橋梁—內(nèi)力影響線

1、橋梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響線橋梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響線一、影響線的基本概念一、影響線的基本概念（1）移動(dòng)荷載）移動(dòng)荷載 移動(dòng)荷載是指荷載的作用位置在結(jié)構(gòu)上是可以移動(dòng)的，如：橋梁的移動(dòng)荷載是指荷載的作用位置在結(jié)構(gòu)上是可以移動(dòng)的，如：橋梁的車輛、人群荷載，吊車梁的吊鉤等，它仍然屬于靜力問(wèn)題。車輛、人群荷載，吊車梁的吊鉤等，它仍然屬于靜力問(wèn)題。（2）最不利荷載位置）最不利荷載位置 工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要確定結(jié)構(gòu)中某指定位置的某項(xiàng)量值工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要確定結(jié)構(gòu)中某指定位置的某項(xiàng)量值S（如反力，（如反力，彎矩、剪力和豎向位移等）在移動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生的最大量值，即研究彎矩、剪力和豎向位移等）在移動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生的最大量值，即研

2、究移動(dòng)荷載的最不利荷載位置。移動(dòng)荷載的最不利荷載位置。 （3）影響線）影響線 影響線是指在單位集中移動(dòng)荷載影響線是指在單位集中移動(dòng)荷載P=1作用下，某截面內(nèi)力變化規(guī)律作用下，某截面內(nèi)力變化規(guī)律的圖形。影響線上某一縱坐標(biāo)表示單位荷載移動(dòng)到該位置時(shí)，該截面的的圖形。影響線上某一縱坐標(biāo)表示單位荷載移動(dòng)到該位置時(shí)，該截面的某量值的大小。某量值的大小。 影響線是研究移動(dòng)荷載的最不利位置和計(jì)算內(nèi)力、位移最大值和最影響線是研究移動(dòng)荷載的最不利位置和計(jì)算內(nèi)力、位移最大值和最小值的有效工具小值的有效工具。 移動(dòng)荷載通常是由多個(gè)間距不變的豎向集中荷載或豎向均布荷載所組移動(dòng)荷載通常是由多個(gè)間距不變的豎向集中荷載或豎

3、向均布荷載所組成，我們可以首先研究一個(gè)豎向的單位集中荷載成，我們可以首先研究一個(gè)豎向的單位集中荷載P=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，某一在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，某一量值的變化規(guī)律，然后根據(jù)線性疊加原理進(jìn)一步研究各種實(shí)際移動(dòng)荷載作量值的變化規(guī)律，然后根據(jù)線性疊加原理進(jìn)一步研究各種實(shí)際移動(dòng)荷載作用下，某一截面、某量值變化規(guī)律的圖形。用下，某一截面、某量值變化規(guī)律的圖形。 圖圖1a為一簡(jiǎn)支梁，當(dāng)豎向單位集中荷載為一簡(jiǎn)支梁，當(dāng)豎向單位集中荷載P=1在梁上移動(dòng)時(shí)，支座反力在梁上移動(dòng)時(shí)，支座反力RA的變化規(guī)律及其圖形。繪制影響線的基本方法有兩種，靜力法和機(jī)動(dòng)法。的變化規(guī)律及其圖形。繪制影響線的基本方法有兩種，靜力法和機(jī)動(dòng)法。

4、圖圖 1 ARARBBP1P2RARBBA13/41/21/40123P=1a )b ) 用靜力法繪制影響線時(shí)，可先把荷載用靜力法繪制影響線時(shí)，可先把荷載P=1放在任意位置，根據(jù)所選坐標(biāo)放在任意位置，根據(jù)所選坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo)x表示其作用點(diǎn)的位置，然后由靜力平衡條件求出所求量值表示其作用點(diǎn)的位置，然后由靜力平衡條件求出所求量值S與與荷載荷載P=1作用的位置作用的位置x之間的關(guān)系。表示這種關(guān)系的方程稱為影響線方程。之間的關(guān)系。表示這種關(guān)系的方程稱為影響線方程。根據(jù)方程即可做出影響線。根據(jù)方程即可做出影響線。 靜力法繪制影響線靜力法繪制影響線單跨簡(jiǎn)支梁的影響線單跨簡(jiǎn)支梁的影響線反力影響線

5、反力影響線求圖求圖2a所示簡(jiǎn)支梁反力所示簡(jiǎn)支梁反力RA的影響的影響線，可取線，可取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以x表示荷表示荷載載P=1距坐標(biāo)原點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)A的距離，取全梁的距離，取全梁作為隔離體，由平衡條件作為隔離體，由平衡條件MB=0，設(shè)反力向上為正，則：設(shè)反力向上為正，則： MB=RA lP(lx)=0 由此可得：由此可得： lxlxlPRA1RARBBA13/41/21/40123P=1a )b )ARARBBP1P2 同理，可繪出反力同理，可繪出反力RB 的影響線方程為：的影響線方程為： 同樣可繪出同樣可繪出RB 的影響線（圖的影響線（圖2c）。）。 當(dāng)當(dāng)x = 0時(shí)，時(shí)，RA =

6、1當(dāng)當(dāng)x = l 時(shí)，時(shí)，RA = 0 圖圖2b即為即為RA的影響線圖形，的影響線圖形，根據(jù)影響線定義，根據(jù)影響線定義，RA 影響線中的影響線中的任一縱坐標(biāo)即代表荷載任一縱坐標(biāo)即代表荷載P=1作用于作用于該處時(shí)反力該處時(shí)反力RA 的大小。同時(shí)的大小。同時(shí)RA 的的影響線只能代表影響線只能代表RA 的變化規(guī)律反的變化規(guī)律反力力，而不能代表其它任何量值的而不能代表其它任何量值的變化規(guī)律，其量值是唯一的。變化規(guī)律，其量值是唯一的。 這就是這就是RA的影響線方程。的影響線方程。它是它是 x 的一次函數(shù)，故的一次函數(shù)，故RA 的影響的影響線是一條直線。只需定出兩點(diǎn)即線是一條直線。只需定出兩點(diǎn)即可確定這條

