彈塑性力學(xué)陳明祥版的課后習(xí)題答案++PPT課件

1、彈塑性力彈塑性力學(xué)學(xué) 陳明祥中國地質(zhì)大學(xué)中國地質(zhì)大學(xué) 力學(xué)教研室力學(xué)教研室第一章第一章 緒緒 論論一、一、 學(xué)科分類學(xué)科分類 彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)二、二、 彈塑性力學(xué)的研究對象彈塑性力學(xué)的研究對象三、三、 彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法四、四、 彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)五、五、 彈塑性力學(xué)基本假設(shè)彈塑性力學(xué)基本假設(shè)六、六、 彈塑性力學(xué)發(fā)展概況彈塑性力學(xué)發(fā)展概況七、張量概念及其基本運算七、張量概念及其基本運算一、學(xué)科分類一、學(xué)科分類 彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)按運動與否分按運動與否分：靜力學(xué)靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問題，不涉及 物體運動狀態(tài)的改變；如飛

2、機停在地 面或巡航。運動學(xué)運動學(xué)：研究物體如何運動，不討論運動與受 力的關(guān)系； 如飛行軌跡、速度、 加速度。動力學(xué)：動力學(xué)：研究力與運動的關(guān)系。 如何提供加速度？ 1 1、學(xué)科分類、學(xué)科分類 按研究對象分按研究對象分： 一般力學(xué)一般力學(xué)： 研究對象是剛體研究對象是剛體。研究力及其與 運動的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力學(xué)理論力學(xué)，分析力學(xué)分析力學(xué)等。 流體力學(xué)流體力學(xué)：研究對象是氣體或液體。涉及到： 水力學(xué)、空氣動力學(xué)水力學(xué)、空氣動力學(xué)等學(xué)科。 固體力學(xué)固體力學(xué)：研究對象是可變形固體。研究材料 變形、流動和斷裂時的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有： 材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、學(xué)、 塑性力

3、學(xué)、塑性力學(xué)、 彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。 按研究手段分按研究手段分：（理論分析、實驗和數(shù)值計算） 有實驗力學(xué)、計算力學(xué)實驗力學(xué)、計算力學(xué)二個方面的分支。 按應(yīng)用領(lǐng)域分按應(yīng)用領(lǐng)域分： 有飛行力學(xué)飛行力學(xué)、船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)、巖土力學(xué)、量巖土力學(xué)、量 子力學(xué)子力學(xué)等。 2 2、彈塑性力學(xué)、彈塑性力學(xué) 彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支 學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度 變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位 移及其分布規(guī)律的一

4、門科學(xué)，是研究固體在移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在 受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段 這兩個緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門這兩個緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門 科學(xué)?？茖W(xué)。 二、二、 彈塑性力學(xué)的研究對象彈塑性力學(xué)的研究對象 在研究對象上，材料力學(xué)的研究對象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構(gòu)件。造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？ 彈塑性力學(xué)研究對象也是固體，是不受彈塑性力學(xué)研究對象也是固體，是不受 幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù)幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù) 問題需求的物體。問題需求的物體。三、彈塑性力學(xué)的基本思

5、路與研究方法三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法1 1、彈塑性力學(xué)分析問題的基本思路、彈塑性力學(xué)分析問題的基本思路 彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的 分支學(xué)科，它們在分析問題解決問題的基本 思路上都是一致的，但在研究問題的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：(1) (1) 受力分析及靜力平衡條件受力分析及靜力平衡條件 ( (力的分析力的分析) ) 物體受力作用處于平衡狀態(tài)，應(yīng)當(dāng)滿足的條件 是什么？（靜力平衡條件）(2) (2) 變形的幾何相容條件變形的幾何相容條件 ( (幾何分析幾何分析) )材料是均勻連續(xù)的，在受力變形后仍應(yīng)是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”，此時材料變形應(yīng)

6、滿足的條件是什么？（幾何相容條件）(3) (3) 力與變形間的本構(gòu)關(guān)系力與變形間的本構(gòu)關(guān)系 ( (物理分析物理分析) ) 固體材料受力作用必然產(chǎn)生相應(yīng)的變形。 不同的材料，不同的變形，就有相應(yīng)不同的 物理關(guān)系。 彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法以受力物以受力物體內(nèi)某一體內(nèi)某一點（單元點（單元體）為研體）為研究對象究對象 單元體的受力單元體的受力應(yīng)力理論；應(yīng)力理論； 單元體的變形單元體的變形變形幾何理論；變形幾何理論； 單元體受力與變形單元體受力與變形間的關(guān)系間的關(guān)系本構(gòu)理本構(gòu)理論；論； 建立起普建立起普遍適用的理遍適用的理論與解法。論與解法。1 1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，

7、并以其理論與解、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解 法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點；法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點；2 2、彈塑性的工程解答一般認(rèn)為是精確的；、彈塑性的工程解答一般認(rèn)為是精確的；3 3、可對初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠、可對初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠 進(jìn)行度量。進(jìn)行度量。四、四、 彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)可歸納為以下幾點：可歸納為以下幾點： 1 1建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的 基本方程和理論；基本方程和理論； 2 2給出初等理論無法求解的問題的理論和方法，給出初等理論無法求解的問題的理論和方法， 以及對初等理

