第二章圓錐曲線與方程綜合素質(zhì)檢測(人教A版選修1-1)

1、第二章 圓錐曲線與方程 綜合素質(zhì)檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1點(diǎn)M與點(diǎn)F(3,0)的距離比它到直線x50的距離小2，則點(diǎn)M的軌跡方程為()Ay212xBy26xCy212xDy26x答案C解析由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是F為焦點(diǎn)，直線x30為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y212x.2(2014·洛陽市期末)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(，0)，直線yx與橢圓的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則橢圓方程為()A.y21Bx21C.1D.1答案C解析由橢圓過點(diǎn)(2,2)，排除A、B、D

2、，選C.3(2014·山東省博興二中質(zhì)檢)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率等于()A.B.C2D2答案B解析拋物線y24x的焦點(diǎn)(，0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，c，又，結(jié)合a2b2c2，得a1，e，故選B.4(2014·寧夏銀川一中二模)從拋物線y24x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積()A5B10C20D.答案B解析設(shè)P(x0，y0)，則由拋物線定義知x015，x04故y04，所以SMPF×5×410.5已知a>b

3、>0，e1，e2分別為圓錐曲線1和1的離心率，則lge1lge2()A大于0且小于1B大于1C小于0D等于1答案C解析lge1lge2lglglg<lglg10，lge1lge2<0.6(2014·江西文，9)過雙曲線C：1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析如圖設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)B，設(shè)漸近線OA方程為yx，由題意知，以F為圓心，4為半徑的圓過點(diǎn)O，A，|FA|FO|r4.ABx軸，A為AB與漸近線yx的交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為

4、A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，OAF為等邊三角形且邊長為4，B為OF的中點(diǎn)，從而解得|OB|a2，|AB|b2，雙曲線的方程為1，故選A.7探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()Ay2xBy2xCx2yDx2y答案C解析如果設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)，則拋物線過點(diǎn)(40,30)，3022p×40,2p，所以拋物線的方程應(yīng)為y2x，所給選項中沒有y2x，但方程x2y中的“2p”值為，所以選項C符合題意8過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點(diǎn)的直線有(

5、)A4條B3條C2條D1條答案B解析過P與x軸平行的直線y1與拋物線只有一個交點(diǎn)；過P與拋物線相切的直線x0，yx1與拋物線只有一個交點(diǎn)9(2014·山東省煙臺市期末)若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線yx22相切，則此雙曲線的離心率等于()A2B3C.D9答案B解析由題意雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，代入拋物線方程yx22整理得x2x20，因漸近線與拋物線相切，()280，即()28，此雙曲線的離心率e3.故選B.10F1、F2是橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引F1PF2的外角平分線的垂線

6、，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線分析此題若用坐標(biāo)法求解運(yùn)算相當(dāng)繁瑣，而且一時難以理出思路本題易借助幾何圖形的幾何性質(zhì)加以解決答案A解析延長垂線F1Q交F2P的延長線于點(diǎn)A，如圖所示則APF1是等腰三角形，|PF1|AP|，從而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.O是F1F2的中點(diǎn)，Q是AF1的中點(diǎn)，|OQ|AF2|a.Q點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為a的圓故選A.二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11若拋物線y2mx與橢圓1有一個共同的焦點(diǎn)，則m_.答案±8解析橢圓焦點(diǎn)為(2,0)和(2,0)，因?yàn)閽佄锞€

7、與橢圓有一個共同焦點(diǎn)，故m±8.12已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|5，則ABF1的周長為_答案26解析由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a8，|BF1|BF2|8，|AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16.又|AF2|BF2|AB|5，|AF1|BF1|16521.ABF1的周長為|AF1|BF1|AB|21526.13橢圓mx2ny21與直線l：xy1交于M、N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線斜率為，則_.答案解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，mxny1mxny1又1，得：mn·0，mn，.