7、直線。可確定這條直線。lxRB圖圖2RB影響線影響線+RARBBAP=1Kxl10b )a )01c )+ykRA影響線影響線yk由此可知，由此可知，MC的影響線在截面的影響線在截面C以左部分為一直線。以左部分為一直線。 當(dāng)當(dāng)x = 0時(shí)，時(shí)，MC = 0當(dāng)當(dāng)x = a 時(shí)，時(shí)， 求圖求圖3a所示簡(jiǎn)支梁上某指定截面所示簡(jiǎn)支梁上某指定截面C的彎矩影響線，取的彎矩影響線，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以x表示荷載表示荷載P=1距坐標(biāo)原點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)A的距離，當(dāng)?shù)木嚯x，當(dāng)荷載荷載P=1在截面在截面C以左以左AC段（即段（即x a）移動(dòng)時(shí)，取截面移動(dòng)時(shí)，取截面C以右部分為隔離體，以右部分為隔離體，則：則

8、：2、彎矩影響線、彎矩影響線 blxbRMBClabMC于是可以繪出當(dāng)荷載于是可以繪出當(dāng)荷載P=1在截面在截面C以左移動(dòng)時(shí)以左移動(dòng)時(shí)MC的影響線的影響線(圖圖3b)。 b ) 中跨截面彎矩中跨截面彎矩 Mc 影響線影響線圖圖3+RARBBAP=1xla0 abl Cabb左直左直線線右直右直線線a )b )當(dāng)當(dāng)x = l 時(shí)，時(shí)， MC = 0 于是可以繪出當(dāng)荷載于是可以繪出當(dāng)荷載P=1在截在截面以右移動(dòng)時(shí)面以右移動(dòng)時(shí)MC的影響線的影響線(圖圖3b)。由圖由圖3b可知可知MC 的影響線由上述兩段的影響線由上述兩段alxlaRMAClabMC 通常稱截面通常稱截面C 以左的直線為左直線，截面以左

9、的直線為左直線，截面C以右的直線為右直線。以右的直線為右直線。 當(dāng)荷載當(dāng)荷載P=1在截面在截面C以右以右CB段（即段（即x a）移動(dòng)時(shí)，上面求得的影響線方）移動(dòng)時(shí)，上面求得的影響線方程顯然已不再適用。可取截面程顯然已不再適用。可取截面C以左部分為隔離體，則：以左部分為隔離體，則： 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，MC 的影響線在截面的影響線在截面C 以右部分也為一直線。當(dāng)以右部分也為一直線。當(dāng)x = a 時(shí)，時(shí)，+RARBBAP=1xla0 abl Cabb左直左直線線右直右直線線a )b )直線所組成，為一三角形。三角形的頂點(diǎn)位于截面直線所組成，為一三角形。三角形的頂點(diǎn)位于截面C 的下面，縱坐標(biāo)的下面，

10、縱坐標(biāo) ab/l 。 從上述影響線方程可以看出，左直線可由反力從上述影響線方程可以看出，左直線可由反力RB 的影響線乘以的影響線乘以b得到，得到，而右直線可由反力而右直線可由反力RA的影響線乘以的影響線乘以a得到。因此可以利用得到。因此可以利用RA 和和RB 的影響線的影響線來(lái)繪制來(lái)繪制MC 的影響線：的影響線： 在水平基線上相應(yīng)左、右支座處分別取縱坐標(biāo)在水平基線上相應(yīng)左、右支座處分別取縱坐標(biāo)a和和b，分別將其頂點(diǎn)與，分別將其頂點(diǎn)與左、右兩支座處的零點(diǎn)用直線相連，則兩直線的交點(diǎn)與左、右零點(diǎn)相連的左、右兩支座處的零點(diǎn)用直線相連，則兩直線的交點(diǎn)與左、右零點(diǎn)相連的部分就是部分就是MC 的影響線（見(jiàn)圖

11、的影響線（見(jiàn)圖3b）。這種利用已知量值的影響線來(lái)作其它）。這種利用已知量值的影響線來(lái)作其它量值影響線的方法是非常方便的。量值影響線的方法是非常方便的。 由于豎向單位集中荷載由于豎向單位集中荷載P=1為不帶任何單位的無(wú)名數(shù)。則反力為不帶任何單位的無(wú)名數(shù)。則反力RB的影的影響線的縱矩也是無(wú)名數(shù)，彎矩影響線縱坐標(biāo)的單位為長(zhǎng)度單位。響線的縱矩也是無(wú)名數(shù)，彎矩影響線縱坐標(biāo)的單位為長(zhǎng)度單位。 因此，可直接利用因此，可直接利用RA的影響線并截的影響線并截 取取CB段部分，即得段部分，即得QC 影響線的右直線（圖影響線的右直線（圖3c）。）。 由上可知，由上可知，QC的影響線由兩段相互平行的直線組成（圖的影響

12、線由兩段相互平行的直線組成（圖3 c）。）。 3、剪力影響線、剪力影響線 設(shè)要繪制截面設(shè)要繪制截面C的剪力影響線（圖的剪力影響線（圖3c）。同上分析，當(dāng)荷載）。同上分析，當(dāng)荷載P=1在截面在截面C以左以左AC段（即段（即x a）移動(dòng)時(shí)，取截面）移動(dòng)時(shí)，取截面C以右部分為隔離體，并規(guī)定以繞隔離以右部分為隔離體，并規(guī)定以繞隔離體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正，則：體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正，則： QC = -RB因此，將因此，將RB的影響線反號(hào)并截取的影響線反號(hào)并截取AC段部段部分，即得分，即得QC影響線的左直線（圖影響線的左直線（圖3c）。）。 同樣，當(dāng)荷載同樣，當(dāng)荷載P=1在截面在截面C以右以右CB

