第十八章 量子物理基礎(chǔ)-思考題和習(xí)題解答

1、第十八章 狹義相對論基礎(chǔ) 19 思考題18-1把一塊表面的一半涂了煙煤的白瓷磚放到火爐內(nèi)燒，高溫下瓷磚的哪一半顯得更亮些？ 參考答案實驗表明：一個良好的吸收體也是一個良好的發(fā)射體。也就是說，一個物體吸收輻射的能量越強(qiáng)，那么它的熱輻射能力也越強(qiáng)。輻射本領(lǐng)越強(qiáng)的物體，單位時間內(nèi)從表面輻射出來的能力越多，它的表面就顯得越亮。瓷磚涂了煙煤的一半在正常情況下更黑，說明比起未涂煙煤的一半，它吸收輻射的能力也更強(qiáng)，相應(yīng)地，它的輻出度更高，所以在火爐內(nèi)燒熱后應(yīng)該顯得更亮一些。18-2剛粉刷完的房間從房外遠(yuǎn)處看，即使在白天，它的開著的窗口也是黑的。為什么？參考答案從窗口進(jìn)入的光線在屋里經(jīng)過多次反射后極少能再從窗

2、口反射出來，所以看起來窗口總是黑的。這樣的窗口就可看作是一個黑體。18-3為什么幾乎沒有黑色的花？參考答案如果花是黑顏色的，表明花對于可見光沒有反射，也就是花將可見光波段的能力都吸收了，與其他顏色的花相比，黑色花的溫度將更高，這樣的花很可能會由于沒有及時將能量從其他途徑釋放掉的機(jī)制而枯死。另外，對于蟲媒花來說，黑色是昆蟲的視覺盲點，因而無法授粉。18-4在光電效應(yīng)實驗中，如果（1）入射光強(qiáng)度增加一倍；（2）入射光頻率增加一倍，各對實驗結(jié)果有什么影響？參考答案光電效應(yīng)方程為（1）入射光強(qiáng)度的概念：單位時間內(nèi)單位面積上的光子數(shù)乘以每個光子的能量。如果頻率不變，每個光子的能量就不變。入射光強(qiáng)度增加一

3、倍，意味著入射的光子數(shù)增加一倍，從而飽和電流強(qiáng)度將增加一倍。截止電壓不變（設(shè)頻率不變）。（2）入射光的頻率增加一倍，就增加一倍，每個光子的能量從增加到。從光電效應(yīng)方程可以看出截止電壓相應(yīng)地增加。飽和電流的數(shù)值不變（因為單位時間入射的光子數(shù)密度未變）。18-5用一定波長的光照射金屬表面產(chǎn)生光電效應(yīng)時，為什么逸出金屬表面的光電子的速度大小不同？參考答案金屬中的電子是運(yùn)動著的，它與金屬中的離子有相互作用，不斷與離子發(fā)生碰撞，導(dǎo)致它的動量發(fā)生變化。電子吸收光子后，在逸出金屬表面之前，與離子碰撞而損失的動量各不相同。因此逸出金屬表面的光電子的速度大小不同。18-6用可見光能產(chǎn)生康普頓效應(yīng)嗎？能觀察到嗎？

4、參考答案可以從下面兩個角度理解。（1）可見光的光子能量相對于射線中的光子能量來說太小，與原子中的電子碰撞時，電子不能被認(rèn)為是自由的，而是束縛在原子內(nèi)，光子此時與整個原子碰撞，原子質(zhì)量很大，相應(yīng)的波長改變量為比康普頓波長要小得多，所以可見光波長的變化太小而觀察不到。（2）假設(shè)可見光的光子可以與固體中的自由電子發(fā)生散射，波長改變量還是應(yīng)該與康普頓效應(yīng)中的相同，是康普頓波長它是的數(shù)量級。但由于可見光的波長很長，是的數(shù)量級，可算出波長改變量為為的量級，故不容易觀察到。18-7為什么對光電效應(yīng)只考慮光子的能量的轉(zhuǎn)化，而對康普頓效應(yīng)則還要考慮光子的動量的轉(zhuǎn)化？參考答案光電效應(yīng)中，所用的光在可見光的波段。光

