高二數(shù)學(xué) 排列的概念及簡單排列問題

1、1.2 排列與組合1.2.1 排列 第1課時 排列的概念及簡單排列問題 五只小羊排成一行五只小羊排成一行有多少種排法？有多少種排法？分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理( (加法原理加法原理) 完成一件事有兩類不同方案，在第完成一件事有兩類不同方案，在第1 1類方案中有類方案中有m m種種不同的方法，在第不同的方法，在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法，那么種不同的方法，那么完成這件事共有：完成這件事共有： 種不同的方法種不同的方法N=m+n分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事需要分成兩個步驟，做第完成一件事需要分成兩個步驟，做第1 1步有步有m m種不同

2、種不同的方法，做第的方法，做第2 2步有步有n n種不同的方法，那么完成這件種不同的方法，那么完成這件事共有：事共有： 種不同的方法種不同的方法N=mn 分類加法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理與“分類分類”有關(guān)，各種有關(guān)，各種方法方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；成這件事； 分步乘法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理與“分步分步”有關(guān)，各個有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成事才算完成1.1.了解排列、排列數(shù)的定義了解排列、排列數(shù)的定義. .（重點）重點）2.2.能用能用“樹形圖樹形圖”寫出

3、一個排列問題的所有寫出一個排列問題的所有的排列的排列. .（難點）（難點）3.3.通過實例分析過程體驗數(shù)學(xué)知識的形成和通過實例分析過程體驗數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展，總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣發(fā)展，總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣. . 問題問題1 1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1 1名同學(xué)參加上午的活動，另名同學(xué)參加上午的活動，另1 1名同學(xué)參加名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？下午的活動，有多少種不同的選法？分析：分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選名同學(xué)中選2 2名，名，按照參加上午的

4、活動在前，參加下午的活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 探究點探究點1 1 排列排列上午上午下午下午相應(yīng)的排法相應(yīng)的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. .第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有2 2種方法種方法根據(jù)分步計數(shù)原理：根據(jù)分步計數(shù)原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6種方法種方法. . 把上面問題中被取的對象叫做把上面問

5、題中被取的對象叫做元素元素, ,于是問于是問題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3 3個不同的元素個不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2個，然后按照一個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是所有不同的排列是ab, ac, ba, bc, ca, cbab, ac, ba, bc, ca, cb共有共有3 32=62=6種種. .1.1.排列：排列：一般地，從一般地，從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m (m m (m n)n)個元素，個元素，按照按照一定的順序一定的順序排成一列，叫做從排成一列

6、，叫做從n n個不同元素中個不同元素中取出取出m m個元素的一個個元素的一個排列排列. .說明：說明：1.1.元素不能重復(fù)元素不能重復(fù).n.n個元素不能重復(fù)，個元素不能重復(fù)，m m個元素也不個元素也不能重復(fù)能重復(fù). .2.“2.“按一定順序按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵個問題是否是排列問題的關(guān)鍵. .3.3.兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同全相同，而且元素的排列順序也完全相同. .4.m4.mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時

7、的排列叫全排列時的排列叫全排列. .5.5.為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用最好采用“樹形圖樹形圖”. .問題問題2 2從從1,2,3,41,2,3,4這這 4 4 個數(shù)字中，每次取出個數(shù)字中，每次取出3 3個個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？分析：分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在左邊的數(shù)，在4 4個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取1 1個，有個，有4 4種方法；第種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的二步確定中間的數(shù)，從余下的3 3

8、個數(shù)中取，有個數(shù)中取，有3 3種種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2 2個數(shù)中取，個數(shù)中取，有有2 2種方法種方法 由分步乘法計數(shù)原理共有：由分步乘法計數(shù)原理共有：4 43 32=242=24種不種不同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列，同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列，由此可寫出所有的排法由此可寫出所有的排法. . 探究點探究點2 2 排列數(shù)排列數(shù)顯然，從顯然，從 4 4 個數(shù)字中，每次取出個數(shù)字中，每次取出 3 3 個，按個，按“百百”“十十”“”“個個”位的順序排成一列，就得到一個三位位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)因此有多少種不同的排列