8、論可靠性與精確度的度量；以及對初等理論可靠性與精確度的度量； 3 3確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力，確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力， 提高經(jīng)濟效益；提高經(jīng)濟效益； 4 4為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強度、振動、穩(wěn)定為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強度、振動、穩(wěn)定 性、斷裂等力學(xué)問題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。性、斷裂等力學(xué)問題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。五、五、 彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)（1 1）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所 占有的全部空間，不留下任何空隙。占有的全部空間，不留下任何空隙。 （2 2）均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)）均勻性與各向

9、同性的假設(shè)：假定物體內(nèi) 部各點處，以及每一點處各個方向上的部各點處，以及每一點處各個方向上的 物理性質(zhì)相同。物理性質(zhì)相同。 （3 3）力學(xué)模型的簡化假設(shè)：）力學(xué)模型的簡化假設(shè)： （A A）完全彈性假設(shè)）完全彈性假設(shè) ； （B B）彈塑性假設(shè)。）彈塑性假設(shè)。 幾何假設(shè)幾何假設(shè)小變形條件小變形條件 （A A）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以 不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。 （B B）在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二）

10、在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二 次以上的高階微量；次以上的高階微量； 假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小 的，即體內(nèi)各點位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而的，即體內(nèi)各點位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而 且應(yīng)變且應(yīng)變( ( 包括線應(yīng)變與角應(yīng)變包括線應(yīng)變與角應(yīng)變 ) )均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1 1。根據(jù)。根據(jù) 這一假定：這一假定： 六、六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況彈塑性力學(xué)發(fā)展概況 1678 1678年年英國科學(xué)家虎克英國科學(xué)家虎克(R.Hooke)(R.Hooke)提出提出 了固體材了固體材 料的彈性變形與所受外力成正比料的彈性變形與所受外力成正

11、比虎克定律。虎克定律。 1919世紀(jì)世紀(jì)2020年代，法國科學(xué)家納維葉年代，法國科學(xué)家納維葉 ( C.L.M.H.Navier )( C.L.M.H.Navier )、柯西、柯西 ( A.L.Cauchy )( A.L.Cauchy )和和 圣文南圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。 法國科學(xué)家?guī)靷?C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和萊 ( M.Levy ) 波蘭力學(xué)家胡勃(M.T.Houber 1904年）、

12、米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 羅伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 納戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論；闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論； 彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框架得以確立架得以確立。七、張量概念及其基本運算七、張量概念及其基本運算（附錄一）附錄一） 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔

13、的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的，任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的， 它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。 分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們 當(dāng)時對客觀事物的認(rèn)識水平有關(guān)，會影響問題當(dāng)時對客觀事物的認(rèn)識水平有關(guān)，會影響問題 的求解與表述。的求解與表述。 所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量標(biāo)量

14、。例如溫度、質(zhì)量、功等。例如溫度、質(zhì)量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對標(biāo)量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標(biāo)量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 若我們以若我們以r r表示維度，以表示維度，以n n表示冪次，則關(guān)于三維表示冪次，則關(guān)于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：示成：nrM （1 1） 現(xiàn)令現(xiàn)令n n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物為這些

15、物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直 觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間 可由坐標(biāo)變換關(guān)系式來解決定義?？捎勺鴺?biāo)變換關(guān)系式來解決定義。當(dāng)當(dāng)n=0n=0時，零階張量，時，零階張量，M=1M=1，標(biāo)量；，標(biāo)量；當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，一階張量，時，一階張量，M=3M=3，矢量；，矢量； 、 、 、當(dāng)取當(dāng)取n n時，時，n n階張量，階張量，M=3M=3n n。 在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號，來表在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號，來表 示和區(qū)別該張量的

16、所有分量。示和區(qū)別該張量的所有分量。 不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號稱為自由標(biāo)號。自由標(biāo)不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號稱為自由標(biāo)號。自由標(biāo) 號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號的數(shù)號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號的數(shù) 量確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號稱重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號稱 為啞標(biāo)號或假標(biāo)號。啞標(biāo)號在其方程內(nèi)先羅列，為啞標(biāo)號或假標(biāo)號。啞標(biāo)號在其方程內(nèi)先羅列， 再不求和。再不求和。2.2.下標(biāo)記號法下標(biāo)記號法 本教程張量下標(biāo)符號的變程，僅限于三維空間，本教程張量下標(biāo)符號的變程，僅限于三維空間， 即變程為即變程為3 3。3.3.求和約定求和約定 關(guān)于啞

17、標(biāo)號應(yīng)理解為取其變程關(guān)于啞標(biāo)號應(yīng)理解為取其變程N N內(nèi)所有數(shù)值，內(nèi)所有數(shù)值， 然后再求和，這就叫做求和約定。然后再求和，這就叫做求和約定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa（I-2I-2）31332211jiiijijjijbababababa（I-4I-4）3131ijjiijjiijcbacba311321121111cbacbacba323322221221cbacbacba333323321331cbacbacba（I-5I-5） 關(guān)于求和標(biāo)號，即啞標(biāo)有：關(guān)于求和標(biāo)號，即啞標(biāo)有： 求和標(biāo)號可任意變換字母求和標(biāo)號可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母