5、子的能量與原子外層電子的能量同一數(shù)量級。固體中的電子還受到離子的相互作用，這一相互作用與光子的能量同一數(shù)量級，在碰撞過程中不能忽略。雖然總動量守恒，但電子還與其他離子有動量交換（或者說，電子吸收光子后又在晶體內(nèi)經(jīng)過彈性碰撞后才出射，因此出射的電子不能反映光子動量的轉(zhuǎn)移）。在這樣的碰撞過程中，一個光子是可以被一個電子完全吸收的。光子的能量雖然完全轉(zhuǎn)移給電子，但光子的動量并沒有全部轉(zhuǎn)移給電子，有一部分動量轉(zhuǎn)移給了晶體。要點：在這樣的碰撞過程前電子不是自由的。在康普頓效應(yīng)中，所用的光是射線。光子的能量比原子外層電子的能量要大三個數(shù)量級。電子的動能和它與離子之間的相互作用能遠(yuǎn)小于光子的能量，在碰撞時可

6、以忽略不計。所以，當(dāng)光光子與電子碰撞時，可以看作是光子與一個靜止電子的碰撞。因此，康普頓效應(yīng)是光子與自由電子之間的二體碰撞，這樣的碰撞過程中，總能量和總動量都守恒，測光子的波長改變時要考慮到光子和電子之間的動量轉(zhuǎn)移。并且由光子與自由電子之間的二體碰撞的動量守恒和能量守恒，可通過計算得到：一個光子不能被一個自由電子完全吸收。要點：在這樣的碰撞過程前后電子是自由的。18-8光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)在對光的粒子性的認(rèn)識方面，其意義有何不同？參考答案光電效應(yīng)未涉及光子的動量，只說明普朗克所說的電磁場內(nèi)的一份份的能量可在空間自由傳播?；蛘哒f，電磁波在空中傳播時，能量就是一份一份的，這樣的能量子可被粒子整個地

7、吸收?？灯疹D效應(yīng)說明上述的能量子與粒子碰撞時遵守能量守恒定律和動量守恒定律，因此，能量子粒子性的表現(xiàn)就更為明確了。此時可以認(rèn)為能量子就是一種粒子，這種粒子則稱為光子。光子的能量越高，它的粒子性表現(xiàn)得就越明顯；反之，光子的能量越低，它的波動性表現(xiàn)得就越明顯?？灯疹D效應(yīng)中所用的光子的能量比光電效應(yīng)中所用的光子的能量要高三個數(shù)量級，所以在康普頓效應(yīng)中，光子的粒子性表現(xiàn)得更為明顯。18-9 實物粒子的德布羅意波與電磁波有什么不同？解釋描述實物粒子的波函數(shù)的物理意義。參考答案實物粒子的德布羅意波是反映粒子在空間各點分布的規(guī)律；電磁波反映的是電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度在空間各點的分布。波函數(shù)絕對值的平方表示粒子在

8、某處出現(xiàn)的概率密度。18-10若一個電子和一個質(zhì)子具有同樣的動能，哪個粒子的德布羅意波長較大？參考答案根據(jù)德布羅意關(guān)系可知，如果一個電子與一個質(zhì)子具有同樣的動能，則質(zhì)量小的粒子，即電子，有較大的德布羅意波長。這個例子說明，質(zhì)量越大的物質(zhì)，德布羅意波長越短，越不容易顯現(xiàn)粒子效應(yīng)。18-11如果普朗克常量，對波粒二象性會有什么影響？如果光在真空中的速率，對時間空間的相對性會有什么影響？參考答案如果，那么對于例子，其德布羅意波長，不顯現(xiàn)波動性。另一方面，對于光子，其能量，不顯現(xiàn)粒子性。如果光速，那么即使很高的運(yùn)動速度也遠(yuǎn)小于光速，始終有：，不顯現(xiàn)相對論效應(yīng)。18-12根據(jù)不確定關(guān)系，一個分子即使在，

9、它能完全靜止嗎？參考答案根據(jù)不確定關(guān)系，一個分子即使在，也不能完全靜止。如果一個分子完全靜止，則違反不確定關(guān)系。靜止表明它的運(yùn)動速度為零，動量的數(shù)值就是零，即相應(yīng)地，動量的不確定度為零，即另一方面，靜止表明分子在空間上的位置不變，它的位置不確定度也為零，此時位置和動量可同時測準(zhǔn)，即違反不確定關(guān)系18-13什么是波函數(shù)必須滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件？波函數(shù)歸一化是什么意思？參考答案波函數(shù)必須滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件是單值、有限和連續(xù)。波函數(shù)歸一化是指概率密度在全空間的積分為1，即上式在物理上，是指在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1。因為只要在空間有一個粒子，遍及整個空間總是能找到這個粒子。18-15從圖18-18分析，粒子

