線性代數(shù)：6-1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 1.方陣方陣A可對(duì)角化：可對(duì)角化： .,11 PPAAPPP 或或使使及及對(duì)對(duì)角角陣陣可可逆逆陣陣n階方陣階方陣A可對(duì)角化可對(duì)角化 A有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量推論推論:如果如果n階矩陣階矩陣A的的n個(gè)特征值互不相等個(gè)特征值互不相等,則則A可對(duì)角化可對(duì)角化A可對(duì)角化可對(duì)角化 對(duì)對(duì)A的每個(gè)特征值的每個(gè)特征值,皆成立皆成立 m1 PPA 的對(duì)角線元素為的對(duì)角線元素為A的特征值，的特征值， :P的的n列為對(duì)應(yīng)的特征向量列為對(duì)應(yīng)的特征向量.2.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化特征值全為實(shí)數(shù)特征值全為實(shí)數(shù). . 對(duì)每個(gè)特征值對(duì)每個(gè)特征值 ，都有，都有 屬于不同特

2、征值的特征向量必正交。屬于不同特征值的特征向量必正交。 mA可可即存在正交陣即存在正交陣Q，使，使TAQQQQ 1思考題思考題: n階階AA2 Ar (A) r，解：解： 0Axx x 22A xx xx 2 01或或 x 20Ar (A) r 可逆陣可逆陣P ，使，使rIAPP 1000() | () ()()nnn rrn rIAAI 2121212.2rn ()rn rPIPIIOOI 1222orIAPPPP 1122思考題思考題: 已知已知3階實(shí)可逆陣階實(shí)可逆陣A、B, A的特征值為的特征值為111123,此處此處 為互異正整數(shù)，若為互異正整數(shù)，若B的的, 123特征值為特征值為5,

3、 1, 7, 且且 求求 ，BAA 1 2()6,并寫出并寫出 的相似對(duì)角陣的相似對(duì)角陣. .A AB 1,解解: 由題意知由題意知A可對(duì)角化，即存在可逆陣可對(duì)角化，即存在可逆陣P，使，使APP 1111213BPP 2111211222133666 123123 211121222133656167, 123第六章第六章第一節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第一節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第六章二次型第六章二次型例例 對(duì)二次曲線對(duì)二次曲線221axbxycy 作坐標(biāo)變換作坐標(biāo)變換cossinsincosxxyyxy 可化為標(biāo)準(zhǔn)形可化為標(biāo)準(zhǔn)形221m xn y cossinsincosxxyy 線性變換線性變換 212

4、111121213131122222323222,22222nnnnnnnnfxxxa xa x xa x xa x xa xa x xax xa x 稱為稱為二次型二次型. .1、定義、定義一、二次型及有關(guān)概念一、二次型及有關(guān)概念含有含有n個(gè)變量個(gè)變量 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)12,nxxx當(dāng)當(dāng)aij是復(fù)數(shù)時(shí)，是復(fù)數(shù)時(shí)，f 稱為復(fù)二次型稱為復(fù)二次型當(dāng)當(dāng)aij是實(shí)數(shù)時(shí)，是實(shí)數(shù)時(shí)，f 稱為實(shí)二次型稱為實(shí)二次型說明：我們只考慮實(shí)二次型說明：我們只考慮實(shí)二次型只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為二次型；都為

5、二次型； 23222132144,xxxxxxf 323121321,xxxxxxxxxf 2221122nnft xt xt x 23222132144,xxxxxxf 而也為標(biāo)準(zhǔn)形而也為標(biāo)準(zhǔn)形.(1)用和號(hào)表示用和號(hào)表示對(duì)二次型對(duì)二次型ijjix xx x 2、表示法、表示法 212111121213131122222323222,22222nnnnnnnnfxxxa xax xax xax xaxax xax xax 取取aij = aji , 則則2aij xi xj = aij xi xj + aji xj xi , 于是于是2111121211221212222221122nnnn

6、nnnnnnnfaxax xax xax xaxax xax xax xax ,1nijiji ja x x (2)用矩陣表示用矩陣表示 11111221221122221122nnnnnnnnnnfxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax 11112212112222121122,nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxax 1111212122221212,nnnnnnnnxaaaaaaxxxxaaax 11112121222212,nnnnnnnxaaaaaaxAxaaax 若記若記則二次型可記作則二次型可記作 f xTAx，其中，其中A為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣二次型

