概統(tǒng)第1章答案

1、概統(tǒng)習題一1. 用以樣本點為元素的集合的形式寫出下列試驗的樣本空間及事件,. 1) 投擲一顆骰子,記錄出現(xiàn)的點數(shù).“出現(xiàn)奇數(shù)點”. 2) 投擲一顆骰子兩次,記錄出現(xiàn)點數(shù).“兩次點數(shù)之和為10”,“第一次的點數(shù)比第二次的點數(shù)大2”. 3) 一個口袋中有5只編號分別為1,2,3,4,5的球,從中同時取出3只球,觀察其結(jié)果.“球的最小號碼為1”. 4) 將,兩個球隨機地放到甲,乙,丙三個盒子中去,觀察放球情況.“甲盒中至少有一球”. 5) 記錄在一段時間內(nèi)通過某橋的汽車流量,“通過汽車不足5輛”,“通過的汽車不少于3輛”.2. 設都是事件,試通過對中的一些事件的交及并的運算式表示下列事件: 1) 中

2、僅有發(fā)生. 2) 中至少有兩個發(fā)生. 3) 中至多兩個發(fā)生. 4) 中恰有兩個發(fā)生. 5) 中至多有一個發(fā)生.3. 袋中有四個球,其中有兩個紅球,一個黃球和一個白球.有放回地抽三次,求出現(xiàn)下列情況的概率: “三次都是紅的”,“三次顏色全同”,“三次顏色全不同”,“三次顏色不全同”,“三次中無紅”,“三次中無紅或無黃”.解 每次抽球都可以抽到4個球中的任意一個，有4鐘可能，3次抽球共有種可能，因此樣本空間含有64個樣本點。 每次抽球都可以抽到2個紅球中的任意一個，有2種可能，3次抽球都抽到紅球共有種可能，因此事件含有8個樣本點。 3次抽球都抽到紅球共有種可能，3次抽球都抽到黃球共有種可能，3次抽

3、球都抽到白球共有種可能，因此事件含有個樣本點。 3種顏色的排列有種，對應于每一種排列，抽到的球有種可能，因此事件含有個樣本點。 因為事件含有個樣本點，故事件含有個樣本點。 每次抽球都可以抽到黃球和白球中的任一個，有2種可能，3次抽球都抽不到紅球共有種可能，因此事件含有8個樣本點。 3次都抽不到紅球有8種可能，3次都抽不到黃球有中可能，3次都抽不到紅球和黃球有中可能，因此事件含有個樣本點。 由上可得， ， ， 。4. 5個人依次抽5條簽,取后不放回. 1) 如果5條簽中有1條上簽,求第3人抽中上簽的概率. 2) 如果5條簽中有1條上簽,求前3人中有一人抽中上簽的概率. 3) 如果5條簽中有兩條上

4、簽,求后兩個人都抽不到上簽的概率.解 5個人依次抽5條簽,有種結(jié)果，故樣本點總數(shù)為120。 1） 第3人抽到上簽,其余的人抽到余下的簽,有種結(jié)果,故所求的概率為。 2) 類似1),前3人中每人抽中上簽都有種結(jié)果,故共有種結(jié)果,所求的概率為。 3) 從這5條簽中取出兩條上簽和1條非上簽有3種可能，前3人抽取這3條取出的簽有種可能，后2人抽取余下的兩條簽有2種可能，故共有種結(jié)果，所求的概率為。5. 袋中有10個球,其中有5個紅球,3個黃球和2個白球.現(xiàn)從這10個球任取5個. 1) 求這5個球中恰有3個紅球的概率. 2) 求這5個球中恰有3個紅球,1個黃球和1個白球的概率.解 不考慮取球的次序，從1

5、0個球中選取5個有種可能，故樣本點總數(shù)為。 1） 從5個紅球中取出3個紅球，有種可能，從剩下的5個球中取出2個球，有種可能，故樣本點數(shù)為，所求得概率為。 2） 從5個紅球中取出3個紅球，有種可能，從剩下的5個球中取出1個黃球和1個白球，有種可能，故樣本點數(shù)為，所求得概率為。6. 在5對夫妻中任選4人,求至少有一對夫妻被選中的概率.解1 考慮選出的人的次序。 在5對夫妻10個人中選出4人有種可能，樣本點總數(shù)為。 先求事件“至少有一對夫妻被選中”的對立事件“沒有一對夫妻被選中”含的樣本點數(shù)。第1人可以在5對夫妻10人中任選，第2人可以在余下的4對夫妻8人中任選，第3人可以在余下的3對夫妻6人中任選

