山東省青島市2015屆高三一模數(shù)學(xué)(文)試題 Word版含解析[thancy3]

1、2015年山東省青島市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）（2015青島一模）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（） A 1+i B 1i C 1i D 1+i【考點】： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【專題】： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)【分析】： 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值【解析】： 解：=故選：D【點評】： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題2（5分）（2015青島一模）設(shè)全集I=R，集合A=y|y=log2x，x2，B=x|y=，則（） A AB B AB=A C AB= D A（IB）【考點

2、】： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】： 計算題；集合【分析】： 化簡集合A，B，即可得出結(jié)論【解析】： 解：由題意，A=y|y=log2x，x2=（1，+），B=x|y=1，+），AB，故選：A【點評】： 本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集3（5分）（2015青島一模）如圖是某體育比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（） A 5和1.6 B 85和1.6 C 85和0.4 D 5和0.4【考點】： 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【專題】： 圖表型【分析】

3、： 根據(jù)均值與方差的計算公式，分布計算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可【解析】： 解：根據(jù)題意可得：評委為某選手打出的分數(shù)還剩84，84，84，86，87，所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85，所剩數(shù)據(jù)的方差為（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故選B【點評】： 本題考查莖葉圖、平均數(shù)和方差，對于一組數(shù)據(jù)通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，它們分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題4（5分）（2015青島一模）“nN*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的（） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C

4、 充要條件 D 即不充分也不必要條件【考點】： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】： 等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】： 由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，可得數(shù)列an為等差數(shù)列；若數(shù)列an為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2，由充要條件的定義可得答案【解析】： 解：由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，由n的任意性可知，數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差是固定的常數(shù)，即數(shù)列an為等差數(shù)列，反之，若數(shù)列an為等差數(shù)列，易得2an+1=an+an+2，故“nN*，2an+1=an+an+2”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”

5、的充要條件，故選C【點評】： 本題考查充要條件的判斷，涉及等差數(shù)列的判斷，屬基礎(chǔ)題5（5分）（2015青島一模）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（） A 2 B C D 3【考點】： 簡單空間圖形的三視圖【專題】： 計算題；空間位置關(guān)系與距離【分析】： 根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可【解析】： 解：根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是：V=3x=3故選D【點評】： 由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵6（5分）（2015青島一模）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線l上，則

6、雙曲線的方程為（） A =1 B =1 C =1 D =1【考點】： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】： 由已知得，由此能求出雙曲線方程【解析】： 解：雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線l上，解得a=2，b=，雙曲線方程為=1故選：A【點評】： 本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用7（5分）（2015青島一模）設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，下列命題中正確的是（） A 若m，n，mn，則 B 若m，n，mn，則 C 若m，n，mn，則 D 若m，n，mn，則【考點

7、】： 平面與平面之間的位置關(guān)系【專題】： 空間位置關(guān)系與距離【分析】： 利用線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理即可判斷出答案【解析】： 解：選擇支C正確，下面給出證明證明：如圖所示：mn，m、n確定一個平面，交平面于直線lm，ml，lnn，l，l，故C正確故選C【點評】： 正確理解和掌握線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵8（5分）（2015青島一模）函數(shù)y=4cosxe|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（） A B C D 【考點】： 函數(shù)的圖象【專題】： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】： 先驗證函數(shù)y=4cosxe|x|是否具備奇偶性，排除

8、一些選項，在取特殊值x=0時代入函數(shù)驗證即可得到答案【解析】： 解：函數(shù)y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e|x|=4cosxe|x|=f（x），函數(shù)y=4cosxe|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除BD，又f（0）=y=4cos0e|0|=41=3，只有A適合，故選：A【點評】： 本題主要考查函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)圖象的選擇題，通常先驗證奇偶性，排除一些選項，再代特殊值驗證，屬于中檔題9（5分）（2015青島一模）已知ABC的三邊分別為4，5，6，則ABC的面積為（） A B C D 【考點】： 余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計算【專題】： 解三角形【分析】： 根據(jù)余弦定理先

