方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-8

1、- 第八章第八章 -混料試驗設計18.1 引言引言l合金鋼材：以鐵為基礎再加適量的鑷、鉻、錳、碳等成分組成l氖燈燈泡：有氦、氖、氬、氙等多種惰性氣體l飲料：含有多種果汁及糖份和水；l中藥、酒類產品的制造則更復雜，多種的物質混制而成2例例 8.1 咖啡面包面粉 水白糖植物起酥油 椰子汁 鹽發(fā)酵粉 乳化劑 丙酸鈣 咖啡粉香精 食用色素 如何決定各成分的比率? 試驗試驗混料試驗設計混料試驗設計3設有 s 個因素: X1, , Xs 并滿足 Xi 0, i = 1, , s 且 X1 + + Xs = 1. 試驗區(qū)域為單純形：Ts = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1

2、 + + xs = 1. 單純形格子點設計 (Scheff, 1958)單純形重心設計 (Scheff, 1963)Cox 設計 (1971) 及軸設計 (Cornell, 1975)常見的混料設計方法:極大極小或極小極大距離設計 (Johnson, 1990)4模型模型l一次型l二次型l三次型由于存在各成分之和為1的限制條件，混料試驗的回歸方程中沒有常數(shù)項、二次項、三次項等，而只有一次項和交互項，采用Scheff 典型多項式典型多項式 = b1x1 + b2x2 + + bs xs11siiijijiij syxx xbb 1()siiijijijijijijkijkiijijij kyxx

3、 xx xxxx x xbbb 58.2 常見混料設計常見混料設計三因素的試驗區(qū)域：6A. 單純形格子點設計單純形格子點設計s 分量分量 m 階格子點集階格子點集 s,m： 其 s 個頂點，各邊 m 等分點，及各等分點連成的與一邊成平行線的交點的總體。各點的坐標為：s,m 中總點數(shù)：s+m+1 m7二維及三維標準單純形格子點集8B. 單純形重心設計單純形重心設計ls 個設計點為單純形各頂點，即 (1, 0, , 0), , (0, , 0, 1);l 個設計點采自單純形各邊的中點，坐標為 (1/2, 1/2, 0, , 0) 的置換;l l 個設計點采自單純形各r 1 維面的重心，坐標為 (1

4、/r, 1/r, , 0) 的置換;l l最后一個設計點為標準單純形的重心，坐標為 (1/s, 1/s, , 1/s)。2s sr 9三因素單純形重心設計試驗點各坐標為 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2), (1/3, 1/3, 1/3)，10C. 最優(yōu)回歸設計最優(yōu)回歸設計l一階多項式模型：l連續(xù)設計：設計點為全部 s 個頂點，且權重為1/s，l確定性設計：下列集合中任一設計l二階模型：當 s=3，l連續(xù)設計：三頂點加三條邊中點，權重都為1/6l確定性設計：與上面一樣 (同單純

5、形格子點設計)l三階模型： 十個設計點，不同于單純形格子點設計11D. Scheff 型設計型設計單純形格子點設計和單純形重心設計在邊界有許多試驗點，以致不能做具體的試驗。lScheff 型設計型設計：將這些設計往單純形的重心壓縮12例例 s=313例例 s=3148.3 混料均勻設計混料均勻設計l將 n 個試驗點，即 n 種不同的試驗配方均勻地散布在Ts 內，而不存在邊界上的設計點 怎樣設計這些試驗點? 逆變換方法逆變換方法 條件法條件法15假設隨機向量c = (c1, c2, , cs1) 服從 s1 維立方體 Cs1 上的均勻分布，則從 Cs1 到標準單純形 Ts 上的變換所得的隨機向量

6、 x = (x1, x2, , xs) 服從 s 1 維標準單純形 Ts 上的均勻分布。11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx16逆變換方法逆變換方法給定在超立方體 C s-1 上的均勻設計：ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 做如下的變換:11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx則 xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 為 Ts 上面的均勻設計.17例例 8.2構造一個 n = 12, s = 3 的混料均勻設計。2121 6210324854612(12 ),7189951011113127U

7、0.512kk0.0417 0.45830.125 0.79170.2083 0.1250.2917 0.6250.375 0.29170.4583 0.95830.5417 0.04170.625 0.70830.7083 0.3750.7917 0.8750.875 0.20830.9583 0.5417c;18此時變換 (8.8) 變?yōu)?(8.9).);1 (;121321211kkkkkkkkccxccxcx.3997. 05773. 00230. 08026. 01267. 00707. 01199. 07592. 01210. 05630. 02627. 01743. 03844.

8、 03844. 02313. 01607. 05464. 02929. 06105. 00291. 03604. 00256. 05384. 04359. 02817. 01950. 05233. 02853. 00839. 06307. 00678. 01454. 07868. 0),(321kkkkxxxx19幾何意義： T3x1x2x320給定 (x1, x2, x3)，原坐標 (c1, c2) 如下132212()3cxxcxc1c221不同設計變換后的比較不同設計變換后的比較l原來的均勻性好l原來的均勻性差22試驗結果試驗結果篩選后的模型： = 0.317 + 1.823x1 2.5

9、68x12 + 1.257x1x2 0.947x22,其 R2 = 0.995，2 = 0.0002436l最優(yōu)解最優(yōu)解：x1 = 0.4238，x2 =0.2813 時，y 達到最大值 0.7033，此時 x3 = 0.2949 。23在在Ts 上的均勻性測度lF-偏差：單純形上偏差與變換前的偏差一樣l均方距離l均方根偏差l最大距離偏差lDM2偏差：直接定義在 Ts 上上248.4 有限制的混料均勻設計有限制的混料均勻設計l上下界限制條件：0 ai Xi bi 1, i = 1,sl組合限制條件：l保序限制條件： 0 xi1 xi2 xik 1,1skkiikiLc xU25可行解區(qū)域變化可

10、行解區(qū)域變化例如，只有下界限制時，可行解區(qū)域如下l最優(yōu)回歸設計l混料均勻設計26可行解區(qū)域可行解區(qū)域可把 Ts(a, b) 變?yōu)閰^(qū)域 Ts(l,u) ，其中 而1(a,b)(,) :01 1, , 1ssiiiiTxxaxbisx: max(,1), :min( ,1). iiiiiila bbub aa 1, 1,iiaabb27有上下界限制的混料均勻設計有上下界限制的混料均勻設計l在超立方體Cs1 上產生一個均勻設計Un(ns1)， 記為U = (uij)。l計算l對每個i 計算28 則X = (xij), i = 1, , n, j = 1, , s 為在限制區(qū)域Ts(l,u) 中的一個

11、均勻設計，其中(注意遞推是從s 1 下降至2)29例例 8.4 咖啡面包咖啡面包設各成分限制條件為30例例 8.4 (續(xù)續(xù))31例例 8.4 (續(xù)續(xù))32組合限制的混料均勻設計組合限制的混料均勻設計 由組合限制條件，可得x1, , xs 的限制范圍更為寬松的上下界限制l,u。因此，我們首先構造在Ts(l,u) 上的混料均勻設計，然后把該設計中滿足組合限制條件(8.13) 的試驗點保留，而除去不滿足條件的試驗點，從而得到相應的設計33保序限制條件的混料均勻設計保序限制條件的混料均勻設計l若向量x =(x1, x2, , xs) 是無限制條件混料設計區(qū)域Ts 上的均勻分布隨機向量。則向量的次序統(tǒng)計量(x(1) , , x(s) 服從保序限制條件混料設計區(qū)域Tos 上的均勻