概統(tǒng)第1章答案

1、概統(tǒng)習(xí)題一1. 用以樣本點(diǎn)為元素的集合的形式寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間及事件,. 1) 投擲一顆骰子,記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”. 2) 投擲一顆骰子兩次,記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).“兩次點(diǎn)數(shù)之和為10”,“第一次的點(diǎn)數(shù)比第二次的點(diǎn)數(shù)大2”. 3) 一個(gè)口袋中有5只編號(hào)分別為1,2,3,4,5的球,從中同時(shí)取出3只球,觀(guān)察其結(jié)果.“球的最小號(hào)碼為1”. 4) 將,兩個(gè)球隨機(jī)地放到甲,乙,丙三個(gè)盒子中去,觀(guān)察放球情況.“甲盒中至少有一球”. 5) 記錄在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)某橋的汽車(chē)流量,“通過(guò)汽車(chē)不足5輛”,“通過(guò)的汽車(chē)不少于3輛”.2. 設(shè)都是事件,試通過(guò)對(duì)中的一些事件的交及并的運(yùn)算式表示下列事件: 1) 中

2、僅有發(fā)生. 2) 中至少有兩個(gè)發(fā)生. 3) 中至多兩個(gè)發(fā)生. 4) 中恰有兩個(gè)發(fā)生. 5) 中至多有一個(gè)發(fā)生.3. 袋中有四個(gè)球,其中有兩個(gè)紅球,一個(gè)黃球和一個(gè)白球.有放回地抽三次,求出現(xiàn)下列情況的概率: “三次都是紅的”,“三次顏色全同”,“三次顏色全不同”,“三次顏色不全同”,“三次中無(wú)紅”,“三次中無(wú)紅或無(wú)黃”.解 每次抽球都可以抽到4個(gè)球中的任意一個(gè)，有4鐘可能，3次抽球共有種可能，因此樣本空間含有64個(gè)樣本點(diǎn)。 每次抽球都可以抽到2個(gè)紅球中的任意一個(gè)，有2種可能，3次抽球都抽到紅球共有種可能，因此事件含有8個(gè)樣本點(diǎn)。 3次抽球都抽到紅球共有種可能，3次抽球都抽到黃球共有種可能，3次抽

3、球都抽到白球共有種可能，因此事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。 3種顏色的排列有種，對(duì)應(yīng)于每一種排列，抽到的球有種可能，因此事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。 因?yàn)槭录袀€(gè)樣本點(diǎn)，故事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。 每次抽球都可以抽到黃球和白球中的任一個(gè)，有2種可能，3次抽球都抽不到紅球共有種可能，因此事件含有8個(gè)樣本點(diǎn)。 3次都抽不到紅球有8種可能，3次都抽不到黃球有中可能，3次都抽不到紅球和黃球有中可能，因此事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。 由上可得， ， ， 。4. 5個(gè)人依次抽5條簽,取后不放回. 1) 如果5條簽中有1條上簽,求第3人抽中上簽的概率. 2) 如果5條簽中有1條上簽,求前3人中有一人抽中上簽的概率. 3) 如果5條簽中有兩條上

4、簽,求后兩個(gè)人都抽不到上簽的概率.解 5個(gè)人依次抽5條簽,有種結(jié)果，故樣本點(diǎn)總數(shù)為120。 1） 第3人抽到上簽,其余的人抽到余下的簽,有種結(jié)果,故所求的概率為。 2) 類(lèi)似1),前3人中每人抽中上簽都有種結(jié)果,故共有種結(jié)果,所求的概率為。 3) 從這5條簽中取出兩條上簽和1條非上簽有3種可能，前3人抽取這3條取出的簽有種可能，后2人抽取余下的兩條簽有2種可能，故共有種結(jié)果，所求的概率為。5. 袋中有10個(gè)球,其中有5個(gè)紅球,3個(gè)黃球和2個(gè)白球.現(xiàn)從這10個(gè)球任取5個(gè). 1) 求這5個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率. 2) 求這5個(gè)球中恰有3個(gè)紅球,1個(gè)黃球和1個(gè)白球的概率.解 不考慮取球的次序，從1

