大學物理(吳百詩)第三版答案

1、大學物理習題及解答第一章1-1與有無不同?和有無不同?和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，不同如題1-1圖所示. 題1-1圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2 設質點的運動方程為=()，=()，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出r，然后根據(jù)=，及而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即=及=你認為兩種方法哪一

2、種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。1-3 一質點在平面上運動，運動方程為=3+5, =2+3-4.式中以 s計，,以m計(1)以時間為變量，寫出質點位置矢量的表

3、示式；(2)求出=1 s時刻和2s時刻的位置矢量，計算這1秒內質點的位移；(3)計算0 s時刻到4s時刻內的平均速度；(4)求出質點速度矢量表示式，計算4 s時質點的速度；(5)計算0s到4s內質點的平均加速度；(6)求出質點加速度矢量的表示式，計算4s時質點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)解：（1） (2)將,代入上式即有(3)(4) 則 (5)(6) 這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。1-4 在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示當人以(m)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大

4、小 圖1-4解： 設人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知將上式對時間求導，得 題1-4圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的，即 或 將再對求導，即得船的加速度1-5 質點沿軸運動，其加速度和位置的關系為2+6，的單位為，的單位為 m. 質點在0處，速度為10,試求質點在任何坐標處的速度值解： 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，,1-6 已知一質點作直線運動，其加速度為 4+3，開始運動時，5 m，=0，求該質點在10s時的速度和位置 解：分離變量，得 積分，得由題知，,故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 ,故 所以時1-7 一質點沿半徑為1 m的圓周運動，運動方程為=2+3

5、，式中以弧度計，以秒計，求：(1) 2 s時，質點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45角時，其角位移是多少? 解： (1)時， (2)當加速度方向與半徑成角時，有即 亦即 則解得 于是角位移為1-8 質點沿半徑為的圓周按的規(guī)律運動，式中為質點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數(shù)值上等于解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為(2)由題意應有即 當時，1-9 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點的運動方程為，式中/是輪子滾動的角速度，當與水平線接觸的瞬間開始計時此時所在的位置為原點，輪子前進方向為軸正方向；(

6、2)求點速度和加速度的分量表示式解：依題意作出下圖，由圖可知題1-9圖(1) (2)1-10 以初速度20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60的夾角，求：(1)球軌道最高點的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系)解：設小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示題1-10圖(1)在最高點，又(2)在落地點，,而 1-11 飛輪半徑為0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為=0.2 rad，求2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：當時，則1-12 如題1-12圖，物體以相對的速度沿斜面滑動，為縱坐標，開始時在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運動，求物

7、滑到地面時的速度解：當滑至斜面底時，則,物運動過程中又受到的牽連運動影響，因此，對地的速度為題1-12圖1-13 一船以速率30kmh-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率40kmh-1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)題1-13圖由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得方向南偏東1-14 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3 m ，如雨滴的速度

8、大小為8 ms-1，求輪船的速率解： 依題意作出矢量圖如題1-14所示題1-14圖由圖中比例關系可知第二章2-1 一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質量為的物體，另一邊穿在質量為的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動今看到繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度下滑，求，相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質量及輪與軸間的摩擦不計)解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對于則為牽連加速度，又知對繩子的相對加速度為，故對地加速度，由圖(b)可知，為又因繩的質量不計，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有聯(lián)立、式，得討論

9、 (1)若，則表示柱體與繩之間無相對滑動(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時, 均作自由落體運動題2-1圖2-2 一個質量為的質點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質點的運動軌道解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2.題2-2圖方向： 方向： 時 由、式消去，得2-3 質量為16 kg 的質點在平面內運動，受一恒力作用，力的分量為6 N，-7 N，當0時，0，-2 ms-1，0求當2 s時質點的 (1)位矢；(2)速度解： (1)于是質點在時的速度(2)2-4 質點在

