教案--第一章行列式

1、物流學(xué)院20152016學(xué)年度第 1 學(xué)期 線性代數(shù) 課堂教學(xué)方案授課年級 2014 專業(yè)層次 會(huì)計(jì)學(xué)本科 授課班級 1、2、3、4班 授課教師 2015 年 8 月 28 日線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第一章 行列式第一節(jié) 二階與三階行列式教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解行列式的概念 掌握二階、三階行列式的計(jì)算方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)二階、三階行列式的計(jì)算教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：歷史上，行列式的概念是在研究線性方程組的解的過程中產(chǎn)生的.如今，它在數(shù)學(xué)的許多分支中都有著非常廣

2、泛的應(yīng)用，是一種常用的計(jì)算工具.特別是在本門課程中，它是研究后面線性方程組、矩陣及向量組的線性相關(guān)性的一種重要工具.二階行列式與三階行列式的內(nèi)容在中學(xué)課程中已經(jīng)涉及到,本節(jié)主要對這些知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)與總結(jié),它們是我們學(xué)習(xí)和討論更高階行列式計(jì)算的基礎(chǔ).內(nèi)容要點(diǎn)一、二階行列式二、二階線性方程組三、三階行列式=三階行列式有6項(xiàng)，每一項(xiàng)均為不同行不同列的三個(gè)元素之積再冠于正負(fù)號，其運(yùn)算的規(guī)律性可用“對角線法則”或“沙路法則”來表述之。四、三元線性方程組類似于二元線性方程組的討論，對三元線性方程組記= = =若系數(shù)行列式，則該方程組有唯一解：例題選講例1 解方程組例2計(jì)算三階行列式例3 求解方程例4 解三元

3、線性方程組本學(xué)期要求敘述5分鐘課程介紹20分鐘理論講解35分鐘，習(xí)題選講25分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘提問：行列式是什么？是否具有幾何意義？注：沙路法則是對角線發(fā)則的變形，僅適用于二階、三階行列式作業(yè)與課外訓(xùn)練1.設(shè) 試給出的充分必要條件.2.求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使 P5 2 3課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)這節(jié)課我們回顧中學(xué)數(shù)學(xué)中二元一次方程組、三元一次方程組的解法（尤其是行列式解法。引入二階行列式、三階行列式的概念。重點(diǎn)介紹行、列、元素、元素的

4、代數(shù)表示法、行標(biāo)、列標(biāo)。線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第二節(jié) n階行列式教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解排列、逆序數(shù)、對換的概念及相關(guān)結(jié)論 掌握n階行列式的定義及計(jì)算方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)n階行列式的定義及計(jì)算方法，n階行列式一般項(xiàng)符號的確定教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：對角線算法能用于4階以上的行列式嗎？對于4階及4階以上行列式代表的代數(shù)和的形式又是如何呢？從三階行列式的定義,我們看到:(1) 三階行列式共有3!6項(xiàng)；(2) 行列式中的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；

5、(3) 行列式中的每一項(xiàng)的符號均與該項(xiàng)元素下標(biāo)的排列順序有關(guān). 受此啟示,我們可以引入n階行列式的定義. 此外,在本節(jié)中,我們還要了解幾個(gè)今后常用的特殊的n階行列式(對角行列與三角形行列式等)的計(jì)算方法.內(nèi)容要點(diǎn)一、排列與逆序定義1 由自然數(shù)1,2,n 組成的不重復(fù)的每一種有確定次序的排列，稱為一個(gè)n級排列(簡稱為排列)。例如，1234和4312都是4級排列，而24315是一個(gè)5級排列. 定義2 在一個(gè)級排列中，若數(shù) 則稱數(shù)與構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)級排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù), 記為定義3 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列, 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.逆序數(shù)的計(jì)算方法：先計(jì)算出排列中每個(gè)元

6、素逆序的個(gè)數(shù)，即計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的元素個(gè)數(shù)，該排列中所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).二、n階行列式的定義定義4 由個(gè)元素組成的記號 稱為階行列式, 其中橫排稱為行, 豎排稱為列, 它表示所有取自不同行、不同列的個(gè)元素乘積的代數(shù)和, 各項(xiàng)的符號是: 當(dāng)該項(xiàng)各元素的行標(biāo)按自然順序排列后, 若對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號; 是奇排列則取負(fù)號.其中表示對所有級排列求和. 行列式有時(shí)也簡記為det或，這里數(shù)稱為行列式的元素，稱 為行列式的一般項(xiàng).注: (1)行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次線性方程組的需要而定義的；(2) 階行列式是項(xiàng)的

7、代數(shù)和, 且冠以正號的項(xiàng)和冠以負(fù)號的項(xiàng)(不算元素本身所帶的符號)各占一半; (3 ) 的符號為(不算元素本身所帶的符號); (4 ) 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆.三、對換為進(jìn)一步研究n階行列式的性質(zhì)，先要討論對換的概念及其與排列奇偶性的關(guān)系。定義5 在排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)稱為對換。將兩個(gè)相鄰元素對換，稱為相鄰對換。定理1 任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對換后，其奇偶性改變。推論 奇排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2 n 個(gè)自然數(shù)(n>1)共有n!個(gè)n級排列，其中奇偶排列各占一半. （結(jié)論推導(dǎo)）定