18、標(biāo)號，不適用于數(shù)字標(biāo)號。求和約定只適用于字母標(biāo)號，不適用于數(shù)字標(biāo)號。 在運算中，括號內(nèi)的求和標(biāo)號應(yīng)在進(jìn)行其它運算前在運算中，括號內(nèi)的求和標(biāo)號應(yīng)在進(jìn)行其它運算前 優(yōu)先求和。例：優(yōu)先求和。例： 2332222112aaaaii（I-12I-12）23322112)()(aaaaii（I-13I-13） 關(guān)于自由標(biāo)號：關(guān)于自由標(biāo)號： 在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號相同，在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號相同，即同階且標(biāo)號字母相同。即同階且標(biāo)號字母相同。 自由標(biāo)號的數(shù)量確定了張量的階次。自由標(biāo)號的數(shù)量確定了張量的階次。 關(guān)于關(guān)于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符號：）

19、符號： ij 是張量分析中的一個基本符號稱為是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號柯氏符號（或（或柯羅尼克爾符號柯羅尼克爾符號），亦稱），亦稱單位張量單位張量。其定義為：。其定義為： ij100010001 , 0 , 1 ijijjiji或：時；當(dāng)時；當(dāng)（I-17I-17）4.4.張量的基本運算張量的基本運算 A A、張量的加減：張量的加減： 張量可以用矩陣表示，稱為張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣張量矩陣，如：，如： 凡是同階的兩個或幾個張量可以相加凡是同階的兩個或幾個張量可以相加( (或相減或相減) )，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標(biāo)號并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中

20、標(biāo)號相同的諸分量之代數(shù)和。相同的諸分量之代數(shù)和。 即：即：其中各分量（元素）為：其中各分量（元素）為：ijijijcba333231232221131211aaaaaaaaaaij（I-19I-19） ijijijcba（I-20I-20）B B、張量的乘積張量的乘積 對于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運算。對于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運算。 兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的 每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量， 它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一 個張量乘以

21、第二個張量的乘積，即積張量。積個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積 張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如： 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結(jié)合律。例如：律和結(jié)合律。例如： ijkjkicba（I-21I-21）)()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba或；（I-22I-22）C C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：張量函數(shù)的求導(dǎo)： 一個張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個分量都一個張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個分量都 是坐標(biāo)參數(shù)是坐標(biāo)參數(shù) x xi i 的函數(shù)。的函數(shù)。 對張量求導(dǎo)，

22、就是把張量的每個分量都對坐標(biāo)參數(shù)對張量求導(dǎo)，就是把張量的每個分量都對坐標(biāo)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)。 對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo)對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo) 符號前上方加符號前上方加“ ”的方式來表示。的方式來表示。例如：例如： ， 就表示對一階張量就表示對一階張量 的每一個分量對坐標(biāo)參數(shù)的每一個分量對坐標(biāo)參數(shù) x xi i 求導(dǎo)。求導(dǎo)。 jiAiAjiAiA 對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo)對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo) 符號前上方加符號前上方加“ ”的方式來表示。的方式來表示。例如：例如： ， 就表示對一階張量就表示對一階張量 的每一個分量對坐標(biāo)參數(shù)的

23、每一個分量對坐標(biāo)參數(shù) x xi i 求導(dǎo)。求導(dǎo)。 jiAiA 如果在微商中下標(biāo)符號如果在微商中下標(biāo)符號 i i 是一個自由下標(biāo)，則是一個自由下標(biāo)，則 算子算子 作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階 的張量；的張量； 如果在微商中，下標(biāo)符號是一個啞標(biāo)號，則算子如果在微商中，下標(biāo)符號是一個啞標(biāo)號，則算子 作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。 例如：例如： i321 , , xxxxii（I-23I-23）332211 xuxuxuxuuiiii（I-24I-24）kjzkjykjxkiijkixxuxxuxxuxxuu22

24、22 , , （I-25I-25）kjzkjykjxkiijkixxuxxuxxuxxuu2222 , , （I-25I-25）iii 如果在微商中下標(biāo)符號如果在微商中下標(biāo)符號 i i 是一個自由下標(biāo)，則是一個自由下標(biāo)，則 算子算子 作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階 的張量；的張量； 如果在微商中，下標(biāo)符號是一個啞標(biāo)號，則算子如果在微商中，下標(biāo)符號是一個啞標(biāo)號，則算子 作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。 例如：例如： ii4.4.張量的分解張量的分解張量一般是非對稱的。若張量張量一般是非對稱的。若張量 的分量滿足

25、的分量滿足 ija則稱為則稱為反對稱張量反對稱張量。顯然反對稱張量中標(biāo)號重復(fù)的。顯然反對稱張量中標(biāo)號重復(fù)的分量分量( (也即主對角元素也即主對角元素) )為零，即為零，即 。 0332211aaa則則 稱為稱為對稱張量對稱張量。 如果如果 的分量滿足的分量滿足ijaijajiijaa（I-27I-27）jiijaa（I-28I-28）第二章第二章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論一、應(yīng)力的概念一、應(yīng)力的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念二、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程二、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程三、主應(yīng)力三、主應(yīng)力應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量四、最大四、最大( (最小最小) )剪應(yīng)力剪應(yīng)力五、空間應(yīng)力圓五、空間