13、段段（即（即x a）移動(dòng)時(shí)，取截面）移動(dòng)時(shí)，取截面C以左部分為以左部分為隔離體，并規(guī)定以繞隔離體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)隔離體，并規(guī)定以繞隔離體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正，則：動(dòng)的剪力為正，則： QC = RA 圖圖3 3c ) 中跨截面剪力中跨截面剪力 Qc 影響線影響線+RARBBAP=1xl10Cab1左直左直線線右直右直線線_c )a ) bl al 三、伸臂梁的影響線三、伸臂梁的影響線 （1）反力影響線）反力影響線 如圖如圖4a所示的伸臂梁，仍取所示的伸臂梁，仍取左支座左支座A為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)x以以向右為正。顯然，無(wú)論荷載向右為正。顯然，無(wú)論荷載P=1在在AB部分或是在兩支座以

14、外的伸部分或是在兩支座以外的伸臂部分上移動(dòng)時(shí)，由平衡條件均臂部分上移動(dòng)時(shí)，由平衡條件均可得到支座反力為：可得到支座反力為：lxRA1lxRB 這與簡(jiǎn)支梁的反力影響線方程完全相同。因此，只需將簡(jiǎn)支梁的反這與簡(jiǎn)支梁的反力影響線方程完全相同。因此，只需將簡(jiǎn)支梁的反力影響線向兩個(gè)伸臂部分延長(zhǎng)，即可得到伸臂梁的反力影響線，如圖力影響線向兩個(gè)伸臂部分延長(zhǎng)，即可得到伸臂梁的反力影響線，如圖4b、c所示。所示。 RB影響線影響線+RARBBAP=1Cxl10b )a )01c )+ycRA影響線影響線ycExP=1xbaD圖圖4 反力影響線反力影響線（2）跨中部分截面內(nèi)力影響線）跨中部分截面內(nèi)力影響線 圖圖4

15、 伸臂梁中跨影響線伸臂梁中跨影響線 為求為求MC 和和QC 的影響線，可將它們表示為反力的影響線，可將它們表示為反力RA 和和RB 的函數(shù)。當(dāng)荷載的函數(shù)。當(dāng)荷載P=1在截面在截面C 以左以左AC 段（即段（即x a）移動(dòng)）移動(dòng)時(shí)，取截面時(shí)，取截面C以右部分為隔離體，則：以右部分為隔離體，則：BCBCRQbRM; 當(dāng)荷載當(dāng)荷載P=1在截面在截面C以右以右CB段（即段（即xa）移動(dòng)時(shí)，取截面）移動(dòng)時(shí)，取截面C以以左部分為隔離體，則：左部分為隔離體，則： ACACRQaRM 因?yàn)橐驗(yàn)镽A 和和RB 的影響線方程在伸臂的影響線方程在伸臂梁和簡(jiǎn)支梁上是完全一樣的，故由上述梁和簡(jiǎn)支梁上是完全一樣的，故由上

16、述關(guān)系可知，關(guān)系可知，MC 和和QC 的影響線方程在這的影響線方程在這兩種梁上也完全相同。因此，只需將簡(jiǎn)兩種梁上也完全相同。因此，只需將簡(jiǎn)支梁上相應(yīng)的彎矩和剪力影響線向兩個(gè)支梁上相應(yīng)的彎矩和剪力影響線向兩個(gè)伸臂部分延長(zhǎng)，即可得到伸臂梁的伸臂部分延長(zhǎng)，即可得到伸臂梁的MC 和和QC 力影響線，如圖力影響線，如圖4d、e所示。所示。 c ) al xQc影響線影響線+RARBBAP=1Cxla0b )a )01+Mc影響線影響線EP=1xbaDb abl 1 bl -+圖圖5 5 伸臂部分影響線伸臂部分影響線（3）伸臂部分截面的內(nèi)力影響線）伸臂部分截面的內(nèi)力影響線 設(shè)要繪制截面設(shè)要繪制截面K的彎矩

17、和剪力的彎矩和剪力影響線（圖影響線（圖5a）。為方便起見(jiàn)，改）。為方便起見(jiàn)，改取取K點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定橫坐標(biāo)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定橫坐標(biāo)x以向左為正。當(dāng)荷載以向左為正。當(dāng)荷載P=1在截面在截面K以以右（右（KE段）移動(dòng)時(shí)，取截面段）移動(dòng)時(shí)，取截面K以左以左部分為隔離體，則顯然部分為隔離體，則顯然MK和和QK均均等于零，故該二影響線在等于零，故該二影響線在KE部分均部分均與基線重合。當(dāng)與基線重合。當(dāng)P=1在截面在截面K以左以左（DK段）時(shí)，仍取截面段）時(shí)，仍取截面K以左部分以左部分為隔離體，可得：為隔離體，可得： 1KKQxM 據(jù)此可以作出據(jù)此可以作出DK部分的部分的MK和和QK影響線。綜上所述

18、，伸臂梁部分截面影響線。綜上所述，伸臂梁部分截面K的的MK和和QK影響線分別如圖影響線分別如圖5b、c所示。所示。 RARBBACxla )EbaDKdb )c )d1Mk影響線影響線Qk影響線影響線P =1- 對(duì)于支座處截面的剪力影響線，對(duì)于支座處截面的剪力影響線，須對(duì)支座左、右兩邊的截面分別討論。須對(duì)支座左、右兩邊的截面分別討論。因?yàn)檫@兩個(gè)截面是分別屬于伸臂和跨中因?yàn)檫@兩個(gè)截面是分別屬于伸臂和跨中部分。例如：支座部分。例如：支座A左截面的剪力左截面的剪力QA左左的影響線，可由的影響線，可由QK的影響線使截面的影響線使截面K趨趨于支座于支座A的左截面而得到（圖的左截面而得到（圖5d）；）；