10、在勢阱中處于基態(tài)時，除邊界外，它的概率密度為零的點有幾處？在激發(fā)態(tài)中，概率密度為零的點又有幾處？這種點的數(shù)目和量子數(shù)有什么關(guān)系？參考答案粒子在勢阱中處于基態(tài)時，除邊界外，它的概率密度都不為零。在激發(fā)態(tài)中，量子數(shù)為的狀態(tài)的概率密度為零的點的個數(shù)是。18-16本章討論的勢阱中的粒子處于激發(fā)態(tài)時的能量都是完全確定的，這意味著粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命將為多長？它們自己能從一個態(tài)躍遷到另一個態(tài)嗎？參考答案粒子所處的狀態(tài)的能量是完全確定的，就是說在這樣的態(tài)上能量的不確定度為零，即能量的不確定度和壽命的不確定度之間的不確定關(guān)系為現(xiàn)在已知，就要求，也就是說，粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命是無限長。如果沒有外界擾動，

11、它們自己不能從一個態(tài)躍遷到另一個態(tài)。18-17為什么說原子內(nèi)電子的運(yùn)動狀態(tài)用軌道來描述是錯誤的？參考答案如果用軌道的概念來描述一個粒子的運(yùn)動，那么在每一個時刻，粒子的坐標(biāo)和動量都是確定的。至少，它們的不確定度（或者它們的測量誤差）和遠(yuǎn)小于相應(yīng)的和，即和。如其中任一條件不滿足，就不能使用軌道的概念。在原子內(nèi)，可由量子力學(xué)算得，電子的波函數(shù)在原子核外的各處都有值，也就是說，在原子核外的各處都有發(fā)現(xiàn)電子的概率，電子出現(xiàn)的概率就像“電子云”那樣彌散在整個原子（除核外）范圍內(nèi)。如果以原子核的坐標(biāo)為原點，那么電子坐標(biāo)的不確定度和是同一數(shù)量級的。所以，原子內(nèi)電子的運(yùn)動狀態(tài)，不能用經(jīng)典的粒子位置隨時間變化的概

12、念來描述，因而也就沒有軌道的概念。18-18的殼層內(nèi)有幾個次殼層，各次殼層都可容納多少個電子？參考答案原子內(nèi)主量子數(shù)為的殼層內(nèi)可以有角量子數(shù)分別為的個次殼層，每個次殼層可容納的電子數(shù)是個。對于的殼層，有角量子數(shù)分別為的3個次殼層，這3個次殼層可依次分別容納個電子。18-19處于基態(tài)的原子的兩個電子的量子數(shù)各是什么值？參考答案如果有多個電子但是忽略軌道與自旋之間的耦合，那么每個電子的狀態(tài)由這四個量子數(shù)決定。根據(jù)泡利不相容原理，任意兩個電子都應(yīng)該至少有一個量子數(shù)是不同的。處于基態(tài)的原子的兩個電子的量子數(shù)都是，。由于前三個量子數(shù)相同，則第四個量子數(shù)必須不同，所以自旋磁量子數(shù)分別是和。處于基態(tài)的原子的

13、兩個電子的量子數(shù)分別為和。習(xí)題18-1將星球看做絕對黑體，利用維恩位移定律測量便可求得T。這是測量星球表面溫度的方法之一。設(shè)測得：太陽的，北極星的，天狼星的，試求這些星球的表面溫度。解：將這些星球看成絕對黑體，則按維恩位移定律：對太陽： 對北極星：對天狼星：18-2用輻射高溫計測得爐壁小孔的輻射出射度(總輻射本領(lǐng))為22.8W·cm-2，求爐內(nèi)溫度。解：爐壁小孔視為絕對黑體，其輻出度 按斯特藩-玻爾茲曼定律：18-3從鋁中移出一個電子需要4.2eV的能量，今有波長為2000的光投射到鋁表面。試問：(1) 由此發(fā)射出來的光電子的最大動能是多少?(2) 遏止電勢差為多大?(3) 鋁的截止

14、(紅限)波長有多大?解：(1)已知逸出功據(jù)光電效應(yīng)公式則光電子最大動能：遏止電勢差 (3)紅限頻率, 截止波長 18-4鉀的光電效應(yīng)紅限波長為，求：（1）鉀的逸出功；（2）在波長的紫外光照射下，鉀的遏止電勢差。解：（1）逸出功（2）由光電效應(yīng)方程和，可得18-5能引起人眼視覺的最小光強(qiáng)約為，如瞳孔的面積約為，計算每秒平均有幾個光子進(jìn)入瞳孔到達(dá)視網(wǎng)膜上。設(shè)光的平均波長為。解：設(shè)單位時間內(nèi)平均有個光子進(jìn)入瞳孔，則光強(qiáng)為每秒平均進(jìn)入瞳孔的光子數(shù)為18-6入射的射線光子的能量為。被自由電子散射后波長變化了20。求反沖電子的動能。解：散射后光子波長增大，所以散射后光子的波長為，其能量為根據(jù)能量守恒，反沖