26、應(yīng)力圓. .應(yīng)力橢球應(yīng)力橢球 六、應(yīng)力張量的分解六、應(yīng)力張量的分解七、偏斜應(yīng)力張量七、偏斜應(yīng)力張量 . .主偏應(yīng)力主偏應(yīng)力. .應(yīng)力偏量不變量應(yīng)力偏量不變量八、八面體應(yīng)力八、八面體應(yīng)力等效應(yīng)力等效應(yīng)力九、平衡（或運動）微分方程九、平衡（或運動）微分方程一、應(yīng)力的概念一、應(yīng)力的概念 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念 ddlimddlim00ntnnAnnnAAFAFAFAF 應(yīng)力：應(yīng)力：受力物體受力物體 內(nèi)某點某截面上內(nèi)內(nèi)某點某截面上內(nèi) 力的分布集度。力的分布集度。 1 1、應(yīng)力的概念、應(yīng)力的概念2 2、應(yīng)力狀態(tài)的概念：、應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點處所取受力物體內(nèi)某點處所取 無限多截面上的應(yīng)力情

27、況的總和，就顯示和表無限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表 明了該點的應(yīng)力狀態(tài)明了該點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力必須指明兩點：必須指明兩點：1.1.是哪一點的應(yīng)力；是哪一點的應(yīng)力；2.2.是該點哪個微截面的應(yīng)力。是該點哪個微截面的應(yīng)力。 表示表示應(yīng)力的及符號規(guī)則：應(yīng)力的及符號規(guī)則：正應(yīng)力：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：xyxxx 第一個字母表明該應(yīng)力作第一個字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一用截面的外法線方向同哪一個坐標(biāo)軸相平行。個坐標(biāo)軸相平行。 第二個字母表明該應(yīng)力的第二個字母表明該應(yīng)力的指向同哪個坐標(biāo)軸相平行。指向同哪個坐標(biāo)軸相平行。 應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)則：應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)則：

28、3.3.應(yīng)力張量應(yīng)力張量 數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時，服從一定坐標(biāo)變換式數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時，服從一定坐標(biāo)變換式的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式義，物體內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是一個對稱的二階張量，簡稱為一個對稱的二階張量，簡稱為應(yīng)力張量應(yīng)力張量。zzyzxyzyyxxzxyxij zyzxzzyyxyzxyxxj i

29、或或（2 23 3） 據(jù)剪應(yīng)力互等定理據(jù)剪應(yīng)力互等定理 , ,應(yīng)力張量應(yīng)是應(yīng)力張量應(yīng)是一個對稱的二階張量。一個對稱的二階張量。 )(jijiij二二. .應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程 zxyzxy、1、任意斜截面上的應(yīng)力、任意斜截面上的應(yīng)力 已知已知 ： 求：求：P PP Px x 、P Py y 、 P Pz z zyx、nn斜截面外法線為斜截面外法線為 n n，方向余弦分別為方向余弦分別為 L L1 1 、L L2 2 、 L L3 3；面積：面積： S SABCABC=1=1；S SOBCOBC= = L L1 1，S SOACOAC= = L L2 2， S SOABOAB= =

30、L L3 3。則由單元體力系平衡條件：則由單元體力系平衡條件： 、 、 得：得：0 xF0yF0zF 321321321lllPlllPlllPzzyzxzyzyyxyxzxyxx) , , ,( zyxjinPjijilPlPlPzyxxn2121222/12222)()(nnzyxnPPPP2222zyxPPPP（2 24 4） （2 25 5） （26） （2 27 7） （2 28 8） 2 2、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程 ),cos(11xxl),cos(12yxl),cos(13zxl),cos(21xyl),cos(22yyl),cos(23zyl),cos(31xzl)

31、,cos(32yzl),cos(33zzl標(biāo)坐軸標(biāo)坐軸xyzxyz),cos(11xxl),cos(21xyl),cos(31xzl),cos(12yxl),cos(22yyl),cos(32yzl),cos(13zxl),cos(23zyl),cos(33zzl表表2 21 1 )()( )( )()( )( )()( )( 222 222 222 133111331233133211321231133312321131332131233223332231223221332332223121231121132213231221122211231322122111313333323231233

32、232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxj ji iijj ill （2 21010） 3 3、平面應(yīng)力狀態(tài)、平面應(yīng)力狀態(tài) 注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號的差異。注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號的差異。22minmax22xyyxyx（2 222

33、22） yxxy22tg0（2 22121） 02cos2sin2 cossin)()sin(cos2sin2cos22 cossin2sincos2222zxxyyxxyxyyxxyyxyxxyyxx（2 21111） 三三. . 主應(yīng)力主應(yīng)力 應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向 應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量 主平面：一點應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面；主平面：一點應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面； 主應(yīng)力主應(yīng)力 ：主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力；：主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力； 主方向主方向 ：主平面的法線方向即為主方向；：主平面的法線方向即為主方向；主單元體：由主平面截取的單元體稱為主

