同角三角函數(shù)的基本關系式

1、7.3同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式復習引入：復習引入：任意角三角函數(shù)的定義：任意角三角函數(shù)的定義：任取角任取角的終邊上一點的終邊上一點P(x,y),P(x,y),點點P P到原點的距離記作到原點的距離記作r r， 那么定義那么定義由定義我們可得由定義我們可得sinsin，coscos，tantan滿足下列關系：滿足下列關系：|22OPrxy（則 ）sin,cos,tanyxyrrx1.1.平方關系：平方關系：2.2.商數(shù)關系：商數(shù)關系：sintancos22sincos1,為什么會有這樣的關系呢？下面我們來學習它們的證明1、證明：sincos2222222yxyxaarrr

2、 由三角函數(shù)的定義，可得22222rxyrxy因為 ，所以 22sincos1,aa所以 v2、證明：sin.tancosyrxray ryaar xx由三角函數(shù)的定義，的sintancos所以 在單位圓中，角在單位圓中，角的終邊的終邊OP與與OM、MP組成直組成直角三角形，角三角形， 的長度是的長度是正弦正弦的絕對值，的絕對值， 的長度是的長度是余弦余弦的絕對值，的絕對值，|OP|=1根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得sin2+cos2=1.MPOMxyo(x,y)(x,y)M M另外，也可用正弦、余弦線來證明平方關系另外，也可用正弦、余弦線來證明平方關系 4、 是是 的簡寫形式，與的簡寫形式，與

3、 不同。不同。 2sin2)(sin 2sin 注意事項：注意事項：1. 公式中的角一定是公式中的角一定是同角同角，否則公式可能，否則公式可能不成立不成立. 如如sin230+cos2601. 2.同角同角不要拘泥于形式不要拘泥于形式， ，6等等都可以等等都可以.2如如sin24+cos24=1. 3. 在運用商數(shù)關系時，要注意等式成立的在運用商數(shù)關系時，要注意等式成立的限制條件限制條件. 即即cos0. k+ + ，kZ. 2(1) 當我們知道一個角的某一個三角函數(shù)值當我們知道一個角的某一個三角函數(shù)值時，可以利用這兩個三角函數(shù)關系式和三角時，可以利用這兩個三角函數(shù)關系式和三角函數(shù)定義，函數(shù)定

4、義，求求出這個角的出這個角的其余三角函數(shù)值其余三角函數(shù)值。 同角三角函數(shù)關系式的應用：同角三角函數(shù)關系式的應用：(2) 此外，還可用它們此外，還可用它們化簡三角函數(shù)式化簡三角函數(shù)式和和證證明三角恒等式明三角恒等式。 4.常用變形：常用變形：22sin1 cos 22cos1 sin sincostan在公式應用中,不僅要注意公式的正用,還要注意公式的逆用和變用.221sincos1,a、 sin2tancos、 sintan .cos 22sin1 cos 22cos1 sin sincostan221sincos1,a、 sin2tancos、 例例1 已知已知 ，并且，并且是第二象限角，是

5、第二象限角，求求的余弦值和正切值的余弦值和正切值54sin分析：由平方關系可求分析：由平方關系可求cos的值，的值，由已知條件和由已知條件和cos的值可以求的值可以求tan的值，的值，解：解：sin2+cos2=1，是第二象限角是第二象限角.2243cos1sin1(),55 例例2已知已知 ，且，且是第四象限角，是第四象限角，求求sin、cos的值的值. tan 5分析：我們把分析：我們把sina和和cos看成兩個未知數(shù)，只看成兩個未知數(shù)，只要列出要列出sina和和cos的方程組，就可以求出的方程組，就可以求出sina和和cos解：由題意和三角函數(shù)的基本關系式，得解：由題意和三角函數(shù)的基本關

6、系式，得解：由題意和三角函數(shù)的基本關系式，得解：由題意和三角函數(shù)的基本關系式，得sincos5 22sincos1,asincoscoscos225161=6aaaa 由得，把它代入整理得， cos1666aa因為 是第四象限角，所以sincosa5630566a 故例例3. 已知已知tan=-3 ,求求2sincos的值。的值。解：由已知可得解：由已知可得方程組方程組sincos3 22sincos1,asincoscoscos2231101=10aaaa 由得，把它代入整理得， sincos(cosa)cosacos2231636610105aaa 故2例例4 化簡：化簡： 1tancos

7、sin解：原式解：原式= sincossin1cossincossincoscos=cos. 例例5. 求證：求證：(1)sin4cos4=2sin21；(2) tan2sin2=tan2sin2；(3)cossinsincosxxxx 11證明：（證明：（1）原式左邊原式左邊=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1sin2) =2sin21=右邊右邊. 所以所以sin4cos4=2sin21(2) 2222sintansintan證明：證明：原式右邊原式右邊=tan2(1cos2) =tan2tan2cos2 2222sintancoscos=tan2

8、sin2=左邊左邊. 因此因此 2222sintansintan1s inc o sxx21sin(1sin ) cosxxxcossin( )sincos131xxxx 證明證明:（法一）（法一） 左邊左邊coscos(1 sin )cosxxxx=右邊右邊 原等式成立原等式成立.v（法二） cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincosxxxxxxxxxxxxxxxx 22221111011=1因為所以例例6 已知已知tan=2=2求值求值： sincos(1)2sin3cos解解：（：（1）分子分母同除以分子分母同除以cos tan1=2tan3原式=1/7. 221(2)sincos（2）分子分子“1”換為換為 “sin2 +cos2” 2222sincos=sincos原式=5/3. 22tan1tan122cossin1) 1 (換為cossintan)2(切化弦：2)cos(sincossin21 )3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1 ()4( 小結小結sintan .cos 22sin1 cos 22cos1 sin sincostan221sincos1,a、 sin2tancos、 證明等式的常用