6、，第4人可以在余下的3對夫妻4人中任選，故事件含有個樣本點。由上知含有個樣本點，事件的概率是。解2 考慮選出的人的次序。 在5對夫妻10個人中選出4人有種可能，樣本點總數(shù)為。 先求事件“至少有一對夫妻被選中”的對立事件“沒有一對夫妻被選中”含的樣本點數(shù)。在5對夫妻中先選出4對排列，有種選法，在選中的這4對中每對各選一人，有種選法，故事件含有個樣本點。因而含有個樣本點，事件的概率是。解3 不考慮選出的人的次序。在5對夫妻10個人中選出4人有種可能，樣本點總數(shù)為210。先求事件“至少有一對夫妻被選中”的對立事件“沒有一對夫妻被選中”含的樣本點數(shù)。在5對夫妻中先選出4對，有種選法，在選中的這4對中每

7、對各選一人，有種選法，故事件含有個樣本點。由上知含有個樣本點，事件的概率是。7. 有9個學生,其中有3個女生,把他們?nèi)我獾胤值?個小組,每組3人.求每組都有一個女生的概率.解 不考慮分到各組的人的次序。在9個學生中選出3個人分到第1組有種可能，在余下的6個學生中選出3個人分到第2組有種可能，把最后的3個學生分到第3組有1種可能。樣本點總數(shù)為。 在6個男生和3個女生中各選出2個和1個分到第1組有種可能，在余下4個男生和2個女生中各選出2個和1個分到第2組有種可能，把最后的2個男生和1個女生分到第3組有1種可能，事件含有個樣本點。所求的概率是。8. 同時投擲3個骰子,求擲出的3個面的點數(shù)之和是6的

8、概率.解 樣本點總數(shù)為。投擲3個骰子，有種可能的結(jié)果. 擲出的3個面的點數(shù)之和是6的結(jié)果的數(shù)目恰好等于多項式中的系數(shù).因為 ，上式中的系數(shù)是,故中的系數(shù)是10.因而所求的概率是.9. 某學校四個年級的學生各占四分之一,從中任意地抽出6名,求其中每個年級的學生都至少有一名的概率(設學生人數(shù)很多,抽取幾個學生后各年級學生比例的改變可以忽略).解 以記取不到年級的學生,.則,; ,;,; . .所求的概率是.10. 一個口袋中有標有號碼1到5號的球各一個,另一個口袋中有標有號碼3,5,7,10的球各一個.從這兩個口袋中隨機地各摸出一個球,則摸出的兩個球的號碼之和不少于9的概率是多少?解 樣本空間含有

9、個樣本點，事件“兩個球的號碼之和不少于9”含有11個樣本點，,，。所求的概率是。11. 在今年元旦出生的嬰兒中任選一人,又在今年頭兩天出生的嬰兒中再任選一人.求這兩人的出生時間相差不到半天的概率.解 設第一個和第二個嬰兒出生時間分別是元旦開始后的天和天，則兩人的出生時間相差不到半天當且僅當（如右圖），從圖中看到,矩形面積為2，陰影部分面積為，故兩人的出生時間相差不到半天的概率為。12. 某城市的調(diào)查表明,該城市的家庭中有65%訂閱日報,有55%訂閱晚報,有75%訂閱雜志,有30%既訂閱日報又訂閱晚報,有50%既訂閱日報又訂閱雜志,有40%既訂閱晚報又訂閱雜志,有20%日報晚報和雜志都訂閱.該城

10、市的家庭中至少訂閱有一份報紙或雜志的家庭占百分之幾?解 設“訂閱日報”，“訂閱晚報”，“訂閱雜志”,則至少訂閱有一份報紙或雜志的家庭所占的百分數(shù)為 。13. 擲五枚硬幣.已知至少出現(xiàn)兩個正面,問正面數(shù)剛好是三個的條件概率是多少?解 擲五枚硬幣，有種結(jié)果，樣本點總數(shù)是32。則“恰好出現(xiàn)個正面”，。在5枚硬幣中選出個，有種可能，選種的硬幣出現(xiàn)正面，其余的硬幣出現(xiàn)反面，有1種可能。故事件含有個樣本點。設“至少出現(xiàn)兩個正面”，則的對立事件“至多出現(xiàn)一個正面”含有個樣本點，事件含有個樣本點。因而.又含有個樣本點，故。從而所求的條件概率為。 14. 設,求概率.解 ， ， ， 。15. 盒中放有6個乒乓球

11、,其中有4個是新的.第一次比賽時從中任取2個來用,比賽后仍放回盒中.第二次比賽時再從盒中任取2個,求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.解 設“第一次取出的求中沒有個新球”,“第一次取出的求中有1個新球”，“第一次取出的求中有2個新球”?！暗诙稳〕龅那蚨际切虑颉?則 .16. 張先生給李小姐發(fā)出電子郵件,但沒有收到李小姐的答復.如果李小姐收到電子郵件一定會用電子郵件答復,而電子郵件丟失的概率是.求李小姐沒有收到電子郵件的條件概率.解 設”李小姐沒有收到電子郵件”,“張先生沒有收到李小姐的答復”.則，。17. 同卵雙胞胎有相同的性別,異卵雙胞