15、電子的動能為18-7波長的X射線在石蠟上受到康普頓散射，求在和方向上所散射的X射線波長各是多大?解：在方向上：散射波長在方向上散射波長 18-8在康普頓散射中，入射光子的波長為0.030，反沖電子的速度為0.60，求散射光子的波長及散射角。解：反沖電子的能量增量為由能量守恒定律，電子增加的能量等于光子損失的能量，故有 散射光子波長由康普頓散射公式可得 散射角為 18-9實驗發(fā)現(xiàn)基態(tài)氫原子可吸收能量為12.75eV 的光子。(1)試問氫原子吸收光子后將被激發(fā)到哪個能級?(2)受激發(fā)的氫原子向低能級躍遷時，可發(fā)出哪幾條譜線?請將這些躍遷畫在能級圖上。解：(1)解得 或者 解出 題16-12圖 題1

16、6-13圖(2)可發(fā)出譜線賴曼系條，巴爾末系條，帕邢系條，共計條。18-10以動能12.5eV 的電子通過碰撞使氫原子激發(fā)時，最高能激發(fā)到哪一能級?當(dāng)回到基態(tài)時能產(chǎn)生哪些譜線?解：設(shè)氫原子全部吸收能量后，最高能激發(fā)到第個能級，則得，只能取整數(shù)， 最高激發(fā)到，當(dāng)然也能激發(fā)到的能級于是從從從可以發(fā)出以上三條譜線題18-10圖18-11處于基態(tài)的氫原子被外來單色光激發(fā)后發(fā)出巴爾末線系中只有兩條譜線，試求這兩條譜線的波長及外來光的頻率。解：巴爾末系是由的高能級躍遷到的能級發(fā)出的譜線。只有二條譜線說明激發(fā)后最高能級是的激發(fā)態(tài)?；鶓B(tài)氫原子吸收一個光子被激發(fā)到的能態(tài) 18-12當(dāng)基態(tài)氫原子被12.09eV的

17、光子激發(fā)后，其電子的軌道半徑將增加多少倍?解： , ,軌道半徑增加到倍。18-13光子與電子的波長都是2.0，它們的動量和總能量各為多少?解：由德布羅意關(guān)系：，波長相同它們的動量相等光子的能量電子的總能量 ,而 18-14為使電子的德布羅意波長為1，需要多大的加速電壓?解： 加速電壓 伏18-15具有能量15eV 的光子，被氫原子中處于第一玻爾軌道的電子所吸收，形成一個光電子。問此光電子遠(yuǎn)離質(zhì)子時的速度為多大?它的德布羅意波長是多少?解：使處于基態(tài)的電子電離所需能量為，因此，該電子遠(yuǎn)離質(zhì)子時的動能為它的速度為其德布羅意波長為：18-16已知中子的質(zhì)量，當(dāng)中子的動能等于溫度300K的熱平衡中子氣

18、體的平均動能時，其德布羅意波長為多少?解：,中子的平均動能 德布羅意波長 18-17作一維運(yùn)動的電子，其動量不確定量是，能將這個電子約束在內(nèi)的最小容器的大概尺寸是多少？解：由不確定度關(guān)系，得18-18一個質(zhì)量為的粒子，約束在長度為的一維線段上。試根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系估算這個粒子所具有的最小能量的值。解：按測不準(zhǔn)關(guān)系，則,這粒子最小動能應(yīng)滿足18-19從某激發(fā)能級向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的譜線波長為4000，測得譜線寬度為10-4，求該激發(fā)能級的平均壽命。解：光子的能量 由于激發(fā)能級有一定的寬度，造成譜線也有一定寬度，兩者之間的關(guān)系為：由測不準(zhǔn)關(guān)系，平均壽命，則 18-20一波長為3000的光子，假定其波長的測量精度為百萬分之一，求該光子位置的測不準(zhǔn)量。解： 光子，由測不準(zhǔn)關(guān)系，光子位置的不準(zhǔn)確量為18-21有一寬度為的一維無限深勢阱，用測不準(zhǔn)關(guān)系估算