XL=176 172 VULuL= 1

40、76 cos(314 t 172 )V 2UC= j XCI=352 8 VuC= 352 cos(314 t +8 )V 2 C1 j解：解：1、 XC= 8 I=12V 3 = 4 A 例例: 電路如圖電路如圖, 已知已知 R=3 ,電源電壓電源電壓u=17cos314t V, j XL = j 4 。求：。求：1 容抗為何值（容抗不等于零）開關(guān)容抗為何值（容抗不等于零）開關(guān)S閉合前后，電流閉合前后，電流 I 的有效值不變，這時(shí)的電流是多少？的有效值不變，這時(shí)的電流是多少？2容抗為何值，開關(guān)容抗為何值，開關(guān)S 閉合前電流閉合前電流 I 最大，這時(shí)的電流是最大，這時(shí)的電流是多少？多少？Z =

41、5 U = 17 1.414 =12VI=12V 5 =2.4A2、 Z 的值最小時(shí)的值最小時(shí), I 值最大值最大XC= 4 = R2 +(XLXC)2Z = R2 +XL2IRUjXCjXLS+ICIILIR=+i Ri Li CCRLiu+UR1=+j XL1j XC1（+）UR1=+XC1XL1 ）j（U=G+j（BC BL）容納容納電導(dǎo)電導(dǎo)感納感納Y=G+j（BC BL）R、L、C并聯(lián)電路的導(dǎo)納：并聯(lián)電路的導(dǎo)納：=YIUUY=I（1）導(dǎo)納）導(dǎo)納Z= 1 Y看另一個(gè)特例：看另一個(gè)特例：R、L、C并聯(lián)電路并聯(lián)電路 設(shè)設(shè) u= U mcos tIR相量圖相量圖IIcILIcILU1、 R、L

42、、C 并聯(lián)電路并聯(lián)電路uCRLiiRiciLUj LILIcIRIRj C1（2） 相量圖相量圖i Ri Li CCRLiu+U IIRIC ILICILI= IR2 + (ILIC)2（2） 相量圖相量圖IIRILIC 電流三角形電流三角形例例 已知已知IL=5A，IC=2A，IR=4A 求電流的有效值求電流的有效值I。解：解：I= 42+(52)2=5A1、 R、L、C并聯(lián)電路并聯(lián)電路 和計(jì)算復(fù)雜直流電路一樣，正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路也可和計(jì)算復(fù)雜直流電路一樣，正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路也可應(yīng)用支路電流法、回路分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、疊加原理應(yīng)用支路電流法、回路分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、疊加原理和戴維南定理等方法來分

43、析與計(jì)算。所不同的是電壓、和戴維南定理等方法來分析與計(jì)算。所不同的是電壓、電流應(yīng)以電流應(yīng)以表示，電阻、電感和電容及其組成的電路表示，電阻、電感和電容及其組成的電路應(yīng)以應(yīng)以復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)來表示。即正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路來表示。即正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路用其用其相量模型相量模型表示。表示。8-8 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 U = Z = I I Y1例子例子設(shè)設(shè) u= U mcos t相相量量圖圖IIcUURULIRLuiiRLicuRuLCL+RUj LIRLIcIRURUL+j C18-9 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦

44、穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 8-9 相量模型的網(wǎng)孔分析法相量模型的網(wǎng)孔分析法 和節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)分析法 一一.網(wǎng)孔分析法網(wǎng)孔分析法 電阻電路電阻電路正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型R11I1+ R12I2+R1nIn=Us11R21I1+ R22I2+R2nIn=Us21Rn1I1+ Rn2I2+RnnIn=UsnnZ11I1+ Z12I2+Z1nIn=Us11Z21I1+ Z22I2+Z2nIn=Us21Zn1I1+ Zn2I2+ZnnIn=Usnn65364)(CBAiRRRiRiRS4S3uu 6525)(ABiRRRiRS26 CuiR 541)(S4uS1u5 BiRAiRRR 4

45、ciR +US2-R1R2R4R6R3iCiAiBR5+US1-+US3-US4+令令 R11=R1+R4+R5 為第一網(wǎng)孔的為第一網(wǎng)孔的自電阻自電阻 令令 R12= R21 = R5為一、二兩網(wǎng)孔中為一、二兩網(wǎng)孔中互電阻互電阻令令 R13 =R31 =R4為一、三兩網(wǎng)孔中為一、三兩網(wǎng)孔中互電阻互電阻 令令 uS11= uS1-uS4為第一網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和為第一網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和R11iA+R12iB+R13iC=uS11R21iA+R22iB+R23iC=uS22R31iA+R32iB+R33iC=uS331 1自電阻自電阻* *網(wǎng)孔電流網(wǎng)孔電流+ +互電阻互電阻* *相鄰網(wǎng)孔電流

