第2章數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換

1、第第2章章 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的 基本算法基本算法2.1 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2.2 數(shù)值積分算法數(shù)值積分算法 2.3 數(shù)值積分算法的基本分析數(shù)值積分算法的基本分析 2.4 連續(xù)系統(tǒng)仿真的離散相似算法連續(xù)系統(tǒng)仿真的離散相似算法2.5 常用快速數(shù)字仿真算法常用快速數(shù)字仿真算法2.6 實(shí)時(shí)數(shù)字仿真算法實(shí)時(shí)數(shù)字仿真算法 小結(jié)小結(jié)2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2.1 .1表達(dá)形式表達(dá)形式描述控制系統(tǒng)的主要模型有微分方程、狀態(tài)空間表達(dá)式等形式的時(shí)域描述法和用傳遞函數(shù)描述的頻域描述法。即對(duì)于一個(gè)連續(xù)的控制系統(tǒng)，數(shù)字仿真常用的數(shù)學(xué)模型一般有3種表示方式：直接用微分方程描述

2、；用傳遞函數(shù)描述； 多項(xiàng)式形式 零極點(diǎn)形式狀態(tài)方程描述；這三種描述方式是可以相互轉(zhuǎn)換的。(1). 微分方程微分方程設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的輸出量為y(t)，輸入量為u(t) ，采用微分方程的形式來表示的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般式可描述如下：121211201.nnnnnnnnmmmmmd ydydydyaaaa ydtdtdtdtd ud uccc udtdt（2.1）上式中，12101,nnma aaa c ccLL為常數(shù)。(2). 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)對(duì)式（2.1）等號(hào)兩邊逐項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，并考慮系統(tǒng)輸出、輸入及其各階導(dǎo)數(shù)的初值均為零，可得到121212012( )( )( )( )( )( )( )( )nnn

3、nmmmns Y sa sY sa sY sa Y sc s U sc sU sc sU sc U sLL（2.2）( )Y s( )U s式中，-系統(tǒng)輸出的拉氏變換； -系統(tǒng)輸入的拉氏變換；可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：120121212( )( )( )mmmnnnnnc sc sc scY sG sU ssa sa saLL(2.3)微分方程或傳遞函數(shù)是用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的，表示了系統(tǒng)的外部特征，所以稱其為外部模型。用微分方程表示的系統(tǒng)可以是非線性或線性系統(tǒng)，而對(duì)于傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)，只適用于單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)，所以傳遞函數(shù)的模型表示有一定的局限性。(3). 狀態(tài)空

4、間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式可以由兩個(gè)途徑獲得，由微分方程或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方框圖導(dǎo)出，這里對(duì)微分方程推導(dǎo)作簡(jiǎn)單說明。設(shè)系統(tǒng)由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階微分方程表示：1212112nnnnnnnnd ydydydyaaaa yudtdtdtdtL(2.4)定義n個(gè)狀態(tài)變量為12,nx xxL，且令1212322111nnnnxydyxxdtd yxxdtdyxxdt&M&寫出各個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程形式1223341121121nnnnnnnxxxxxxxxxa xa xaxa xu &M&L將上述n個(gè)一階微分方程寫成矩陣向量形式為& xAxBuyCx(2.5)上式稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，其中122

5、10100000010000001001nnnAaaaaa121nnBBBBB121nnxxxxxA、B、C為系數(shù)矩陣，x為狀態(tài)變量。2.1.2. 數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換由于要解決的控制問題所需的數(shù)學(xué)模型與所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，不同的應(yīng)用場(chǎng)合需要對(duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換（1）微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式）微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式例2.1 已知某控制系統(tǒng)的微分方程為222.56210d ydyduyudtdtdt將其分別表示為傳遞函數(shù)、一階微分方程組和狀態(tài)空間描述。解：解：將給定系統(tǒng)微分方程的兩端取拉氏變換，并令初始值為零，則可用以下傳遞函

6、數(shù)表示2( )2.5( )6 ( )2( ) 10 ( )s Y ssY sY ssU sU s2(2.56) ( )(210) ( )ssY ssU s根據(jù)傳遞函數(shù)定義有2( )210( )( )2.56Y ssG sU sss122121262.5102xxxxxuyxx &按照狀態(tài)空間描述，將各變量和系數(shù)矩陣表達(dá)為112201062.51xxuxx &12102xyx由于是二階導(dǎo)數(shù)，可以引入兩個(gè)狀態(tài)變量，將給定的二階微分方程寫成一階微分方程組形式（2）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換采用的方法是狀態(tài)變量圖法 ，用基本模擬單元替代系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得到的圖形式系統(tǒng)

7、結(jié)構(gòu)圖，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)上狀態(tài)變量的圖形是狀態(tài)變量圖，然后再求出狀態(tài)空間表達(dá)式 圖2-1 積分器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和狀態(tài)變量圖xu&yx由狀態(tài)變量圖根據(jù)積分器的輸入、輸出關(guān)系寫出：輸出方程狀態(tài)方程對(duì)于初始條件為零的積分器對(duì)于帶反饋的積分器，其傳遞函數(shù)為1( )G ssa圖2-2 帶反饋積分器的狀態(tài)變量圖由積分器輸入、輸出關(guān)系得到xaxuyx &從上面得到由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖到狀態(tài)變量圖并到處狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟如下：根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，n階系統(tǒng)有n個(gè)積分器；把積分器輸出處定為狀態(tài)變量x，積分器輸入處為狀態(tài)變量微分 ，并把狀態(tài)變量x，和狀態(tài)變量 微分分別標(biāo)在積分器輸入和輸出處，得到狀態(tài)變量圖；