19、對(duì)于支座對(duì)于支座A右截面的剪力右截面的剪力QA右的右的影響線，則可由影響線，則可由QC的影響線（圖的影響線（圖4d），），使截面使截面C趨于支座趨于支座A的右截面而得到的右截面而得到（圖（圖5e）。）。 對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，其反力和內(nèi)力影響線方程，都是關(guān)于對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，其反力和內(nèi)力影響線方程，都是關(guān)于x的一次函數(shù)，的一次函數(shù)，故靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力影響線均是由直線段所組成。但靜定結(jié)構(gòu)的位移、故靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力影響線均是由直線段所組成。但靜定結(jié)構(gòu)的位移、以及超靜定結(jié)構(gòu)的各種量值的影響線一般為曲線形式。以及超靜定結(jié)構(gòu)的各種量值的影響線一般為曲線形式。 RARBBACxla )EbaDd )e)1QA

20、左左影響線影響線P =11QA右右影響線影響線xP =11+- -圖圖5 5 伸臂部分影響線伸臂部分影響線四、機(jī)動(dòng)法作單跨靜定梁的影響線四、機(jī)動(dòng)法作單跨靜定梁的影響線 機(jī)動(dòng)法作影響線的理論依據(jù)是理論力學(xué)中的虛位移原理，一個(gè)體系在力機(jī)動(dòng)法作影響線的理論依據(jù)是理論力學(xué)中的虛位移原理，一個(gè)體系在力系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的虛功總和為零；虛功總和為零； 0PAAPR 根據(jù)影響線的定義：根據(jù)影響線的定義：P=1，則：，則： APAR 為了求解出反力為了求解出反力RA，首先去掉與它相，首先去掉與它

21、相應(yīng)的聯(lián)系（即支座應(yīng)的聯(lián)系（即支座A處的豎向約束），而處的豎向約束），而以正向的反力以正向的反力RA代替其作用（圖代替其作用（圖6b）。此）。此時(shí)，原結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€(gè)自由度的機(jī)構(gòu)，時(shí)，原結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€(gè)自由度的機(jī)構(gòu)，使其產(chǎn)生微小的虛位移（圖使其產(chǎn)生微小的虛位移（圖6b）,以以A和和P分別表示分別表示RA和和P的作用點(diǎn)沿力的作用方向的作用點(diǎn)沿力的作用方向的虛位移。由于該機(jī)構(gòu)在力的虛位移。由于該機(jī)構(gòu)在力RA、RB和和P的的共同作用下處于平衡，因此它們所作的虛共同作用下處于平衡，因此它們所作的虛功的總和應(yīng)等于零，有：功的總和應(yīng)等于零，有：圖圖6RARBlP =1P =1RARBdAdPdP+-a )

22、b )c )1 式中式中A為力為力RA作用點(diǎn)沿其力方向的位移，在給定虛位移的情況下，它作用點(diǎn)沿其力方向的位移，在給定虛位移的情況下，它是一個(gè)常數(shù)。是一個(gè)常數(shù)。P為荷載為荷載P=1所沿著所沿著x移動(dòng)的各點(diǎn)的豎向虛位移圖。移動(dòng)的各點(diǎn)的豎向虛位移圖。 令令A(yù) =1，則上式成為：，則上式成為： PAR 這表明此時(shí)這表明此時(shí)P的變化情況就反映了的變化情況就反映了P=1移動(dòng)時(shí)移動(dòng)時(shí)RA的變化規(guī)律，即虛的變化規(guī)律，即虛位移圖位移圖P便代表了便代表了RA的影響線。（圖的影響線。（圖6c），而符號(hào)相反。由于），而符號(hào)相反。由于P是以與是以與力力P方向一致者為正，故方向一致者為正，故P向下為正。因而可知：當(dāng)向下為

23、正。因而可知：當(dāng)P向下時(shí)，向下時(shí)，RA為負(fù)；為負(fù)；當(dāng)當(dāng)P向上時(shí)，向上時(shí)，RA為正。這就恰好與在影響線中縱坐標(biāo)以向上為正相一致。為正。這就恰好與在影響線中縱坐標(biāo)以向上為正相一致。 由上述可知：要作某一反力或某一內(nèi)力的影響線時(shí)，只需將與該量由上述可知：要作某一反力或某一內(nèi)力的影響線時(shí)，只需將與該量值相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并使所得機(jī)構(gòu)沿該量值的正方向發(fā)生單位位移，則值相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并使所得機(jī)構(gòu)沿該量值的正方向發(fā)生單位位移，則由此得到的虛位移圖即代表該量值的影響線。這種繪制影響線的方法，由此得到的虛位移圖即代表該量值的影響線。這種繪制影響線的方法，稱為機(jī)動(dòng)法。稱為機(jī)動(dòng)法。 機(jī)動(dòng)法提供了繪制影響線的另一種途

24、徑，其最大優(yōu)點(diǎn)在于可以不經(jīng)機(jī)動(dòng)法提供了繪制影響線的另一種途徑，其最大優(yōu)點(diǎn)在于可以不經(jīng)過(guò)具體計(jì)算就能夠迅速繪出影響線的輪廓。這對(duì)于設(shè)計(jì)工作將有很大的過(guò)具體計(jì)算就能夠迅速繪出影響線的輪廓。這對(duì)于設(shè)計(jì)工作將有很大的幫助，且有利于對(duì)靜力法所作的影響線進(jìn)行較核。幫助，且有利于對(duì)靜力法所作的影響線進(jìn)行較核。 為進(jìn)一步說(shuō)明機(jī)動(dòng)法的應(yīng)用，下面再舉兩個(gè)例子。如圖為進(jìn)一步說(shuō)明機(jī)動(dòng)法的應(yīng)用，下面再舉兩個(gè)例子。如圖7a所示簡(jiǎn)支所示簡(jiǎn)支梁，用機(jī)動(dòng)法作截面梁，用機(jī)動(dòng)法作截面C的彎矩影響線和剪力影響線。的彎矩影響線和剪力影響線。 （1）截面）截面C彎矩影響線彎矩影響線 首先將與首先將與MC相應(yīng)的聯(lián)系去掉，即將截面相應(yīng)的聯(lián)系