34、單元體。主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體。設(shè)斜截面設(shè)斜截面ABCABC為主平面，則：為主平面，則：1lPnx2lPny3lPnz則由則由2-42-4得：得： 0)(0)(0)(321321321lllllllllnzzyzxyznyyxxzxynx（2 21212） nijij0jl （2 21313） 032213IIInnn（2 21818） 理論上可證明：當(dāng)一點的應(yīng)力狀態(tài)確定時，理論上可證明：當(dāng)一點的應(yīng)力狀態(tài)確定時，由式由式2-182-18必可求出三個實根，即為主應(yīng)力，且必可求出三個實根，即為主應(yīng)力，且 。主應(yīng)力彼此正交。主應(yīng)力彼此正交。321 2 )(21 222322221

35、ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII(2(219)19) 321313322123211 III（2 22020） 正應(yīng)力的極值就是主應(yīng)力正應(yīng)力的極值就是主應(yīng)力 233222211321llllPlPlPzyxn（2 22424） 2222nzyxnPPP)()()()(233222211233222211llllll（2 22525）由由2-242-24及及1232221lll得：得：322322131233222121233122211)()( )()()()(llllllnnn 對上式取極值求出方向

36、余弦式，再對上式取極值求出方向余弦式，再代回式代回式2-252-25得：得： ，即正應(yīng)力取，即正應(yīng)力取極值截面上的剪應(yīng)力為零，此正應(yīng)力極值截面上的剪應(yīng)力為零，此正應(yīng)力即為主應(yīng)力。主方向彼此正交。即為主應(yīng)力。主方向彼此正交。0n四四. .最大最大( (最小最小) )剪應(yīng)力剪應(yīng)力 0)(21)()()( 0)(21)()()(31223221313223122322131311llllll由由2-252-25及及1232221lll求出：求出： 22222nzyxnPPP)()()()(233222211233222211llllll232232213123222322212321)()()()(

37、 llll討論式（討論式（b b），可得其解如表），可得其解如表- -所示：所示：表表2 23 30010010010000001l2l3l2n2/ 12322/ )(2132/ )(2212/ )(2/ 12/ 12/ 12/ 12/ 1 主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力為：為：231132322322112 最大（最小）剪應(yīng)力最大（最?。┘魬?yīng)力為：為：231minmax（2 22727） 最大（最?。┘魬?yīng)力作用截面上一般正應(yīng)最大（最小）剪應(yīng)力作用截面上一般正應(yīng) 力不為零，即：力不為零，即：231132322322112（2 22828） 五五. .空間應(yīng)力圓空間應(yīng)力圓 應(yīng)力橢球應(yīng)力橢球一點應(yīng)力狀態(tài)一點應(yīng)力

38、狀態(tài)用解析法研究用解析法研究用幾何法研究用幾何法研究解析理論解析理論莫爾應(yīng)力圓莫爾應(yīng)力圓 若三個坐標(biāo)軸的方向都恰取為應(yīng)力主方向，則由若三個坐標(biāo)軸的方向都恰取為應(yīng)力主方向，則由式式(2(224)24)或或(2(215)15)可求出用，外法線為可求出用，外法線為n n的斜截面的斜截面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力其表達(dá)式為其表達(dá)式為: :1、空間應(yīng)力圓、空間應(yīng)力圓，和、表示的和、232221321lllnn)()( )()()()(231321232312321322223121322121nnnnnnnnnlll0)(231nnn23122n2312n在式（在式（c c）中，設(shè)）中，設(shè) 永遠(yuǎn)是正值，所以式

39、（永遠(yuǎn)是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母應(yīng)有相）中右端的分子和分母應(yīng)有相同的正、負(fù)號。同的正、負(fù)號。232221321,lll和、由于在式（在式（c c）中，設(shè)）中，設(shè) 永遠(yuǎn)是正值，所以式（永遠(yuǎn)是正值，所以式（c c）中右端的分子和分母應(yīng)有相）中右端的分子和分母應(yīng)有相同的正、負(fù)號。同的正、負(fù)號。232221321,lll和、由于 六、六、應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解mzzyzxyzmyyxxzxymxmmm000000+ +ijmijijS+ +（2 23030） 通常對于金屬材料有：通常對于金屬材料有： 通常將通常將應(yīng)力張量進(jìn)行分解應(yīng)力張量進(jìn)行分解，更有利于研究固，更有利于研究固 體

40、材料的塑性變形行為。體材料的塑性變形行為。 巖土材料在球應(yīng)力張量作用下，一般也會出巖土材料在球應(yīng)力張量作用下，一般也會出 現(xiàn)塑性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面?，F(xiàn)塑性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。球應(yīng)力張量球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形體變：只是彈性變形畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時，將產(chǎn)生塑性的畸變。將產(chǎn)生塑性的畸變。偏斜應(yīng)力張量偏斜應(yīng)力張量七、偏斜應(yīng)力張量七、偏斜應(yīng)力張量 .主偏應(yīng)力主偏應(yīng)力.應(yīng)力偏量不變應(yīng)力偏量不變量量1 1、偏斜應(yīng)力張量偏斜應(yīng)力張量. .主偏應(yīng)力主偏應(yīng)力mzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyx

41、SSSSSSSSSijS= =zzyzxyzyyzxzxyxSSS331000000SSS3200032000322131323212 2、應(yīng)力偏量不變量、應(yīng)力偏量不變量2223222222222222222212 )(6)()()(61 )(21 0)()()( xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyzyxzxyzxyxzZyyxmzmymxzyxSSSSSSSSSSSSJSSSSSSSSSSSSSSSJSSSJ321321323222113322123222123211 )()()(61 )(21 0 SSSJSSSSSSSSSJSSSJ01iiSJiji

42、jSSJ212ijSJ 3m)(313218211332212322218)(2)( 23121213232221)()()(31 212222228)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx232J= = 作用八面體產(chǎn)生畸變，是塑性力學(xué)中的重要力作用八面體產(chǎn)生畸變，是塑性力學(xué)中的重要力 學(xué)參量。學(xué)參量。84454cos310321lll八、八、8 8 面體應(yīng)力面體應(yīng)力 等效應(yīng)力等效應(yīng)力 2 2、等效應(yīng)力、等效應(yīng)力28323J（2-432-43） 材料處于單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時，材料處于單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時， ， ；1032 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) 確定了，確定了， 值就確定了，與坐標(biāo)軸的值就確定了，

43、與坐標(biāo)軸的 選擇無關(guān)；選擇無關(guān)；ij 等效應(yīng)力等效應(yīng)力 與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，是塑性力學(xué)中的重與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，是塑性力學(xué)中的重 要力學(xué)參量。計算中是使用要力學(xué)參量。計算中是使用 的絕對值。的絕對值。 等效應(yīng)力又稱為有效應(yīng)力或應(yīng)力強度，等效應(yīng)力又稱為有效應(yīng)力或應(yīng)力強度， 用用 表示表示. .九、九、平衡（或運動）微分方程平衡（或運動）微分方程 平衡微分方程平衡微分方程： 一個客觀的彈性力學(xué)問題，在物體體內(nèi)任意一點一個客觀的彈性力學(xué)問題，在物體體內(nèi)任意一點 的應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。的應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。 求解應(yīng)力場的問題是一個靜不定問題。求解應(yīng)力場的問題是一個靜不定問題

44、。 體力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之負(fù)體力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之負(fù)。 0 0 0 222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx（2-442-44）0ijijF（2-452-45）十、十、靜力邊界條件靜力邊界條件 一個客觀的彈塑性力學(xué)問題，在物體邊界上任意一個客觀的彈塑性力學(xué)問題，在物體邊界上任意 一點的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這組方程。一點的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這組方程。 面力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之取負(fù)。面力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之取負(fù)。 321321321lllFlllFlllFzzyzxzyzyyxyx

45、zxyxx（2-462-46）jjiilF （2-472-47） 當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)軸相垂直時，應(yīng)力分量與相當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)軸相垂直時，應(yīng)力分量與相 應(yīng)的面力分量直接對應(yīng)相等。應(yīng)的面力分量直接對應(yīng)相等。 關(guān)于平面問題的應(yīng)力邊界條件（關(guān)于平面問題的應(yīng)力邊界條件（xoyxoy平面）：平面）： 2121yyyxxxyxFllFll（2-492-49）xxFyxyFzxzF例例2-72-7： 圖圖216所示為一變截面薄板梁，所示為一變截面薄板梁， 板的厚度為單位板的厚度為單位 1，跨度為。梁上表面，跨度為。梁上表面 承受三角形分布載荷作用，下斜表面承承受三角形分布載荷作用，下斜表面承 受均布切向面力

46、作用，左端面上作用的受均布切向面力作用，左端面上作用的 面力詳細(xì)分布情況不清，但分布面力的面力詳細(xì)分布情況不清，但分布面力的 合力為切向集中力合力為切向集中力P，合力偶的力偶矩，合力偶的力偶矩 為為M。試確定此問題上述三邊界上的應(yīng)。試確定此問題上述三邊界上的應(yīng) 力邊界條件。力邊界條件。例例2-72-7：解：解：左邊界：左邊界：下邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：下邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：上邊界：上邊界：lqxy/0yx（1 1）hhhhyhhxMyyMPyFyF 0d , 00d , 00d , 0 x0 xyxhhxhhxyhhxMyyPyy dd 0d （2 2） sincoss

47、in coscossin00qqyxyxyx tg)( tg )( 0y0 xqcqxyxy（3 3）第三章第三章 變形幾何理論變形幾何理論一、位移、應(yīng)變、幾何方程、一、位移、應(yīng)變、幾何方程、 應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程四、主應(yīng)變、最大四、主應(yīng)變、最大( (最小最小) )剪應(yīng)變、體積應(yīng)變剪應(yīng)變、體積應(yīng)變七、應(yīng)變速度、應(yīng)變增量、應(yīng)變莫爾圓七、應(yīng)變速度、應(yīng)變增量、應(yīng)變莫爾圓六、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程六、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程五、應(yīng)變張量的分解、等效應(yīng)變五、應(yīng)變張量的分解、等效應(yīng)變二、位移邊界條件二、位移邊界條件一、位移、應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)、幾何方程、應(yīng)變張量一、位移、應(yīng)變