9、方法就有多少個不同數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)可以分三個步驟來解決這個問題：的三位數(shù)可以分三個步驟來解決這個問題：第第 1 1 步，確定百位上的數(shù)字，在步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取 1 1 個，有個，有 4 4 種方法；種方法；第第 2 2 步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定 后，十位上的數(shù)字只能從余下的后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 3 個數(shù)字中個數(shù)字中 去取，有去取，有 3 3 種方法；種方法；第第 3 3 步，確定個位上的數(shù)字，

10、當(dāng)百位、十位上的數(shù)步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù) 字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的 2 2 個數(shù)個數(shù) 字中去取，有字中去取，有 2 2 種方法種方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個不同的數(shù)字中，每次取出個不同的數(shù)字中，每次取出 3 3 個數(shù)字，按個數(shù)字，按“百百”“”“十十”“”“個個”位的順序排成一列，共有位的順序排成一列，共有4 43 32=242=24種不同的排法，種不同的排法， 因而共可得到因而共可得到2424個不個不同的三位數(shù)，如圖同的三位數(shù)，如圖1.

11、22 1.22 所示所示 1234443322444333111244431112224333111222圖圖1.221.22有此可寫出所有的三位數(shù)：有此可寫出所有的三位數(shù)：123123，124124，132132，134134，142142，143143， 213 213，214214，231231，234234，241241，243243，312312，314314，321321，324324，341341，342342， 412412，413413，421421，423423，431431，432.432.問題問題2 2可歸結(jié)為可歸結(jié)為 從從4 4個不同的元素個不同的元素a,b,c,d

12、a,b,c,d 中任取中任取3 3個，然后個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adcabc,abd,acb,acd,adb,adc， bac,bad,bca,bcd,bda,bdcbac,bad,bca,bcd,bda,bdc，cab,cad,cba,cbd,cda,cdbcab,cad,cba,cbd,cda,cdb， dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有共有4 43 32=242=24種種. .2.2.排列數(shù)：排列數(shù)

13、： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素的個元素的所有所有不同排列的個數(shù)不同排列的個數(shù)叫做從叫做從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m m個元個元素的素的排列數(shù)排列數(shù). .用符號用符號 表示表示. .mnA“排列排列”和和“排列數(shù)排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？有什么區(qū)別和聯(lián)系？“一個排列一個排列”是指：從是指：從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m m個元個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)排列數(shù)”是指從是指從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m m個元素個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；所以符

14、號的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；所以符號 只表只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列示排列數(shù)，而不表示具體的排列. .mnA例題例題 下列問題是排列問題嗎？請說明理由下列問題是排列問題嗎？請說明理由(1)(1)從從1,2,3,41,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做減法，其結(jié)果四個數(shù)字中，任選兩個做減法，其結(jié)果有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？(2)(2)從從1,2,3,41,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做乘法，其結(jié)果四個數(shù)字中，任選兩個做乘法，其結(jié)果有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？(3)(3)有有1212個車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？個車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？(4)(4)從學(xué)號從學(xué)號1

15、 1到到1010的十名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開的十名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種選法？座談會，有多少種選法？(5)(5)平面上有平面上有5 5個點，其中任意三點不共線，這個點，其中任意三點不共線，這5 5點最多點最多可確定多少條直線？可確定多少條直線？問題問題各問題研析各問題研析結(jié)果結(jié)果(1)(1)由減法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相減由減法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相減的順序有關(guān)，故的順序有關(guān)，故(1)(1)是排列是排列(1)(1)(3)(3)(2)(2)由乘法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相乘由乘法定義知，結(jié)果都與兩數(shù)相乘的順序無關(guān)，故的順序無關(guān)，故(2)(2)不是排列不是排列(3)(3)車票與始

16、點站和終點站有關(guān)，由排車票與始點站和終點站有關(guān)，由排列定義知列定義知(3)(3)是排列是排列(4)(4)所選取兩名同學(xué)參加座談會，無順?biāo)x取兩名同學(xué)參加座談會，無順序之分，故序之分，故(4)(4)不是排列不是排列(5)(5)兩點確定一條直線，與兩點順序無兩點確定一條直線，與兩點順序無關(guān)，故關(guān)，故(5)(5)不是排列不是排列解解: : 判斷一個問題是否為排列問題的依據(jù)是判斷一個問題是否為排列問題的依據(jù)是是否有順序，有順序且是從是否有順序，有順序且是從n n個不同的元素個不同的元素中任取中任取m m( (m mn n) )個不同的元素的問題就是排個不同的元素的問題就是排列，否則就不是排列，而檢驗它

