材料力學(xué)第7章-彎曲變形

1、單輝祖,材料力學(xué)教程1第 7 章 彎曲變形 彎曲變形基本方程 計(jì)算梁位移的方法 簡(jiǎn)單靜不定梁分析 梁的剛度條件與設(shè)計(jì)本章主要研究：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程21 引言 2 梁變形基本方程 3 計(jì)算梁位移的積分法4 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法5 計(jì)算梁位移的疊加法6 簡(jiǎn)單靜不定梁7 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì)單輝祖,材料力學(xué)教程31 引 言 彎曲變形及其特點(diǎn)彎曲變形及其特點(diǎn) 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角單輝祖,材料力學(xué)教程4 彎曲彎曲變形及其特點(diǎn)變形及其特點(diǎn) 撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線 對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力

2、對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì), 因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸撓曲軸 變彎后的梁軸，稱為變彎后的梁軸，稱為撓曲軸撓曲軸 研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜 不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題提供有關(guān)基礎(chǔ)不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題提供有關(guān)基礎(chǔ)單輝祖,材料力學(xué)教程5 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（小變形小變形）xwddtan 撓度撓度橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移)( xww 撓曲軸方程撓

3、曲軸方程轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫截面的角位移橫截面的角位移)(x 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 （忽略剪力影響忽略剪力影響）xwdd （rad）單輝祖,材料力學(xué)教程62 梁變形基本方程 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程單輝祖,材料力學(xué)教程7 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程EIxMx)()(1 3/2 21)(1wwx EIxMww)(13/2 2 EIM 1（純彎純彎）（推廣到非純彎推廣到非純彎） w彎矩引起的撓度彎矩引起的撓度 s smax s sp撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程單輝祖,材料力學(xué)教程8 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程小變形時(shí)小變形時(shí)：12 wEIxMxw)(dd22

4、 EIxMxw)(dd22 EIxMww)(13/2 2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程pmaxs ss s 小變形小變形 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 w 向上向上應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：EIxMxw)(dd22 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 w 向下時(shí)向下時(shí)：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程93 計(jì)算梁位移的積分法 撓曲軸微分方程的積分與撓曲軸微分方程的積分與 邊界邊界條件條件 積分法求梁位移積分法求梁位移 撓曲軸的繪制撓曲軸的繪制 例題例題單輝祖,材料力學(xué)教程10 撓曲軸微分方程的積分與邊界撓曲軸微分方程的積分與邊界條件條件EIxMxw)(dd22 CxEIxMxw d)(ddDCxxxEIxMw dd)(約束處位移應(yīng)滿足的約束

5、處位移應(yīng)滿足的條件條件梁段交接處位移應(yīng)滿足梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件的條件位移邊界條件位移邊界條件位移連續(xù)條件位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程11 積分法求梁位移積分法求梁位移 A =?=?EI = = 常數(shù)常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程12 撓曲軸的繪制撓曲軸的繪制繪制依據(jù) 滿足基本方程滿足基本方程EIxMw)( 滿足位移邊界滿足位移邊界條件與連續(xù)條件條件與連續(xù)條件繪制方法與步驟 畫畫 M 圖圖 由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置 由由 M 圖的正、負(fù)、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定撓曲軸的圖的正、負(fù)

6、、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定撓曲軸的 凹、凸、拐點(diǎn)凹、凸、拐點(diǎn)或直線區(qū)或直線區(qū)，即確定撓曲軸的形狀，即確定撓曲軸的形狀單輝祖,材料力學(xué)教程13 例例 題題例 3-1 用積分法求梁的最大撓度，用積分法求梁的最大撓度，EI 為常數(shù)為常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程14例 3-2 建立撓曲軸建立撓曲軸 微分方程微分方程，寫出邊界條件，寫出邊界條件，EI 為常數(shù)為常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程15F=qa例 3-3 繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀F=qa單輝祖,材料力學(xué)教程164 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 彎矩通用方程彎矩通用方程 梁位移通用方程梁位移通用方程 例題例題單輝祖,材料力學(xué)教程17 奇

