復(fù)變函數(shù)的積分 復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù) 河南理工大學(xué)王洪濤

1、1CH 3 復(fù)變函數(shù)的積分 1 1、復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念 2 2、柯西柯西- -古薩基本定理古薩基本定理 3 3、基本定理的推廣、基本定理的推廣 4 4、原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 5 5、柯西積分公式柯西積分公式 6 6、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 7 7、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2 2009, Henan Polytechnic University23.1 3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念& 4. 積分存在的條件及其計(jì)算法積分存在的條件及其計(jì)算法& 3. 積分性質(zhì)積分性質(zhì)& 2. 積分的定義積分的定義& 1. 有向曲線有

2、向曲線3 2009, Henan Polytechnic University31. 有向曲線有向曲線0)( )( ,)( )( )()()(:22 tytxCtytxttyytxxC且且、設(shè)設(shè) )1()()()()(: ttiytxtzC0)( )( tztz連連續(xù)續(xù)且且.平平面面上上的的一一條條光光滑滑曲曲線線zC 光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲線線約約定定 C:).(因因而而可可求求長(zhǎng)長(zhǎng)4 2009, Henan Polytechnic University4左左邊邊。的的內(nèi)內(nèi)部部一一直直在在觀觀察察者者的的一一周周前前進(jìn)進(jìn)觀觀察察者者順順此此方方向向沿沿正正方方向向閉閉曲曲線線CC,

3、: :的方向規(guī)定的方向規(guī)定CCA(起點(diǎn)起點(diǎn))B(終點(diǎn)終點(diǎn))CC;,: Cabbaba記作記作為負(fù)為負(fù)則則為正為正若若終點(diǎn)終點(diǎn)指定起點(diǎn)指定起點(diǎn)開(kāi)曲線開(kāi)曲線5 2009, Henan Polytechnic University5 2. 積分的定義積分的定義BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段個(gè)個(gè)任任意意分分劃劃成成將將kkkkkzfzz )()4(1 作作乘乘積積max,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為記記作作和和式式Dzzfw )()1(設(shè)設(shè)定義定義.)2(的一條光滑有向曲線的一條光滑有向曲線點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域BADCDABx

4、yo1 1z1 kzk kz1 nzkz 6 2009, Henan Polytechnic University6)2()(lim1)(0Izfnkkkn 若若如如何何取取無(wú)無(wú)論論如如何何分分割割iC , CdzzfBACzf)(,)()(記記作作的的積積分分從從沿沿曲曲線線為為則則稱(chēng)稱(chēng))3()(lim)(1 nkkknCzfdzzf 即即A CdzzfC)()1(記記作作若若閉閉曲曲線線 baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(,:)2(則則取取極極限限求求和和取取乘乘積積分分割割7 2009, Henan Polytechnic University72,)1(22abz

5、dzabdzbaCCC 則則的的任任一一曲曲線線表表示示連連接接點(diǎn)點(diǎn)若若特特例例：0, 0,)2( CCzdzdzC則則表表示示閉閉曲曲線線若若關(guān)關(guān)。和和的的形形狀狀還還不不僅僅因因?yàn)闉橐灰话惆悴徊荒苣軐?xiě)寫(xiě)成成存存在在如如果果方方向向有有與與曲曲線線有有關(guān)關(guān), ,與與 . ., ,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3( 8 2009, Henan Polytechnic University8 nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲線線.)()()()(,)5估估值值定定理理上上滿滿足足在在函函數(shù)數(shù)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為設(shè)設(shè) MLdszf

6、dzzfMzfCzfLCCC 3. 積分性質(zhì)積分性質(zhì) CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由積分定義得：由積分定義得：9 2009, Henan Polytechnic University94. 積分存在的條件及其計(jì)算法積分存在的條件及其計(jì)算法 CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存存在在即即可可積積必必沿沿上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在光光滑滑曲曲線線當(dāng)當(dāng)定理定理)4()( CCCudyvdxivdyudxdzzf且且.)(積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)的的可可通通過(guò)過(guò)二二

7、個(gè)個(gè)二二元元這這個(gè)個(gè)定定理理表表明明第第二二型型曲曲線線 CdzzfA Cidydxivu)(記憶記憶10 2009, Henan Polytechnic University10kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令)5(),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)(),(),( ),(),()(limlim1 證明證明.0實(shí)函數(shù)的曲線積分實(shí)函數(shù)的曲線積分時(shí)