7、與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：任給一個(gè)二次型可唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；任給一個(gè)二次型可唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為二次型稱為二次型 f 的矩陣；的矩陣； f 稱為實(shí)對(duì)稱矩陣稱為實(shí)對(duì)稱矩陣A的二次型；的二次型；實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩稱為二次型的秩稱為二次型 f 的秩；的秩；標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為對(duì)角陣. 試寫出下列二次型的矩陣試寫出下列二次型的矩陣222112213233(1)24786fxx xxx xx xx【解【解】11223

8、32,7,1,aaa ,aa22112 13314,aa23323.aa224273.431A 2212341213(2) (,)324f xxxxxxx x說明說明 雖然實(shí)際表達(dá)式中只有三個(gè)不同變量，但必須按雖然實(shí)際表達(dá)式中只有三個(gè)不同變量，但必須按記號(hào)中出現(xiàn)的變量個(gè)數(shù)為準(zhǔn)不過一般不特別指明記號(hào)中出現(xiàn)的變量個(gè)數(shù)為準(zhǔn)不過一般不特別指明的話，總以實(shí)際出現(xiàn)的不同變量數(shù)為其矩陣的維數(shù)的話，總以實(shí)際出現(xiàn)的不同變量數(shù)為其矩陣的維數(shù) 0000000200200203A【解】【解】 以題意，該二次型的矩陣應(yīng)為以題意，該二次型的矩陣應(yīng)為試寫出下列二次型的矩陣試寫出下列二次型的矩陣 112323231,1150

9、20 xfxxxxx A 310122231521220152022 1212711217022一般二次型一般二次型 f (x) xTBx 的矩陣為的矩陣為 T()BB T1()2ABB (因?yàn)橐驗(yàn)閒 (x) = f T(x) 問題：?jiǎn)栴}： 給定二次型給定二次型 ，如何，如何T,1nijiji jfx Axa x x 11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 即即1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppyxpppy 即即x = P y ( | P |0) ，使二次型在新變量，使二次型在新變量 下

10、下,12nyyy成標(biāo)準(zhǔn)形，即成標(biāo)準(zhǔn)形，即 TTTTfx AxPyA PyyP AP y關(guān)于關(guān)于 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, , 12,nyyy也即要使也即要使 成為對(duì)角陣成為對(duì)角陣. .TP AP確定一個(gè)可逆的線性變換確定一個(gè)可逆的線性變換由于對(duì)任一對(duì)稱陣由于對(duì)任一對(duì)稱陣A，總可找到正交陣總可找到正交陣Q，使，使二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義：定義：對(duì)對(duì)n階方陣階方陣A, B，若存在滿秩陣，若存在滿秩陣P，使成立使成立B = PTAP, 則稱則稱A與與B合同合同合同關(guān)系滿足：自反性，對(duì)稱性，傳遞性合同關(guān)系滿足：自反性，對(duì)稱性，傳遞性化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形使實(shí)對(duì)稱矩陣合同于實(shí)對(duì)角

11、矩陣使實(shí)對(duì)稱矩陣合同于實(shí)對(duì)角矩陣1TQAQQAQ 即即A與與 既相似又合同既相似又合同.定義定義: 若若Q為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 y = Qx 稱為稱為正交變換正交變換定理定理1 任給二次型任給二次型 T,1ni jiji jjii jfx Axa x xaa 總有正交變換總有正交變換xQ y，使，使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形2221122nnfyyy 其中為其中為f 的矩陣的矩陣A= (aij )的特征值的特征值12n 、 、1、正交變換法、正交變換法3 求正交變換求正交變換xQ y，將將 22123112223,244fxxxxx xxx x 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形. 并問

12、并問 f 2表示什么曲面？表示什么曲面？220212020A 142AI1231,4,2 對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量 TTT1232,1, 2,2, 2,1,1,2,2 規(guī)范化規(guī)范化TTT1232 1222 11 2 2,3 3333 33 3 3qqq 記記 , ,則則 123,Qq q q 令令xQ y，則，則 123,1,4, 2TQ AQdiagdiag TTTTfx Axy Q AQyyy 22222211223312342yyyyyy 222123422yyy 表示雙曲面表示雙曲面.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：2221122nnfy

