必修三--231變量之間的相關(guān)關(guān)系

1、基礎(chǔ)知識(shí)框圖表解變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 散點(diǎn)圖線性相關(guān)線性回歸方程問(wèn)題提出和探究 在中學(xué)校園里，有這樣一種說(shuō)法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”問(wèn)題： 按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著一種相關(guān)關(guān)系，這種說(shuō)法有沒(méi)有根據(jù)呢？ 上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，我們把這種關(guān)系稱之為相關(guān)關(guān)系。一、變量之間的相關(guān)關(guān)系不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系.問(wèn)題：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)？相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系課堂練習(xí)判斷下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？哪些是函數(shù)關(guān)系？正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外

2、閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與體重之間的關(guān)系；人的身高與視力之間的關(guān)系；商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系；糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).年齡 23273941454950脂肪 9.517.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年齡 53545657586061脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？ 探究思考：對(duì)某一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他的體內(nèi)脂肪

3、含量不一定隨年齡增長(zhǎng)而增加或減少，但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？年齡年齡2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年齡年齡5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6 為了確定人體脂肪含量和年齡之間的更明確的關(guān)系，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)作圖可

4、以對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎？ O455055 60 65202530 35 40年齡年齡脂肪含量脂肪含量510152025303540 在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖. 觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢(shì)， 兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。O45 50 55606520 25 30 35 40年齡年齡脂肪含量脂肪含量510152025303540O思考：如果兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？ 結(jié)論：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左

5、上角到右下角的區(qū)域.注：若兩個(gè)變量散點(diǎn)圖呈上圖，則不具有相關(guān)關(guān)系。020406080100120020406080100例1、以下是2000年某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：房屋面積（平方米） 617011511080135105銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.222 畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并指出銷售價(jià)格與房屋面積這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). 房屋面積（平方米） 617011511080135105銷售價(jià)格（萬(wàn)元） 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.222結(jié)論：銷售價(jià)格與房屋面積這兩個(gè)變量是正相關(guān)的.如果散點(diǎn)圖中

6、點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。 這條回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱為回歸方程。二、回歸直線 O45 50 55606520 25 30 35 40年齡脂肪含量5101520253035401.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，變量之間具有函數(shù)關(guān)系2.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系3.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系 只有散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈條狀集中在某一直線周圍的時(shí)候，才可以說(shuō)兩個(gè)變量之間具有線性關(guān)系，才有兩個(gè)變量的正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)的概念，才可以用回歸直線來(lái)描述兩個(gè)變量之

7、間的關(guān)系 有關(guān)說(shuō)明三、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？O45 50 55606520 25 30 35 40年齡脂肪含量510152025303540求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。思考：對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為 可以用哪些數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？ abxy.方案1: 先畫出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離，再移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小時(shí)，測(cè)出

8、它的斜率和截距，得回歸方程。202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540如圖 ：.方案2: 在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540方案3: 如果多取幾對(duì)點(diǎn)，確定多條直線，再求出 這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。 如圖我們還可以找到 更多的方法，但 這些方法都可行 嗎?科學(xué)嗎？ 準(zhǔn)確嗎？怎樣的 方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量05101520253035

9、40我們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的方法稱為回歸方法。設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n）設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為 其中其中a a，b b是待定是待定的系數(shù)。當(dāng)變量的系數(shù)。當(dāng)變量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n時(shí)，可以得到時(shí)，可以得到 （i=1i=1，2 2，n n）它與實(shí)際收集得到的它與實(shí)際收集得到的 之間偏差是之間偏差是 （i=1i=1，2 2，n n）探索過(guò)程如下：探索過(guò)程如下：這樣

10、，用這這樣，用這n n個(gè)偏差的和來(lái)個(gè)偏差的和來(lái)刻畫刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體各點(diǎn)與此直線的整體偏差偏差”是比較合適的。是比較合適的。(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)abxyabxyii)(abxyiyyiiiiy根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng)根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng) 時(shí)，總體偏差時(shí)，總體偏差 為最小，這樣為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .21()niiiQyy xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121（其中，（其中，b是回歸方程的斜率，是回

11、歸方程的斜率，a是截距）是截距）abxy估計(jì)值樣本數(shù)值yx0.57765-0.448= 37.1 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 由此我們可以根據(jù)一個(gè)人的年齡預(yù)測(cè)其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人65歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？448. 0577. 0 xy能不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1？若某人65歲，可預(yù)測(cè)他體內(nèi)脂肪含量在37.1（0.57765-0.448= 37.1）附近的可能性比較大。但不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1原因：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差，即使截距斜率沒(méi)有

12、誤差，也不可能百分百地保證對(duì)應(yīng)于x，預(yù)報(bào)值 能等于實(shí)際值yy例: 有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：1 1、畫出散點(diǎn)圖；、畫出散點(diǎn)圖；2 2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3 3、求回歸方程；、求回歸方程；4 4、如果某天的氣溫是、如果某天的氣溫是2 2攝氏度，攝氏度，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)。預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)。圖3-1050100150200-2002040熱飲杯數(shù)1、散點(diǎn)圖、散點(diǎn)圖2 2、從圖、從圖3-13-1看到，各點(diǎn)散布在從左上角