10、流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時質點的速度為，證明(1) 時刻的速度為；(2) 由0到的時間內經(jīng)過的距離為()1-；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為；(4)證明當時速度減至的，式中m為質點的質量答: (1)分離變量，得即 (2) (3)質點停止運動時速度為零，即t，故有 (4)當t=時，其速度為即速度減至的.2-5 升降機內有兩物體，質量分別為，且2用細繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以勻加速g上升時，求：(1) 和相對升降機的加速度(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對象，其受力圖如圖(b)所示(1)設相對滑

11、輪(即升降機)的加速度為，則對地加速度；因繩不可伸長，故對滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運動的影響，所以在水平方向對地加速度亦為，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對地加速度為 方向向上在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即，左偏上2-6一質量為的質點以與地的仰角=30的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋射時的動量的增量解: 依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對軸對稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動量的增量為由矢量圖知，動量增量大小為，方向豎直向

12、下2-7 一質量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒?解: 由題知，小球落地時間為因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為設向上為軸正向，則動量的增量方向豎直向上，大小 碰撞過程中動量不守恒這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒2-8 作用在質量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s

13、后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度ms-1的物體,回答這兩個問題解: (1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理， ,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即亦即 解得，(舍去)2-9 一質量為的質點在平面上運動，其位置矢量為求質點的動量及0 到時間內質點所受的合力的沖量和質點動量的改變量解: 質點的動量為將和分

14、別代入上式，得,則動量的增量亦即質點所受外力的沖量為2-10 一顆子彈由槍口射出時速率為，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為 F=()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質量解: (1)由題意，子彈到槍口時，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質量2-11 一炮彈質量為，以速率飛行，其內部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為，且一塊的質量為另一塊質量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+, -證明: 設一塊為，則另一塊為，及于是得 又

15、設的速度為, 的速度為，則有聯(lián)立、解得將代入，并整理得于是有 將其代入式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢2-12 設(1) 當一質點從原點運動到時，求所作的功(2)如果質點到處時需0.6s，試求平均功率(3)如果質點的質量為1kg，試求動能的變化解: (1)由題知，為恒力，(2) (3)由動能定理，2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同解: 以木板上界面為坐標原點，向內為坐標正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一

16、錘外力的功為式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時，設第二錘外力的功為，則同理，有由題意，有即 所以， 于是釘子第二次能進入的深度為2-14 設已知一質點(質量為)在其保守力場中位矢為點的勢能為, 試求質點所受保守力的大小和方向解: 方向與位矢的方向相反，即指向力心2-15 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質量為，如題2-15圖求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比解: 彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時，有題2-15圖又 所以靜止時兩彈簧伸長量之比為彈性勢能之比為2-16 (1)試計算月球和地球對物體的引力相抵消的一點，距月

17、球表面的距離是多少?地球質量5.981024kg，地球中心到月球中心的距離3.84108m，月球質量7.351022kg，月球半徑1.74106m(2)如果一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么它在點的勢能為多少? 解: (1)設在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得=則點處至月球表面的距離為 (2)質量為的物體在點的引力勢能為2-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時的速率解: 取點

18、為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有式中為彈簧在點時比原長的伸長量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18 如題2-18圖所示，一物體質量為2kg，以初速度3ms-1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有式中，再代入有關數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度 題2-19圖2-19 質量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質量為的

19、小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度解: 從上下滑的過程中，機械能守恒，以，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有又下滑過程，動量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20 一個小球與一質量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有即 題2-20圖(a) 題2-20圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有亦即 由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的2-21 一質量為的質點位于(

20、)處，速度為, 質點受到一個沿負方向的力的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質點上的力的力矩解: 由題知，質點的位矢為作用在質點上的力為所以，質點對原點的角動量為作用在質點上的力的力矩為2-22 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓它離太陽最近距離為8.751010m 時的速率是5.46104ms-1，它離太陽最遠時的速率是9.08102ms-1這時它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有2-23 物體質量為3kg，=0時位于, ，如一恒力作用在物體上