8、14(2014·哈三中二模)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y28x的準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則雙曲線的離心率為_答案解析拋物線y28x的準(zhǔn)線方程x2，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線的漸近線方程yx，即，e.15(2014·唐山市一模)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則|AB|_.答案解析設(shè)AB所在的直線yk(x1)，聯(lián)立消去y得k2x2(2k24)xk20，x1x21，設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，A到準(zhǔn)線的距離為4，x114，x13，x2，|AB|x1x2232.三、解答題(本大題

9、共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線；(2)以橢圓3x213y239的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y±為漸近線的雙曲線答案(1)1(2)1解析(1)雙曲線1的焦點(diǎn)為(±2，0)，設(shè)所求雙曲線方程為：1(20a2>0)又點(diǎn)(3，2)在雙曲線上，1，解得a212或30(舍去)，所求雙曲線方程為1.(2)橢圓3x213y239可化為1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所求雙曲線的焦點(diǎn)為(±，0)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)雙曲線的漸近線為y&#

10、177;x，a28，b22，即所求的雙曲線方程為：1.17如圖是拋物線形拱橋，設(shè)水面寬|AB|18m，拱頂離水面的距離為8m，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若矩形的長|CD|9m，那么矩形的高|DE|不能超過多少m才能使船通過拱橋？答案6m解析如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，過O且平行于AB的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系則B(9，8)，設(shè)拋物線方程為x22py(y>0)點(diǎn)B在拋物線上，812p·(8)，p，拋物線的方程為x2y，當(dāng)x時，y2，|DE|6，當(dāng)矩形的高|DE|不超過6m時，才能使船通過拱橋18已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A(2,

11、0)、B(2,0)，|2，求點(diǎn)E的軌跡方程答案x2y21(y0)解析如圖設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)，()，由向量加法的平行四邊形法則可知，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OE，又O為AB的中點(diǎn)，OEAD1.即動點(diǎn)E到定點(diǎn)O的距離為定值1，由圓的定義知，點(diǎn)E的軌跡方程為x2y21(y0)點(diǎn)評平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，是高考考查的重要內(nèi)容，本題借助于圖形，將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，找到了突破口，即點(diǎn)E到定點(diǎn)O的距離等于定值1這一關(guān)鍵，從而求出了動點(diǎn)E的軌跡方程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要思想6(2014·江西文，9)過雙曲線C：1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、

12、半徑為4的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析如圖設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)B，設(shè)漸近線OA方程為yx，由題意知，以F為圓心，4為半徑的圓過點(diǎn)O，A，|FA|FO|r4.ABx軸，A為AB與漸近線yx的交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，OAF為等邊三角形且邊長為4，B為OF的中點(diǎn)，從而解得|OB|a2，|AB|b2，雙曲線的方程為1，故選A.20已知雙曲線1的離心率e，過A(a,0)，B(0，b)的直線到原點(diǎn)的距離是.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線ykx5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D，且C，

13、D都在以B為圓心的圓上，求k的值答案(1)y21(2)±解析(1)雙曲線的離心率e.過A，B的直線為1，即bxayab0.原點(diǎn)到直線AB的距離為，由，得b1.1.a23，雙曲線的方程為y21.(2)由，得(13k2)x230kx780.x1x2.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點(diǎn)M(x0，y0)，則x0，y0kx05.MB的斜率kMB.x0ky0k0，即k0.解得k27，k±.21在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常

14、數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由答案(1)(2)k值不存在解析(1)由已知條件，直線l的方程為ykx，代入橢圓方程整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，8k244k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.又A(，0)，B(0,1)，(，1)與共線，x1x2(y1y2)，將代入式，解得k.由(1)知k<或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.反饋練習(xí)一、選擇題1若方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是(

15、)A.>B.<C.>D.<答案A解析方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，b<0，>.2“直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)直線與雙曲線相切或直線平行于雙曲線的一條漸近線，故選B.3已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18B24C36D48答案C解析設(shè)拋物線為y22px，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線x，由|AB|2p12，知p6，所以F到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為S&

16、#215;12×636.4等腰RtABO內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則ABO的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析由拋物線的對稱性質(zhì)及OAOB知，直線OA的方程為yx，由得A(2p,2p)，則B(2p，2p)，|AB|4p，SABO·4p·2p4p2.5(2014·太原模擬)設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于()A.或B.或2C.或2D.或答案D解析因?yàn)閨PF1|F1F2|PF2|432，所以設(shè)|PF1|4x，|F1F

17、2|3x，|PF2|2x，x>0.因?yàn)閨F1F2|3x2c，所以xc.若曲線為橢圓，則有2a|PF1|PF2|6x，即a3x，所以離心率e.若曲線為雙曲線，則有2a|PF1|PF2|2x，即ax，所以離心率e，所以選D.6(2014·山西省高三四校聯(lián)考)已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足條件的圓錐曲線的個數(shù)為()A4B3C2D.1答案B解析解方程2x25x20得x2或.當(dāng)e2時，m<0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)e時，m>0，可表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的橢圓，故選B.7已知動圓P過定點(diǎn)A(3,0)，并且與定圓B：(x3)2y264內(nèi)

