數(shù)學(xué)物理方法第11章(1)

1、本章中心內(nèi)容本章中心內(nèi)容用分離變量法求解一維有界問(wèn)題；用分離變量法求解一維有界問(wèn)題；本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義n著重掌握分離變量法的解題思路、著重掌握分離變量法的解題思路、 解題步驟及其核心問(wèn)題解題步驟及其核心問(wèn)題-本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題問(wèn)題的引入問(wèn)題的引入 2,0,0ttxxtua uu xxuxx,0 xtxx 行波法行波法達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式 1,22x atx atxatxatu x tda 11.1.1 11.1.1 偏微分方程變量分離及條件偏微分方程變量分離及條件 對(duì)于一個(gè)給定的偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該對(duì)于一個(gè)

2、給定的偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該具備什么條件具備什么條件？( , )( , )( , )( , )( , )( , )0AuBuCuDuEuFu （11.1.1）11111( , )( , )( , )( , )( , )0 xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u( , )( ) ( )u x yX x Y y(11.1.3)( ), ( )X x Y y分別是單個(gè)變量的分別是單個(gè)變量的二次可微函數(shù)二次可微函數(shù)。 代入代入 (11.1.2)(11.1.2)即有即有11111( , )( , )( , )( , )( , )0A x y X YCx y

3、 XYD x y X YEx y XYF x y XY(11.1.4)(11.1.4)若（若（11.1.411.1.4）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫(xiě)的）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫(xiě)的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，將方程兩邊同將方程兩邊同除以除以XY, XY, 則則0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY 0()0aXdXXcYeYfY對(duì)于變系數(shù)函數(shù)對(duì)于變系數(shù)函數(shù) 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y D x y ，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù)，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù) ( , )0P x y ，使得方程除以使得方程除以( ,

4、)P x y后變?yōu)榭珊笞優(yōu)榭煞蛛x的形式分離的形式112233( )( )( )( ) ( )( )0a x XY b y XYa x XY b y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，從而得到兩個(gè)，從而得到兩個(gè)123123()0;()0a Xa XaXbYb YbY但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程 ( , )P x y( )|,x lu x |, x lux 11.1.2 11.1.2 邊界條件可實(shí)施變量分離的條件邊界條件可實(shí)施變量分離的條件一維的情形（設(shè)在邊界點(diǎn)一維的情形（設(shè)在邊界點(diǎn)xl處），常見(jiàn)的處），常見(jiàn)的 三類(lèi)邊界條件為

5、三類(lèi)邊界條件為|x luhux(0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ( )u xtX xT t(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t可見(jiàn)，只有當(dāng)可見(jiàn)，只有當(dāng)邊界條件是齊次的邊界條件是齊次的，方可分離，方可分離出出單變量未知函數(shù)的邊界條件單變量未知函數(shù)的邊界條件此外，進(jìn)行此外，進(jìn)行分離變量分離變量時(shí)，還須根據(jù)具體情況確定直角坐時(shí)，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系，標(biāo)系，球坐標(biāo)系以及柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系以及柱坐標(biāo)系( , )u x t( )0T t 須須(0)0, ( )0XX l例例11.2.111.2.1：具體考慮長(zhǎng)為：具體考慮長(zhǎng)為l，兩端固定的均勻弦的自，兩

6、端固定的均勻弦的自 由振動(dòng)由振動(dòng)泛定方程泛定方程 02xxttuau(0, 0)xlt（11.2.11.2.）00,0 xxluu(0)t （11.2.11.2.）初始條件初始條件 00( ),( )tttux ux)0(lx （11.2.11.2.） 【解】解】 第一步：分離變量第一步：分離變量用分離變量法求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：用分離變量法求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：變量分離形式的試探解變量分離形式的試探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入代入（11.2.11.2.）和和（11.2.11.2.）2( )( )( ) ( )0X x Tta Xx T t2