21、,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對軸角動量的變化 解: (1) (2)解(一) 即 ,即 ,解(二) 題2-24圖2-24 平板中央開一小孔，質量為的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質量為的重物小球作勻速圓周運動，當半徑為時重物達到平衡今在的下方再掛一質量為的物體，如題2-24圖試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑為多少?解: 在只掛重物時，小球作圓周運動的向心力為，即掛上后，則有重力對圓心的力矩為零，故小球對圓心的角動量守恒即 聯(lián)立、得2-25 飛輪的質量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉動，轉速為900revmin-1現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制

22、動力，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算試求：(1)設100 N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里飛輪轉了幾轉?(2)如果在2s內飛輪轉速減少一半，需加多大的力?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止狀態(tài)，所以對點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉動定律有，式中負號表示與角速度方向相反又以等代入上式，得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉動的時間為

23、這段時間內飛輪的角位移為可知在這段時間里，飛輪轉了轉(2)，要求飛輪轉速在內減少一半，可知用上面式(1)所示的關系，可求出所需的制動力為2-26 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉動設大小圓柱體的半徑分別為和，質量分別為和繞在兩柱體上的細繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側，如題2-26圖所示設0.20m, 0.10m，4 kg，10 kg，2 kg，且開始時，離地均為2m求：(1)柱體轉動時的角加速度；(2)兩側細繩的張力解: 設,和分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)題2-26(a)圖 題2-26(b)圖(1) ,和柱體的運動方程如下：式中 而 由上

24、式求得 (2)由式由式2-27 計算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設滑輪為質量均勻分布的圓柱體，其質量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉，忽略桌面與物體間的摩擦，設50kg，200 kg,M15 kg, 0.1 m解: 分別以,滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對,運用牛頓定律，有對滑輪運用轉動定律，有又， 聯(lián)立以上4個方程，得題2-27(a)圖 題2-27(b)圖題2-28圖2-28 如題2-28圖所示，一勻質細桿質量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉動，桿于水平位置由靜止開始擺下求：(1)初始時刻的角加速度；(2)桿轉過角時的角速度.解: (1)由轉動定律，有(2)由機械能守恒

25、定律，有題2-29圖2-29 如題2-29圖所示，質量為，長為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉動，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度30處(1)設這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速的值；(2)相撞時小球受到多大的沖量?解: (1)設小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)?，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式：上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機械能守恒定律可列式：由式得由式由

26、式所以求得(2)相碰時小球受到的沖量為由式求得負號說明所受沖量的方向與初速度方向相反題2-30圖2-30 一個質量為M、半徑為并以角速度轉動著的飛輪(可看作勻質圓盤)，在某一瞬時突然有一片質量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2-30圖假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉動動能解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度設碎片上升高度時的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉動慣量，碎片拋出后圓盤的轉動慣量，碎片脫離前，盤的角動量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內力變?yōu)榱?，但內力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的

27、總角動量應守恒，即式中為破盤的角速度于是得(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為轉動動能為題2-31圖2-31 一質量為、半徑為R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動另一質量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質點)最后動能和初始動能之比 解: (1)射入的過程對軸的角動量守恒(2) 2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 Nm-1；定滑輪的轉動慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m ，問當6.0 kg質量的物體落下0.40m時，它的速率為多大? 假

28、設開始時物體靜止而彈簧無伸長解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有又 故有 題2-32圖 題2-33圖2-33 空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉動，如題2-33圖所示，其轉動慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為質量為的小球，原來靜置于點，由于微小的干擾，小球向下滑動設圓環(huán)內壁是光滑的，問小球滑到點與點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至點時，有該系統(tǒng)在轉動過程中，機械能守恒，設小球相對于圓環(huán)的速率為，以點為重力勢能零點，則有聯(lián)立、兩式，得(2)當小球滑至點時，故由機械能守

