信息光學基礎

1、信息光學基礎1.4 傅立葉級數傅立葉級數141 空間周期、空間頻率空間周期、空間頻率設：沿方向傳播的單色平面波其波動方程為：設：沿方向傳播的單色平面波其波動方程為：單色平面波特點：即時間周期性和空間周單色平面波特點：即時間周期性和空間周期性。期性。00coscostzAAtkzT時間周期性：時間周期性： ：單色光波的時間周期；：單色光波的時間周期；：單色光的時間頻率；：單色光的時間頻率； ：單色光的時間角頻率：單色光的時間角頻率 T11sT2T空間周期性：空間周期性： ：單色光的空間周期：單色光的空間周期； ：單色光的空間頻率；：單色光的空間頻率； ：單色光的空間角頻率：單色光的空間角頻率 1

2、2k142 空間周期和空間頻率的幾何意義：空間周期和空間頻率的幾何意義：n（1）圖表示光波隨時間變化的規(guī)律；）圖表示光波隨時間變化的規(guī)律；n（2）圖表示光波歲空間變化的規(guī)律；）圖表示光波歲空間變化的規(guī)律；143 空間周期和空間頻率二者關系：二空間周期和空間頻率二者關系：二者緊密相關且通過者緊密相關且通過 相聯系相聯系vT144 傅立葉級數傅立葉級數（1）角坐標下的傅立葉級數：）角坐標下的傅立葉級數： 其中傅立葉系數為：其中傅立葉系數為： 01cossin2nnnaganbn 1cosnagnd 1sinnbgnd （2）線坐標下的傅立葉級數：）線坐標下的傅立葉級數： 其中傅立葉級數其中傅立葉級

3、數 ：為直流分量（零頻分量）：為直流分量（零頻分量） 、 為為 次諧波。次諧波。 0122cossin2nnnag xanxbnxTT 0022cosxTnxag xnx dxTT 0022sinxTnxbg xnx dxTT 0ananbn1.4.5 指數形式的傅立葉級數指數形式的傅立葉級數 2jnxTnng xC e 0021xTjnxTnxCg x edxT 1。5 傅立葉變換傅立葉變換151 一維傅立葉級數一維傅立葉級數 為為 的頻譜函數，的頻譜函數， 與與 為傅立為傅立葉變換對。葉變換對。 2jnfxG fg x edx 2jfxg xG f edf G f g x G f g x1

4、52 二維傅立葉變換二維傅立葉變換2,xyjf xf yxyG ffdxg x y edy2,xyjf xf yxyxyg x yG ffedf df 1.5.3 廣義傅立葉變換廣義傅立葉變換1.5.4 傅立葉變換性質傅立葉變換性質1.線性性質線性性質若若 則則,xyg x yG ff,xyh x yHff,xyxyg x yh x yG ffHff2尺度變換尺度變換若若則則3移位定理移位定理若若則則,xyg x yG ff1,yxffg ax byGabab,xyg x yG ff2,xyjafbfxyg xa ybG ffe4，卷積定理，卷積定理若若則則5相關定理相關定理若若則則,xyg

5、x yG ff,xyh x yHff,xyxyg x yh x yG ffHff,xyg x yG ff2,xyg x yg x yG ff6積分定理積分定理若若則則,xyg x yG ff1,Fg x yg x y1.6 可分離變量的傅立葉變換可分離變量的傅立葉變換161 可分離變量可分離變量 一個二元函數，在某種坐標內，能寫成兩一個二元函數，在某種坐標內，能寫成兩個一元函數的乘積，則這個函數在此坐標個一元函數的乘積，則這個函數在此坐標系內為可分離變量函數。系內為可分離變量函數。162 直角坐標系下可分離變量函數的直角坐標系下可分離變量函數的“FT”設：函數設：函數 在直角坐標系下可分離變在

6、直角坐標系下可分離變量為量為 對對 取取FT有：有：,g x y ,xyg x ygx gy,g x y2,xyjf xf yF g x ydxg x y edy 2xyjf xf yxygx gy edxdy22yxjf yjf xxYg edxg edyxyG fG f163 極坐標可分離變量函數的極坐標可分離變量函數的FT1設空域：設空域： 直角坐標變量為直角坐標變量為 極坐標變量為極坐標變量為 頻域：頻域： 直角坐標頻率為直角坐標頻率為 極坐標頻率為極坐標頻率為 , x y, r,xyff, 2關系關系 坐標變量的關系坐標變量的關系 頻率變量的關系頻率變量的關系 221rxyytgxc

7、ossinxryr 221xyyxffftgfcossinxyff 指數因子指數因子 積分元積分元 積分限積分限 2cosjre 2xyjf xf ye rdrddxdy 0,0,2r , 3極坐標可分離變量的函數為：極坐標可分離變量的函數為：4取取FT ,Rg rgr g22cos cossin sin00,jrF g rrg red dr 22cos00jrRrgr ged dr 22cos00jrRrgrgeddr 根據貝塞爾函數關系式有：根據貝塞爾函數關系式有： cosjxkjkkkej Jx e 1kkkJxJx 則變換式中則變換式中 2cos2jrjkkkkej Jre 2kjkk

