層次分析法的計算

1、一、最大特征值和特征向量的近似計算（方根法）一、最大特征值和特征向量的近似計算（方根法）計算的主要步驟：計算的主要步驟：1、計算判斷矩陣、計算判斷矩陣A的每一行元素乘積的每一行元素乘積1,1,2, .niijjMa in2計算計算Mi的的n次方根次方根.niiWM3若若 iW標準化為標準化為1,iinjjWWW則則 iW為所求特征向量。為所求特征向量。4計算最大特征值計算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中AWi表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。例如例如 1110.711/51/3535135 1 31531/3113113 每行之乘積0.4120.1052.4660.

2、637 ,10.258iM 球的三次方根標準化即權(quán)系數(shù)為即權(quán)系數(shù)為 (0.105,0.637,0.258)TW 0.10511/51/30.1050.3180.637 .5130.6371.9360.25831/310.2580.785WAW再求最大特征值的近似值再求最大特征值的近似值3max1()0.3181.9360.7853.0373 0.1053 0.6373 0.258iiiAWnW二、迭代法二、迭代法建立建立n階方陣階方陣 .()ijn nAa按下列方法求向量迭代序列：按下列方法求向量迭代序列：01.111nnenn ke為為 1kAe的的n個分量之和個分量之和 可以證明，迭代的維

3、列向量序列可以證明，迭代的維列向量序列 ke記其極限為記其極限為e，且記，且記收斂。收斂。121.nne則權(quán)系數(shù)可取則權(quán)系數(shù)可取,1,2,iiin在具體計算中，當在具體計算中，當ek與與ek-1接近到一定程度時，接近到一定程度時，我們就取我們就取e=ek例如例如 0111/51/3111/3 ,1/35311/3Ae101111/51/30.733111/31/30.778 ,0.7330.77834.5115311/33eAee1110.7330.16210.7780.1724.51130.665eee212111/50.1620.467111/30.1720.565 ,0.4670.565

4、 1.9913.0145310.6651.991eAee2220.4670.15510.5650.1843.0141.9910.661eee323111/50.1550.471111/30.1840.559 ,0.471 0.559 1.9883.0185310.6611.988eAee3330.4710.15610.5590.1853.0181.9880.659eee434111/50.1560.473111/30.1850.561 ,0.4730.561 1.9943.0285310.6591.994eAee4440.4730.15610.5610.1853.0281.9940.659ee

5、e由于由于e4=e3，迭代經(jīng)過，迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是次中止，權(quán)系數(shù)是 1230.156,0.185,0.659.相應(yīng)的綜合評價公式是相應(yīng)的綜合評價公式是1230.1560.1850.659yxxx三、和法三、和法1、計算判斷矩陣、計算判斷矩陣A的每一列歸一化的每一列歸一化 1/nijijijiaa2按行求和按行求和 1niijjw3歸一化歸一化 1/niiiiWww12(,)TnWw ww則則Wi為所求特征向量。為所求特征向量。4計算計算AW5、計算最大特征值得近似值、計算最大特征值得近似值max1().niiiAWnW式中式中(AW)i表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。 例

6、例 某廠準備購買一臺計算機，希望功能強，某廠準備購買一臺計算機，希望功能強，價格低，維護容易?，F(xiàn)有價格低，維護容易?，F(xiàn)有A、B、C三種機型可供三種機型可供選擇。其中選擇。其中A的性能較好，價格一般，維護一般的性能較好，價格一般，維護一般水平；水平；B的性能最好，價格較貴，維護也只需一的性能最好，價格較貴，維護也只需一般水平；般水平；C的性能差，但價格便宜，容易維護。的性能差，但價格便宜，容易維護。試用層次分析法進行決策分析。試用層次分析法進行決策分析。解：解：1、明確問題；、明確問題；2、建立層次結(jié)構(gòu)；、建立層次結(jié)構(gòu)；先構(gòu)造層先構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)，如下圖所示。次結(jié)構(gòu)，如下圖所示。購買一臺滿意的計算機

7、購買一臺滿意的計算機G功能強功能強S1 價格低價格低S2C A B易維護易維護S3目標層目標層方案層方案層準則層準則層 對于三個準則（對于三個準則（S1，S2，S3）關(guān)于）關(guān)于目標目標G的優(yōu)先順序，根據(jù)討論，該廠在計算的優(yōu)先順序，根據(jù)討論，該廠在計算機應(yīng)用上首先要求功能強，其次要求易維機應(yīng)用上首先要求功能強，其次要求易維護，再次才是價格低。其判斷矩陣如下表護，再次才是價格低。其判斷矩陣如下表所示。所示。3、構(gòu)造判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣表一表一GS1S2S3S1S2S311/51/351331/31 4、層次單排序及其一致性檢驗（用方、層次單排序及其一致性檢驗（用方根法計算這三個準則關(guān)于目標的排序權(quán)

