課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

1、13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題福田河中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)組夏玉焰復(fù)習(xí)引入 軸對(duì)稱變換： 由一個(gè)圖形得到它關(guān)于一條直線l對(duì)稱的圖形叫做軸對(duì)稱變換。 軸對(duì)稱的性質(zhì)： 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.AOA垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線段最短線段最短FEDCBA最短

2、路徑問題垂線段最短。兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的兩側(cè)，的兩側(cè)，在在L上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P連接連接AB,線段線段AB與直線與直線L的交點(diǎn)的交點(diǎn)P ，就是所求。，就是所求。思考？思考？為什么這樣做就能得到最短距離呢？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短.如圖，要在燃?xì)夤艿廊鐖D，要在燃?xì)夤艿繪 L上修建一個(gè)泵站，分別上修建一個(gè)泵站，分別向向A A、B B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？方，可使所用的輸氣管線最短？P所以

3、泵站建在點(diǎn)所以泵站建在點(diǎn)P P可使輸氣管線最短可使輸氣管線最短應(yīng)用ABl BP 點(diǎn)點(diǎn)P P的位置即為所求的位置即為所求. .M 作法：作法： 作點(diǎn)作點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線l l的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B.B. 連接連接AB,AB,交直線交直線l l于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側(cè)，在的同一側(cè)，在L L上上求一點(diǎn)，使得求一點(diǎn)，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得到最短距離呢？到最短距離呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊問題問題1相傳，古

4、希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為

5、“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知探索新知BAl追問追問1這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 探索新知探索新知BAl（1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地地 到飲馬地點(diǎn)，再回到

6、到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l上的點(diǎn)設(shè)上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的

7、什么位置時(shí)， AC 與與CB 的和最小（如圖）的和最小（如圖） BAlC追問追問1對(duì)于問題對(duì)于問題2，如何，如何將點(diǎn)將點(diǎn)B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)C，都保持，都保持CB 與與CB的長度的長度相等？相等？ 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最?。康暮妥钚。?BlA追問追問2你能利用軸對(duì)稱的你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)件的點(diǎn)B

8、嗎？嗎？ 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB的和最??？的和最??？ BlA作法：作法：（1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對(duì)稱的對(duì)稱 點(diǎn)點(diǎn)B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點(diǎn)于點(diǎn)C 則點(diǎn)則點(diǎn)C 即為所求即為所求 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最

9、??？的和最?。?BlABC證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知問題問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC探索新知探索新知問題問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC證明：證明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC +

10、 +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直線若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的距離和都大于和都大于AC + +BC，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追問追問1證明證明AC + +BC 最短時(shí)，為什么要在直線最短時(shí)，為什么要在直線l 上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC+ +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追問追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借

11、助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ BlABCC已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，內(nèi)部任意一點(diǎn)，在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：分析：當(dāng)當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長最直線上時(shí)，三角形的周長最小小 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，內(nèi)部任意一點(diǎn)，在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小組成三角形，使三角形周長最小.

12、分別作點(diǎn)分別作點(diǎn)A關(guān)于關(guān)于OM，ON的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)A，A；連接；連接A，A，分別交，分別交OM，ON于點(diǎn)于點(diǎn)B、點(diǎn)、點(diǎn)C，則點(diǎn)，則點(diǎn)B、點(diǎn)點(diǎn)C即為所求即為所求1.1.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上擺滿桌面上擺滿了桔子，了桔子，OBOB桌面上擺滿了糖果，坐桌面上擺滿了糖果，坐在在C C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最條行走路線，使其所走的總路程最短？短？作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直

13、線 OA 的的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,3.連接連接DE分別交分別交直線直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 2. 如圖：如圖：C為馬廄，為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。天的最短路線。作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)D關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對(duì)

14、稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接連接EF分別交直線分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD CEGHABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN運(yùn)用新知運(yùn)用新知練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的的P 處前往山處前往山腳下的腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋思考：運(yùn)動(dòng)路徑中，哪一思考：運(yùn)動(dòng)路徑中，哪一段路徑是恒定不變的？段路徑是恒定不變的？運(yùn)用新知運(yùn)用新知基本思路：基本思路：由于

15、兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線，線段段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)點(diǎn)P，Q 在直線在直線BC 的同側(cè)，如何在的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)上找到一點(diǎn)R，使，使PR與與QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋問題 2 （造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab作法：作法：1.1.將點(diǎn)將點(diǎn)B B沿

16、垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E E， 2.2.連接連接AEAE交河對(duì)岸與點(diǎn)交河對(duì)岸與點(diǎn)M,M, 則點(diǎn)則點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉?。證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BN=EM, MN=CD, BDBDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B兩地的距兩地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在CDCD處，連接處，連接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,則則ABAB兩地的距離為：兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以橋的位置建