8、，均是時(shí)，均是當(dāng)當(dāng) 11 2009, Henan Polytechnic University11!),(),( ),(),( 存存在在、 CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都都故故上上連連續(xù)續(xù)在在上上連連續(xù)續(xù)在在CyxvyxuCzf),(),(,)(A Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),(一一定定存存在在。是是光光滑滑曲曲線線時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)是是：當(dāng)當(dāng)推推論論 cdzzfCzf)(,)(1連連續(xù)續(xù)線線積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算。數(shù)數(shù)的的可可以以通通過(guò)過(guò)兩兩個(gè)個(gè)二二元元實(shí)實(shí)函函：推推論論 cdzzf)(212 2009, Henan Polytechnic

9、 University12 )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(終終起起終終起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )( )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線由曲線積分的計(jì)算法得由曲線積分的計(jì)算法得)6()( )()( dttztzfdzzfC13 2009, Henan Polytechnic University13)10(43: ttytxOAzdzC計(jì)計(jì)算算例例1 10)43()43(d

10、titizdzC2102)43(21)43(itdti 解解 CCidydxiyxzdz)(,無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)右右邊邊兩兩個(gè)個(gè)積積分分都都與與路路徑徑容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證2)43(21)(:idzzfCOAC ，其其上上積積分分的的曲曲線線連連接接 CCxdyydxiydyxdx又解又解Aoxy14 2009, Henan Polytechnic University14.,)(010為為整整數(shù)數(shù)為為半半徑徑的的正正向向圓圓周周為為中中心心表表示示以以這這里里計(jì)計(jì)算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)sin(cos02202020ndninr

11、inididerininn Cnzzdz10)( 20)1(1derirenini15 2009, Henan Polytechnic University15 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn .,0應(yīng)應(yīng)記記住住以以后后經(jīng)經(jīng)常常用用到到, ,這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)及及這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果與與半半徑徑zrA 16 2009, Henan Polytechnic University16oxyiz 101C2C3C)()2)13201見(jiàn)見(jiàn)圖圖的的值值計(jì)計(jì)算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1)(1010 tdtdtiittdzzC1

12、01:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(101017 2009, Henan Polytechnic University17.1;,1,2121向向的的下下半半圓圓周周，逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒绞鞘菃螁挝晃粓A圓順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳虻牡纳仙习氚雸A圓周周是是單單位位圓圓其其中中的的值值計(jì)計(jì)算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例418 2009, Henan Polytechnic University18分析

13、分析1的積分例子的積分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1與路徑無(wú)關(guān)，即與路徑無(wú)關(guān)，即即，即，的積分值相同，的積分值相同，任意任意它沿連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的它沿連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的在全平面解析在全平面解析中中例例解解析析。的的非非單單連連通通區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處但但在在除除去去即即不不解解析析的的點(diǎn)點(diǎn)為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)中中例例000,02120zzzzidzzzrzz 3.2 3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理19 2009, Henan Polytechnic University19.,)(3有有關(guān)關(guān)的的值值與與積積分分路路徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處

14、不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的：復(fù)積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的積分值積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)析區(qū)域的單連通有關(guān).先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討)( ,)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在且且內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè)DzfDivuzf 20 2009, Henan Polytechnic University20yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并滿滿足足都都是是連連續(xù)續(xù)的的內(nèi)內(nèi)在在以以及及它它們們的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和, CCcu

15、dyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)()(公公式式由由格格林林 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( 21 2009, Henan Polytechnic University21.)( ,1900這這一一條條件件去去掉掉了了連連續(xù)續(xù)將將且且定定理理的的新新證證明明給給出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的積積分分內(nèi)內(nèi)沿沿任任一一條條閉閉曲曲線線在在處處處處解解析析的的內(nèi)內(nèi)單單連連通通區(qū)區(qū)域域給給出出了了年年.,)( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)

16、續(xù)且且在在存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解析析的的定定義義為為Dzf.1851簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單證證明明定定理理的的上上述述給給出出了了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :,內(nèi)內(nèi)存存在在在在改改為為從從此此解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義修修定定理理這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 22 2009, Henan Polytechnic University22定理仍成立.定理仍成立.連續(xù),連續(xù),在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在的邊界的邊界為為若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf內(nèi)內(nèi)任任一一條條閉閉曲曲線線為為內(nèi)內(nèi)解解析析平平