25、去掉，即將截面C 處改為鉸接，并加一對(duì)力偶處改為鉸接，并加一對(duì)力偶Mc代替原有聯(lián)系的作用（該處便不能傳遞彎矩，但仍能傳遞剪力和軸力）。代替原有聯(lián)系的作用（該處便不能傳遞彎矩，但仍能傳遞剪力和軸力）。然后使然后使AC與與BC兩部分沿兩部分沿Mc的正方向發(fā)生虛位移（圖的正方向發(fā)生虛位移（圖7b），虛功方程為：），虛功方程為： 0PCP)(M 故故 )(PMPC 若使若使+=1，即，即AC與與BC兩部分的兩部分的相對(duì)轉(zhuǎn)角等于相對(duì)轉(zhuǎn)角等于1，則所得到的虛位移圖，則所得到的虛位移圖即表示即表示MC的影響線（圖的影響線（圖7c）。）。 令：影響線頂點(diǎn)至基線的距離為令：影響線頂點(diǎn)至基線的距離為ya，則：，則

26、： aytgc bytgc RBMcMcRABAP =1xlaCaba )b )+a abl bBACba+b=1dpa+b=1yc=c )圖圖 7 7 1ablyabbaybyaycccc 因此有：因此有：所以所以: lbayc 首先將與首先將與QC相應(yīng)的聯(lián)系去掉，即相應(yīng)的聯(lián)系去掉，即將截面將截面C處改為用兩根水平鏈桿相聯(lián)處改為用兩根水平鏈桿相聯(lián)（該處便不能傳遞剪力，但仍能傳遞（該處便不能傳遞剪力，但仍能傳遞彎矩和軸力），并以一對(duì)正向剪力彎矩和軸力），并以一對(duì)正向剪力QC代替原有聯(lián)系的作用（圖代替原有聯(lián)系的作用（圖7d）使機(jī)構(gòu)）使機(jī)構(gòu)沿沿QC的正方向發(fā)生虛位移，由虛功原的正方向發(fā)生虛位移，由

27、虛功原理得：理得： （2）截面）截面C的剪力影響線的剪力影響線021PcP)CCCC(Q 21CCCCPQPc 故故 圖圖 7RBQcQcRABAP =1xlCaba )d )BACdpC1C2C1gg 若使若使CC1+CC2=1，即，即AC與與CB兩部分沿截面兩部分沿截面C方向的相對(duì)位移等于方向的相對(duì)位移等于1，則所得到的虛位移圖即表示則所得到的虛位移圖即表示QC的影響線（圖的影響線（圖7e）。必須注意，由于）。必須注意，由于AC與與CB兩部分是兩根平行鏈桿相聯(lián)，它們之間只能作相對(duì)平行移動(dòng)，故在其虛功兩部分是兩根平行鏈桿相聯(lián)，它們之間只能作相對(duì)平行移動(dòng)，故在其虛功位移圖中位移圖中AC1與與C

28、2B應(yīng)為平行直線，也就應(yīng)為平行直線，也就是是QC影響線的左右兩直線相互平行。影響線的左右兩直線相互平行。 則則 tgaCC1 tgbCC2因此有因此有 12121 tgltg)ba(CCCCtgbtgaCCCCltg1 所以：所以： laCC 1lbCC 2QcQcRABAP =1xlCaba )d )BACdpe )C1C2C1+101左直左直線線右直右直線線_ bl al gg圖圖 7五、多跨靜定梁的影響線五、多跨靜定梁的影響線 對(duì)于多跨靜定梁，只需分清它的基本結(jié)構(gòu)和附屬部分以及這些部分之對(duì)于多跨靜定梁，只需分清它的基本結(jié)構(gòu)和附屬部分以及這些部分之間的傳力關(guān)系，再利用單跨靜定梁的已知影響線

29、，即可順利完成。間的傳力關(guān)系，再利用單跨靜定梁的已知影響線，即可順利完成。（1）按靜力法）按靜力法 圖圖8a 所示多跨靜定梁，圖所示多跨靜定梁，圖8b 為結(jié)構(gòu)拆分的層疊圖，作彎矩為結(jié)構(gòu)拆分的層疊圖，作彎矩M k的影響的影響線。線。BAP=1Ca )KDEFalBAP=1Cb )KDEF圖圖8 8 按靜力法求多跨靜定梁影響線按靜力法求多跨靜定梁影響線 當(dāng)當(dāng)P=1在在CE 段移動(dòng)時(shí)，附屬部分段移動(dòng)時(shí)，附屬部分EF是不受力的，可將其撤去。基本部是不受力的，可將其撤去?；静糠址諥C 則相當(dāng)于則相當(dāng)于CE 梁的支座，故此時(shí)梁的支座，故此時(shí)M k 的影響線與的影響線與CE 段單獨(dú)作為一伸臂段單獨(dú)作為一伸

30、臂梁相同。當(dāng)梁相同。當(dāng)P=1在基本部分在基本部分AC段移動(dòng)時(shí)，作為段移動(dòng)時(shí)，作為AC 的附屬部分的的附屬部分的CE是不受力是不受力的，故的，故M k影響線在影響線在AC段的豎坐標(biāo)為零。最后考慮段的豎坐標(biāo)為零。最后考慮P=1在附屬部分在附屬部分EF段移動(dòng)段移動(dòng)時(shí)的情況，此時(shí)時(shí)的情況，此時(shí)CE 梁相當(dāng)于在鉸梁相當(dāng)于在鉸E處受到力處受到力VE 的作用（圖的作用（圖8c）。因此）。因此 ，VE =( l - x ) / l 即為即為 x 的一次函數(shù)，故此時(shí)的一次函數(shù)，故此時(shí)CE 梁相當(dāng)于在鉸梁相當(dāng)于在鉸E處受到力處受到力VE的作用（圖的作用（圖8c）。）。圖圖8 8 按靜力法求多跨靜定梁影響線按靜力法