48、、應(yīng)變狀態(tài)、幾何方程、應(yīng)變張量), , ( ), , ( ), , ( zyxwwzyxvvzyxuu；1 1、位移分量和相對位移分量、位移分量和相對位移分量位移位移剛性位移：反映物體整體位置的變動剛性位移：反映物體整體位置的變動變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化 研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點的研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點的相對位置變動情況，即研究變形位移。相對位置變動情況，即研究變形位移。 通常物體內(nèi)各點通常物體內(nèi)各點的位移應(yīng)是點的位的位移應(yīng)是點的位置坐標(biāo)函數(shù)，參照置坐標(biāo)函數(shù)，參照oxyzoxyz坐標(biāo)即為：

49、坐標(biāo)即為：（3-1） 位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。 位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點處材料變形的劇烈程位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點處材料變形的劇烈程 度，還需要研究物體內(nèi)各點的相對位移。度，還需要研究物體內(nèi)各點的相對位移。2 2、應(yīng)變的概念、應(yīng)變的概念 、幾何方程、幾何方程 在物體內(nèi)任一點在物體內(nèi)任一點 M M 處截取一單元體，處截取一單元體，考察其變形（由平考察其變形（由平面推廣到空間）。面推廣到空間）。 在小變形的前在小變形的前提下建立應(yīng)變的概提下建立應(yīng)變的概念和幾何方程。念和幾何方程。 應(yīng)變的概念應(yīng)變的概念 考察單元體在考察單元體在xyxy

50、平面上投影平面上投影ABCDABCD的變形。的變形。 當(dāng)微分體變形并出現(xiàn)位移后，其在當(dāng)微分體變形并出現(xiàn)位移后，其在xoyxoy平面上的投平面上的投 影影ABCD ABCD 就移至新的位置就移至新的位置 ，如圖所示。，如圖所示。 DCBA 應(yīng)變的概念應(yīng)變的概念 應(yīng)變的概念應(yīng)變的概念A(yù)Bx沿沿x x方向棱邊方向棱邊 的線應(yīng)變的線應(yīng)變 ，據(jù)定義有：，據(jù)定義有：dxdxBAx 也即：也即：dxBAx) 1(22222xvxuxuxx （略去高階微量得：）（略去高階微量得：）yvxuyx ；A A點點x x，y y方向所夾直角的改變量，即剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：方向所夾直角的改變量，即剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：xyx

51、vyuxy 也即：也即： 應(yīng)變的概念應(yīng)變的概念線應(yīng)變線應(yīng)變角應(yīng)變角應(yīng)變應(yīng)變的符號規(guī)則：應(yīng)變的符號規(guī)則： 表征某點某方向伸長變形的線應(yīng)變?nèi)≌幢碚髂滁c某方向伸長變形的線應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)；之取負(fù)； 表征某點兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角表征某點兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。顯然：應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。顯然：xy=xy=yxyx。1.1.涉及受力物體涉及受力物體內(nèi)某點；內(nèi)某點；2.2.涉及該點的某涉及該點的某一方向；一方向；3.3.是一個無量綱是一個無量綱的物理量。的物理量。1 1、涉及受力物、涉及受力物體內(nèi)某一點；體內(nèi)某一點；2 2、涉及過該點、涉及過該點的某兩相垂直的某兩相

52、垂直方向；方向；3 3、是一個有單、是一個有單位，無量綱的位，無量綱的物理量。物理量。 幾何方程：幾何方程：zuxwzwywvyvxvyuxuzxzyzyxyx z ；),()(21zyxjiuui jj iij（3-2） 該式表明了一點處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿該式表明了一點處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Augustin-(Augustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)幾何關(guān)系。其縮寫式為：幾何關(guān)系。其縮寫式為： （3-7）3 3、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量zwywzvyvxwzuxvy

53、uxu)(212121對稱zyzyxzxyx)(212121對稱zyzyxzxyxij)(對稱=（3-6） 受力物體內(nèi)某點處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總和，反映和表征受力物體內(nèi)某點處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總和，反映和表征了該點的變形程度了該點的變形程度( (狀態(tài)狀態(tài)) )，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。 一點的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，稱為應(yīng)變一點的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，稱為應(yīng)變張量，用張量，用 表示，即：表示，即：ij 由幾何方程式可以看出，當(dāng)物體內(nèi)一點的位移由幾何方程式可以看出，當(dāng)物體內(nèi)一點的位移 分量完全確定時，則應(yīng)變分量亦已完全確定，分量完全確定時，則應(yīng)變分量亦已完全確定， 因