18、切，則動圓的圓心P的軌跡是()A線段B直線C圓D橢圓答案D解析如下圖，設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于M，則動圓的圓心P到兩點(diǎn)，即定點(diǎn)A(3,0)和定圓的圓心B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|PB|PM|PB|BM|8.點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，故選D.8(2014·陜西工大附中四模)F1、F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案D解析如圖，由雙曲線的定義知，|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，|AB|BF1|AF1

19、|BF1|AF1|AF2|BF2|(|BF1|BF2|)(|AF2|AF1|)4a，|BF2|4a，|BF1|6a，在BF1F2中，ABF260°，由余弦定理，|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|BF1|·|BF2|·cos60°，36a216a24c224a2，7a2c2，e>1，e，故選D.9已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.B1C.D.答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.10(

20、2014·銀川九中一模)已知雙曲線1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其一條漸近線方程為yx，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，則·()A12B2C0D4答案C解析由漸近線方程為yx知，1，b，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，y0±1，y01時，P(，1)，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，·0，y01時，P(，1)，·0，故選C.二、填空題11已知F是拋物線y24x的焦點(diǎn)，M是這條拋物線上的一個動點(diǎn)，P(3,1)是一個定點(diǎn)，則|MP|MF|的最小值是_答案4解析過P作垂直于準(zhǔn)線的直線，垂足為N，交拋物線于M，則|MP|MF|MP|MN|PN|4為

21、所求最小值12設(shè)橢圓1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為_答案1解析拋物線y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，由條件得，所求橢圓的方程為1.13已知拋物線y24x，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則yy的最小值為_答案32解析當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為x4，由，得y14，y24，yy32.當(dāng)直線的斜率存在時，其方程為yk(x4)，由，得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y232>32，綜上可知yy32.yy的最小值為32.14(2014·天津和平區(qū)

22、期末質(zhì)檢)若雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y22bx的焦點(diǎn)分成53兩段，則此雙曲線的離心率為_答案解析y22bx的焦點(diǎn)為(，0)，1的右焦點(diǎn)為(c,0)，由題意可知：c×2c，即c2b，而e2()2，則e.15已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且僅有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是_答案2，)解析設(shè)雙曲線的斜率為正的一條漸近線的斜率為k，則k，即.所以e211()24，所以e2.三、解答題16已知三點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(6,0)，F(xiàn)2(6,0)

23、(1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為P，F(xiàn)1，F(xiàn)2，求以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求過(2)中的點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案(1)1(2)1(3)y2x或x2y解析(1)由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，其半焦距c6.2a|PF1|PF2|6，a3，b2a2c245369.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(6,0)，F(xiàn)2(6,0)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為P(2,5)，F(xiàn)1(0，6)，F(xiàn)2(0,6)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a1>0，b1>0)

24、，由題意知半焦距c16.2a1|PF1|PF2|4，a12，bca362016.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)拋物線方程為y22px或x22p1y，拋物線過P(2,5)，254p或410p1，p或p1.拋物線方程為y2x或x2y.17已知雙曲線過點(diǎn)P(3，4)，它的漸近線方程為y±x.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F1和F2為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此雙曲線上，且|PF1|·|PF2|41，求F1PF2的余弦值答案(1)1(2)解析(1)由漸近線方程知雙曲線中心在原點(diǎn)，且漸近線上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值為4.4>4，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為

25、1.雙曲線過點(diǎn)P(3，4)，1又，由，得a29，b216，所求的雙曲線方程為1.(2)設(shè)|PF1|d1，|PF2|d2，則d1·d241.又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d1d2|2a6.由余弦定理得cosF1PF2.18(2014·韶關(guān)市曲江一中月考)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)答案(1)1(2)(，)解析(1)將點(diǎn)(0,4)代入橢圓C的方程，得1，b4，又e，則，1，a5，橢圓C的方程為1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入橢圓方程得1，即x23x80，由韋達(dá)定理得x1x23，所以線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為(3)，即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)19.如右圖，已知拋物線y24x，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，Q是OP的中點(diǎn)，M是FQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程答案y2x解析設(shè)M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y24x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，M是FQ的中點(diǎn)，