29、恒，有請讀者求出上述兩種情況下，小球對地速度第三章3-1 慣性系S相對慣性系以速度運動當它們的坐標原點與重合時，=0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面的方程解: 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波波陣面方程為：題3-1圖3-2 設圖3-4中車廂上觀測者測得前后門距離為2試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差解: 設光訊號到達前門為事件，在車廂系時空坐標為，在車站系：光信號到達后門為事件，則在車廂系坐標為，在車站系：于是 或者 3-3 慣性系S相對另一慣性系沿軸作勻速直線運動，取兩坐標

30、原點重合時刻作為計時起點在S系中測得兩事件的時空坐標分別為=6104m,=210-4s，以及=12104m,=110-4s已知在S系中測得該兩事件同時發(fā)生試問：(1)S系相對S系的速度是多少? (2)系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設相對的速度為，(1) 由題意 則故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 3-4 長度=1 m的米尺靜止于S系中，與軸的夾角=30，S系相對S系沿軸運動，在S系中觀測者測得米尺與軸夾角為45 試求：(1)S系和S系的相對運動速度.(2)S系中測得的米尺長度 解: (1)米尺相對靜止，它在軸上的投影分別為：，米尺相對沿方向運動，設速度為，對系中的觀察者測得米尺在方

31、向收縮，而方向的長度不變，即故 把及代入則得 故 (2)在系中測得米尺長度為3-5 一門寬為，今有一固有長度()的水平細桿，在門外貼近門的平面內沿其長度方向勻速運動若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率至少為多少?解: 門外觀測者測得桿長為運動長度，當時，可認為能被拉進門，則 解得桿的運動速率至少為：題3-6圖3-6兩個慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對速度相互接近，如果測得兩者的初始距離是20m，則測得兩者經(jīng)過多少時間相遇?解: 測得相遇時間為測得的是固有時， ， ，或者，測得長度收縮，3-7 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系和中，甲

32、測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s求：(1) 相對于的運動速度(2)乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離解: 甲測得,乙測得，坐標差為(1)解出 (2) 負號表示3-8 一宇航員要到離地球為5光年的星球去旅行如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少?解: 3-9 論證以下結論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時證: 設在系事件在處同時發(fā)生，則，在系中測得，即不同時發(fā)生3-10 試證明：(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件

33、的時間間隔，只有在此慣性系中最短(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性關系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短解: (1)如果在系中，兩事件在同一地點發(fā)生，則，在系中，僅當時，等式成立，最短(2)若在系中同時發(fā)生，即，則在系中，僅當時等式成立，系中最短3-11 根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去問這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為系，固有周期.地球為系，則有運動時，這里不是地球上某點觀測到的周期，而是以地球為參考系的

34、兩異地鐘讀數(shù)之差還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間，則 3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個介子以速度=0.998c飛向地球假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命210-6s試分別從下面兩個角度，即地球上的觀測者和介子靜止系中觀測者來判斷介子能否到達地球解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時間，對地球觀測者，由于時間膨脹效應，其壽命延長了衰變前經(jīng)歷的時間為這段時間飛行距離為因，故該介子能到達地球或在介子靜止系中，介子是靜止的地球則以速度接近介子，在時間內，地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：，故介子能到達地球3-13 設物體相對S系沿軸正向以0.8c運動，如果S系相

35、對S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問物體相對S系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理，,3-14 飛船以0.8c的速度相對地球向正東飛行，飛船以0.6c的速度相對地球向正西方向飛行當兩飛船即將相遇時飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號彈在飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解: 取為系，地球為系，自西向東為()軸正向，則對系的速度，系對系的速度為，則對系(船)的速度為發(fā)射彈是從的同一點發(fā)出，其時間間隔為固有時，題3-14圖中測得的時間間隔為：3-15 (1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對地球向+和-方向飛行試求由火箭測得的速度(2)若火箭相對地球以0.8c的速度向+方