17、面面上上單單連連通通區(qū)區(qū)域域在在設(shè)設(shè)Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的邊界的邊界為為若若BCBzfBC A BC也稱(chēng)也稱(chēng)Cauchy定理定理23 2009, Henan Polytechnic University23(3)定理中曲線定理中曲線C不必是簡(jiǎn)單的！如下圖不必是簡(jiǎn)單的！如下圖.BBC推論推論 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意內(nèi)解析，則對(duì)任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)z0, z1B, 積分積分c f (z)dz不依賴(lài)于連接起點(diǎn)不依賴(lài)于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)與終點(diǎn)z1的曲線，的曲線，即積分與路徑無(wú)關(guān)即積分與路徑無(wú)關(guān).C

18、 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf見(jiàn)上圖見(jiàn)上圖z1z0C1C2C1C2z0z124 2009, Henan Polytechnic University24練習(xí)：練習(xí)：;2- (1)1 zzdz;cos (2)1 zzdz; (3)1 zzdzze. (4)1 zzdz例例1 .)2(0)cos-a(1y)sin-(,)282(2的一拱的一拱是擺線是擺線其中其中求求 axCdzzzC解解 , 182 2在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù) zz所以積分與路線無(wú)關(guān)所以積分與路線無(wú)關(guān), 根據(jù)牛根據(jù)牛萊公式萊公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182

19、(azzz 2023432.2163162233aaa 25 2009, Henan Polytechnic University25.,),(,:21順順時(shí)時(shí)針針是是逆逆時(shí)時(shí)針針及及每每一一條條曲曲線線互互不不包包含含也也不不相相交交閉閉曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)部部的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單是是在在閉閉其其中中 iinCCCCCCCDC)2()()()1(0)(,)(,.121 niccnidzzfdzzfdzzfDzfDBCCCCB或或則則內(nèi)內(nèi)解解析析在在且且有有界界多多連連通通區(qū)區(qū)域域所所圍圍成成的的是是由由設(shè)設(shè)復(fù)合閉路定理：復(fù)合閉路定理：3.3 3.3 基本定理推廣基本定理推廣復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理26

20、2009, Henan Polytechnic University26 221121)()(LLLLcccdzzfdzzf證明證明0)()( HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf 21CCC設(shè)設(shè)DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：內(nèi)內(nèi)的的正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線在在包包含含如如：對(duì)對(duì)任任意意27 2009, Henan Polytechnic University27說(shuō)明說(shuō)明 kkCCCCCC21:,)1(三三者者之之間間的的關(guān)關(guān)系系.,:,)2(按按順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳虬窗茨婺鏁r(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳虻牡奶靥攸c(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線的的正正向向kkC

21、CCC kkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121 kcccdzzfdzzfdzzf)()()(128 2009, Henan Polytechnic University28A 1)()(ccdzzfdzzf此式說(shuō)明一個(gè)解析函此式說(shuō)明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變的積分值，只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)的的f(z)的不解析點(diǎn)的不解析點(diǎn).閉路變形原理閉路變形原理D CC1C1C129 2009, Henan Polytechn

22、ic University29.1:12 2任任意意正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算 zdzzzz例例1 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01, 011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo30 2009, Henan Polytechnic University30.1:1 2任任意意正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算 zdzzz練習(xí)練習(xí) 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01, 011(21 CCdzzdzz0221111

23、2 iidzzdzzCC 解解 C1C21xyo31 2009, Henan Polytechnic University313.4 3.4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分& 1.原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念& 2. 積分計(jì)算公式積分計(jì)算公式32 2009, Henan Polytechnic University32 1. 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 由由2基本定理的推論知：設(shè)基本定理的推論知：設(shè)f (z)在單連通區(qū)在單連通區(qū)域域B內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)解析，則對(duì)B中任意曲線中任意曲線C, 積分積分c fdz與路與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)