9、求出其中一個角的余弦值，然后求出對應(yīng)的正弦值，利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論【解析】： 解：ABC的三邊長a=4，b=5，c=6，由余弦定理得cosC=，sinC=三角形的面積為S=absinC=×4×5×=故選：B【點評】： 本題主要考查了三角形的面積的計算，利用余弦定理和正弦定理求出其中一個角的正弦值是解決本題的關(guān)鍵10（5分）（2015青島一模）已知點G是ABC的外心，是三個單位向量，且2+=，如圖所示，ABC的頂點B，C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，則G點的軌跡為（） A 一條線段 B 一段圓弧 C 橢圓的一部分 D 拋物線的一部分【考點】

10、： 軌跡方程【專題】： 計算題；直線與圓【分析】： 確定點G是BC的中點，ABC是直角三角形，A是直角，BC=2，根據(jù)ABC的頂點B、C分別在x軸和y軸的非負半軸上移動，即可得出結(jié)論【解析】： 解：點G是ABC的外心，且2+=，|點G是BC的中點，ABC是直角三角形，A是直角，是三個單位向量，BC=2ABC的頂點B、C分別在x軸和y軸的非負半軸上移動G的軌跡是以原點為圓心1為半徑的圓弧，故選：B【點評】： 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷三角形的形狀，屬于中檔題二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）（2015青島一模）已知函數(shù)f（x）=tanx+sinx+20

11、15，若f（m）=2，則f（m）=4028【考點】： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【專題】： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】： 根據(jù)解析式得出f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，即可求解【解析】： 解：函數(shù)f（x）=tanx+sinx+2015，f（x）=tanxsinx+2015，f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，f（m）=2，f（m）=4028故答案為：4028【點評】： 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，整體運用的思想，屬于容易題，難度不大12（5分）（2015青島一模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是132；【考點】： 程序框圖【專題】： 圖表型；算法和程序框

12、圖【分析】： 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的s，i的值，當(dāng)i=10時，不滿足條件i11，退出循環(huán)，輸出s的值為132【解析】： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=12，s=1滿足條件i11，s=12，i=11滿足條件i11，s=132，i=10不滿足條件i11，退出循環(huán)，輸出s的值為132故答案為：132【點評】： 本題主要考查了程序框圖和算法，依次正確寫出每次循環(huán)得到的s，i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查13（5分）（2015青島一模）在長為12cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，使鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為【考點】： 幾何概型【專題

13、】： 概率與統(tǒng)計【分析】： 設(shè)AC=x，則BC=12x，由矩形的面積S=x（12x）20可求x的范圍，利用幾何概率的求解公式可求【解析】： 解：設(shè)AC=x，則BC=12x矩形的面積S=x（12x）20x212x+2002x10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率P=故答案為：【點評】： 本題主要考查了二次不等式的解法，與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率的求解公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題14（5分）（2015青島一模）設(shè)z=x+y其中x，y滿足，若z的最大值為6，則z的最小值為3【考點】： 簡單線性規(guī)劃【分析】： 先根據(jù)條件畫出可行域，觀察可行域，當(dāng)直線z=x+y過A點時取最大值，從而求出k

14、值，再當(dāng)直線z=x+y過B點時取最小值，求出z最小值即可【解析】： 解：作出可行域如圖：直線x+y=6過點A（k，k）時，z=x+y取最大，k=3，z=x+y過點B處取得最小值，B點在直線x+2y=0上，B（6，3），z的最小值為=6+3=3故填：3【點評】： 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題15（5分）（2015青島一模）若X是一個集合，是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：X屬于，屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于則稱是集合X上的一個拓撲已知集合X=a，b，c，對于下面給出的四個集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，

15、b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的拓撲的集合的序號是【考點】： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】： 壓軸題；新定義【分析】： 根據(jù)集合X上的拓撲的集合的定義，逐個驗證即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；滿足：X屬于，屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于，因此是，從而得到答案【解析】： 解：=，a，c，a，b，c；而ac=a，c，故不是集合X上的拓撲的集合；=，b，c，b，c，a，b，c，滿足：X屬于，屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于因此是集合X上的拓撲的集合；=，a，a，b，a，c