46、相鄰網(wǎng)孔電流= =網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和2 2自電阻自電阻總總為正為正值。值?；ル娮杌ル娮鑴t則有正有負(fù)，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時(shí)有正有負(fù)，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時(shí)，方向相同方向相同則則取正取正, , 方向相反取負(fù)方向相反取負(fù) 電阻電路的網(wǎng)孔分析法電阻電路的網(wǎng)孔分析法例：試列出圖示電路的網(wǎng)孔方程組。例：試列出圖示電路的網(wǎng)孔方程組。網(wǎng)孔方程組網(wǎng)孔方程組(3+j3)I1-j3I2=10/30-j3I1+(2+j3-j2)I2-2I3=0-2I2+(2-j)I3=-5II=I1-I2輔助方程輔助方程解：解： 3I1-j2-jI2I3j32125I 10 /30 I二二.節(jié)點(diǎn)分析法節(jié)點(diǎn)

47、分析法 電阻電路電阻電路G11U1+ G12U2+G1nUn=Is11G21U1+ G22U2+G2nUn=Is21Gn1U1+ Gn2U2+GnnUn=Isnn正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型Y11U1+ Y12U2+Y1nUn=Is11Y21U1+ Y22U2+Y2nUn=Is21Yn1U1+ Yn2U2+YnnUn=Isnn等號(hào)左端為通過各電導(dǎo)流出等號(hào)左端為通過各電導(dǎo)流出的全部電流之和，右端為流的全部電流之和，右端為流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)電流源之和。進(jìn)該節(jié)點(diǎn)電流源之和。 0)(35432315 uGGGuGuG0)(33232111 uGuGGGuG)(3521151 iuGuGuGGsnn

48、snnnnnsnnsnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG KKKKKK2211222222121111212111.G5G1G3G2G4isi1i2i5i41234選選4為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)i3s3s3iuGuGuGiuGuGuG 22232221211113212111s3iuGuGuG 33332321311. 1. 自電導(dǎo)自電導(dǎo)節(jié)點(diǎn)電位節(jié)點(diǎn)電位 + + 互電導(dǎo)互電導(dǎo)相鄰節(jié)點(diǎn)電位相鄰節(jié)點(diǎn)電位 = = 流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的電流源電流電流源電流2. 2. 自電導(dǎo)均為正值自電導(dǎo)均為正值( (相對(duì)相對(duì)) )，互電導(dǎo)均為負(fù)值。，互電導(dǎo)均為負(fù)值。電阻電路的節(jié)點(diǎn)分析法電阻電路的節(jié)點(diǎn)分析法例：例

49、： 試列出圖示電路的節(jié)點(diǎn)方程組。試列出圖示電路的節(jié)點(diǎn)方程組。節(jié)點(diǎn)方程組節(jié)點(diǎn)方程組3jU2I U1 =10/30UjjUj 3)12121(221 Uj 410輔助方程輔助方程03212)213131( UjUjj U131 解：解： 3-j2-jj3212345I 10 /30 IU4= 5 I一一. 無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效2. 正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)電路 abRZab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( ) 9-10 相量模型的等效相量模型的等效1. 電阻電路電阻電路RjXjBGabGN0wabN0abZ=R+jX兩種等效電路的關(guān)系兩種等效電路的關(guān)系串聯(lián)

50、串聯(lián) 并聯(lián)并聯(lián)Y=G+jBZ=R+jX2211XRjXRjXRZY 22XRjR 22XRX =G+jB 22XRX B=22XRR G=RjXjBG并聯(lián)并聯(lián) 串聯(lián)串聯(lián)Y=G+jB 2211BGjBGjBGYZ jXRBGBjBGG 2222BX1 GR1 阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)XBGB 22RBGG 22正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)電路 Zab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( )N0wabRjXjBG二二.含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效 1.電阻電路電阻電路 2.正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡(luò)正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡(luò) 戴維南戴維南等效電路等效電路 諾頓諾頓等效電路等效電路 諾頓諾頓等效電路等效電路 NN 戴維南戴維南等效電路等效電路 UocRoIscRoUocZoIscZo例：例： 圖示電路中圖示電路中i(t)=cos(3t+45) A, 求求u(t)。解：解：(1)作出相量模型作出相量模型abi(t)u(t)231H65H31FabIU 2- j j25 j 解：解： (1)作相量模型：作相量模型：(2)求求U552325225)2(2)2(jjjjjjjjabZ jjjjj 234105 45 2222j例：例： 圖示電路中圖示電路中i(t)=cos(3t