12、胎有一半有相同的性別,雙胞胎中同卵雙胞胎的概率是.如果某對雙胞胎有相同的性別,求他們是同卵雙胞胎的概率.解 設“雙胞胎為同卵”,“雙胞胎有相同性別”.則，。18. 設有甲乙丙三個箱,甲箱內(nèi)有個白球和個黑球,乙箱內(nèi)有個白球和個黑球,丙箱內(nèi)有個白球和個黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,結(jié)果發(fā)現(xiàn)此球為白球.試求在這種情況下“取到的球?qū)儆诩紫洹睏l件概率.解 以表示事件“取到的球是白球”,分別以表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.則，.19. 設都是事件.又和獨立,和獨立,和互不相容., ,.求概率.解 。20. 兩個人輪流拋一個硬幣,約定誰先拋出正面誰為勝者.求先拋者獲勝的概率.

13、解1 設“第次拋出正面”，“先拋者獲勝”。則。解2 設先拋者獲勝的概率為，則后拋者獲勝的概率為，解方程得，故先拋者獲勝的概率為2/3。21. 三個人輪流拋一個骰子,約定誰先拋出6點誰為勝者.求先拋者獲勝的概率.解1 獲勝的概率為。解2 設先拋者獲勝的概率為，則第二個和第三個獲勝的概率分別為為和，解方程得，故先拋者獲勝的概率為30/91。22. 設都是事件.證明如果或,則相互獨立.證 1）設。則又，故。因而。由此得相互獨立. 2) 設。則.又，故。因而。由此得相互獨立.23. 小張,小李,小王三位朋友射擊的命中率分別是0,2,0.3,0.4,每人射擊一次,求至多有一人沒有命中的概率.解 分別以，

14、和記小張,小李和小王三位命中，則所求的概率是 圖6.1 。24. 設線路中有元件如圖6.1,它們是否斷開是獨立的,斷開的概率分別是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求線路斷開的概率.解 設, , , .則,. 解2 , , .25. 應聘某項工作要先后過4道關,各道關的淘汰率分別是60%, 50%, 50%, 20%,求應聘失敗的概率.解 分別以，和記通過這4道關，以記應聘成功。則 。因而應聘失敗的概率為。26. 在某個電子游戲中,甲乙兩人同時向同一個目標射擊,甲的命中率是,乙的命中率是.如果兩人都命中目標,則目標“死亡”的概率是.如果剛好有一人命中目標,則目標“死亡”的概率是.如果無人

15、命中目標,則目標“死亡”的概率是. 1) 求目標“死亡”的概率. 2) 如果已知目標死亡,求兩人都命中目標的概率. 3) 如果已知目標死亡,求甲命中目標的概率.解 設,. 1) . 。 2) . 3) .27. 某人在罰球線投籃命中率為0.4,投籃3次.求最多只有一次命中的概率.解 分別以，和記第1次，第2次和第3次投籃命中，所求得概率是。28. 某人左右兩個口袋各有一盒火柴,吸煙時從任一盒中取一根火柴.經(jīng)過若干時間后,發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完,如果最初兩盒中各有根火柴,求這時另一盒中還有根火柴的概率(提示:按照左邊一盒或右邊一盒為空盒分為兩種情形,但必須注意到兩盒都是空盒的情形).解 可能出現(xiàn)兩

16、種情況： 1) 取了次以后，左邊合中沒有火柴，右邊合中有根火柴，第次取到左邊的合子。出現(xiàn)這種情況的概率是。 2) 取了次以后，右邊合中沒有火柴，左邊合中有根火柴，第次取到右邊的合子。出現(xiàn)這種情況的概率也是 所求的概率是29. 設是事件,證明: 1) . 2) 以下兩個式子等價:,.(注:第一式稱為Markov性,第二式稱為條件獨立)證 1) . 2) .30. 設,利用條件概率的定義證明, , ,證 因為，故。又,故。 。31*. 證明注5.1中的三元組是一個概率空間.證 由于是一個概率空間，故滿足公理1.1.從上題知滿足公理1.2之1)和2),下證滿足公理1.2之3).若且互不相容,則.32

17、*. 證明命題4.4. 提示:把(4.2)中的分別換成,再利用事件運算的對偶律.證 把命題4.3中的分別換成 .由事件運算的對偶律有 , , , .由此得 . 。習題一參考答案1. 1) ,. 2) (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (4,6),(5,5),(6,4), (3,1),(4,2),(5,3),(6,4). 3) (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5), (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5). 4) , , ,.其中表示甲盒有兩個球,另兩盒沒球,其余類推. 5) , , .2. 1) ; 2) ; 3) (或);