方開泰、劉民千、周永道《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與建?！氛n件-8

1、- 第八章第八章 -混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)18.1 引言引言l合金鋼材：以鐵為基礎(chǔ)再加適量的鑷、鉻、錳、碳等成分組成l氖燈燈泡：有氦、氖、氬、氙等多種惰性氣體l飲料：含有多種果汁及糖份和水；l中藥、酒類產(chǎn)品的制造則更復(fù)雜，多種的物質(zhì)混制而成2例例 8.1 咖啡面包面粉 水白糖植物起酥油 椰子汁 鹽發(fā)酵粉 乳化劑 丙酸鈣 咖啡粉香精 食用色素 如何決定各成分的比率? 試驗(yàn)試驗(yàn)混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)3設(shè)有 s 個(gè)因素: X1, , Xs 并滿足 Xi 0, i = 1, , s 且 X1 + + Xs = 1. 試驗(yàn)區(qū)域?yàn)閱渭冃危篢s = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1

2、 + + xs = 1. 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) (Scheff, 1958)單純形重心設(shè)計(jì) (Scheff, 1963)Cox 設(shè)計(jì) (1971) 及軸設(shè)計(jì) (Cornell, 1975)常見的混料設(shè)計(jì)方法:極大極小或極小極大距離設(shè)計(jì) (Johnson, 1990)4模型模型l一次型l二次型l三次型由于存在各成分之和為1的限制條件，混料試驗(yàn)的回歸方程中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)、三次項(xiàng)等，而只有一次項(xiàng)和交互項(xiàng)，采用Scheff 典型多項(xiàng)式典型多項(xiàng)式 = b1x1 + b2x2 + + bs xs11siiijijiij syxx xbb 1()siiijijijijijijkijkiijijij kyxx

3、 xx xxxx x xbbb 58.2 常見混料設(shè)計(jì)常見混料設(shè)計(jì)三因素的試驗(yàn)區(qū)域：6A. 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)s 分量分量 m 階格子點(diǎn)集階格子點(diǎn)集 s,m： 其 s 個(gè)頂點(diǎn)，各邊 m 等分點(diǎn)，及各等分點(diǎn)連成的與一邊成平行線的交點(diǎn)的總體。各點(diǎn)的坐標(biāo)為：s,m 中總點(diǎn)數(shù)：s+m+1 m7二維及三維標(biāo)準(zhǔn)單純形格子點(diǎn)集8B. 單純形重心設(shè)計(jì)單純形重心設(shè)計(jì)ls 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)為單純形各頂點(diǎn)，即 (1, 0, , 0), , (0, , 0, 1);l 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)采自單純形各邊的中點(diǎn)，坐標(biāo)為 (1/2, 1/2, 0, , 0) 的置換;l l 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)采自單純形各r 1 維面的重心，坐標(biāo)為 (1

4、/r, 1/r, , 0) 的置換;l l最后一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)單純形的重心，坐標(biāo)為 (1/s, 1/s, , 1/s)。2s sr 9三因素單純形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)各坐標(biāo)為 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2), (1/3, 1/3, 1/3)，10C. 最優(yōu)回歸設(shè)計(jì)最優(yōu)回歸設(shè)計(jì)l一階多項(xiàng)式模型：l連續(xù)設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)點(diǎn)為全部 s 個(gè)頂點(diǎn)，且權(quán)重為1/s，l確定性設(shè)計(jì)：下列集合中任一設(shè)計(jì)l二階模型：當(dāng) s=3，l連續(xù)設(shè)計(jì)：三頂點(diǎn)加三條邊中點(diǎn)，權(quán)重都為1/6l確定性設(shè)計(jì)：與上面一樣 (同單純

5、形格子點(diǎn)設(shè)計(jì))l三階模型： 十個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，不同于單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)11D. Scheff 型設(shè)計(jì)型設(shè)計(jì)單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)和單純形重心設(shè)計(jì)在邊界有許多試驗(yàn)點(diǎn)，以致不能做具體的試驗(yàn)。lScheff 型設(shè)計(jì)型設(shè)計(jì)：將這些設(shè)計(jì)往單純形的重心壓縮12例例 s=313例例 s=3148.3 混料均勻設(shè)計(jì)混料均勻設(shè)計(jì)l將 n 個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，即 n 種不同的試驗(yàn)配方均勻地散布在Ts 內(nèi)，而不存在邊界上的設(shè)計(jì)點(diǎn) 怎樣設(shè)計(jì)這些試驗(yàn)點(diǎn)? 逆變換方法逆變換方法 條件法條件法15假設(shè)隨機(jī)向量c = (c1, c2, , cs1) 服從 s1 維立方體 Cs1 上的均勻分布，則從 Cs1 到標(biāo)準(zhǔn)單純形 Ts 上的變換所得的隨機(jī)向量