8、理3 階行列式也定義為其中S為行標(biāo)與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和. 即S=。推論 n階行列式也可定義為例題選講排列與逆序例1 計(jì)算排列32514的逆序數(shù).例2 求排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性.n階行列式的定義例3計(jì)算行列式例4 計(jì)算上三角形行列式同理，下三角形行列式行列式中從左上角到右下角的對角線稱為主對角線.例5 在六階行列式中, 下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號 (1) (2) 例6 用行列式的定義計(jì)算 理論講解55分鐘，習(xí)題選講30分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘提問：n階行列式代數(shù)和的構(gòu)成是怎樣的？提問：在什么情況下使用定義計(jì)算行列式？作業(yè)與課外訓(xùn)練1.若是五階行列式的一項(xiàng)，則應(yīng)為何值？此時(shí)該項(xiàng)的符號是什么？2

9、.用行列式的定義計(jì)算下列行列式: 3.已知求的系數(shù).P10 3 4 課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)從三階行列式的定義,我們看到:(1) 三階行列式共有3!6項(xiàng)；(2) 行列式中的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；(3) 行列式中的每一項(xiàng)的符號均與該項(xiàng)元素下標(biāo)的排列順序有關(guān). 受此啟示，本節(jié)我們引入了n階行列式的定義. 此外，我們還介紹了幾個(gè)今后常用的特殊的n階行列式(對角行列與三角形行列式等)的計(jì)算方法。線性代數(shù)教案任課教師授課班級

10、2014級會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排4學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第三節(jié) 行列式的性質(zhì)教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 熟練掌握行列式的性質(zhì) 掌握化為上、下三角形行列式的步驟教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)利用行列式性質(zhì)化行列式上、下三角教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：根據(jù)n階行列式定義可知，對角線算法不能用于4階以上的行列式得計(jì)算，從上節(jié)課的學(xué)習(xí)可知，當(dāng)行列式中只含有極少量非零元素時(shí)，可以利用定義的方法進(jìn)行計(jì)算，然而對于一般高階行列式又該計(jì)算學(xué)習(xí)呢？行列式的奧妙在于對行列式的行或列進(jìn)行了某些變換(如行與列互換、交換兩行(列)位置、某行(列)乘以某個(gè)數(shù)、某行(列)乘

11、以某數(shù)后加到另一行(列)等)后,行列式雖然會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化,但變換前后兩個(gè)行列式的值卻仍保持著線性關(guān)系,這意味著,我們可以利用這些關(guān)系大大簡化高階行列式的計(jì)算. 本節(jié)我們首先要討論行列式的在這方面的重要性質(zhì),然后,利用進(jìn)一步討論如何利用這些性質(zhì)計(jì)算高階行列式的值.內(nèi)容要點(diǎn)一、行列式的性質(zhì)將行列式的行與列互換后得到的行列式,稱為的轉(zhuǎn)置行列式,記為或,即若 則 .性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即注 由性質(zhì)1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì),它的列也同樣具有. 性質(zhì)2 交換行列式的兩行(列),行列式變號.推論 若行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,則此行列式為零.性

12、質(zhì)3 用數(shù)乘行列式的某一行(列), 等于用數(shù)乘此行列式, 即第行(列)乘以,記為(或).推論1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2 行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.性質(zhì)4 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和, 例如,.則 .性質(zhì)5 將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上, 行列式不變.注: 以數(shù)乘第行加到第行上,記作; 以數(shù)乘第列加到第列上，記作.二、利用“三角化”計(jì)算行列式計(jì)算行列式時(shí)，常用行列式的性質(zhì)，把它化為三角形行列式來計(jì)算. 例如化為上三角形行列式的步驟是:如果第一列第一個(gè)元素為0, 先將

13、第一行與其它行交換使得第一列第一個(gè)元素不為0; 然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行,使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角形行列式,這時(shí)主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例題選講例1 設(shè) 求例2 計(jì)算例3 計(jì)算分析 注意到行列式的各列4個(gè)數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時(shí)加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的結(jié)果:例4 計(jì)算 分析 根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使中的零元

14、素增多.例5 計(jì)算分析 從第4行開始，后一行減前一行：例6 解方程分析 從第二行開始每一行都減去第一行得由解得方程的個(gè)根：理論講解55分鐘，習(xí)題選講100分鐘，練習(xí)、答疑25分鐘提問：什么是轉(zhuǎn)置行列式？與原行列式有什么關(guān)系？這說明行列式的什么性質(zhì)？提問：交換行列式的任意兩行（列），行列式有什么變化？作業(yè)與課外訓(xùn)練1.計(jì)算行列式2.計(jì)算n階行列式 P16 2 4 5課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)這節(jié)課介紹了行列式的性質(zhì)，知道了當(dāng)對行列式的行或列