31、求多跨靜定梁影響線xBAP=1Cb )KDEFCKDEFRFVEEP=1alc )圖圖8 8 按靜力法求多跨靜定梁影響線按靜力法求多跨靜定梁影響線BACd )KDEFaaBACe )DEFK1BACf )DEF1M K 影響線影響線Q B左左 影響線影響線R F 影響線影響線 由此可知由此可知M k影響線必為一直線，只需要定出兩點(diǎn)即可將其繪出。當(dāng)影響線必為一直線，只需要定出兩點(diǎn)即可將其繪出。當(dāng)P=1作用于鉸作用于鉸E處時(shí)處時(shí)M k值已由值已由CE段的影響線得出；而段的影響線得出；而P=1作用于支座作用于支座F處時(shí)有處時(shí)有M k=0。于是可繪出。于是可繪出M k的的整個(gè)影響線如圖（整個(gè)影響線如圖

32、（ 8d ）所示。）所示。 由上述分析可知，多跨靜定梁任一反力或內(nèi)力影響線的一般作法為：由上述分析可知，多跨靜定梁任一反力或內(nèi)力影響線的一般作法為：1）當(dāng)）當(dāng)P=1在量值本身所在的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值的影響線與相應(yīng)的單跨靜定梁相同。在量值本身所在的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值的影響線與相應(yīng)的單跨靜定梁相同。2）當(dāng)）當(dāng)P=1在對(duì)于量值所在部分來(lái)說(shuō)是基本部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線的豎坐標(biāo)在對(duì)于量值所在部分來(lái)說(shuō)是基本部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線的豎坐標(biāo) 為為“零零”3）當(dāng)）當(dāng)P=1在對(duì)于量值所在部分來(lái)說(shuō)是附屬部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線為直線。在對(duì)于量值所在部分來(lái)說(shuō)是附屬部分的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值影響線為

33、直線。 根據(jù)在鉸處的豎坐標(biāo)為已知和在支座處豎坐標(biāo)為零，即可得出。根據(jù)在鉸處的豎坐標(biāo)為已知和在支座處豎坐標(biāo)為零，即可得出。 按上述方法，不難作出按上述方法，不難作出Q B左左和和RF 的影響線如圖的影響線如圖8e、f 所示。所示。 （2）按機(jī)動(dòng)法）按機(jī)動(dòng)法 按機(jī)動(dòng)法求解多跨靜定梁的影響線更為方便。首先去掉與所求反力或內(nèi)力按機(jī)動(dòng)法求解多跨靜定梁的影響線更為方便。首先去掉與所求反力或內(nèi)力X的相應(yīng)聯(lián)系，使所得到的體系沿的相應(yīng)聯(lián)系，使所得到的體系沿X 的正方向發(fā)生單位位移，此時(shí)根據(jù)每一剛片的的正方向發(fā)生單位位移，此時(shí)根據(jù)每一剛片的位移圖應(yīng)為一段直線以及在每一豎向支座處豎向位移為零的條件。便可迅速繪出位移

34、圖應(yīng)為一段直線以及在每一豎向支座處豎向位移為零的條件。便可迅速繪出各部分的位移圖。如圖各部分的位移圖。如圖9所示。所示。 圖圖9 機(jī)動(dòng)法求多跨靜定梁影響線機(jī)動(dòng)法求多跨靜定梁影響線 P=1Q B左左 影響線影響線a+b=1BACa )KDEFalBACb )DEFaBAc)DEFBACd )DEF1M K 影響線影響線R F 影響線影響線MKMKQcQc1六、按機(jī)動(dòng)法求多跨超定梁影響線六、按機(jī)動(dòng)法求多跨超定梁影響線P=1b )Kxl 1l 2lKAB C D 邊跨邊跨MK影響線影響線支點(diǎn)支點(diǎn)MB影響線影響線反力反力RB影響線影響線反力反力RD影響線影響線D=1+a+b=1- - -+a+P=1a

35、 )Kxl 1l 2lMKKMKa+b=1ab- - -KMKMKa+b=1b- -K+MKMKab+P=1x- -D=1+KAB C D 中跨中跨MK影響線影響線Kc )QKQKQKQKQKQKQKQKD=1D=1D=1D=1中跨中跨QK影響線影響線RB右右影響線影響線RB左左影響線影響線邊跨邊跨RK影響線影響線+- - - - -+- - -圖圖10七、利用影響線求量值七、利用影響線求量值 移動(dòng)活荷載載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力影響，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)分析是非常重要的，移動(dòng)活荷載載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力影響，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)分析是非常重要的，也是橋梁結(jié)構(gòu)所特有的。根據(jù)移動(dòng)活荷載的特性，以影響線作為分析移動(dòng)也是橋梁結(jié)構(gòu)所

36、特有的。根據(jù)移動(dòng)活荷載的特性，以影響線作為分析移動(dòng)活荷載量值和最不利荷載位置的工具是簡(jiǎn)便和有效的。因此，利用影響線活荷載量值和最不利荷載位置的工具是簡(jiǎn)便和有效的。因此，利用影響線對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)活荷載的分析，包括兩個(gè)方面，即移動(dòng)活荷載量值和最不利荷對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)活荷載的分析，包括兩個(gè)方面，即移動(dòng)活荷載量值和最不利荷載位置。載位置。首先討論當(dāng)若干個(gè)集中力荷載或分布荷載作用于某已知位置時(shí)，如何利用首先討論當(dāng)若干個(gè)集中力荷載或分布荷載作用于某已知位置時(shí)，如何利用影響線來(lái)求量值。影響線來(lái)求量值。 集中力荷載集中力荷載 設(shè)結(jié)構(gòu)某量值設(shè)結(jié)構(gòu)某量值S的影響線已繪出，如的影響線已繪出，如圖圖11所示，有若干個(gè)豎向集中荷

