空間點、直線平面之間的位置關系講義與例題

1、平面1、平面含義師：以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。2、平面的畫法及表示師：在平面幾何中，怎樣畫直線？ 之后教師加以肯定，解說、類比，將知識遷移，得出平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）DCBA平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。如果幾個平面畫在一起，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應畫成虛線或不畫（打出投影片）BBA課本P41 圖 2.1

2、-4 說明平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合。點A在平面內(nèi)，記作：A點B在平面外，記作：B 2.1-43、平面的基本性質(zhì)教師引導學生思考教材P41的思考題，讓學生充分發(fā)表自己的見解。師：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上，用事實引導學生歸納出以下公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（教師引導學生閱讀教材P42前幾行相關內(nèi)容，并加以解析）符號表示為LAALBL = L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)師：生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等引導學生歸納出公理2CBA公理2：過不在一條直線上的

3、三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。教師用正（長）方形模型，讓學生理解兩個平面的交線的含義。引導學生閱讀P42的思考題，從而歸納出公理3PL公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關系2、師：那么，空間兩條直線有多少種位置關系？（板書課題）（二）講授新課1、教師給出長方體模型，引導學生得出空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直

4、線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。教師再次強調(diào)異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如下圖：2、（1）師：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？組織學生思考：長方體ABCD-ABCD中，BBAA，DDAA，BB與DD平行嗎？生：平行再聯(lián)系其他相應實例歸納出公理4公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=acabcb強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（投影）讓學生觀察、思考

5、：ADC與ADC、ADC與ABC的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？生：ADC = ADC，ADC + ABC = 1800教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。教師強調(diào)：并非所有關于平面圖形的結論都可以推廣到空間中來。4、以教師講授為主，師生共同交流，導出異面直線所成的角的概念。（1）師：如圖，已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa、bb，我們把a與b所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。（2）強調(diào)： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O

6、一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。1、判斷題：（1）ab ca = cb （ ）（1）ac bc = ab （ ）2、填空題：在正方體ABCD-ABCD中，與BD成異面直線的有 _ 條。空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系（二）研探新知1、引導學生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地歸納出直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交 有且

7、只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2、引導學生對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考，準確歸納出兩個平面之間有兩種位置關系：（1）兩個平面平行 沒有公共點（2）兩個平面相交 有且只有一條公共直線用類比的方法，學生很快地理解與掌握了新內(nèi)容，這兩種位置關系用圖形表示為L = L教師指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行?？臻g點、直線平面之間的位置關系 單元測試一、選擇題1. a,b是兩條異面直線， （ ）A若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一個平面與a，b都平行B

8、過直線a且垂直于直線b的平面有且只有一個C若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一條直線與a，b都平行D若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一條直線與a，b都垂直2. a、b是異面直線，下面四個命題：過a至少有一個平面平行于b；過a至少有一個平面垂直于b；至少有一條直線與a、b都垂直；至少有一個平面分別與a、b都平行，其中正確命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D33. 把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A、B、C、D四點為頂點的正棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為 ( )A. 90 B .60 C. 45 D.304、下面四個命題：空間中如果有兩個角的兩邊分別

9、對應平行，那么這兩個角相等一個平面內(nèi)兩條直線與另外一個平面平行，則這兩個面平行一條直線與一個平面的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直兩個平面垂直于交線的直線與另一個平面垂直其中，正確命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空題1. 已知直線m，n，平面，給出下列命題：若；若；若；若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直. 其中正確的命題的題號為 _2. 設是三條不同的直線，是三個不同的平面，下面有四個命題： E N AF C BDM其中假命題的題號為_3. 在右圖所示的是一個正方體的展開圖，在原來的正方體中，有下列命題：AB與EF所在的直線平行；AB與CD所在的直線異面；

10、MN與BF所在的直線成60角；MN與CD所在的直線互相垂直.其中正確的命題是_三、解答題1. 下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號) 2. 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC. （）求證：直線BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大?。?（）求三棱錐C1ABB1的體積.3. ABCDES 如圖，已知四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的一點.(1)求證：平面EBD平面SAC；(2)設SA4，AB2

11、，求點A到平面SBD的距離；答案：一、1.D 2.A 3.C 4.B二、1.、 2.、 3.、三、1. 為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l面MNP；若有l(wèi)的垂面面MNP，也可得l面MNP 解法1 作正方體ABCDA1B 1 C1 D1如附圖，與題設圖形對比討論在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB 1 D1都是對角線l (即 AC1)的垂面 對比圖，由MNBA l，MPBD，知面MN

12、P面BA l D，故得l面MNP 對比圖，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應在面CBl Dl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP 對比圖，由MP與面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP 對比圖，由MNBD，MPBA知面 MNP面BA 1 D，故l面MNP 對比圖，面MNP與面EFGHKR重合，故l面MNP 綜合得本題的答案為 解法2 如果記正方體對角線l所在的對角截面為各圖可討論如下： 在圖中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故 l面MNP事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故lMP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線

13、，故lMN，從而l面 MNP 在圖中，由MP面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN從而l不垂直于面MNP 在圖中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內(nèi)點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面 MNP 在圖中，平面垂直平分線段MN，故lMN又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而lMP，故l面 MNP 在圖中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直從而l面MNP 至此，得為本題答案2. （）證明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連結EB1，來源:Zxxk.ComB1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，來源:Zxxk.ComBD=BC=AB，E是AD的中點， 在RtB1BE中，B1EB=60即二面角B1ADB的大小為60（）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積