極值和極值點的概念

1、2.6.1 2.6.1 極值和極值點的概念極值和極值點的概念定義定義2.6 設函數(shù)設函數(shù) y = f(x) 在在 x0 的一個鄰域內有定義的一個鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于若對于該鄰域內異于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，則稱則稱 f (x0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的極大值的極大值，x0 稱為稱為 f (x) 的極大值點的極大值點；( (2) ) f (x0) f (x)，則稱則稱 f (x0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的極小值的極小值，x0 稱為稱為 f (x) 的極小值點的極小值點；函數(shù)的極大值函數(shù)的極大值、極小值極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值統(tǒng)稱為

2、函數(shù)的極值，極大極大值點值點、極小值點極小值點統(tǒng)稱為極值點統(tǒng)稱為極值點.2.6 函數(shù)的極值和最大（小）值及其求法函數(shù)的極值和最大（?。┲导捌淝蠓@然，在圖中，顯然，在圖中， x1，x4 為為 f (x) 的極的極大值點，大值點， x2，x5 為為 f (x) 的極小值點的極小值點.y = f (x)yxOx1x2x3x4x5y y= f ( x )x0再看下面函數(shù)曲線：再看下面函數(shù)曲線： 極大值和極小值是函數(shù)在一點附近的性質，因而極大值和極小值是函數(shù)在一點附近的性質，因而是局部的性質，這樣，在一個函數(shù)中極大值就不一定是局部的性質，這樣，在一個函數(shù)中極大值就不一定大于極小值大于極小值如如P41P

3、41書上圖書上圖2-52-5oxyab1x2x3x4x5x6x定理定理 2.6 ( (極值的必要條件極值的必要條件) )設函數(shù)設函數(shù) y = f (x) 在在 x0 處可導處可導，且且 f (x0) 為極為極值值( (即即 x0 為值點為值點) )，則則 f (x0) = 0.即函數(shù)的極值點必為駐點或不可導點即函數(shù)的極值點必為駐點或不可導點 ( (極值的第一充分條件極值的第一充分條件) )設函數(shù)設函數(shù) y = f (x) 在在 x0 的一個鄰域內可微的一個鄰域內可微( (在在 x0 處可以不可微處可以不可微，但必須連續(xù)但必須連續(xù)) )，若當若當 x 在該鄰域內在該鄰域內由小于由小于 x0 連續(xù)

4、地變?yōu)榇笥谶B續(xù)地變?yōu)榇笥?x0 時時， 其導數(shù)其導數(shù) f (x) 改變改變符號符號， 則則 f (x0) 為函數(shù)的極值為函數(shù)的極值.x0 為函數(shù)的極值點為函數(shù)的極值點，并且并且( (1) )若導數(shù)若導數(shù) f (x) 由正值變成負值由正值變成負值，則則 x0 為極大為極大值點值點，f (x0) 為為 f (x) 的極大值的極大值；( (2) )若導數(shù)若導數(shù) f (x) 由負值變成正值由負值變成正值， 則則 x0 為極小為極小值點值點， f (x0) 為為 f (x) 的極小值的極小值.( ( 極值的第二充分條件極值的第二充分條件 ) )( (1) )當當 f (x0) 0 時時，則則 x0 為極

5、小值點為極小值點，f (x0)為極小值為極小值；( (2) )當當 f (x0) 0 時時，則則 x0 為極大值點為極大值點，f (x0)為極大值為極大值. 若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 則則 x0 是函數(shù)的極值點是函數(shù)的極值點，f (x0) 為函數(shù)的極值為函數(shù)的極值， 并且并且設函數(shù)設函數(shù) y = f (x) 在在 x0 處的二階導數(shù)存在處的二階導數(shù)存在，運用定理運用定理 2.6 求函數(shù)極值的一般步驟是：求函數(shù)極值的一般步驟是：( (1) )確定定義域，并找出所給函數(shù)的駐點和導確定定義域，并找出所給函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點；數(shù)不存在的點；( (2) )考察上述點兩側

6、一階導數(shù)的符號考察上述點兩側一階導數(shù)的符號(或考察上或考察上述點的二階導數(shù)的符號述點的二階導數(shù)的符號)，確定極值點；，確定極值點；( (3) )求出極值點處的函數(shù)值，得到極值求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.補充例題補充例題1. 求f (x)=x33x29x+5的極值.解解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得駐點 x1= 1, x2=3x = 1: x0. x1時 f (x)0 x=3: x3時 f (x)3時 f (x)0 極大值f (1)=10. 極小值 f (3)= 22.補充例題補充例題2. 求 f (x)=32x的極值解解: 13322( )3

7、3fxxx(0)x x 0時, f (x) 0時, f (x) 0故得 極小值f (0)=032yxxy0( )sincosfxxx 1,4x補充例題補充例題3. 求( )sincosf xxx的極值.解解: f (x) 以2 為周期，故考慮區(qū)間0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得駐點254x()0,4f5()0.4f由定理2.6知 ()2 4f為極大值5()2 4f 為極小值由周期性知52 2 ()44xkxkk和Z分別為 f (x) 的極大值點和極小值點.補充例補充例 題題4求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x - - 1)2 (x - - 2)3 的極值的極值.解解(

