第三章 導數與微分

1、第三章第三章 導數與微分導數與微分3.1 導數的概念導數的概念3.2 求導法則求導法則3.3 高階導數高階導數3.4 隱函數由參數方程所確定的函數的導數隱函數由參數方程所確定的函數的導數3.5 微分微分3.6 導數在經濟分析中的意義導數在經濟分析中的意義3.1.1 導數概念的引出導數概念的引出例例1 1 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率 曲線曲線 的圖像如圖所示的圖像如圖所示, ,在曲線上任取兩點在曲線上任取兩點 和和 ，作割線作割線 ，割線的斜率為，割線的斜率為)(xfy 00()M x ,y),(00yyxxN xxfxxfxykMN)()(tan00MN3.1 導數的概念導數的概念y

2、xO( )yf x MNTx0 xxx0yP這里 為割線MN的傾角，設 是切線MT的傾角，當 時，點N沿曲線趨于點M。若上式的極限存在，記為k，則此極限值 k 就是所求切線MT的斜率，即xxfxxfxykxxx)()(limlim tanlimtan000000 xyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP當當 時，如果極限時，如果極限設某產品的總成本設某產品的總成本C是產量是產量Q的函數，即的函數，即C=C(Q )，當產當產量量Q 從從 變到變到 時時，總成本相應地改變量為總成本相應地改變量為 當產量從當產量從 變到變到 時時，總成本的平均變化率總成本的平均變化率0Q0QQ 00()()

3、CC QQC Q Q0 00QQ 00()()C QQC QCQQ 0000()()limlimQQC QQC QCQQ 存在，則稱此極限是產量為存在，則稱此極限是產量為 時總成本的變化率。時總成本的變化率。0Q0Q例例2 2 產品總成本的變化率產品總成本的變化率定義定義1 設設y=f(x)在點在點x0的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義， 屬于該鄰域，記屬于該鄰域，記 若若存在，則稱其極限值為存在，則稱其極限值為y = f (x)在點在點x0 處的導數，記為處的導數，記為xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xx

4、xxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或3.1.2 導數的定義導數的定義導數定義與下面的形式等價：導數定義與下面的形式等價：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若若y =f (x)在在x= x0 的導數存在，則稱的導數存在，則稱y=f(x)在點在點x0 處可導，反之稱處可導，反之稱y = f (x)在在x = x0 不可導，此時意不可導，此時意味著不存在味著不存在.函數的可導性與函數的連續(xù)性的概念函數的可導性與函數的連續(xù)性的概念都是描述函數在一點處的性態(tài)，導數的大小反映都是描述函數在一點處的性態(tài)，導數的大小反映了函數在一點

5、處變化了函數在一點處變化(增大或減小增大或減小)的快慢的快慢.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右導數右導數:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx顯然可以用下面的形式來定義左、右導數顯然可以用下面的形式來定義左、右導數,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理1 y = f (x)在在x =x0可導的充分必要條件是可導的充分必要條件是y = f (x)在在x=x0 的左、右導數存在且相等的左、右導數存在且相等. 左導數左導數:解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 3.

6、1.3 求導數舉例求導數舉例.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數CCxf 例例1);()(xfxxfy 步驟步驟: : (1)(1)求增量求增量;)()(xxfxxfxy (2)(2)算比值算比值.lim0 xyyx (3)(3)求極限求極限. 0)( C即即解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22 例例2.)(sin)(sin,sin)(3 xxxxxf及及求求設函數設函數.cos)(sinxx 即即例例3.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解解hxhxxnn

7、hn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如, ,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x .)(1 nnnxx即即解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax 例例4)1, 0()( aaaxfx求函數求函數的導數的導數. .ln)(aaaxx .)(xxee 即即例例5 求函數求函數 的導數的導數 )1, 0(log)( aaxxfa解解xhxhxxhxhhxhxhxfhxfxfahahaahh)1(loglim1log1lim)(log)(loglim)(

8、)(lim)(0000 作代換作代換 并利用第一章第九節(jié)例并利用第一章第九節(jié)例6 6的結果得的結果得 xhu axaxxfaln1)(logln1)( xy xyo解解,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 1lim)0()0(lim00 hhhfhfhh.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy處的可導性.處的可導性.在在討論函數討論函數0)( xxxf例例6),0()0( ff即即3.1.4 導數的幾何意義導數的幾何意義oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示