5、0個(gè)球中選取5個(gè)有種可能，故樣本點(diǎn)總數(shù)為。 1） 從5個(gè)紅球中取出3個(gè)紅球，有種可能，從剩下的5個(gè)球中取出2個(gè)球，有種可能，故樣本點(diǎn)數(shù)為，所求得概率為。 2） 從5個(gè)紅球中取出3個(gè)紅球，有種可能，從剩下的5個(gè)球中取出1個(gè)黃球和1個(gè)白球，有種可能，故樣本點(diǎn)數(shù)為，所求得概率為。6. 在5對(duì)夫妻中任選4人,求至少有一對(duì)夫妻被選中的概率.解1 考慮選出的人的次序。 在5對(duì)夫妻10個(gè)人中選出4人有種可能，樣本點(diǎn)總數(shù)為。 先求事件“至少有一對(duì)夫妻被選中”的對(duì)立事件“沒(méi)有一對(duì)夫妻被選中”含的樣本點(diǎn)數(shù)。第1人可以在5對(duì)夫妻10人中任選，第2人可以在余下的4對(duì)夫妻8人中任選，第3人可以在余下的3對(duì)夫妻6人中任選

6、，第4人可以在余下的3對(duì)夫妻4人中任選，故事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。由上知含有個(gè)樣本點(diǎn)，事件的概率是。解2 考慮選出的人的次序。 在5對(duì)夫妻10個(gè)人中選出4人有種可能，樣本點(diǎn)總數(shù)為。 先求事件“至少有一對(duì)夫妻被選中”的對(duì)立事件“沒(méi)有一對(duì)夫妻被選中”含的樣本點(diǎn)數(shù)。在5對(duì)夫妻中先選出4對(duì)排列，有種選法，在選中的這4對(duì)中每對(duì)各選一人，有種選法，故事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。因而含有個(gè)樣本點(diǎn)，事件的概率是。解3 不考慮選出的人的次序。在5對(duì)夫妻10個(gè)人中選出4人有種可能，樣本點(diǎn)總數(shù)為210。先求事件“至少有一對(duì)夫妻被選中”的對(duì)立事件“沒(méi)有一對(duì)夫妻被選中”含的樣本點(diǎn)數(shù)。在5對(duì)夫妻中先選出4對(duì)，有種選法，在選中的這4對(duì)中每

7、對(duì)各選一人，有種選法，故事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。由上知含有個(gè)樣本點(diǎn)，事件的概率是。7. 有9個(gè)學(xué)生,其中有3個(gè)女生,把他們?nèi)我獾胤值?個(gè)小組,每組3人.求每組都有一個(gè)女生的概率.解 不考慮分到各組的人的次序。在9個(gè)學(xué)生中選出3個(gè)人分到第1組有種可能，在余下的6個(gè)學(xué)生中選出3個(gè)人分到第2組有種可能，把最后的3個(gè)學(xué)生分到第3組有1種可能。樣本點(diǎn)總數(shù)為。 在6個(gè)男生和3個(gè)女生中各選出2個(gè)和1個(gè)分到第1組有種可能，在余下4個(gè)男生和2個(gè)女生中各選出2個(gè)和1個(gè)分到第2組有種可能，把最后的2個(gè)男生和1個(gè)女生分到第3組有1種可能，事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。所求的概率是。8. 同時(shí)投擲3個(gè)骰子,求擲出的3個(gè)面的點(diǎn)數(shù)之和是6的

8、概率.解 樣本點(diǎn)總數(shù)為。投擲3個(gè)骰子，有種可能的結(jié)果. 擲出的3個(gè)面的點(diǎn)數(shù)之和是6的結(jié)果的數(shù)目恰好等于多項(xiàng)式中的系數(shù).因?yàn)?，上式中的系數(shù)是,故中的系數(shù)是10.因而所求的概率是.9. 某學(xué)校四個(gè)年級(jí)的學(xué)生各占四分之一,從中任意地抽出6名,求其中每個(gè)年級(jí)的學(xué)生都至少有一名的概率(設(shè)學(xué)生人數(shù)很多,抽取幾個(gè)學(xué)生后各年級(jí)學(xué)生比例的改變可以忽略).解 以記取不到年級(jí)的學(xué)生,.則,; ,;,; . .所求的概率是.10. 一個(gè)口袋中有標(biāo)有號(hào)碼1到5號(hào)的球各一個(gè),另一個(gè)口袋中有標(biāo)有號(hào)碼3,5,7,10的球各一個(gè).從這兩個(gè)口袋中隨機(jī)地各摸出一個(gè)球,則摸出的兩個(gè)球的號(hào)碼之和不少于9的概率是多少?解 樣本空間含有