54、為應(yīng)變是位移的微分形式。但是當(dāng)應(yīng)變分量因為應(yīng)變是位移的微分形式。但是當(dāng)應(yīng)變分量 完全確定時，位移分量則不一定能求解出來，完全確定時，位移分量則不一定能求解出來， 這是由于物體的位移除了包含有純變形位移這是由于物體的位移除了包含有純變形位移 外，還可能包括有剛性位移。外，還可能包括有剛性位移。 三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程 任意方向上的線應(yīng)變計算：任意方向上的線應(yīng)變計算： 應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程一點的應(yīng)變狀態(tài)是一個二階對稱張量，則其分量轉(zhuǎn)換方程為：一點的應(yīng)變狀態(tài)是一個二階對稱張量，則其分量轉(zhuǎn)換方程為：)()()()(2)()()()(2)()()()(21331113312

55、33133211321231133312321131332131233223332231223221332332223121231121132213231221122211231322122111313333323231233232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzx

56、yzyxx(3-12)jjiiijjill(3-13) 應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對稱張量，應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對稱張量， 因此在數(shù)學(xué)上兩者所遵循的坐標(biāo)變換法則是因此在數(shù)學(xué)上兩者所遵循的坐標(biāo)變換法則是 相同的。比較公式相同的。比較公式3-12和和29，知其分量，知其分量間對應(yīng)關(guān)系為：間對應(yīng)關(guān)系為：ijij2ijijji 但且 由于由于應(yīng)變張量與應(yīng)力張量兩者在數(shù)學(xué)上遵應(yīng)變張量與應(yīng)力張量兩者在數(shù)學(xué)上遵 循相同的坐標(biāo)變換法則，所以可知主應(yīng)變、循相同的坐標(biāo)變換法則，所以可知主應(yīng)變、 應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)力、應(yīng)變張應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)力、應(yīng)變張 量分解、量分解、等等對應(yīng)關(guān)系式均可直

57、接導(dǎo)出。對應(yīng)關(guān)系式均可直接導(dǎo)出。四、主應(yīng)變、應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)變四、主應(yīng)變、應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)變 過物體內(nèi)任一點，一定存在著三個互相垂直的平面過物體內(nèi)任一點，一定存在著三個互相垂直的平面, ,在這在這 些平面間剪應(yīng)變?yōu)榱?，將其稱之為些平面間剪應(yīng)變?yōu)榱?，將其稱之為應(yīng)變主平面應(yīng)變主平面。 應(yīng)變主平面的外法線方向稱為應(yīng)變主平面的外法線方向稱為應(yīng)變主方向或應(yīng)變主軸應(yīng)變主方向或應(yīng)變主軸。應(yīng)。應(yīng) 變主軸彼此正交。變主軸彼此正交。 應(yīng)變主方向上的線應(yīng)應(yīng)變主方向上的線應(yīng)變就是變就是主應(yīng)變主應(yīng)變。一點應(yīng)變。一點應(yīng)變狀態(tài)的主應(yīng)變有三個即：狀態(tài)的主應(yīng)變有三個即：321 當(dāng)一點應(yīng)變狀態(tài)確定是，當(dāng)一

58、點應(yīng)變狀態(tài)確定是， 其主應(yīng)變、應(yīng)變主方向由其主應(yīng)變、應(yīng)變主方向由 下式確定：下式確定： 主應(yīng)變、應(yīng)變主方向主應(yīng)變、應(yīng)變主方向0d)(dd0dd)(d0ddd)(znzyzyxzxzyzynyxyxzxzyxyxnxsssssssss（3-18）0d)(jnijijs（3-19）032213IIInnn（3-22） 應(yīng)變不變量：應(yīng)變不變量：ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII)(2)(21222322221（3-23） 理論上可證明：三個應(yīng)變主軸是彼此垂直的。理論上可證明：三個應(yīng)變主軸是彼此垂直的。 理論上

59、一般認(rèn)為：應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向彼此理論上一般認(rèn)為：應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向彼此 對應(yīng)相同。通常簡稱為主方向。對應(yīng)相同。通常簡稱為主方向。(2)(2)、最大（最?。┘魬?yīng)變、最大（最?。┘魬?yīng)變 理論上可證明：當(dāng)一點應(yīng)變狀態(tài)確定時，該點的理論上可證明：當(dāng)一點應(yīng)變狀態(tài)確定時，該點的 三個主應(yīng)變一定也是三個實數(shù)根。并且按代數(shù)值三個主應(yīng)變一定也是三個實數(shù)根。并且按代數(shù)值 排列：排列：321)(;)(;)(213132321（3-24）31minmax（3-25）五、應(yīng)變張量的分解、八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變五、應(yīng)變張量的分解、八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即：應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)

60、變球張量和應(yīng)變偏張量，即：mzzyzxyzmyyxxzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyzij212121212121000000（3-27）)(31)(31321zyxm（3-28）ijijmije（3-27） 應(yīng)變張量的分解應(yīng)變張量的分解 偏斜應(yīng)變張量偏斜應(yīng)變張量. .應(yīng)變偏量不變量應(yīng)變偏量不變量 應(yīng)變偏張量為：應(yīng)變偏張量為： 相應(yīng)的應(yīng)變偏量不變量為：相應(yīng)的應(yīng)變偏量不變量為：ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxijijzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxiizyxeeeeeeeeeeeeeJeeeeeeeeeeeJeeeeJ222322222222222221221