9、曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7解解由導數的幾何意義由導數的幾何意義, , 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 方程和法線方程.方程和法線方程.并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率,斜率,處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線)2 ,21(1xy 所求切線方程為所求切線方程為),21(42 xy. 044 yx即即法線方程為法線方程為),21(412 xy. 01582 yx即即3.1.5 函數的可導性與連續(xù)性的關系函數的

10、可導性與連續(xù)性的關系定理定理 凡可導函數都是連續(xù)函數凡可導函數都是連續(xù)函數. .0)(limlim000 xxxfyxx .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數函數xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x 證證: :設函數設函數f (x)在點在點x0處可導處可導注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立. .例例8 證明函數證明函數 在在x=0處連續(xù)但不可導處連續(xù)但不可導.|yx 證證 因為因為0lim| 0 xx 所以所以 在在x =0=0連續(xù)連續(xù)|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函數即函

11、數 在在x=0處左右導數不相等處左右導數不相等,從而在從而在|yx x=0不可導不可導.由此可見，函數在某點連續(xù)是函數在該點可由此可見，函數在某點連續(xù)是函數在該點可導的必要導的必要條件，但不是充分條件條件，但不是充分條件即可導定連續(xù)即可導定連續(xù), ,連續(xù)不一定可導連續(xù)不一定可導. .3.2.1 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()(

12、 )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu3.2 求導法則求導法則推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1 1.9sin22323的導數的導數求求 xxxy解解xxxycos2492例例2 2 求求 及及,cos4)(3xxxf)2()( fxf 解解443)2(sin43)(22fxxxf例例3 3 求求 ),cos(sinxxeyx y 解解xe

13、xxexxexxexxeyxxxxxcos2)sin(cos)cos)(sin()cos(sin)cos(sin)( 例例4 4.tan的的導導數數求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例5 5.sec的的導導數數求求xy 解解)cos1()(sec xxyxxx2cos)(cos1cos)1( xx2cos)sin( xxtansec .tansec)(secxxx 即即.cotcsc)(cscxxx

14、 同理可得同理可得3.2.2 3.2.2 反函數的求導法則反函數的求導法則,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且有且有, ,內也可導內也可導在區(qū)間在區(qū)間那末它的反函數那末它的反函數, ,且且內單調、可導內單調、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數如果函數定理定理或或dydxdxdy1 即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數. .于是有于是有,1yxxy 連續(xù),連續(xù),)(1xfy , 0lim0 yxxyxfx 01lim )(.)(11lim0yfyxy ,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調性可知的單調性可

15、知由由)(1xfy , 0 y), 0(xIxxx 證證例例6 6.arcsin的導數的導數求函數求函數xy 解解,)2,2(sin內單調、可導內單調、可導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內內有有在在)1 , 1( xI.11)(arccos2xx 同理可得同理可得)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x )(arcsin x;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc, 0ln)( aaayy且且內有,內有,在在), 0( xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特別地特別地.1)(lnxx 的導數.的導數.求函數求函數xyalo

16、g 例例7 7, ,內單調、可導內單調、可導在在),( yyIax解解3.2.3 復合函數的求導法則復合函數的求導法則定理定理).()()()()()(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數為且其導數為可導,可導,在點在點則復合函數則復合函數, ,可導可導在點在點而而, ,可導可導在點在點如果函數如果函數即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變量求導等于因變量對中間變量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(

17、00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設的導數為的導數為則復合函數則復合函數)(xfy 例例8 8.sinln的的導導數數求求函函數數xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .dxdvdvdududydxdy 例例9 9 求求,12sin2xxy dxdy解解212sinxxy 可看作由可看作由 復合而成，復合而成，212,sinxxuuy 22222222222

18、12cos)1()1(2)1()1(2)1()2()1(2cosxxxxdxdyxxxxxdxduududy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例例1010. .的導數的導數求函數求函數axaxaxyarcsin22222 )0( a例例1111的導數.的導數.求函數求函數)2(11ln32 xxxy解解),1ln(31)1ln(212 xxy)1(31211212 xxxy)1(3112 xxx例例1212的導數.的導數.求函數求函數xey1sin 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1c

19、os11sin2xexx 3.2.4 3.2.4 基本求導法則與導數公式基本求導法則與導數公式1.1.常數和基本初等函數的導數公式常數和基本初等函數的導數公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則設設)(),(xvvxuu 都可