7、異函數(shù)奇異函數(shù)當(dāng)需分段建立當(dāng)需分段建立 M 或或 EI 方程方程時(shí)，用積分法求解需要時(shí)，用積分法求解需要確定許多積分常數(shù)，利用奇異函數(shù)簡(jiǎn)化了分析計(jì)算確定許多積分常數(shù)，利用奇異函數(shù)簡(jiǎn)化了分析計(jì)算)( )(axaxax )( 0axax )0( )( naxxFnn Caxnxaxnn111d定義奇異函數(shù)（或麥考利函數(shù)）)( 00axax 單輝祖,材料力學(xué)教程18 彎矩通用方程彎矩通用方程用奇異函數(shù)建立用奇異函數(shù)建立最后梁段最后梁段 DE 的彎矩方程的彎矩方程：23201e 2 lxqlxFlxMxFMAy 適用于各梁段適用于各梁段。eMxFMAy 1- 0 0- 0132 lxlxlx由由于于例

8、如對(duì)于例如對(duì)于 BC 段段（ l1, l2）單輝祖,材料力學(xué)教程19 梁位移通用方程梁位移通用方程23201e2lxqlxFlxMxFMAy 23201e2221ddlxqlxFlxMxFEIxwAyClxqlxFlxMxFEIxwAy 33221e26221ddDCxlxqlxFlxMxFEIwAy 433221e3246261適用于任一梁段適用于任一梁段, 僅包括兩個(gè)積分常數(shù)僅包括兩個(gè)積分常數(shù) , 由邊界條件確定由邊界條件確定單輝祖,材料力學(xué)教程20 例例 題題例 4-1 用奇異函數(shù)法計(jì)算用奇異函數(shù)法計(jì)算 A ，EI 為常數(shù)為常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程21例 4-2 用奇異函數(shù)法計(jì)算用奇異函

9、數(shù)法計(jì)算wA，EI為常數(shù)為常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程22例 4-3 建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件單輝祖,材料力學(xué)教程235 計(jì)算梁位移的疊加法 疊加法疊加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例題例題單輝祖,材料力學(xué)教程24 疊加法疊加法方法方法qAFAAwww, 分解載荷分解載荷分別計(jì)算位移分別計(jì)算位移求位移之和求位移之和)( 8343 EIqlEIFl)( 33, EIFlwFA)( 8 4, EIqlwqA? Aw當(dāng)梁上作用幾個(gè)載荷時(shí)，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和單輝祖,材料力學(xué)教程25理論依據(jù))

10、()()(xMxMxMqF )(dd22xMxwEI )()( xwxwwqF 故：故： )(dd22xMxwEIF )( xwwF )(dd22xMxwEIq )( xwwq 上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形小變形, ,比例極限內(nèi)比例極限內(nèi)）（小變形小變形）疊加法適用條件疊加法適用條件：小變形小變形，比例極限內(nèi)，比例極限內(nèi)單輝祖,材料力學(xué)教程26 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分別計(jì)算各梁段的分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引變形在需求位移處引起的位移起的位移awB 1EIlFaaEIFalw3321 EIFaw332 2

11、1www )( )(32 alEIFa 求總位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，其余梁段視為剛體EIlFaB3 單輝祖,材料力學(xué)教程27 例例 題題例 5-1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用疊加法求利用疊加法求 wB=?解：)3(6)d(d2xlEIxxxqwB xlxEIxlxqd2cos6)(320 xlxxlxEIqwlBd 2)cos(360 20 p pEIlq4340324)(2p p p p ( )( )單輝祖,材料力學(xué)教程28例 5-2解：21wwwC awwBB 1FaBFBBwww, 2322236523EIFaEIaFaEIFa ? Cw

12、FaBFBB, 22222232EIFaEIaFaEIFa 23137EIFaw 1323EIFawIFaEIFaEIFawC ()()()單輝祖,材料力學(xué)教程29例 5-3 圖示組合梁，圖示組合梁，EI=常數(shù)，求常數(shù)，求 wB 與與 A2 qaFFByAy FBFBBwwwBy, 23623223aaEIaFEIaqa 48134EIqa qABAaw, 165244813333EIqaEIqaEIqa ()()解：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程30例 5-4 圖示剛架，求截面圖示剛架，求截面 C 的鉛垂位移的鉛垂位移21wwCy awwBB 1)( 332 EIFaw)(

13、333t23 EIFaGIlFaEIFlCy 解：)( t aGIFalEIFl33 單輝祖,材料力學(xué)教程31例 5-5 求自由端位移求自由端位移d d 故故撓曲軸與外力作用面不重合撓曲軸與外力作用面不重合zyII 一般情況下一般情況下yzd dd d tan tanyzII 解： sinFFz cosFFy zzyyEIFlEIlF3cos333 d d yyzzEIFlEIlF3sin333 d d 22zyd dd dd d 223sincos3 yzIIEFl 單輝祖,材料力學(xué)教程326 簡(jiǎn)單靜不定梁 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法分析方法 例題