7、( )( )( )( )XxTtXxa T t偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程: :2( )( )0T taT t(11.2.4)(11.2.4)( )( )0XxX x(11.2.5)(11.2.5)也不依賴(lài)于也不依賴(lài)于x x的常數(shù)，不妨設(shè)常數(shù)為的常數(shù)，不妨設(shè)常數(shù)為 一個(gè)既不依賴(lài)于一個(gè)既不依賴(lài)于t, t, (0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(11.2.6)(11.2.6)( )0T t 否則得零解，對(duì)于齊次微分方程是無(wú)意義否則得零解，對(duì)于齊次微分方程是無(wú)意義我們所謂的求解是指的求出我們所謂的求解是指的求出非零解非零解 0)0(X0)(lX（11

8、.2.711.2.7） 單的單的結(jié)論，而非齊次邊界條件需要轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件結(jié)論，而非齊次邊界條件需要轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件 第二步：求解本征值（或稱(chēng)為固有值）問(wèn)題第二步：求解本征值（或稱(chēng)為固有值）問(wèn)題上面推導(dǎo)的方程上面推導(dǎo)的方程0 XX （11.2.511.2.5） (0)0,X0)(lX（11.2.711.2.7）定義：定義：0ypyqy二階常系數(shù)微分方程二階常系數(shù)微分方程：特征方程：特征方程：20rprq根的三種情況：根的三種情況：1212rrrrrri12121212(cossin)r xr xrxrxxyC eC eyC eC xeyeCxCx得常系數(shù)微分得常系數(shù)微分方程的通解：方程的通

9、解：附錄附錄: :（）（）0 xxeCeCxX21)(1C2C和和由由（11.2.11.2.）確定）確定，即有，即有. 0, 02121lleCeCCC三種可能逐一加以分析三種可能逐一加以分析000（11.2.511.2.5），將），將由此解出由此解出0, 021CC0)(xX0)()(),(tTxXtxu0被排除被排除 （）（）、0方程（方程（11.2.511.2.5）的解是）的解是21)(CxCxX1C2C和和由（由（11.2.711.2.7）確定，即）確定，即 21200CClC0, 021CC0)(xX0 XTu0也被排除也被排除 （11.2.511.2.5）的）的解解xCxCxXsi

10、ncos)(21120sin0CCl如如 0sinl，則仍然，則仍然解出解出 0, 021CC0),(txu01C2C和和0sin, 01lCln222nnl), 3 , 2 , 1(n（11.2.811.2.8）2( )sinnn xXxCln對(duì)應(yīng)的函數(shù)為對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 ( )sinnn xXxl（11.2.911.2.9）正是）正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族常數(shù)常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作的這種特定數(shù)值叫作本征值本征值，相應(yīng)的解叫作相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)本征函數(shù)方程（方程（11.2.511.2.5）和條件（）和條件（11.2.711.2.7）則構(gòu)成）則構(gòu)成本征值問(wèn)題或固有值

11、問(wèn)題本征值問(wèn)題或固有值問(wèn)題 22220nTaTl （11.2.1011.2.10）方程方程的解：的解：( )cossinnnnn atn atT tABll（11.2.1111.2.11）AB其中其中和和是是待定常數(shù)待定常數(shù)( )nT tn，由，由方程（方程（11.2.411.2.4）求出相應(yīng)的）求出相應(yīng)的 (, )()( )u x tXx Tt( , )cossinsinnnnn atn atn xux tABlll), 3 , 2 , 1(n（11.2.1111.2.11）11( , )( , )cossinsinnnnnnn atn atn xu x tux tABlll（11.2.13

12、）初始條件初始條件(11.2.3)(11.2.3)確定疊加系數(shù)確定疊加系數(shù) ,nnA B11sin( )sin( )nnnnn xAxln an xBxll（11.2.1411.2.14）002( )sind 2( )sindlnlnnAllnBn al (11.2.15)(2)(2)第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘積形式不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制注意：注意：特解特解 (11.2.11) (11.2.11) 改寫(xiě)為改寫(xiě)為 ,cossinnnnnn xux tNtl22, arctan, nnnnnnnBn aNABAl (11.2.16)(11.2.16)駐波駐波振幅振幅: : sinnn xNl頻率頻率: : n初位相初位相: : n波節(jié)波節(jié): : 120 ,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹波腹: : 0 l / 2l 0 l 圖 14.1 于是我們也可以說(shuō)解于