橢球面上大地問題的解算

1、橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 一、概述一、概述 二、勒讓德級數(shù)式二、勒讓德級數(shù)式 三、高斯平均引數(shù)正解公式（重點）三、高斯平均引數(shù)正解公式（重點） 四、高斯平均引數(shù)反解公式（重點）四、高斯平均引數(shù)反解公式（重點） 五、貝塞爾大地問題解算五、貝塞爾大地問題解算一、一、 概述概述（一）解算內(nèi)容（一）解算內(nèi)容 大地問題正解大地問題正解已知P1點大地坐標(biāo)（B1，L1）、P1P2大地線長S和大地方位角A1，推求P2點大地坐標(biāo)（B2，L2）和大地方位角A2。 大地問題反解大地問題反解已知P1P2兩點的大地坐標(biāo)（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長S和大地方位角A1、A2。（二）解

2、算方法二）解算方法 1、按解算的距離分為：短距離（400km)、中距離（4001000km)和長距離（10002000km)的解算。 2、按解算形式分為：直接解法和間接解法 直接解法直接解求點B、A和相鄰起算點的大地經(jīng)差。 間接解法先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點的相應(yīng)大地數(shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。 （二）解算方法二）解算方法 3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）。 基本思路：基本思路： a、按照平均引數(shù)展開的泰勒級數(shù)把大地線兩端點的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長S的冪級數(shù)； b、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終得到大地問題解

3、算公式。大地主題解算分類：大地主題解算分類：正算：正算：已知(B1, L1)，A12，S12，計算(B2, L2)，A21反算反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 計算A12，S12 ，A21短距離中距離長距離解算方法：級數(shù)展開 勒讓德級數(shù) 高斯平均引數(shù)公式 貝塞爾公式KmS120KmSKm400120KmS400二、勒讓德級數(shù)二、勒讓德級數(shù) 按照泰勒級數(shù)將P1和P2兩點的緯差b、經(jīng)差l和方位角差展開成為大地線長度S的冪級數(shù)，稱為勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式。1、緯度差、經(jīng)度差和方位角差展開為大地線長度的級數(shù)式62626230332022012303320220123033202201

4、2SdSAdSdSAdSdSdAAAaSdSLdSdSLdSdSdLLLlSdSBdSdSBdSdSdBBBb由大地線的微分公式，得其一階導(dǎo)數(shù)為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 二階和三階導(dǎo)數(shù)采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法計算：dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd22223322同理可求出四階以上的導(dǎo)數(shù)和L、A的高階導(dǎo)數(shù)，代入展開式即可。三、三、 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式（一）基本思想一）基本思想 首先把勒讓德級數(shù)在P1點展開改為在大地線大地線長度中點長度中點M M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少、收

5、斂快、精度高； 其次，考慮到求定中點M的復(fù)雜性，將M點用大地線兩端的平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m m點點來代替，并借助迭代計算，便可順利的實現(xiàn)大地問題的正解。高斯平均引數(shù)公式高斯平均引數(shù)公式若取大地線中點展開，得：4882488233322213332222SdSBdSdSBdSdSdBBBSdSBdSdSBdSdSdBBBMMMMMMMM兩式相減，得：111,LBP222,LBPMN12AMA2S2S2433312SdSBdSdSdBbBBMM類似地，有：2433312SdSLdSdSdLlLLMM243331221SdSAdSdSdAaAAMM1兩式相加，得：

6、8222SdSBdBBMMm類似地，有：8 ,8222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：21212121 ,21 ,21AAALL LBBBmmm 將 展開成級數(shù)，得：MdSdBMmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB2由大地線的微分公式：mmmANVMAdSdBcoscos 2求導(dǎo)，得：ANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322mMmMdSAddSAddSBddSBd22222222 ?。捍?式，得 的計算公式。并取2MdSdBmMdSBddSBd3333代入 式，求出各階導(dǎo)數(shù)后整理得：12222222222221241cos3

7、 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBb同理可得：222222221291cos sin241sincos1mmmmmmmmmmtAtANSASBNLLl4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大地主題。3 當(dāng)距離小于70千米時，上述個式中的可 以略去，則得到簡化公式，結(jié)構(gòu)比較簡單，精度高22222212sin1sincos cos24mm mmmmmSlLLSAA tANBN222212cos1sin(23) 24mmmmmSbBBS

8、AAtMN2222212sin12cossin224mmmmmmSaAASAAAtNN因計算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要疊代計算。其初值為： 121112012110sintan21cos21ASBNAAASMBBmm疊代計算公式為： 2 2 12111kkmkkmaAAbBB直到 為止。 10.00 10.000 11 kmkmAkmkmBAABB最后計算緯度、經(jīng)度和方位角：aAAlLLbBB12211212 （二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟：二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟： 1、經(jīng)差l、緯差b、方位角差a是S的函數(shù)，故可以將其展為S的泰勒級數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2處展為

9、S的冪級數(shù)）。 2、引入大地線兩端點的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按泰勒級數(shù)展開。 3、根據(jù)大地線微分方程求泰勒級數(shù)中的系數(shù)。 4、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。 5、由于B2、A2未知，Bm、Am精確值未知，可通過逐次趨近法求出。一般三次即可。 四、高斯平均引數(shù)反解公式四、高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式推求步驟：高斯平均引數(shù)反解公式推求步驟： 1、已知兩點間的緯差b、經(jīng)差l和平均緯度Bm，導(dǎo)出 SsinAm和 ScosAm，求a。 2、由SsinAm、ScosAm和 a計算S和A1、A2。計算公式：計算公式：高斯平均引數(shù)反算公式高斯平均引數(shù)反算公式由正算公式，反解得：2

10、22222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASNbVAS22222222291cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBlNAS右端第二項與第一項相比為小量，可以作近似：mmmmmmBlNASNbVAScossin cos2代入上式第二項，得：3222222222824332coscosbtNblttBNVbNASmmmmmmmmmmmm32222224sincos9124coscossinlBBNlbtBNlBNASmmmmmmmmmmm由此可求得平均方位角和大地線長度如下：mmmmmAAS

11、 SASASAsinsin cossintan1由正算公式的第三式，計算a：4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa最后得起終點的大地方位角為：2 22112aAAaAAmm小結(jié)小結(jié)1 1、大地主題正解微分公式、大地主題正解微分公式 終點的經(jīng)緯度（B2,L2）和大地線方位角A21，與起點的經(jīng)緯度（B1,L1）和大地線方位角A12，以及大地線長度S的微分關(guān)系。1211122112221212221221212212112212122sinsincostansin0cossincoscoscossin1tansinsincos0cosdAdSdLdBAALLRBABLLBRASBRABLLRASRAAAdAdLdB2 2、大地主題反解微分公式、大地主題反解微分公式 起點大地線方位角A12和大地線方位角A21，以及大地線長度S與起點和終點的經(jīng)緯度（B1,L1）和（B2,L2）的微分關(guān)系。21211211121121212121222122212121212221222121212112coscoscoscossinsincoscoscoscossinsinsincossincoscoscosdLdLdBdBASBNASBNASMASMAS