14、例題單輝祖,材料力學(xué)教程33 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束多余約束多余約束 凡是多于維持平衡所必須的約束凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度靜不定度 未知未知支反力（力偶）數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)有效平衡方程數(shù)靜不定度靜不定度多余約束數(shù)多余約束數(shù)4-3 = 1 度度 靜不定靜不定5-3 = 2 度度 靜不定靜不定靜不定梁靜不定梁 支反力（含力偶）數(shù)支反力（含力偶）數(shù)超過(guò)超過(guò)平衡方程數(shù)的梁平衡方程數(shù)的梁?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程34 簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法選選 FBy 為為多余力多余

15、力EIlFEIFlwByB348533 0 Bw變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件物理方程物理方程0348533 EIlFEIFlBy補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程165FFBy 163 0,/FlMMAA 得得平衡方程平衡方程1 度靜不定度靜不定1611 0,/FFFyAy 得得算例綜合考慮三方面綜合考慮三方面求梁的支反力求梁的支反力, EI=常數(shù)常數(shù)單輝祖,材料力學(xué)教程35 判斷梁的靜不定度判斷梁的靜不定度 用多余力用多余力 代替多余約束代替多余約束的作用，得的作用，得受力與原靜不定受力與原靜不定梁相同的靜定梁梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形束處的位移

16、，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程 由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力 通過(guò)相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等通過(guò)相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等依據(jù)綜合考慮三方面依據(jù)綜合考慮三方面關(guān)鍵確定多余支反力關(guān)鍵確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)注意注意: : 相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇單輝祖,材料力學(xué)教程36 例例 題題例 6-1 求支反力求支反力BAM,AM,AF,AA BAM,BM,BF,BB EIlMEIlMEIlblFabBA636)( EIlMEIlMEIlalFabBA366)( 0 0

17、 解：1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析2. 解靜不定解靜不定0 0 BA, 2222 lbFaM,lFabMBA 3232)2( )2(lblFaF,lalFbFByAy 水平反力忽略不水平反力忽略不計(jì)計(jì), ,2多余未知力多余未知力單輝祖,材料力學(xué)教程37例 6-2 懸臂梁懸臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，試分析加固效果加固，試分析加固效果EIlFFwC48)2(53R 解：1. 靜不定分析靜不定分析GCww EIlFEIlFwG243/2)(3R3R 45RFF EIlFEIlFF2448)2(53R3R 單輝祖,材料力學(xué)教程38EIFlEIlFEIFlwB6413485333R3 45RFF

18、 2. 加固效果分析（剛度）加固效果分析（剛度）2maxFaM 減少減少 50%減少減少39.9%EIFlwB33,未未加加固固FaM未未加加固固,max3. 加固效果分析（強(qiáng)度）加固效果分析（強(qiáng)度）單輝祖,材料力學(xué)教程39 32/3NEIlFFwBEAlFEAlFlNN22 EAlFEIlFFN3N23222N262AlIFAlF 例 6-3 圖示桿梁結(jié)構(gòu)，圖示桿梁結(jié)構(gòu)，試求桿試求桿 BC 的軸力的軸力lwB 2解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計(jì)梁截面形心的軸向位移一般忽略不計(jì)單輝祖,材料力學(xué)教程40例 5-4 直徑為直徑為d 的的圓截面梁圓截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 d d，s

19、smax=?解：,B0 EIlFEIlMByBB22 EIlFEIlMwByBB3232 236 12lEIM,lEIFBByd dd d zWMmaxmax s sIdlEI/262maxd ds s d d Bw23ldEd d d d 0 單輝祖,材料力學(xué)教程417 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì) 梁的剛度條件梁的剛度條件 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 例題例題單輝祖,材料力學(xué)教程42 梁的剛度條件梁的剛度條件 d dmaxw max最大位移控制指定截面的位移控制 許許用用撓撓度度 d d 許許用用轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角 500750 ll d d橋式起重機(jī)梁：橋式起重機(jī)梁： 100005100003 ll d d一般用途的軸：一般用途的軸：例如滑動(dòng)軸承處例如滑動(dòng)軸承處: d dw rad 001. 0 單輝祖,材料力學(xué)教程43 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 橫截面形狀的合理選擇橫截面形狀的合理選擇 材料的合理選擇材料的合理選擇使用較小的截面面積使用較小的截面面積 A，獲得較大慣性矩，獲得較大慣性矩 I 的截面形的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學(xué)性能是影響梁剛度的力學(xué)性能是 E ，為提高剛度，宜選用，為提高剛度，宜選用E