16、；而a，ba，c=a，b，c，故不是集合X上的拓撲的集合；=，a，c，b，c，c，a，b，c滿足：X屬于，屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于因此是集合X上的拓撲的集合；故答案為【點評】： 此題是基礎(chǔ)題這是考查學(xué)生理解能力和對知識掌握的靈活程度的問題，重在理解題意本題是開放型的問題，要認真分析條件，探求結(jié)論，對分析問題解決問題的能力要求較高三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16（12分）（2015青島一模）某市甲、乙兩社區(qū)聯(lián)合舉行迎“五一”文藝匯演，甲、乙兩社區(qū)各有跳舞、笛子演奏、唱歌三個表演項目，其中甲社區(qū)表演隊中表演跳

17、舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人（）若從甲、乙社區(qū)各選一個表演項目，求選出的兩個表演項目相同的概率；（）若從甲社區(qū)表演隊中選2人表演節(jié)目，求至少有一位表演笛子演奏的概率【考點】： 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【專題】： 概率與統(tǒng)計【分析】： （）若從甲、乙社區(qū)各選一個表演項目，選出的兩個表演項目所有基本事件的個數(shù)，求出相同的事件的個數(shù)，即可求解概率；（）從甲社區(qū)表演隊中選2人表演節(jié)目，列出所有基本事件的個數(shù)，找出至少有一位表演笛子演奏的事件個數(shù)，然后求解概率【解析】： （本小題滿分12分）解：（）記甲、乙兩社區(qū)的表演項目：跳舞、笛子演奏、唱歌分別為A1，B1，C1；A

18、2，B2，C2則從甲、乙社區(qū)各選一個表演項目的基本事件有（A1，A2），（A1，B2），（A1，C2），（B1，A2），（B1，B2），（B1，C2），（C1，A2），（C1，B2），（C1，C2）共9種，（4分）其中選出的兩個表演項目相同的事件3種，所以（6分）（）記甲社區(qū)表演隊中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分別為a1，b1，b2，c1，c2，c3則從甲社區(qū)表演隊中選2人的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2

19、），（c1，c3），（c2，c3）共15種（10分）其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9種，所以（12分）【點評】： 本題考查古典概型的概率的求法，列出所有基本事件，做到不重復(fù)不漏是解題的關(guān)鍵17（12分）（2015青島一模）已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）+a（0）圖象上最高點的縱坐標(biāo)為2，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為（）求a和的值；（）求函數(shù)f（x）在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間【考點】： 正弦函數(shù)的單調(diào)性；兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】： （）根據(jù)條件確定函數(shù)最值和周期，利用三角函數(shù)的公式進行化簡即可求a和的值；（）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)

20、遞減區(qū)間【解析】： 解：（）=（4分）當(dāng)時，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高點的縱坐標(biāo)為2，3+a=2，即a=1（6分）又f（x）圖象上相鄰兩個最高點的距離為，f（x）的最小正周期為T=故，=1（8分）（）由（）得由得（10分）令k=0，得：故函數(shù)f（x）在，上的單調(diào)遞減區(qū)間為（12分）【點評】： 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的圖象以及三角函數(shù)的輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵18（12分）（2015青島一模）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，BAD=90°，BC=1，AB

21、=，AD=AA1=3，E1為A1B1中點（）證明：B1D平面AD1E1；（）證明：平面ACD1平面BDD1B1【考點】： 直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定【專題】： 空間位置關(guān)系與距離【分析】： （）連結(jié)A1D交AD1于G，證明B1DE1G，利用直線與平面平行的判定定理證明B1D平面AD1E1 （）設(shè)ACBD=H，通過BHCDHA，結(jié)合BC=1，AD=3，求出，證明ACBD，然后證明BB1AC，得到AC平面BDD1B1，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ACD1平面BDD1B1【解析】： （本小題滿分12分）證明：（）連結(jié)A1D交AD1于G，因為ABCDA1B1C1D1為四棱柱，所