9、個(gè)樣本點(diǎn)，事件“兩個(gè)球的號(hào)碼之和不少于9”含有11個(gè)樣本點(diǎn)，,，。所求的概率是。11. 在今年元旦出生的嬰兒中任選一人,又在今年頭兩天出生的嬰兒中再任選一人.求這兩人的出生時(shí)間相差不到半天的概率.解 設(shè)第一個(gè)和第二個(gè)嬰兒出生時(shí)間分別是元旦開(kāi)始后的天和天，則兩人的出生時(shí)間相差不到半天當(dāng)且僅當(dāng)（如右圖），從圖中看到,矩形面積為2，陰影部分面積為，故兩人的出生時(shí)間相差不到半天的概率為。12. 某城市的調(diào)查表明,該城市的家庭中有65%訂閱日?qǐng)?bào),有55%訂閱晚報(bào),有75%訂閱雜志,有30%既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào),有50%既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱雜志,有40%既訂閱晚報(bào)又訂閱雜志,有20%日?qǐng)?bào)晚報(bào)和雜志都訂閱.該城

10、市的家庭中至少訂閱有一份報(bào)紙或雜志的家庭占百分之幾?解 設(shè)“訂閱日?qǐng)?bào)”，“訂閱晚報(bào)”，“訂閱雜志”,則至少訂閱有一份報(bào)紙或雜志的家庭所占的百分?jǐn)?shù)為 。13. 擲五枚硬幣.已知至少出現(xiàn)兩個(gè)正面,問(wèn)正面數(shù)剛好是三個(gè)的條件概率是多少?解 擲五枚硬幣，有種結(jié)果，樣本點(diǎn)總數(shù)是32。則“恰好出現(xiàn)個(gè)正面”，。在5枚硬幣中選出個(gè)，有種可能，選種的硬幣出現(xiàn)正面，其余的硬幣出現(xiàn)反面，有1種可能。故事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。設(shè)“至少出現(xiàn)兩個(gè)正面”，則的對(duì)立事件“至多出現(xiàn)一個(gè)正面”含有個(gè)樣本點(diǎn)，事件含有個(gè)樣本點(diǎn)。因而.又含有個(gè)樣本點(diǎn)，故。從而所求的條件概率為。 14. 設(shè),求概率.解 ， ， ， 。15. 盒中放有6個(gè)乒乓球

11、,其中有4個(gè)是新的.第一次比賽時(shí)從中任取2個(gè)來(lái)用,比賽后仍放回盒中.第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳?個(gè),求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.解 設(shè)“第一次取出的求中沒(méi)有個(gè)新球”,“第一次取出的求中有1個(gè)新球”，“第一次取出的求中有2個(gè)新球”?！暗诙稳〕龅那蚨际切虑颉?則 .16. 張先生給李小姐發(fā)出電子郵件,但沒(méi)有收到李小姐的答復(fù).如果李小姐收到電子郵件一定會(huì)用電子郵件答復(fù),而電子郵件丟失的概率是.求李小姐沒(méi)有收到電子郵件的條件概率.解 設(shè)”李小姐沒(méi)有收到電子郵件”,“張先生沒(méi)有收到李小姐的答復(fù)”.則，。17. 同卵雙胞胎有相同的性別,異卵雙胞

12、胎有一半有相同的性別,雙胞胎中同卵雙胞胎的概率是.如果某對(duì)雙胞胎有相同的性別,求他們是同卵雙胞胎的概率.解 設(shè)“雙胞胎為同卵”,“雙胞胎有相同性別”.則，。18. 設(shè)有甲乙丙三個(gè)箱,甲箱內(nèi)有個(gè)白球和個(gè)黑球,乙箱內(nèi)有個(gè)白球和個(gè)黑球,丙箱內(nèi)有個(gè)白球和個(gè)黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,結(jié)果發(fā)現(xiàn)此球?yàn)榘浊?試求在這種情況下“取到的球?qū)儆诩紫洹睏l件概率.解 以表示事件“取到的球是白球”,分別以表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.則，.19. 設(shè)都是事件.又和獨(dú)立,和獨(dú)立,和互不相容., ,.求概率.解 。20. 兩個(gè)人輪流拋一個(gè)硬幣,約定誰(shuí)先拋出正面誰(shuí)為勝者.求先拋者獲勝的概率.