15、進(jìn)行了某些變換(如行與列互換、交換兩行(列)位置、某行(列)乘以某個(gè)數(shù)、某行(列)乘以某數(shù)后加到另一行(列)等)后,變換前后兩個(gè)行列式的值仍保持著線性關(guān)系, 使我們可以利用這些關(guān)系大大簡化高階行列式的計(jì)算. 進(jìn)一步討論了如何利用這些性質(zhì)計(jì)算高階行列式的值.線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第四節(jié) 行列式按行(列)展開教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 掌握余子式、代數(shù)余子式的概念 掌握行列式按行(列)展開的方法、范德蒙行列式計(jì)算公式教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)使用降階法計(jì)算行列式的方法，范德蒙行列式的計(jì)算教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相

16、結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，直接根據(jù)定義計(jì)算n階行列式的值是困難的，即使利用性質(zhì)來計(jì)算，在有些時(shí)候也是很難得到想要的結(jié)果，能不能把高階行列式轉(zhuǎn)換為低階行列式呢，如果可以，又該如何操作呢？本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式的問題，從而得到計(jì)算行列式的另一種基本方法降階法內(nèi)容要點(diǎn)一、行列式按一行(列)展開定義1 在階行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的階行列式,稱為中元素的余子式, 記為, 再記稱為元素的代數(shù)余子式.引理 一個(gè)n階行列式D , 若其中第i行所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即 定理1 行列式等于它的任一行(

17、列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即或 推論 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即或 綜上所述, 可得到有關(guān)代數(shù)余子式的一個(gè)重要性質(zhì): 或 其中，二、用降價(jià)法計(jì)算行列式直接應(yīng)用按行(列)展開法則計(jì)算行列式, 運(yùn)算量較大, 尤其是高階行列式. 因此, 計(jì)算行列式時(shí)，一般可先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)化為僅含有一個(gè)非零元素, 再按此行(列)展開,化為低一階的行列式, 如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.例題選講例1 試按第三列展開計(jì)算行列式例2 計(jì)算行列式 例3 計(jì)算行列式 例4 求證 .例5 證明范德蒙德(Vandermonde)

18、行列式其中記號“”表示全體同類因子的乘積.分析 用數(shù)學(xué)歸納法. 理論講解35分鐘，習(xí)題選講50分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘提問：推論結(jié)論說明了什么？重點(diǎn)提示：降階法與上節(jié)利用行列式性質(zhì)把行列式化為上、下三角的異同注：重點(diǎn)講解范德蒙德(Vandermonde)行列式作業(yè)與課外訓(xùn)練1. 計(jì)算行列式 2.討論當(dāng)k為何值時(shí) 3.設(shè)階行列式 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 P21 2 5 課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了在n階行列式中，劃去元素

19、aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原來的位置構(gòu)成一個(gè)n1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作ij元素aij的余子式ij前面添上符號(1)i+j稱為元素aij的代數(shù)余子式n階行列式可以用n1階行列式來表示，利用它并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可以大大簡化行列式的計(jì)算計(jì)算行列式時(shí)，一般利用性質(zhì)將某一行(列)化簡為僅有一個(gè)非零元素，再按定理1展開，變?yōu)榈鸵浑A行列式，如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階這在行列式的計(jì)算中是一種常用的方法線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第五節(jié) 克萊姆法則教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解線性方程組解的存在條件

20、 掌握應(yīng)用克萊姆法則求解線性方程組教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)線性方程組解的存在性判斷方法教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：前面我們已經(jīng)介紹了n階行列式的定義和計(jì)算方法，作為行列式的應(yīng)用，本節(jié)介紹用行列式解n元線性方程組的方法克萊姆法則它是第一節(jié)中二、三元線性方程組求解公式的推廣內(nèi)容要點(diǎn)n元線性方程組的概念從三元線性方程組的解的討論出發(fā)，對更一般的線性方程組進(jìn)行探討。在引入克萊姆法則之前，我們先介紹有關(guān)n元線性方程組的概念。含有n個(gè)未知數(shù)的線性方程組稱為n元線性方程組.當(dāng)其右端的常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí),線性方程組(1)稱為非齊次線性方程組,當(dāng)全為零時(shí), 線性方程

21、組(1)稱為齊次線性方程組，即線性方程組(1)的系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式，即 .克萊姆法則定理1 (克萊姆法則) 若線性方程組(1)的系數(shù)行列式, 則線性方程組(1)有唯一解,其解為 (3)其中是把中第列元素對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)而其余各列保持不變所得到的行列式. 一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時(shí)，計(jì)算量是比較大的. 對具體的數(shù)字線性方程組，當(dāng)未知數(shù)較多時(shí)往往可用計(jì)算機(jī)來求解. 用計(jì)算機(jī)求解線性方程組目前已經(jīng)有了一整套成熟的方法. 克萊姆法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性，與其在計(jì)算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價(jià)值. 撇開求解公式(3),克萊姆法則可敘述為下面的定理.定理2 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列