20、導，則都可導，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數是常數) )C 3.3.反函數的求導法則反函數的求導法則,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且且有有, ,內內也也可可導導在在區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數數, ,且且內內單單調調、可可導導在在某某區(qū)區(qū)間間設設函函數數或或dydxdxdy1 3.3 3.3 高階導數高階導數1.1.如果如果 的導數存在，稱為的導數存在，稱為 的二階導數的二階導數 記作：記作： ， 或或 )(xfy )(xfy 22dx

21、yd)(dxdydxdy y 2. 2. 仍是仍是x的函數，還可以進一步考慮的函數，還可以進一步考慮 有三階導數有三階導數 或或 ， 四階導數四階導數 或或 ， n n階導數階導數 或或 . .y 33dxyd)4(y44dxyd)(nynndxyd3.3.f( (x) )在在x處有處有n階導數，那么階導數，那么 在在x的某一鄰域內必的某一鄰域內必定具有一切低于定具有一切低于n階的導數；二階及二階以上的導數統(tǒng)稱階的導數；二階及二階以上的導數統(tǒng)稱高階導數高階導數)()1(xfn 4.4.問題：如何求函數的高階導數？問題：如何求函數的高階導數？一步一步來，利用已知函數的一階導數公式及運算法則一步一

22、步來，利用已知函數的一階導數公式及運算法則高階導數應用舉例高階導數應用舉例0, yay解解 例例1 1 y=ax+b, 求求y 例例2 2 求求,sin ts s 解解 tsts sin,cos2 例例3 3 證明證明: :函數函數 滿足關系式滿足關系式22xxy 013 yy證證 將將 求導求導, ,得得22xxy ,21222222xxxxxxy 22222222)1 (2xxxxxxxxy 3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx 于是于是013 yy下面介紹幾個初等函數的下面介紹幾個初等函數的n階導數階導數例例4 4 求指數函數求指數函數 的的n階導數階導數xey

23、 解解xxxxeyeyeyey )4(,一般地一般地, ,可得可得,)(xney 即即xnxee )()(例例5 5 求正弦與余弦函數的求正弦與余弦函數的n階導數階導數解解,sin xy ),2sin(cos xxy)22sin()2cos( xxy),22sin( x),23sin()22cos( xxy),24sin()23cos()4( xxy一般地一般地, ,可得可得),2sin()( nxyn即即).2cos()(sin)( nxxn用類似方法用類似方法, ,可得可得).2cos()(cos)( nxxn例例6 6 求對數函數求對數函數ln(1+(1+x) )的的n n階導數階導數解

24、解,11),1ln(xyxy ,)1(321,)1(21,)1(14)4(32xyxyxy 一般地一般地, ,可得可得,)1()!1()1(1)(nnnxny 即即 nnnxnx)1()!1()1()1ln(1)( 通常規(guī)定通常規(guī)定0!=1,0!=1,所以這個公式當所以這個公式當n=1=1時也成立時也成立. .例例7 7 求冪級數的求冪級數的n階導數公式階導數公式解解),(Rxy 設設那么那么1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( xnnxny ) 1() 2)(1()(一般地一般地, ,可得可得即即nnxnx )1()2)(1()()(則則為自然數為自然數若若,n )(

25、)()(nnnxy , !n )!()1( nyn. 0 高階導數運算法則高階導數運算法則)()()()2(nnCuCu 則則階導數,階導數,具有具有和和設函數設函數nvu)()()()()1(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu (3)(3)稱為萊布尼茲公式稱為萊布尼茲公式例例8 8 .,)20(22yexyx求求設設 則則設設,22xveux 解解),20, 4 , 3(0, 2,22)(2)( kvvxveukxkk)20, 2 , 1( k代入萊布尼茨公

26、式代入萊布尼茨公式, ,得得0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex22xyxyeyex 3.4.1 隱函數的導數隱函數的導數例例1 求方程求方程 所確定的函數的導數所確定的函數的導數解：解：方程兩端對方程兩端對x求導得求導得0)2(2 xyeyxxyye3.4 隱函數和由參數方程確定的函數的導數隱函數和由參數方程確定的函數的導數隱函數即是由隱函數即是由 所確定的函數，其求導方法就是把所確定的函數，其求導方法就是把y看成看成x