13、到由下角的看到，各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。3 3、從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直、從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此利用公式線的附近，因此利用公式1 1求出回歸方程的系數(shù)。求出回歸方程的系數(shù)。Y= -2.352x+147.767Y= -2.352x+147.7674 4、當(dāng)、當(dāng)x=2x=2時(shí)，時(shí)，Y=143.063 Y=143.063 因此，某天的氣溫為因此，某天的氣溫為2 2攝氏度時(shí)，這天大約可以賣出攝

14、氏度時(shí)，這天大約可以賣出143143杯熱飲。杯熱飲。例2、（07廣東）下表提供了某廠節(jié)油降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù). X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y= ;（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：32.5+43+54+64.566.5）axb4166.5iiiX Y4222221345686iiX4

15、.5X 3.5Y 266.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681b 3.50.7 4.50.35aYbX所求的回歸方程為 0.70.35yx（2）解：100 x （3）100 0.70.3570.35y 預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低 (噸) 9070.3519.65本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)回顧1、相關(guān)關(guān)系 （1）概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。 （2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)。 相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系。 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，也不一定是因果關(guān)系（但可能是

16、伴隨關(guān)系）。 （3）相關(guān)關(guān)系的分析方向。 在收集大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對(duì)它們的關(guān)系作出判斷。2、兩個(gè)變量的線性相關(guān) （1）回歸分析 對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。 （2）散點(diǎn)圖 A、定義；B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。 3、回歸直線方程 注:如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)發(fā)散狀,則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.3、回歸直線方程 （1）回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。（2）最小二乘法nn( x- x ) ( y-

17、 y )xy- n x yiiiii = 1i = 1b =,nn222( x- x )x- n xiii = 1i = 1a = y - b x .nn11x =x, y =y.iinni = 1i = 1其其中中 yb xa(3)利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)練習(xí)練習(xí)2-12-1、 觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù)觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù): :101022110,0,110,330,110.iiiiiixyyyxx求兩變量間的回歸方程求兩變量間的回歸方程. .解：列表：解：列表：計(jì)算得：計(jì)算得：1011022110110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb .yx所求回歸直線方

18、程為所求回歸直線方程為注意：求回歸直線方程的步驟：注意：求回歸直線方程的步驟：,;iiiiyyxx22111,nnniiiiiiixyyyxx第一步：列表第一步：列表第二步：計(jì)算：第二步：計(jì)算：第三步：代入公式計(jì)算第三步：代入公式計(jì)算b b，a a的值的值第四步：列出直線方程。第四步：列出直線方程。練習(xí)練習(xí)2-2、:給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥施化肥量量x15202530354045水稻產(chǎn)水稻產(chǎn)量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)畫出上表的散點(diǎn)圖畫出上表的散點(diǎn)圖; ;(2)(2)求出回歸直線并且畫出圖形求

19、出回歸直線并且畫出圖形. . 從而得回歸直線方程是從而得回歸直線方程是 3 .399,30yx777221117000,1132725,87175iiiiiiixyx y2573075. 43 .399,75. 430770003 .399307871752ab4.75257yx解：解：(1)(1)散點(diǎn)圖（略）散點(diǎn)圖（略）(2)(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格20475180001557512150912569004950 xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i( (圖形略圖形略) )

20、故可得到故可得到4 4、利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)、利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)練習(xí)練習(xí)2-32-3、煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程，鋼水含碳量的多少、煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)冶煉時(shí)間的關(guān)系。如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量間的關(guān)系。如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量X與與冶煉時(shí)間冶煉時(shí)間y（從爐料熔化完畢到出剛的時(shí)間）的一列數(shù)據(jù)，（從爐料熔化完畢到出剛的時(shí)間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：如下表所示：（1 1）作出散點(diǎn)圖，找規(guī)律。）作出散點(diǎn)圖，找規(guī)律。（2 2）求回歸直線方程。）求回歸直線

21、方程。（3 3）預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為）預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160160時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？畫圖3 解解: (1) : (1) 作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖從圖可以看出從圖可以看出, ,各點(diǎn)分布在一條直線附近各點(diǎn)分布在一條直線附近, ,即它們線形相關(guān)即它們線形相關(guān). .(2)(2)列出下表列出下表, ,并計(jì)算并計(jì)算10101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQybxa10110221101.26710iiiiixybyxxx30.51.aybx 設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為其中其中a,

22、ba,b的值使的值使的值最小的值最小. .所以回歸直線的方程為所以回歸直線的方程為 =1.267x-30.51(3)(3)當(dāng)當(dāng)x=160 x=160時(shí)時(shí), 1.267.160-30.51=172, 1.267.160-30.51=172 y y歸納：歸納：1.1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計(jì)算平均數(shù)第一步，計(jì)算平均數(shù) , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , (列表）列表） 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，計(jì)算第三步，計(jì)算

23、 ybxa=+第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程 2.2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點(diǎn)回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近大致分布在回歸直線附近. .對(duì)同一個(gè)總體，對(duì)同一個(gè)總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的回歸直線，所以不同的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性回歸直線也具有隨機(jī)性. . 3.3.對(duì)于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都對(duì)于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得可以求得“回歸方程回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的所得的“回歸方程回歸方程”是沒(méi)有實(shí)際意義的是沒(méi)有實(shí)際意義的. .因此，因此，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.