22、以四邊形ADD1A1為平行四邊形，所以G為A1D的中點，又E1為A1B1中點，所以E1G為A1B1D的中位線，所以B1DE1G（4分）又因為B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D平面AD1E1 （6分）（）設(shè)ACBD=H，因為ADBC，所以BHCDHA又BC=1，AD=3，所以，ADBC，BAD=90°，所以ABC=90°，從而，所以CH2+BH2=BC2，CHBH，即ACBD（9分）因為ABCDA1B1C1D1為四棱柱，AA1底面ABCD所以側(cè)棱BB1底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1AC（10分）因為BB1BD=B，所以AC平面BDD1B1（1

23、1分）因為AC平面ACD1，所以平面ACD1平面BDD1B1（12分）【點評】： 本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力19（12分）（2015青島一模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，且a10=28，S8=92；數(shù)列bn對任意nN*，總有b1b2b3bn1bn=3n+1成立（）求數(shù)列an、bn的通項公式；（）記cn=，求數(shù)列cn的前n項和Tn【考點】： 數(shù)列的求和【專題】： 等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】： （）設(shè)出an的首項和公差，由已知列方程組求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式求通項；再由b1b2b3bn1bn=3n+1，得

24、b1b2b3bn1=3n2（n2），兩式相除可得數(shù)列bn的通項公式；（）把an、bn的通項公式代入cn=，化簡后利用錯位相減法求得數(shù)列cn的前n項和Tn【解析】： 解：（）設(shè)an的首項為a1，公差為d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，解得a1=1，d=3，an=1+3（n1）=3n2；又b1b2b3bn1bn=3n+1，b1b2b3bn1=3n2（n2），兩式相除得，當(dāng)n=1時b1=4適合上式，；（）把an、bn的通項公式代入cn=，得，則，兩式作差得：，即【點評】： 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題20（13分）（2015青

25、島一模）已知橢圓C：+=1（ab0）上頂點為A，右頂點為B，離心率e=，O為坐標(biāo)原點，圓O：x2+y2=與直線AB相切（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）直線l：y=k（x2）（k0）與橢圓C相交于E、F兩不同點，若橢圓C上一點P滿足OPl求EPF面積的最大值及此時的k2【考點】： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】： （）設(shè)出直線AB的方程為：，利用圓O與直線AB相切，列出關(guān)系式，設(shè)橢圓的半焦距為c，通過b2+c2=a2，利用離心率，求出a，b，得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（）了直線與橢圓方程，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），利用韋達定理，以及弦長公

26、式，點到直線的距離，求出=分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，求解EPF的面積的最大值，以及k的中【解析】： 解：（）由題意，直線AB的方程為：，即為bx+ayab=0因為圓O與直線AB相切，所以，（2分）設(shè)橢圓的半焦距為c，因為b2+c2=a2，所以（3分）由得：a2=2，b2=1所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（5分）（）由可得：（1+2k2）x28k2x+8k22=0設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）則，（7分）所以又點O到直線EF的距離，OPl，=（10分）又因為，又k0，令t=1+2k2（1，2），則，所以當(dāng)時，最大值為所以當(dāng)時，EPF的面積的最大值為（13分）【點評】： 本題考查橢圓的方程的求

27、法，直線與圓的我最關(guān)心，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用21（14分）（2015青島一模）已知函數(shù)f（x）=（ax2+2xa）ex，g（x）=f（lnx），其中aR，e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)（）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（2，f（2）處的切線過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值；（）若f（x）在1，1上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍（）當(dāng)a=0時，對于滿足0x1x2的兩個實數(shù)x1，x2，若存在x00，使得g（x0）=成立，試比較x0與x1的大小【考點】： 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】： （）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax2+2（a+1）x+2aex，通過f'（2），求出函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（2，f（2）處的切線方程，通過切線過坐標(biāo)原點，求出a即可（）通過f（x）在1，1上為單調(diào)遞增函數(shù)，只要f'（x）0，構(gòu)造（x）=ax2+2（a+1）x+2a通過當(dāng)a=0時，推出函數(shù)f（x）在1，1上