計算方法 第四章

1、計算方法2月24日1第2章 插值法n引言n拉格朗日插值n牛頓插值（差分形式）牛頓插值（差分形式）n埃爾米特插值埃爾米特插值n分段低次插值n三次樣條插值2插值節(jié)點特性n已知兩種多項式插值方法拉格朗日插值法牛頓插值法n他們對節(jié)點位置沒有要求（任意）n如果插值節(jié)點等間距（實際中常見），則牛頓插值法可有所簡化3等距節(jié)點插值問題給定 (x0,y0), (x1,y1), (xn,yn), 給定x，確定 y=?給定的節(jié)點的橫坐標(biāo)還滿足等步長等步長：xi = x0 + i*h,其中h 0，稱為步長步長.從而xi xi-1 h此時有更有效的方法嗎？此時有更有效的方法嗎？4復(fù)習(xí)：牛頓均差插值多項式n牛頓插值公式n

2、余項（與拉格朗日插值余項等價）5差分定義kx1kx1kx6不變算子和移位算子nI：不變算子nE：移位算子7差分性質(zhì)18差分性質(zhì)1推導(dǎo)（以向前差分為例）njjknjnjkjnjknknkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkfjnfEjnfIEfnnfIEEEfIEfIEEfIEfIEfIEfffnfIEEfIEfIEEfIEfIEfIEfffnfIEfffn00233222122123221111211) 1() 1()()33()()()()()(3)2()()()()()(2)(19差分性質(zhì)210差分性質(zhì)3（與均差的關(guān)系）11向前差分計算表格12向后差分計算表格13向前/后差分表格14

3、用差分取代均差的牛頓插值公式15等距點牛頓插值公式（向前）16等距點牛頓插值公式（向后）17例5 x0=0，給出f(x)=cos(x)在xk=kh，k=0,1,6，h=0.1處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點插值公式計算f(0.048)及f(0.566)的近似值并估計誤差。nx=0.048接近x0，采用牛頓前插，t=0.48nx=0.566接近x6，采用牛頓后插，t=-0.34nexample20318例519埃爾米特(Hermite)插值n重點：除了函數(shù)值約束還有導(dǎo)數(shù)值要求導(dǎo)數(shù)值要求n求解方法：重節(jié)點均差待定系數(shù)典型函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)相同20函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)不相同P36 P36 兩個典型的埃爾米特插

4、值？兩個典型的埃爾米特插值？重節(jié)點均差21帶重節(jié)點重節(jié)點的牛頓插值法(不要求)n例：給定x0=0，x1=1，x2=2，試求f(x)的四次埃爾米特插值多項式P(x)，使它滿足P(x0)=0， P(x1)=1， P(x2)=1， P (x0)=0， P(x1)=1fx0,x0fx1,x122沒有重節(jié)點的牛頓插值法23重節(jié)點均差24特例：泰勒展開n只有一個插值節(jié)點：x0n將這個節(jié)點看作是一個n重節(jié)點25待定系數(shù)法（函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)不同）n先用一般牛頓插值法獲得符合函數(shù)值函數(shù)值要求的多項式n追加一項不影響不影響之前約束的項，求解系數(shù)系數(shù)26典型埃爾米特插值n還是多項式插值，還是n+1個插值節(jié)點n條件增

5、加到條件增加到2n+2個個n+1個插值節(jié)點的函數(shù)值個插值節(jié)點的函數(shù)值n+1個插值節(jié)點的導(dǎo)數(shù)值個插值節(jié)點的導(dǎo)數(shù)值n可以確定的多項式次數(shù)增加到2n+1次H2n+1(x)=a0+a1x+a2n+1x2n+127基本思想類似拉格朗日法n用插值基函數(shù)的線性組合表示n每個插值基函數(shù)都是2n+1次的多項式n每個插值點對應(yīng)2個插值基函數(shù)一個插值基函數(shù)用來滿足函數(shù)值函數(shù)值要求一個插值基函數(shù)用來滿足導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值要求nkjxxxkjkjxjkkjkjkjjkkj,.,1 , 0, 00, 1, 028埃爾米特插值的構(gòu)成n如果獲得了滿足上述條件的插值基函數(shù)，則可構(gòu)成插值多項式n其中的線性系數(shù)為021( )( ).( )jjjjnjnyxmxHx .,.,1 , 0,njmxHyxHjjjj29如何求插值基函數(shù)？n利用已有的拉格朗日基函數(shù)nlj(x)是n次的，而且已經(jīng)滿足了特定條件特定條件，所以以此為基礎(chǔ)構(gòu)造所需的兩種基函數(shù)問題一：已經(jīng)滿足什么約束？問題二：還需要滿足什么約束？n依據(jù)它們各自需要達(dá)到的條件來解出待定系數(shù)a和b。)()()()()()(22xlbaxxxlbaxxjjjj和30典型埃爾米特插值公式021( )( ).( )jjjjnjnyxmxHx(22)2211( )(