37、載所示，有若干個(gè)豎向集中荷載P1、P2Pn作用于已知位置，其相應(yīng)在影響作用于已知位置，其相應(yīng)在影響線上的縱距分別為線上的縱距分別為y1、y2yn，要求解由，要求解由這些集中荷載作用下所產(chǎn)生的某一量值這些集中荷載作用下所產(chǎn)生的某一量值S 的大小。的大小。+ +P1P2PiPn- -y1y2yiyn圖圖1111 根據(jù)影響線的定義和特點(diǎn)，影響線上的縱距根據(jù)影響線的定義和特點(diǎn)，影響線上的縱距y1代表荷載代表荷載P=1作用于該處作用于該處時(shí)量值時(shí)量值S 的大小，若荷載不是的大小，若荷載不是P=1而是而是P=P1，則，則S 應(yīng)為應(yīng)為P1y1。因此，當(dāng)有若。因此，當(dāng)有若干集中荷載作用時(shí)，根據(jù)疊加原理可知，所

38、產(chǎn)生的干集中荷載作用時(shí)，根據(jù)疊加原理可知，所產(chǎn)生的S值為：值為：iinniinnxPtgtg)xPxPxP(yPyPyPyPS 22112211 圖圖1212 RP1P2PiPnABO Cay1y2yiyyny1x1x2xixxn 因因Pi xi為各力對(duì)為各力對(duì)O點(diǎn)的力矩之和，點(diǎn)的力矩之和，根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于此組荷載的根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于此組荷載的合力合力P 對(duì)對(duì)O點(diǎn)之矩，即：點(diǎn)之矩，即： xRxPii代入上式，得代入上式，得 yRtgxRS 式中式中y為合力為合力R 所對(duì)應(yīng)得影響線縱坐標(biāo)。所對(duì)應(yīng)得影響線縱坐標(biāo)。（2） （）（） dxyqSxbax2、分布力荷載、分布力荷載 若將任意

39、分布荷載沿其長(zhǎng)度分成微段，則每一微段若將任意分布荷載沿其長(zhǎng)度分成微段，則每一微段dx上的荷載上的荷載 qxdx都可都可作為集中荷載（圖作為集中荷載（圖13a），故在），故在ab區(qū)段內(nèi)的分布荷載所產(chǎn)生的量值區(qū)段內(nèi)的分布荷載所產(chǎn)生的量值S為：為： 若若qx為均布荷載為均布荷載 q 時(shí)（圖時(shí)（圖13b、13c），則上式為：），則上式為： qdxyqSbax式中式中 表示影響線在均布荷載范圍表示影響線在均布荷載范圍ab區(qū)段內(nèi)的面積合。區(qū)段內(nèi)的面積合。 由此可見(jiàn)，在均布荷載作用下求量值由此可見(jiàn)，在均布荷載作用下求量值S 時(shí)，只需把影響線在荷載分布時(shí)，只需把影響線在荷載分布范圍內(nèi)的面積求出，再乘以均布荷載

40、集度即可，應(yīng)注意：在計(jì)算影響線面范圍內(nèi)的面積求出，再乘以均布荷載集度即可，應(yīng)注意：在計(jì)算影響線面積積有正或負(fù)時(shí)，應(yīng)為代數(shù)合。有正或負(fù)時(shí)，應(yīng)為代數(shù)合。圖圖13( a )a b qxdxyxa b q +- -a b q +- -S 影響線影響線S 影響線影響線 S 影響線影響線 +- -dxyx( b )( c )（3） （4 ） 六、利用影響線求最不利荷載位置六、利用影響線求最不利荷載位置 在移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)上的各種量值都將隨荷載的位置而變化。在結(jié)在移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)上的各種量值都將隨荷載的位置而變化。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，求出各量值的最大值（或最小值）是我們的最終目的，以作為設(shè)構(gòu)設(shè)計(jì)中，求出各

41、量值的最大值（或最小值）是我們的最終目的，以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。首先必須確定使量值發(fā)生最大值（或最小值）的最不利荷載位置。計(jì)的依據(jù)。首先必須確定使量值發(fā)生最大值（或最小值）的最不利荷載位置。因此，尋求某一量值的最大值的關(guān)鍵，就是確定其最不利荷載位置，當(dāng)其位因此，尋求某一量值的最大值的關(guān)鍵，就是確定其最不利荷載位置，當(dāng)其位置一經(jīng)確定就可按前述方法求解該量值的最大值（或最小值）。置一經(jīng)確定就可按前述方法求解該量值的最大值（或最小值）。 1 1、一個(gè)集中荷載、一個(gè)集中荷載 這是最簡(jiǎn)單的情況（圖這是最簡(jiǎn)單的情況（圖14），由），由S=Py可知，將該可知，將該集中荷載集中荷載P置于置于S影響線的影響線的最大

42、縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生最大縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生Smax值；而將值；而將P置于置于S 影響線的影響線的最小縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生最小縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生Smin值。值。圖圖14- - -ymax +S 影響線影響線 S 影響線影響線 ( a )( b )P ymin Smax Smin Smin Smax P P P 2、均布荷載、均布荷載 這里是指可以任意截?cái)嗖贾玫木己奢d，也稱為可動(dòng)均布荷載（如人這里是指可以任意截?cái)嗖贾玫木己奢d，也稱為可動(dòng)均布荷載（如人群荷載）。由式群荷載）。由式 可得：將荷載布滿對(duì)應(yīng)影響線所有正號(hào)可得：將荷載布滿對(duì)應(yīng)影響線所有正號(hào)面積的部分，則產(chǎn)生面積的部分，則產(chǎn)生Smax值；反之，將荷載布滿對(duì)應(yīng)