8、 (1) )定義域為定義域為 (- - ,+,+ ).f (x) = (x - - 1) (x - - 2)2 (5x - - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三個駐點：的三個駐點：, 2,57, 1 xxx該函數(shù)在定義區(qū)間內無不可導的點，該函數(shù)在定義區(qū)間內無不可導的點， 上述駐點將定義上述駐點將定義區(qū)間分為四個子區(qū)間區(qū)間分為四個子區(qū)間)., 2( ,2,57 ,57, 1 ),1,( ( (2) ) 當當 x (- - , 1)時，時， f (x) 0；, 57, 1時時當當 x,2,57時時當當 xf (x) 0； 當當 x (2, + + ) 時，時， f

9、 (x) 0. 因此，由定理因此，由定理 3 可知，可知， x = 1 為極為極大值點，大值點，,57為為極極小小值值點點 x x = 2 不是極值點不是極值點( (因為在因為在 x = 2 的兩側的兩側 f (x) 同為正號同為正號) ).; 0)( xf( (3) )計算極值計算極值極大值極大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，.31251083257215757 f極小值極小值有時，可以將整個解題過程以表格形式表示：有時，可以將整個解題過程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)1 57, 157 2,572( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0

10、+ +f (x)極大值極大值03125108 極小值極小值無極值無極值補充例題補充例題 5求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x4 10 x2 + + 5 的極值的極值.因為因為解解( (1) )定義域為定義域為 (- - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得該函數(shù)的三個駐點可得該函數(shù)的三個駐點.5, 0,5 xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 f; 020)0( f. 020)5(12)5(2 f由定理由定理 2.6 可知：可知：，為極小值點為極小值點和和 55 xx.0為極大值點為極大值點

11、x( (2) )因為因為 f (x) = 12x2 20，( (3) )計算極值：計算極值：;205)5(10)5()5(24 f極小值極小值;550100)0(24 f極大值極大值.205)5(10)5()5(24 f極小值極小值請閱讀書上第請閱讀書上第4141頁例頁例1 1和例和例2 2例例1 1求函數(shù)求函數(shù) 的極值11232)(23xxxxf例例2 2求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間 內的極值xxxfsin23)(2 , 0)(xf函數(shù)的最大最小值在很多實際問題中，需要求出最大或最小值表示這些問題的函數(shù) 一般在區(qū)間 上是連續(xù)的根據(jù)以上討論，具備這種條件的函數(shù) 的最大、最小值總是存在的，它們只可能在

12、的點、 不存在的點或區(qū)間端點處取得)(xfba,0)( xf)(xf 求 在 上最大、小值的步驟： )(xfy ba,)(),(,),(),(),(21bfxfxfxfafn0)( xf)(xf nxxx,21(1)(1)求出 及 不存在的點 ；(2)(2)比較 的大小其中最大的便是最大值，最小的便是最小值補充例題補充例題 6. 求f (x)=x48x2+2在1, 3上的最大值和最小值.解解：f (x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2)令 f (x)=0 得駐點 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去)計算 f (0)=2, f (2)= 14f (1)= 5, f (3)= 11所以

13、最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11補充例題補充例題 7. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.解解： f (x)在定義域(, )上連續(xù)可導且 f (x) = x (2x)ex令 f (x)=0得駐點 x=0, x=2 有 f (0)=0，f (2)=4e2且lim( ),xf x lim( )0,xf x故 f (x)在定義域內有最小值 f (0)=0，無最大值 .y=x2ex02(1) f (x)C( a, b ) ，且在(a, b)內只有唯一極值點x=x0. 則當 f (x0) 極大時便也最大，當f (x0)極小時便也最小.特例xy0abyx0abx0 x0(2)

14、f (x)C( a,b ), 且在(a, b)內單調增加，則f (a)最小，f (b)最大. 單調減少則相反.abxy0abxy0補充例題補充例題8. 某企業(yè)開發(fā)出一種新產品. 已知生產銷售 x件產品所需成本費用C = 25000+5x(元). 若每件產品銷售價為30(1)6000 xP ，問生產銷售多少件產品，能使企業(yè)的利潤最大？這時每件產品的銷售價定為多少？解解：目標函數(shù):= x P C30(1)2500056000 xxx利潤 L = 收入成本22525000200 xx 25, 100 xL 10 . 2500 .100Lx 由知為極小值點亦即最大值點. 故生產銷售 x=2500 件產品可使企業(yè)的利潤最大，此時25003530(1)17.5()60002P 元0 2500Lx令得駐點求解：課常練習課常練習試求函數(shù)試求函數(shù) f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30 x2 24x + + 4 在區(qū)間在區(qū)間 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60 x 24 令令 f (x) = 0，得駐點，得駐點 x = = 1， x =