27、的函數，方程兩端同時對的函數，方程兩端同時對x求導，然后解出求導，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye即即例例2dxdyyxy求求設設),2arctan( 解：解：兩邊對兩邊對x求導得求導得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解出解出,y )1ln(2)1(xxxexyy 2 2可以寫成可以寫成函數函數解一解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求設設,)1(2例例3)1ln(ln2xxy 兩邊對兩邊對x求導，由鏈導法有求導，由鏈

28、導法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxxxyx 解二稱為解二稱為對數求導法對數求導法，可用來求冪指函數和多個因，可用來求冪指函數和多個因子連乘積函數、開方及其它適用于對數化簡的函數的求導子連乘積函數、開方及其它適用于對數化簡的函數的求導注：注：兩邊取自然對數兩邊取自然對數將函數將函數xxy)1(2 解二解二)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：解：將函數取自然對數得將函數取自然對數得)1(21)43(23112 xxxxyy兩邊對兩邊對x求導得求導得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxx

29、xxx 所所以以yxxxy 求求設設, ) 1)(43)(1(2例例43.4.2 3.4.2 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數所確定的函數.所確定的函數.的函數為由參數方程的函數為由參數方程則稱此函數關系所表達則稱此函數關系所表達, ,間的函數關系間的函數關系與與若參數方程若參數方程xytytx確定確定 )()( 求導方法求導方法,)()(中中在方程在方程 tytx ),()(1xttx 具有單調連續(xù)的反函數具有單調連續(xù)的反函數設函數設函數)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求

30、導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二階可導二階可導若函數若函數 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例5 5 已知橢圓的參數方程為已知橢圓的參數方程為 tbytaxsincos求橢圓在求橢圓在 相應的點處的切線方程相應的點處的切線方程4 t解解 當當 時時,橢圓上的相應點橢圓上的相應點 的坐標是的坐標是: 4 t0M224sin224cos00bbyaax 4 tdxdy 4)cos()sin(

31、 ttatb 4sincos ttatbab 曲線在曲線在 點的切線斜率為點的切線斜率為:0M代入點斜式方程代入點斜式方程,即得橢圓在點即得橢圓在點 處的切線方程處的切線方程0M)22(22axabby 化簡后得化簡后得02 abaybx例例6 計算由擺線的參數方程計算由擺線的參數方程 )cos1()sin(tayttax所確定的函數所確定的函數y=y(x)的二階導數的二階導數解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cost dtdxtdtddxyd1)2(cos22 )cos1(12sin212tat 2)cos1(1ta ),2(Znnt 3.5.1 微

32、分的定義微分的定義問題的提出問題的提出一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由由 變到變到 （如圖），問此薄片的面積（如圖），問此薄片的面積改變了多少？改變了多少？0 xxx 020 xA 0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 0,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xA 正正方方形形面面積積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(3.5 微分微分 ;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數的線性函數Ax .,很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(一般地一般地,如果函數如果函數

33、y=f(x)滿足一定條件滿足一定條件,則函數的增量則函數的增量 可表示可表示為為y )( xoxAy 其中其中A是不依賴于是不依賴于 的常數的常數,因此因此 是是 的線性函數的線性函數,且它與且它與 之差之差x xA x y )( xoxAy 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小,所以所以,當當 ,且且 很小時很小時,我們就可我們就可以近似地用以近似地用 來代替來代替x 0 Ax y xA 定義定義 設函數設函數y=f(x)在某區(qū)間內有定義，在某區(qū)間內有定義， 及及 在在這區(qū)間內，如果函數的增量這區(qū)間內，如果函數的增量可表示為可表示為其中其中A是不依賴于是不依賴于 的常數，而的常數，而 是比是比

34、 高階的無窮小，那么稱高階的無窮小，那么稱y=f(x)在點在點 是可微的，是可微的，而而 叫做函數叫做函數y=f(x)在點在點 相應于自變量增相應于自變量增量量 的微分，記作的微分，記作dy，即，即 0 xxx 0)()(00 xfxxfy )( xoxAy )( xo 0 xxA 0 xxAdy x x x ;)1(的線性函數的線性函數是自變量的改變量是自變量的改變量 xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x).(,)5(線性主部線性主部很小時很小時當當dyyx ;)(,)