24、有關(guān). 當(dāng)起點(diǎn)固定在當(dāng)起點(diǎn)固定在z0, 終點(diǎn)終點(diǎn)z在在B內(nèi)變動(dòng)內(nèi)變動(dòng),c f (z)dz在在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則F(z)在在B內(nèi)解析，且內(nèi)解析，且)()( zfzF 33 2009, Henan Polytechnic University33定義定義 若函數(shù)若函數(shù) (z) 在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f (z) ，即，即 ,稱(chēng)稱(chēng) (z)為為f (z)在在B內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù). )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理

25、表明上面定理表明 是是f (z)的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù).設(shè)設(shè)H (z)與與G(z)是是f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，的任何兩個(gè)原函數(shù)，)(,)()(0)()()( )( )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)cczHzGzfzfzHzGzHzG 這表明：這表明：f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù). czFdzzf)()(定義定義 設(shè)設(shè)F(z)是是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，稱(chēng)的一個(gè)原函數(shù)，稱(chēng)F(z)+c(c為為任意常數(shù)任意常數(shù))為為f (z)的不定積分，記作的不定積分，記作34 2009, Henan Polytechnic University342. 積分計(jì)算公式積分計(jì)算

26、公式定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，內(nèi)解析， F(z)是是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式.A 但是要求函數(shù)是但是要求函數(shù)是解析解析的的,比以前的比以前的連續(xù)連續(xù)條件要強(qiáng)條件要強(qiáng)35 2009, Henan Polytechnic University35例例1 計(jì)算下列積分：計(jì)算下列積分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為為為半半圓圓周周：其其中中 解解1) 32|1211,0

27、0Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解36 2009, Henan Polytechnic University36., 1arg1)2的的任任意意曲曲線線終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)：為為單單連連通通區(qū)區(qū)域域其其中中zzDCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，是是又又內(nèi)解析內(nèi)解析在在解解2)37 2009, Henan Polytechnic University37例例3 計(jì)算下列積分：計(jì)算下列積分：32|332izdzziiii 1

28、1111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 38 2009, Henan Polytechnic University38小結(jié)小結(jié) 求積分的方法求積分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfBCBzf則則單單連連通通解解析析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz 則則單單連連通通內(nèi)內(nèi)解解析析在在若若39 2009, Henan Polytechnic Univers

29、ity39問(wèn)題提出問(wèn)題提出3.5 Cauchy3.5 Cauchy積分公式積分公式 . , 0中一點(diǎn)中一點(diǎn)為為為一單連通域?yàn)橐粏芜B通域設(shè)設(shè)BzB ,d)( 0 Czzzzf一般不為零一般不為零所以所以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果zzzzfBzf .0的閉曲線的閉曲線內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞為為zBC如何求這個(gè)值，這個(gè)值會(huì)是多少呢？如何求這個(gè)值，這個(gè)值會(huì)是多少呢？40 2009, Henan Polytechnic University400)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在則則的的一一條條閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞是是內(nèi)內(nèi)解解析析在在單單連連通通

30、設(shè)設(shè) CdzzzzfzzzzfzDCBzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的內(nèi)內(nèi)部部曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)部部的的任任意意包包含含由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理得得CCz 10,具體分析具體分析DCz0C141 2009, Henan Polytechnic University41)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上的的函函數(shù)數(shù)值值在在的的連連續(xù)續(xù)性性 .,這這就就是是下下面面的的定定理理這這個(gè)個(gè)猜猜想想是是對(duì)對(duì)的的DCz0C1猜想積分猜想

31、積分特別取特別取42 2009, Henan Polytechnic University42定理定理(Cauchy 積分公式積分公式)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含于于曲曲線線內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉是是內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在設(shè)設(shè)CzDDCDzf0)3,)2,)()1 Cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.000000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK 只只須須證證明明無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的半半徑徑與與的的內(nèi)內(nèi)部部設(shè)設(shè)證明證明43 2009, Henan Polytechnic University

32、43 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfRzzK即即要要證證 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzzfzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()(44 2009, Henan Polytechnic University44)(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)( 積積分分公公式式仍仍成成立立. .上上連連續(xù)續(xù)及及在在內(nèi)內(nèi)解解析析, ,所所圍圍區(qū)區(qū)域域在在( (1 1) )若若定定理理?xiàng)l條件件改改為為Ca