17、是否有順序列，否則就不是排列，而檢驗它是否有順序的依據(jù)就是變換元素的位置，看其結(jié)果是否的依據(jù)就是變換元素的位置，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序順序 【總結(jié)提升總結(jié)提升】判斷下列問題是否是排列問題：判斷下列問題是否是排列問題：(1)(1)某班共有某班共有5050名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)(2)從從2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取兩數(shù)分別作對數(shù)的底數(shù)和中任取兩數(shù)分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少不同對數(shù)值？真數(shù)，有多少不同對

18、數(shù)值？(3)(3)從從1 1到到1010十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成點的坐十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成點的坐標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？【變式練習(xí)變式練習(xí)】(4)(4)從集合從集合M M1,21,2，99中，任取相異的兩個中，任取相異的兩個元素作為元素作為a a，b b，可以得到多少個焦點在，可以得到多少個焦點在x軸上的橢軸上的橢圓方程圓方程 ? ?22221xyab解：解： (1)(1)是排列問題選出的是排列問題選出的2 2人，擔(dān)任正、副班長人，擔(dān)任正、副班長任意，與順序有關(guān)，所以該問題是排列問題任意，與順序有關(guān)，所以該問題是排列問題(2)(2)是排列問題顯然對數(shù)

19、值與底數(shù)和真數(shù)的取值的是排列問題顯然對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關(guān)系，與順序有關(guān)不同有關(guān)系，與順序有關(guān)(3)(3)是排列問題任取兩個數(shù)組成點的坐標(biāo)，橫、縱是排列問題任取兩個數(shù)組成點的坐標(biāo)，橫、縱坐標(biāo)的順序不同，即為不同的坐標(biāo)，與順序有關(guān)坐標(biāo)的順序不同，即為不同的坐標(biāo)，與順序有關(guān)(4)(4)不是排列問題焦點在不是排列問題焦點在x x軸上的橢圓，方程中的軸上的橢圓，方程中的a a、b b必有必有a ab b，a a、b b的大小一定的大小一定1 1下列問題中：下列問題中：(1)10(1)10本不同的書分給本不同的書分給1010名同學(xué)，每人一本；名同學(xué)，每人一本；(2)10(2)10位同學(xué)互通一

20、次電話；位同學(xué)互通一次電話；(3)10(3)10位同學(xué)互通一封信；位同學(xué)互通一封信；(4)10(4)10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段屬于排列的有屬于排列的有( () )A A1 1個個B B2 2個個 C C3 3個個 D D4 4個個解：解：(1)(3)(1)(3)是排列問題，是排列問題，(2)(4)(2)(4)不是排列問題不是排列問題B B2 2A A、B B、C C三名同學(xué)照相留念，成三名同學(xué)照相留念，成“一一”字形排字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為隊，所有排列的方法種數(shù)為( () )A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D1212解：解：A AB B

21、C C，A AC CB B，B BA AC C，B BC CA A，C CA AB B，C CB BA.A.所以排列方法有所以排列方法有6 6種種. .C C3 3上海世博會期間，某調(diào)研機構(gòu)準(zhǔn)備從上海世博會期間，某調(diào)研機構(gòu)準(zhǔn)備從5 5人中選人中選3 3人去調(diào)查中國館、日本館、美國館的參觀人數(shù)，有人去調(diào)查中國館、日本館、美國館的參觀人數(shù)，有_種安排方法種安排方法解：解：由題意可知，問題為從由題意可知，問題為從5 5個元素中選個元素中選3 3個元素個元素的排列問題，所以安排方法有的排列問題，所以安排方法有5 54 43 36060種種答案：答案：606060604 4用用1,2,3,41,2,3,4四個數(shù)字排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)四個數(shù)字排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)從小到大排成一個數(shù)列從小到大排成一個數(shù)列aan n (1)(1)寫出這個數(shù)列的前寫出這個數(shù)列的前1111項項. .(2)(2)這個數(shù)列共有多少項這個數(shù)列共有多少項解：解：(