35、4(0有有關關和和但但與與無無關關的的常常數數是是與與xxfxA 由定義知由定義知: :定理定理：y=f(x)在在 可微的充分必要條件是可微的充分必要條件是f(x)在在 處處 可導，且當可導，且當f(x)在點在點 可微時，其微分一定是可微時，其微分一定是0 x0 x0 xxxfdy )(0(1) (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數證明證明),()(0 xxxfy 從從而而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數數xx

36、f),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點在點函數函數).(.0 xfA 可微可微可導可導(2) (2) 充分性充分性例例1處的微分處的微分和和在在求函數求函數312 xxxy解解處的微分處的微分在在函數函數12 xxy;2)(12xxxdyx 處的微分處的微分在在3 xxxxdyx 6)(32.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數的稱為函數的的微分的微分在任意點在任意點函數函數例例2.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxy解解xxdy )(3.32xx

37、02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導數也叫導數也叫該函數的導數該函數的導數之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數的微分即函數的微分dxdy.,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x .,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 幾何

38、意義幾何意義:(:(如圖如圖) )3.5.2 3.5.2 微分的幾何意義微分的幾何意義3.5.3 微分的計算微分的計算函數的微分的表達式函數的微分的表達式dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, ,乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.1.基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadx

39、aadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 2. 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則)0()()()()(2 vvudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud3. 復合函數的微分法則復合函數的微分法則與復合函數的求導法則相應的復合函數的微分法則與復合函數的求導法則相應的復合函數的微分法則可推導如下可推導如下:設設 及及 都可導都可導, 則復合函數則復合函數 的的微分為微分為)(ufy )(xfy )(xu uufxxufyd)(d)()(d 上式說明無論是

40、上式說明無論是u自變量還是中間變量其微分形式不變自變量還是中間變量其微分形式不變, 這一這一性質稱為性質稱為微分形式不變性微分形式不變性.),12sin(dyxy求求設設 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdx例例3 3解解dxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4.),1ln(2dyeyx求求設設 解解)(11)1(11)1ln(222222xdeeedeeddyxxxxx dxexexdxeexxxx22221221 例例5.,cos31dyxeyx求求設設 解解 應用積的微分法則應用積的微分法則,得得)(cos)(cos3131xdeed

41、xdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 3.5.4 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用000()( )d( )yf xxf xyf xx 或寫成或寫成000()()().fxxfxfxx （1）上式中令上式中令00 xx（2）000( )()() ().f xf xfxxx ，則，則特別地特別地, ,當當x x0 0=0=0，x很小時很小時, ,有有()(0)(0)f xffx （3）公式公式(1) (2) (3)可用來求函數可用來求函數f(x)的近似值。的近似值。0(

42、)0f x，且，且x很小時，我們有近似公式很小時，我們有近似公式在在 x0 點的導數點的導數( )yf x由微分的定義可知，當函數由微分的定義可知，當函數注：注： 在求在求)(xf的近似值時，要選擇適當的的近似值時，要選擇適當的0 x，使，使)(0 xf，)(0 xf 容易求得，且容易求得，且0 xx 較小較小應用（應用（3 3）式可以推得一些常用的近似公式）式可以推得一些常用的近似公式, ,當當x很小時很小時, ,有有(1)(1) xx sin（用弧度作單位）用弧度作單位）(3)(3) xex1(4)(4) xx )1ln(5)(5) xnxn111(2)(2) xx tan( (用弧度作單

43、位）用弧度作單位）例例6.46sin的的近近似似值值計計算算則則18010 xx解解: : 設設,sin)(xxf取取46x， 4450 x于是由（于是由（2）式得）式得).(cossinsin000 xxxxx719. 01802222 1804cos4sin46sin 即即 3.6 導數在經濟分析中的意義導數在經濟分析中的意義 3.6.1 邊際分析邊際分析定義定義1 1 設函數設函數在點在點處可導，處可導，)(xfy x邊際函數值。其含義為邊際函數值。其含義為: :當當 時時, ,x改變一個單位，相改變一個單位，相0 xx )(xf在點在點0 x處的導數處的導數)(0 xf 稱為稱為)(x