36、向運動，火箭的速度不變，求相對的速度 解: (1)如圖，取地球為系，為系，則相對的速度，火箭相對的速度，則相對()的速度為：或者取為系，則，相對系的速度，于是相對的速度為：(2)如圖，取地球為系，火箭為系，系相對系沿方向運動，速度，對系的速度為,由洛侖茲變換式相對的速度為：相對的速度大小為速度與軸的夾角為題3-15圖3-16 靜止在S系中的觀測者測得一光子沿與軸成角的方向飛行另一觀測者靜止于S系，S系的軸與軸一致，并以0.6c的速度沿方向運動試問S系中的觀測者觀測到的光子運動方向如何?解: 系中光子運動速度的分量為由速度變換公式，光子在系中的速度分量為光子運動方向與軸的夾角滿足在第二象限為在系

37、中，光子的運動速度為 正是光速不變3-17 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對它作多少功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對它作多少功?解: (1)對電子作的功，等于電子動能的增量，得J=(2) )3-18 子靜止質量是電子靜止質量的207倍，靜止時的平均壽命=210-6s，若它在實驗室參考系中的平均壽命= 710-6s，試問其質量是電子靜止質量的多少倍?解: 設子靜止質量為，相對實驗室參考系的速度為，相應質量為，電子靜止質量為，因由質速關系，在實驗室參考系中質量為：故 3-19 一物體的速度使其質量增加了10%，試問此物體在運動方向上縮短了百分之幾?解: 設

38、靜止質量為，運動質量為，由題設 由此二式得 在運動方向上的長度和靜長分別為和，則相對收縮量為：3-20 一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應通過多大的電勢差才能使其質量增加0.4%?此時電子速度是多少?已知電子的靜止質量為9.110-31kg解: 由質能關系 所需電勢差為伏特由質速公式有：故電子速度為 3-21 一正負電子對撞機可以把電子加速到動能2.8109eV這種電子速率比光速差多少? 這樣的一個電子動量是多大?(與電子靜止質量相應的能量為0.511106eV)解: 所以 由上式，由動量能量關系可得3-22 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應，產(chǎn)生氦(He)原子核和

39、一個中子(n)，并釋放出大量能量，其反應方程為H + HHe + n已知氘核的靜止質量為2.0135原子質量單位(1原子質量單位1.60010-27kg)，氚核和氦核及中子的質量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質量單位求上述聚變反應釋放出來的能量解: 反應前總質量為反應后總質量為質量虧損 由質能關系得3-23 一靜止質量為的粒子，裂變成兩個粒子，速度分別為0.6c和0.8c求裂變過程的靜質量虧損和釋放出的動能解: 孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動能，引起靜能減少，相應的靜止質量減少，即靜質量虧損設裂變產(chǎn)生兩個粒子的靜質量分別為和，其相應的速度,由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同

40、時遵守動量守恒定律和能(質)量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向運動，動量守恒的矢量方程可以簡化為一維標量方程，再以c,c代入，將上二方程化為：，上二式聯(lián)立求解可得：, 故靜質量虧損由靜質量虧損引起靜能減少，即轉化為動能，故放出的動能為3-24 有，兩個靜止質量都是的粒子，分別以=,=-的速度相向運動，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個粒子求碰撞后粒子的速度和靜止質量解: 在實驗室參考系中，設碰撞前兩粒子的質量分別和，碰撞后粒子的質量為、速度為，于是，根據(jù)動量守恒和質量守恒定律可得：由于 代入式得 ，即為碰撞后靜止質量3-25 試估計地球、太陽的史瓦西半徑解: 史瓦西半徑 地球： 則： 太陽：

41、則：3-26 典型中子星的質量與太陽質量21030kg同數(shù)量級，半徑約為10km若進一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個質子那么大小的微黑洞(10-15cm)，質量是什么數(shù)量級? 解: (1)史瓦西半徑與太陽的相同，(2) 由 得 3-27 簡述廣義相對論的基本原理和實驗驗證解: 廣義相對論的基本原理是等效原理和廣義相對性原理等效原理又分為弱等效原理和強等效原理弱等效原理是：在局部時空中，不可能通過力學實驗區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效強等效原理是：在局部時空中，任何物理實驗都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效廣義相對性原理是：所有參考系都是平權的，物理定律的表述相同廣義相對論的實