33、uchyBBCBCzf,)( A .定了內(nèi)部任一 處則它在區(qū)域 ,的值在區(qū)域即若 .表示可以用它在邊 的值內(nèi)部任一點(diǎn)積分公式表明函數(shù)在的函數(shù)值也被確一經(jīng)確定邊界上界上的值 ) )( ( ( (2 2) )zfCCauchy(這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)45 2009, Henan Polytechnic University45 CidzzzzfizfeRzzC000214)()( :)( 則則若若 即：即： 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值圓周上的平均值. . 200 ) (21dieReReRzfiiii 200) (21de

34、Rzfi(3) 公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的一種方法的一種方法.46 2009, Henan Polytechnic University46 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解47 2009, Henan Polytechnic University47.1122線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任意意簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單正正向向曲曲為為包包含含求求 zCdzzzzC例例2 2122212

35、1212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 積積分分公公式式由由48 2009, Henan Polytechnic University48).( ,sin)(,4ifzdzzfyxCC 12222求求）（為為圓圓周周設(shè)設(shè) 例例3解解 ) )1(2(cos)1( 2)2(cos20)( 2)2(sin22 02sin)(2sin22iiifzzizzfzzizdzzfC 故故又又在在全全平平面面上上處處處處解解析析，49 2009, Henan Polytechnic Univers

36、ity49內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介 本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式.研究表明：一個(gè)解析函數(shù)研究表明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.6 6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)50 2009, Henan Polytechnic University50求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊在在積積分分號(hào)號(hào)下下對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)積積分分公公式式0000)()(21)

37、(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明.51 2009, Henan Polytechnic University51.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而且且它它的的內(nèi)內(nèi)部部任任意意正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的解解析析區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠谄淦渲兄须A階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為它它的的

38、的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù)解解析析函函數(shù)數(shù) 定理定理證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義.zzfzzfzfDznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先證證52 2009, Henan Polytechnic University52 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西積積分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令為令為I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 53 2

39、009, Henan Polytechnic University53 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 則則有有取取則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 54 2009, Henan Polytechnic University54）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzzzzfizzfzzfzf 從從而而有有顯顯然然，的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的情形的情形的方法可

40、證的方法可證式及推導(dǎo)式及推導(dǎo)再利用再利用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次類(lèi)推，用數(shù)學(xué)歸納法可得依次類(lèi)推，用數(shù)學(xué)歸納法可得55 2009, Henan Polytechnic University55 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(無(wú)無(wú)窮窮次次可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)解解析析即即在在具具有有各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù).)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可計(jì)計(jì)算算積積分分

41、用用途途56 2009, Henan Polytechnic University56 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列積積分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面處處解析在全平面處處解析解解57 2009, Henan Polytechnic University57的的內(nèi)內(nèi)部部不不相相交交且且在在取取處處不不解解析析在在CCCizCizCizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(CzCzCzdzziedzziedzze 212222)

42、()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 58 2009, Henan Polytechnic University58)41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii CnzdzzerzC, 1:,)3 求求下下列列積積分分值值 423)1(cos,)4zdzzzz 求求下下列列積積分分值值i )12( )!1(2, 1;2, 1 ninin 原原式式原原式式59 2009, Henan Polytechnic University59).1(3)( ,)(173)(322ifdzzzzfz

43、 求求設(shè)設(shè) 例例260 2009, Henan Polytechnic University607 7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系.),()00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為則則稱(chēng)稱(chēng)即即（方方程程續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連在在若若二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)DyxyxLaplaceDyx 定義定義.),(),(),(),()( 內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)是是，內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf 定理定理61 2009, Henan Polytechnic University61證明：證明：設(shè)設(shè)f (z)=u

44、(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)理理由由解解析析函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定, 0 D2222 yuxu內(nèi)有內(nèi)有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有62 2009, Henan Polytechnic University620, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。是是，Dyxvvyxuu),(),

45、( .),(),(D,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱(chēng)稱(chēng)使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvivuDyxu 定義定義63 2009, Henan Polytechnic University63上面定理說(shuō)明：上面定理說(shuō)明：.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實(shí)實(shí)D.),(),(),(),()(:的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)必為必為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的

46、的兩兩個(gè)個(gè)方方程程內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：64 2009, Henan Polytechnic University64.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處處處不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程，即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它的的虛虛部部方方利利用