44、f在點在點0 x處的處的相應地相應地 y 約改變約改變 個單位個單位)(0 xf 為為的邊際函數的邊際函數。)(xf )(xf稱導函數稱導函數當當 時時,)(0 xfy 1 x實際上，實際上，xxfdyy )(0 解解 , ,所以所以, ,xy4 205 xy22xy 在在5 x時的邊際函數值。時的邊際函數值。,試求試求例例1 1 設函數設函數 邊際成本是總成本的變化率。邊際成本是總成本的變化率。設設C C為總成本，為總成本，下面介紹幾個常見的邊際函數下面介紹幾個常見的邊際函數:1 1邊際成本邊際成本 1C為固定成本，為固定成本，則有則有為可變成本，為可變成本，2C為平均成本，為平均成本，C為

45、邊際成本，為邊際成本，C 為產量，為產量，Q總成本函數總成本函數 12( )( )CC QCC Q平均成本函數平均成本函數 12( )( )CC QCC QQQ邊際成本函數邊際成本函數 ( )CC Q 2( )1004QCC Q例例1 1 已知某商品的成本函數為已知某商品的成本函數為, ,求當求當時的總成本，平均成本及邊際成本。時的總成本，平均成本及邊際成本。10Q 解解 由由21004QC 1004QCQ2QC 令令 得得邊際成本邊際成本于是當于是當 時時10Q 總成本總成本 125)10( C平均成本平均成本 5 .12)10( C5)10( C 2100Q Q 為多少時，平均成本最小為多

46、少時，平均成本最小? ?例例2 2 在例在例1 1中，當產量中，當產量解解 C41 3200CQ 0 C2400Q 20Q 0)20( C所以所以,當當Q = 20= 20時平均成本最小。時平均成本最小。2 2邊際收益邊際收益 平均收益是生產者平均每售出一個單位產品所得到平均收益是生產者平均每售出一個單位產品所得到的收入，即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化的收入，即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化率?？偸找?、平均收益、邊際收益均為產量的函數。率?？偸找妗⑵骄找?、邊際收益均為產量的函數。 設設P P為商品價格，為商品價格，Q 為商品量，為商品量，R R 為總收益，為總收益， 為平為

47、平均收益，均收益， 為邊際收益，則有為邊際收益，則有 R需求函數需求函數 總收益函數總收益函數 平均收益函數平均收益函數 邊際收益函數邊際收益函數 ( )RR Q ( )QPP ( )RR Q ( )RR Q R 需求與收益有如下關系需求與收益有如下關系: :總收益總收益 平均收益平均收益 邊際收益邊際收益( )( )RR QQP Q( )( )( )( )R QQP QRR QP QQQ( )RR Q ( )( )R QRR QQ總收益與平均收益及邊際收益的關系為總收益與平均收益及邊際收益的關系為求銷售量為求銷售量為3030時的總收益，平均收益與邊際收益。時的總收益，平均收益與邊際收益。 1

48、05QP 2( )( )101205QR QQP QQ( )( )10,5QR QP Q例例3 3 設某產品的價格和銷售量的關系為設某產品的價格和銷售量的關系為解解 總收益總收益 平均收益平均收益 4)30( R邊際收益邊際收益 2( )10,5R QQ 2)30( R Q3 3邊際利潤邊際利潤 在經濟學中，總收益、總成本都可以表示為產量在經濟學中，總收益、總成本都可以表示為產量的函數，分別記為的函數，分別記為和和，則總利潤，則總利潤可表可表 ( )R Q( )C Q( )L Q示為示為( )( )( )LL QR QC Q( )( )( )L QR QC Q最大利潤原則最大利潤原則:取得最大

49、值的必要條件為取得最大值的必要條件為 ( )L Q( )0L Q ( )( )R QC Q 即即所以取得最大利潤的必要條件是所以取得最大利潤的必要條件是: :邊際收益等于邊際成本邊際收益等于邊際成本 105QP 例例4 4 已知某產品的需求函數為已知某產品的需求函數為 成本函數為成本函數為 502CQ問產量為多少時總利潤問產量為多少時總利潤 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,105QP 502CQ于是有于是有2( )105QR QQ2( )( )( )8505QL QR QC QQ2( )8,5L QQ 2( )5L Q 令令 得得( )0L Q 20Q 0)20( L所以當所以當Q=20=20時總利潤最大時總利潤最大某商品的市場需求量Q對該商品的單價p的變化率叫做邊際需求，它可以通過Q對p的導數)(pQQ而得到.(4) 邊際需求3.6.2 彈性分析彈性分析與自變量的相對改變量與自變量的相