43、影響線所有負(fù)號(hào)面積值；反之，將荷載布滿對(duì)應(yīng)影響線所有負(fù)號(hào)面積的部分，則產(chǎn)生的部分，則產(chǎn)生Smin值；如圖值；如圖15所示求所示求S的最大、最小值時(shí)相應(yīng)的最不利荷的最大、最小值時(shí)相應(yīng)的最不利荷載位置。載位置。 qdxyqSbax圖圖15q +- - -+q q Smax Smin S 影響線影響線 q +- - -+q q Smax Smin S 影響線影響線 a )b )三、行列荷載三、行列荷載所謂行列荷載，是指一系列彼此間距不變的移動(dòng)集中荷載所謂行列荷載，是指一系列彼此間距不變的移動(dòng)集中荷載（包括均布荷載），如汽車車隊(duì)等，在此情況下確定最不利荷（包括均布荷載），如汽車車隊(duì)等，在此情況下確定最

44、不利荷載位置相對(duì)比較困難。由最不利荷載位置的定義可知，當(dāng)荷載載位置相對(duì)比較困難。由最不利荷載位置的定義可知，當(dāng)荷載移動(dòng)到該位置時(shí)，所求量值移動(dòng)到該位置時(shí)，所求量值S為最大，因此荷載由該位置無(wú)論向?yàn)樽畲?，因此荷載由該位置無(wú)論向左或向右移動(dòng)到鄰近位置時(shí)，左或向右移動(dòng)到鄰近位置時(shí)，S值一定減小。我們可以從荷載移值一定減小。我們可以從荷載移動(dòng)時(shí)動(dòng)時(shí)S的增量變化給予確定。的增量變化給予確定。 設(shè)某量值設(shè)某量值S的影響線如圖的影響線如圖16a所示，為一折線線形，其水平所示，為一折線線形，其水平線與各段直線間的傾角為線與各段直線間的傾角為a1、a2an。取坐標(biāo)軸。取坐標(biāo)軸x向右為正，坐向右為正，坐標(biāo)軸標(biāo)軸y

45、向上為正，傾角向上為正，傾角a以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。集中荷載組處在圖以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎＜泻奢d組處在圖16b所示位置，其相應(yīng)的量值以所示位置，其相應(yīng)的量值以S1表示，若每段直線內(nèi)各荷載的表示，若每段直線內(nèi)各荷載的合力為合力為R i（i=1n）,則則S1可表示為：可表示為： nnyRyRyRS22111當(dāng)整個(gè)荷載組向右移動(dòng)一微小距離當(dāng)整個(gè)荷載組向右移動(dòng)一微小距離x 時(shí)，其相應(yīng)的量值時(shí)，其相應(yīng)的量值S2為：為： )yy(R)yy(R)yy(RSnnn2221112故故S的增量為：的增量為： iniinnnntgaxRtgaxRtgaxRtgaxRyRyRyRSSS12211221112 其中其中x為一

46、常數(shù)，上式可寫為：為一常數(shù)，上式可寫為： iiatgRxS x y a1 R2RnR1a2DxDxDxany1y2ynDy1Dy2Dyna ) b ) 圖圖 16 量值量值S的增加率和減小率為：的增加率和減小率為：iiatgRxS 使使S成為極大值的條件是：荷載自該位置向左或向右移動(dòng)時(shí)，成為極大值的條件是：荷載自該位置向左或向右移動(dòng)時(shí)，S的數(shù)的數(shù)值均減小，即值均減小，即S 0。因此，。因此， 當(dāng)荷載向左移動(dòng)時(shí)，當(dāng)荷載向左移動(dòng)時(shí)，x 0，有，有 0iiatgRxS即：當(dāng)荷載先向左、后向右移動(dòng)時(shí)，即：當(dāng)荷載先向左、后向右移動(dòng)時(shí)， iiatgR必須由正變負(fù)，必須由正變負(fù)， S才有才有當(dāng)荷載先向左、后

47、向右移動(dòng)時(shí)，當(dāng)荷載先向左、后向右移動(dòng)時(shí)， iiatgRiiatgR必須由負(fù)變正，必須由負(fù)變正，S才有才有可能為極小值?？赡転闃O小值。將能使將能使 變號(hào)的荷載稱為臨界荷載，而把變號(hào)的荷載稱為臨界荷載，而把 iiatgR稱為臨界荷載的判別式。稱為臨界荷載的判別式。 可能為極大值?？赡転闃O大值。 （ 5 ） 確定臨界荷載一般須通過(guò)一系列的試算，判斷臨界荷載及其對(duì)確定臨界荷載一般須通過(guò)一系列的試算，判斷臨界荷載及其對(duì)應(yīng)的不利荷載位置可能有幾個(gè)，這就需將與各臨界荷載對(duì)應(yīng)的應(yīng)的不利荷載位置可能有幾個(gè)，這就需將與各臨界荷載對(duì)應(yīng)的 S 極極值均求出，取其最大值。響應(yīng)的荷載位置即為最不利荷載位置。值均求出，取其

48、最大值。響應(yīng)的荷載位置即為最不利荷載位置。上述確定最不利荷載位置的方法，與高等數(shù)學(xué)中的在導(dǎo)數(shù)為零上述確定最不利荷載位置的方法，與高等數(shù)學(xué)中的在導(dǎo)數(shù)為零或變號(hào)處函數(shù)可能有極值的道理是一致的。在集中荷載作用下，由或變號(hào)處函數(shù)可能有極值的道理是一致的。在集中荷載作用下，由iiyPS可知可知， S 為為 x 的一次函數(shù)的一次函數(shù)， 故故 S 的極值一般不發(fā)生在的極值一般不發(fā)生在0dxds的情況下，而發(fā)生在的情況下，而發(fā)生在xS變號(hào)的情況。而在移動(dòng)均布荷載作用下變號(hào)的情況。而在移動(dòng)均布荷載作用下， 由由qS可知，可知，S 為為 x 的二次函數(shù)，故此時(shí)最不利荷載位置可按一的二次函數(shù)，故此時(shí)最不利荷載位置可按一般求極值的方法用般求極值的方法用0dxds的條件來(lái)確定。的條件來(lái)確定。00 tg)PR(tgRtgRtg)PR(KbabKabRPaRbRaPRbkabka 式中式中、為水平基線與影響線為水平基