6、 x = (x1, x2, , xs) 服從 s 1 維標(biāo)準(zhǔn)單純形 Ts 上的均勻分布。11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx16逆變換方法逆變換方法給定在超立方體 C s-1 上的均勻設(shè)計(jì)：ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 做如下的變換:11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx則 xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 為 Ts 上面的均勻設(shè)計(jì).17例例 8.2構(gòu)造一個(gè) n = 12, s = 3 的混料均勻設(shè)計(jì)。2121 6210324854612(12 ),7189951011113127U

7、0.512kk0.0417 0.45830.125 0.79170.2083 0.1250.2917 0.6250.375 0.29170.4583 0.95830.5417 0.04170.625 0.70830.7083 0.3750.7917 0.8750.875 0.20830.9583 0.5417c;18此時(shí)變換 (8.8) 變?yōu)?(8.9).);1 (;121321211kkkkkkkkccxccxcx.3997. 05773. 00230. 08026. 01267. 00707. 01199. 07592. 01210. 05630. 02627. 01743. 03844.

8、 03844. 02313. 01607. 05464. 02929. 06105. 00291. 03604. 00256. 05384. 04359. 02817. 01950. 05233. 02853. 00839. 06307. 00678. 01454. 07868. 0),(321kkkkxxxx19幾何意義： T3x1x2x320給定 (x1, x2, x3)，原坐標(biāo) (c1, c2) 如下132212()3cxxcxc1c221不同設(shè)計(jì)變換后的比較不同設(shè)計(jì)變換后的比較l原來(lái)的均勻性好l原來(lái)的均勻性差22試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果篩選后的模型： = 0.317 + 1.823x1 2.5

9、68x12 + 1.257x1x2 0.947x22,其 R2 = 0.995，2 = 0.0002436l最優(yōu)解最優(yōu)解：x1 = 0.4238，x2 =0.2813 時(shí)，y 達(dá)到最大值 0.7033，此時(shí) x3 = 0.2949 。23在在Ts 上的均勻性測(cè)度lF-偏差：?jiǎn)渭冃紊掀钆c變換前的偏差一樣l均方距離l均方根偏差l最大距離偏差lDM2偏差：直接定義在 Ts 上上248.4 有限制的混料均勻設(shè)計(jì)有限制的混料均勻設(shè)計(jì)l上下界限制條件：0 ai Xi bi 1, i = 1,sl組合限制條件：l保序限制條件： 0 xi1 xi2 xik 1,1skkiikiLc xU25可行解區(qū)域變化可

10、行解區(qū)域變化例如，只有下界限制時(shí)，可行解區(qū)域如下l最優(yōu)回歸設(shè)計(jì)l混料均勻設(shè)計(jì)26可行解區(qū)域可行解區(qū)域可把 Ts(a, b) 變?yōu)閰^(qū)域 Ts(l,u) ，其中 而1(a,b)(,) :01 1, , 1ssiiiiTxxaxbisx: max(,1), :min( ,1). iiiiiila bbub aa 1, 1,iiaabb27有上下界限制的混料均勻設(shè)計(jì)有上下界限制的混料均勻設(shè)計(jì)l在超立方體Cs1 上產(chǎn)生一個(gè)均勻設(shè)計(jì)Un(ns1)， 記為U = (uij)。l計(jì)算l對(duì)每個(gè)i 計(jì)算28 則X = (xij), i = 1, , n, j = 1, , s 為在限制區(qū)域Ts(l,u) 中的一個(gè)

11、均勻設(shè)計(jì)，其中(注意遞推是從s 1 下降至2)29例例 8.4 咖啡面包咖啡面包設(shè)各成分限制條件為30例例 8.4 (續(xù)續(xù))31例例 8.4 (續(xù)續(xù))32組合限制的混料均勻設(shè)計(jì)組合限制的混料均勻設(shè)計(jì) 由組合限制條件，可得x1, , xs 的限制范圍更為寬松的上下界限制l,u。因此，我們首先構(gòu)造在Ts(l,u) 上的混料均勻設(shè)計(jì)，然后把該設(shè)計(jì)中滿足組合限制條件(8.13) 的試驗(yàn)點(diǎn)保留，而除去不滿足條件的試驗(yàn)點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的設(shè)計(jì)33保序限制條件的混料均勻設(shè)計(jì)保序限制條件的混料均勻設(shè)計(jì)l若向量x =(x1, x2, , xs) 是無(wú)限制條件混料設(shè)計(jì)區(qū)域Ts 上的均勻分布隨機(jī)向量。則向量的次序統(tǒng)計(jì)量(x(1) , , x(s) 服從保序限制條件混料設(shè)計(jì)區(qū)域Tos 上的均勻