13、解1 設(shè)“第次拋出正面”，“先拋者獲勝”。則。解2 設(shè)先拋者獲勝的概率為，則后拋者獲勝的概率為，解方程得，故先拋者獲勝的概率為2/3。21. 三個(gè)人輪流拋一個(gè)骰子,約定誰(shuí)先拋出6點(diǎn)誰(shuí)為勝者.求先拋者獲勝的概率.解1 獲勝的概率為。解2 設(shè)先拋者獲勝的概率為，則第二個(gè)和第三個(gè)獲勝的概率分別為為和，解方程得，故先拋者獲勝的概率為30/91。22. 設(shè)都是事件.證明如果或,則相互獨(dú)立.證 1）設(shè)。則又，故。因而。由此得相互獨(dú)立. 2) 設(shè)。則.又，故。因而。由此得相互獨(dú)立.23. 小張,小李,小王三位朋友射擊的命中率分別是0,2,0.3,0.4,每人射擊一次,求至多有一人沒(méi)有命中的概率.解 分別以，

14、和記小張,小李和小王三位命中，則所求的概率是 圖6.1 。24. 設(shè)線(xiàn)路中有元件如圖6.1,它們是否斷開(kāi)是獨(dú)立的,斷開(kāi)的概率分別是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求線(xiàn)路斷開(kāi)的概率.解 設(shè), , , .則,. 解2 , , .25. 應(yīng)聘某項(xiàng)工作要先后過(guò)4道關(guān),各道關(guān)的淘汰率分別是60%, 50%, 50%, 20%,求應(yīng)聘失敗的概率.解 分別以，和記通過(guò)這4道關(guān)，以記應(yīng)聘成功。則 。因而應(yīng)聘失敗的概率為。26. 在某個(gè)電子游戲中,甲乙兩人同時(shí)向同一個(gè)目標(biāo)射擊,甲的命中率是,乙的命中率是.如果兩人都命中目標(biāo),則目標(biāo)“死亡”的概率是.如果剛好有一人命中目標(biāo),則目標(biāo)“死亡”的概率是.如果無(wú)人

15、命中目標(biāo),則目標(biāo)“死亡”的概率是. 1) 求目標(biāo)“死亡”的概率. 2) 如果已知目標(biāo)死亡,求兩人都命中目標(biāo)的概率. 3) 如果已知目標(biāo)死亡,求甲命中目標(biāo)的概率.解 設(shè),. 1) . 。 2) . 3) .27. 某人在罰球線(xiàn)投籃命中率為0.4,投籃3次.求最多只有一次命中的概率.解 分別以，和記第1次，第2次和第3次投籃命中，所求得概率是。28. 某人左右兩個(gè)口袋各有一盒火柴,吸煙時(shí)從任一盒中取一根火柴.經(jīng)過(guò)若干時(shí)間后,發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完,如果最初兩盒中各有根火柴,求這時(shí)另一盒中還有根火柴的概率(提示:按照左邊一盒或右邊一盒為空盒分為兩種情形,但必須注意到兩盒都是空盒的情形).解 可能出現(xiàn)兩

16、種情況： 1) 取了次以后，左邊合中沒(méi)有火柴，右邊合中有根火柴，第次取到左邊的合子。出現(xiàn)這種情況的概率是。 2) 取了次以后，右邊合中沒(méi)有火柴，左邊合中有根火柴，第次取到右邊的合子。出現(xiàn)這種情況的概率也是 所求的概率是29. 設(shè)是事件,證明: 1) . 2) 以下兩個(gè)式子等價(jià):,.(注:第一式稱(chēng)為Markov性,第二式稱(chēng)為條件獨(dú)立)證 1) . 2) .30. 設(shè),利用條件概率的定義證明, , ,證 因?yàn)?，故。?故。 。31*. 證明注5.1中的三元組是一個(gè)概率空間.證 由于是一個(gè)概率空間，故滿(mǎn)足公理1.1.從上題知滿(mǎn)足公理1.2之1)和2),下證滿(mǎn)足公理1.2之3).若且互不相容,則.32

17、*. 證明命題4.4. 提示:把(4.2)中的分別換成,再利用事件運(yùn)算的對(duì)偶律.證 把命題4.3中的分別換成 .由事件運(yùn)算的對(duì)偶律有 , , , .由此得 . 。習(xí)題一參考答案1. 1) ,. 2) (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (4,6),(5,5),(6,4), (3,1),(4,2),(5,3),(6,4). 3) (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5), (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5). 4) , , ,.其中表示甲盒有兩個(gè)球,另兩盒沒(méi)球,其余類(lèi)推. 5) , , .2. 1) ; 2) ; 3) (或);