8、值）根法計算這三個準則關(guān)于目標的排序權(quán)值）12315,0.667,1MMM333123152.446,0.6670.405,11www標準化：標準化： 12.4462.4460.6372.4460.405 13.871W 310.258.2.4460.405 1W 20.4050.1052.4460.405 1W 則則 iW為所求特征向量。為所求特征向量。 計算最大特征值計算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中 ()iAW表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。 一致檢驗結(jié)果為一致檢驗結(jié)果為0.6371530.6370.105 .1/511/30.1050.2581/3310

9、.258WAW1 0.637+5 0.105+3 0.2581.9361/5 0.637+1 0.105+1/3 0.2580.3181/3 0.637+3 0.105+1 0.2580.7853max1()1.9360.3180.7853 0.6373 0.1053 0.258iiiAWnW1.9360.3180.7853.03851.9110.3150.774判斷矩陣的一致性指標判斷矩陣的一致性指標CI為為max3.038530.0192,13 1nCIn判斷矩陣的同階平均隨機一致性指標判斷矩陣的同階平均隨機一致性指標RI為為 (3)0.58RI 判斷矩陣的一致性指標判斷矩陣的一致性指標C

10、I與判斷矩與判斷矩陣的同階平均隨機一致性指標陣的同階平均隨機一致性指標RI之比稱之比稱為隨機一致性比率，記為為隨機一致性比率，記為CR，當，當0.01920.03320.100.58CICRRI時，即認為判斷矩陣具有滿意的一致性，時，即認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。的一致性。5、層次總排序、層次總排序 這一過程是最高層次到最低層次逐層進這一過程是最高層次到最低層次逐層進行的。若上一層次行的。若上一層次A包含包含m個元素個元素 12,mA AA其層次總排序權(quán)值分別為其層次總排序權(quán)值分別為 12,ma aa次次B包含

11、包含n個元素個元素 下一層下一層12,nB BB它們對于元素它們對于元素 jA的層次單排序權(quán)值分別為的層次單排序權(quán)值分別為 12,jjnjbbb（當（當 kB與與jA無關(guān)系時，無關(guān)系時， 0ijb ） 排序權(quán)值如表二給出。排序權(quán)值如表二給出。 。此時。此時B層次總層次總層次A1 A2 AmB層次總排序權(quán)重a1 a2 amB1B2Bnb11 b12 b1m w1b21 b22 b2m w2 bn1 bn2 bnm wn注：注： 1(1,2, )mijijjwa b in 同樣，三個方案對于各個準則的判斷矩陣同樣，三個方案對于各個準則的判斷矩陣以及運算所得的結(jié)果見三、四、五、六。以及運算所得的結(jié)果

12、見三、四、五、六。表三表三 1SA B CWABC1 1/4 24 1 81/2 1/8 10.18180.72720.09100.181811/420.18180.7272 .4180.72720.09101/21/810.0910WAW1 0.1818+0.7272 1/4+2 0.09100.54564 0.1818+0.7272 1+8 0.09102.18241/2 0.1818+0.7272 1/8+1 0.09100.27283max1()0.54562.18240.27283 0.18183 0.72723 0.091iiiAWnW0.54562.18240.27283.00.

13、54542.18160.273對準則對準則1S（功能強）來說：（功能強）來說：3.030.0,13 1nCInmax3.0max00.08CICRRI即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。表四表四2SA B CWABC1 4 1/31/4 1 1/83 8 10.25590.07330.6708對準則對準則 2S（價格低）來說：（價格低）來說： 3.018,0.0091,0.01570.10.CICRmax即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。表五表五3SA B CWABC1 1 1/31 1 1/53 5 10.18510.15620.6587對準則對準則 3S（價格低）來說：（價格低）來說： 3.029,0.0145,0.0250.10.CICRmax即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認為判斷矩陣具有滿意的一致性。表六表六總排序權(quán)值總排序權(quán)值0.637 0.105 0.258ABC0.1818 0.2559 0.18510.7272 0.0733 0.1562 0.0910 0.6708 0.65870.18180.72720.09101S2S3SG0.1818 0.6370.2559 0.1050.1851 0.2580.18180.7272 0.6370.0733 0.1050.1562