42、驗驗證有：光線的引力偏轉，引力紅移，水星近日點進動，雷達回波延遲等第四章4-1 符合什么規(guī)律的運動才是諧振動?分別分析下列運動是不是諧振動：(1)拍皮球時球的運動；(2)如題4-1圖所示，一小球在一個半徑很大的光滑凹球面內滾動(設小球所經(jīng)過的弧線很 短)題4-1圖解：要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件：一 ，描述系統(tǒng)的各種參量，如質量、轉動慣量、擺長等等在運動中保持為常量；二，系統(tǒng) 是在 自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；三，在運動中系統(tǒng)只受到內部的線性回復力的作用或者說，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用描述時，其所作的運動就是諧振動(1)拍皮球時球的運動不是諧振動第一，球的運動軌道中

43、并不存在一個穩(wěn)定的平衡位置；第二，球在運動中所受的三個力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線 性回復力(2)小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運動，是諧振動顯然，小球在運動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值位置點；而小球在運動中的回復力為，如題4-1圖(b)所示題 中所述，故0，所以回復力為.式中負號，表示回復力的方向始終與角位移的方向相反即小球在點附近的往復運動中所受回復力為線性的若以小球為對象，則小球在以為圓心的豎直平面內作圓周運動，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有令，則有4-2 勁度系數(shù)為和的兩根

44、彈簧，與質量為的小球按題4-2圖所示的兩種方式連 接，試證明它們的振動均為諧振動，并分別求出它們的振動周期題4-2圖解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對于輕彈簧在任一時刻應有，設串聯(lián)彈簧的等效倔強系數(shù)為等效位移為，則有又有 所以串聯(lián)彈簧的等效倔強系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構成了一個等效倔強系數(shù)為的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動其振動周期為(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應有，即，設并聯(lián)彈簧的倔強系數(shù)為，則有故 同上理，其振動周期為4-3 如題4-3圖所示，物體的質量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強系數(shù)為，滑輪的轉動慣量為，半徑為先把物體托住，使彈簧維持原長，然 后由靜止釋

45、放，試證明物體作簡諧振動，并求振動周期題4-3圖解：分別以物體和滑輪為對象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時位置為坐標原點，沿斜面向下為軸正向，則當重物偏離原點的坐標為時，有式中，為靜平衡時彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有令 則有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動，其振動周期為4-4 質量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動，求：(1)振動的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；(2)最大的回復力、振動能量、平均動能和平均勢能，在哪些位置上動能與勢能相等?(3)與兩個時刻的位相差；解：(1)設諧振動的標準方程為，則知：又 (2) 當時，有，即 (3) 4-5 一個沿軸作簡諧振

46、動的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動方程用余弦函數(shù)表示如果時質點的狀態(tài)分別是：(1)；(2)過平衡位置向正向運動；(3)過處向負向運動；(4)過處向正向運動試求出相應的初位相，并寫出振動方程解：因為 將以上初值條件代入上式，使兩式同時成立之值即為該條件下的初位相故有4-6 一質量為的物體作諧振動，振幅為，周期為，當時位移為求：(1)時，物體所在的位置及此時所受力的大小和方向；(2)由起始位置運動到處所需的最短時間；(3)在處物體的總能量解：由題已知 又，時，故振動方程為 (1)將代入得方向指向坐標原點，即沿軸負向(2)由題知，時，時 (3)由于諧振動中能量守恒，故在任一位置處或任一時刻的系統(tǒng)的總能量均為4-7 有一輕彈簧，下面懸掛質量為的物體時，伸長為用這個彈簧和一個質量為的小球構成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開后 ，給予向上的初速度，求振動周期和振動表達式解：由題知而時，