13、yy 1. 將二次型表成矩陣形式將二次型表成矩陣形式 f xTAx ，求出，求出A；2. 求出求出A的所有特征值的所有特征值 ;12n 、 、 、3. 求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 ；12n 、 、4. 將特征向量將特征向量 正交化，單位化得正交化，單位化得12n 、 、12nqqq、 、 、，記，記 ； 12,nQqqq 5. 作正交變換作正交變換xQ y，則得，則得 f 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形注意注意: :(1) f xTAx 經(jīng)過正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形，其經(jīng)過正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形，其系數(shù)一定是系數(shù)一定是A的特征值的特征值(2) 正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的

14、長度不變. 即若即若xQ y是正交變換，則必有是正交變換，則必有22xy (3)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變保持幾何形狀不變4設(shè)二次型設(shè)二次型222123122313222fxaxxbx xx xx x 經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換 xQ y 化成化成22234fyy則常數(shù)則常數(shù)a =_、b =_、r(A) =_. 【解解】f xTAx,111111bAba A的特征值的特征值0，1，4. 由由0 + 1 + 4 = 1 + a + 1 得得 a = 3 再由再由| A | = 0 可得可得 b = 1 進(jìn)一步可求出正交變換進(jìn)一步可求出正交變

15、換 xQ y r(A) = 2 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0、1、4 TTT1231, 0, 1,1, 1,1,1,2,1 A111131111 qqqTTT1231111, 0, 1,1, 1,1,1,2,1236 規(guī)范化得規(guī)范化得 Qqqq123, 記記則則正交變換為正交變換為 xQ y.fxxxx xx xx xyy222123122313222332224 5Af xTAxx = Q y化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，其中矩陣，其中矩陣2221234yyy 123,Q ，且試求所作的變換，且試求所作的變換 T311,1,13 x = Q y【解解】由】由Q正交知，兩兩正交，且由題設(shè)知正交知，兩兩正交，且由題

16、設(shè)知123, A3 是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于4的特征向量的特征向量設(shè)設(shè)A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 T123,xxxx 則由知?jiǎng)t由知T30 x 1230 xxx 由此可得由此可得A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 TT121,1,0,1,0,1 經(jīng)正交化，規(guī)范化得經(jīng)正交化，規(guī)范化得 TT12111,1,0,1,1, 226 即即因此，正交變換因此，正交變換x = Q y為為11223311126311126321063xyxyxy 112321233231112631112632163xyyyxyyyxyy 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何問題：?jiǎn)栴}：形狀不變形狀不變2.(拉格朗

17、日拉格朗日)配方法配方法有沒有其它方法有沒有其它方法,也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？ 22123112223,244fxxxxx xxx x 22211222232(2)4xx xxxx x 222212223332444xxxx xxx 22212233224xxxxx令令121232332xxzxxzxz 即即11 0012001xz 記記111 0012001P 1P 滿秩陣滿秩陣則則x = P z 時(shí)，有時(shí)，有22212324fzzz 用配方法用配方法例例3中中 22123112223,244fxxxxx xxx x 用正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形2

18、2212342fyyy 規(guī)范形為規(guī)范形為 222123fttt fxxxxxxx xx xx x222123123122313,3222 xxxx221232()2 令令xxxzxzxz12312233 即即xz111010001 記記P11 1 10 1 00 0 1 1P 滿秩陣滿秩陣則則x = P z 時(shí)，有時(shí)，有fzz22122 用配方法用配方法 fxxxxxxx xx xx x222123123122313,3222 用正交變換用正交變換xQ y可可化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形fyy22234 例例4中中規(guī)范形為規(guī)范形為 2212ftt 1.若二次型含有若二次型含有xi的平方項(xiàng)，則直接配方的平方項(xiàng)，則直接配方; 拉格朗日配方法的步驟：拉格朗日配方法的步驟：2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是aij 0(ij ),則則先作可逆線性變換先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再配方化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再配方.iijjijkkxyyxyyxykn ki j (1,2, ;, ) ijnxxxx1, ijnyyyy 1111,111 即即 6化二次型化二次型 fxxxx xx