8、根據(jù)積分器輸入、輸出的方程寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。x &x &對(duì)于高階、復(fù)雜系統(tǒng)采用級(jí)聯(lián)法、并聯(lián)法和串聯(lián)法得到代表實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及相應(yīng)的狀態(tài)變量圖，依據(jù)同樣方法求得狀態(tài)空間表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，23232( )712ssG ssss(2.6)（1）級(jí)聯(lián)法）級(jí)聯(lián)法采用如下步驟進(jìn)行： 用傳遞函數(shù)的最高階次除以傳遞函數(shù)分子分母多項(xiàng)式得到232132( )7121sssG sss利用信號(hào)流圖法畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖及系統(tǒng)狀態(tài)變量圖圖2-3 系統(tǒng)信號(hào)流圖圖2-4 系統(tǒng)狀態(tài)變量圖232132( )7121sssG sss根據(jù)積分器輸入、輸出關(guān)系得到如下方程122332312

9、7xxxxxxxu &12323yxxx寫成矩陣表達(dá)式y(tǒng)xAxBu= Cx&A、B、C為系數(shù)矩陣0100010127A1001B23 1C分析系數(shù)矩陣A、B、C可見：可見：系數(shù)矩陣A是一個(gè)方陣，以是一個(gè)方陣，以I表示行號(hào)，J表示列號(hào)，最末一行元素和傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)按s0升冪排列的負(fù)值一一對(duì)應(yīng)，其余各行的元素在J=I+1時(shí)為1，其他全部為0；系數(shù)矩陣B是一個(gè)單列矩陣，最后一行元素為是一個(gè)單列矩陣，最后一行元素為1，其余為零；系數(shù)矩陣C是一個(gè)單行矩陣，各列元素與傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)是一個(gè)單行矩陣，各列元素與傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)按式系數(shù)按s0升冪排列值相同。推廣到n階方程，系數(shù)矩陣 A、B、C分

10、別為121010000100001nnnn naaaaLLMMMMMLLA10001nB M1201nnnCccc這種形式的矩陣稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)表達(dá)式。(2.7)例例2.2已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為232( )58( )( )243Y sssG sU ssss利用式（2.7）將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述和一階微分方程組描述。解：解：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，將給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)按照狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣A、B、C的對(duì)應(yīng)關(guān)系，依據(jù)式（2.7）可得各系數(shù)矩陣如下010001342A001B 85 1C 組合為狀態(tài)空間描述有112233010000103421xxxxuxx &1

11、2385 1xxyx將上述矩陣展開即可得到系統(tǒng)模型的一階微分方程組表示形式1223312312334285xxxxxxxxuyxxx &（）并聯(lián)法）并聯(lián)法并聯(lián)法的思路是把高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變成若干個(gè)一階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和，如將式（2-6）表示成下式形式1 62 33 2( )34G ssss然后，對(duì)各個(gè)一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并標(biāo)上狀態(tài)變量后，得到如圖2-5所示的狀態(tài)變量圖。圖2.5 并聯(lián)法系統(tǒng)狀態(tài)變量圖寫成矩陣表達(dá)式y(tǒng)xAxBu= Cx&由圖2-5可到狀態(tài)空間表達(dá)式為122336233342uxxuxxux&123yxxx000030004A1123632B11 1C利用級(jí)聯(lián)法和并

12、聯(lián)法得到的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣A、B、C是不同的。可以用特征方程 判斷特征值是否相同，確定幾個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式是否屬于同一個(gè)外部模型，因?yàn)橥幌到y(tǒng)有相同的特征值。0sIA0100010127A1001B23 1C（3）狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)）狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式y(tǒng)xAxBu= Cx&對(duì)上式兩邊取拉氏變換( )(0)( )( )sX sxAX sBU s( )( )Y sCX s在零初始條件下整理上式并在等式兩邊乘以單位矩陣()( )( )sIA X sBU s1( )()( )X ssIABU s（2.9）（2.10） 將將X X( (s s) )代入式（

13、代入式（2.102.10）得到）得到1( )()( )Y sC sIABU s可得1( )( )()( )Y sG sC sIABU s（2.11）在系數(shù)矩陣已知的情況下，根據(jù)式（2.11）就可以求出狀態(tài)空間表達(dá)式所對(duì)應(yīng)的外部模型的傳遞函數(shù)。在在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了大量的控制系統(tǒng)模型控制系統(tǒng)工具箱中提供了大量的控制系統(tǒng)模型相互轉(zhuǎn)換的函數(shù)，如表相互轉(zhuǎn)換的函數(shù)，如表2-1所示。所示。表表2-1 數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)及其功能數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)及其功能函函 數(shù)數(shù) 名名函函 數(shù)數(shù) 功功 能能ss2tf將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp將系統(tǒng)狀態(tài)空間

14、模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2ss將系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型換為狀態(tài)空間模型將系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型換為狀態(tài)空間模型zp2tf零極點(diǎn)增益模型換為傳遞函數(shù)模型零極點(diǎn)增益模型換為傳遞函數(shù)模型z,p,k=tf2zp(num,den)A,B,C,D=tf2ss(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k )A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)num,den= ss2tf(A,B,C,D)z,

15、p,k= ss2zp(A,B,C,D)對(duì)線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。11211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsGMATLAB表示表示數(shù)學(xué)模型舉例數(shù)學(xué)模型舉例連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型).()().()()(2121nmpspspszszszsKsGv在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用z,p,K矢量

16、組表示。即：vz=z1,z2,zmvp=p1,p2,.,pnvK=kv函數(shù)tf2zp()可以用來求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。零極點(diǎn)增益模型零極點(diǎn)增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn) 零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。 用法舉例： 1）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為： A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C(D,1) iu用來指定第用來指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。 num=1 5 2;

17、 den=1 2 1; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx31102110 2）已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為： num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111ssssssGsssssGssssusysG 3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2t