8、kjJre 20,2kj kjkRkkF g rjegedrgr Jrdr 令：令： 則上式的則上式的FT為：為： 2012jkkCged 022kRRkHgrrgr Jrdr 1,22kjkkRkF g rjeCH gr kjkkRkjC eH gr 結論：結論：在極坐標中可分離變量的空域坐在極坐標中可分離變量的空域坐標標 ，其頻譜在極坐標，其頻譜在極坐標中也可分離變量。其中相位譜中也可分離變量。其中相位譜 的函數的函數為為 ，振幅譜，振幅譜 為為稱：稱： 為函數為函數 的的 階汗克爾階汗克爾函數。函數。 ,Rg rgr gjke kRHgr RH gr Rgrk例：極坐標中的圓對稱函數例：

9、極坐標中的圓對稱函數解：此作為可分離變量函數解：此作為可分離變量函數 的特例，其中的特例，其中 ，則圓對稱函數在，則圓對稱函數在極坐標中可為極坐標中可為 ，對應的付，對應的付氏系數為氏系數為 ,Rg rgr g 1g ,Rg rgr20111sin02jkjkkeCedkk00kk將將 代入代入 的付氏變換式中，有的付氏變換式中，有而頻譜而頻譜稱稱 為傅立葉為傅立葉貝塞爾變換貝塞爾變換kC,g r 000.,kRRF g rF grHgrG0k 01kjj ， 01kkC01jkke 00kRkHHgr 00022RGrgr Jrdr 0G第二章第二章 二維傅立葉變換二維傅立葉變換 2.1 平

10、面波和球面波的復振幅平面波和球面波的復振幅211 光場的復振幅表示光場的復振幅表示1光的特性光的特性 光是電磁波；光是電磁波； 光波是橫波光波是橫波2光場的標量函數光場的標量函數（1）三角形式：）三角形式：（2） 指數形式的標量函數指數形式的標量函數0, , , ,cos 2, ,u x y z tux y ztx y z, ,20, , ,Re, ,jx y zjtu x y z tux y z ee說明：說明：1.無論是三角函數還是指數形式的標量函數無論是三角函數還是指數形式的標量函數都表示為理想單色光的光振動；都表示為理想單色光的光振動；2對于準單色光仍可用上面兩個表達式表示；對于準單色

11、光仍可用上面兩個表達式表示；3對于非單色光：可采用付氏變換將其分解對于非單色光：可采用付氏變換將其分解為各種不同頻率的單色光，而不同頻率的為各種不同頻率的單色光，而不同頻率的單色光可采用上面的表達式；單色光可采用上面的表達式；4光場的空間復振幅分布光場的空間復振幅分布復振幅的模分布：復振幅的模分布： 復振幅的輻角分布：復振幅的輻角分布： , ,0, , ,jx y zU x y zux y z e0, , ,U x y zux y z, ,x y z5引入復振幅的優(yōu)點：引入復振幅的優(yōu)點：（1）簡化光場運算）簡化光場運算（2）已知復振幅可求光強分布）已知復振幅可求光強分布212 平面波的復振幅平

12、面波的復振幅1平面波的特點：平面波的特點： 等相面是平面；等相面是平面； 在各項同性媒質中，等相面與傳播方向垂在各項同性媒質中，等相面與傳播方向垂直；直； 光場中，各點振幅為常數光場中，各點振幅為常數2平面波沿任意方向傳播時的波動方程平面波沿任意方向傳播時的波動方程設：設： 其中其中 為單位矢為單位矢 沿單位矢沿單位矢 的方向余弦分別為：的方向余弦分別為： 、 、 為平面波面上任意為平面波面上任意 點的位置。點的位置。平面波：平面波： 其中：其中： ， （波矢量）（波矢量）0kkk0kkcoscoscos, ,r x y zp0, ,cosu x y zutk r0coscoscoscosut

13、xyz 202kk， 3平面波的復振幅平面波的復振幅 coscoscos00jk xyzjk rU ru eu e213 球面波的復振幅球面波的復振幅1球面波的特點球面波的特點n 球面波是由點光源發(fā)出的；球面波是由點光源發(fā)出的；n等相面是一組同心球面；等相面是一組同心球面；各點振幅與該點到球心的距離成反比。各點振幅與該點到球心的距離成反比。2 球面波的波動方程球面波的波動方程 點光源與坐標原點重合：點光源與坐標原點重合：其中：其中： 是坐標原點到任意是坐標原點到任意 點的點的矢徑矢徑 ， 是是 的的球面處的振幅值球面處的振幅值01, ,cosau x y z ttk rrr, ,p x y z

14、222rrxyz0a1r * 發(fā)散球面波的波動方程及復振幅發(fā)散球面波的波動方程及復振幅 （ 與與 的方向一致）的方向一致）波動方程：波動方程： 復振幅：復振幅： kr01, ,cosau x y z ttkrr0, ,jkraU x y zer* 會聚球面波的波動方程及復振幅會聚球面波的波動方程及復振幅 （ 與與的方向相反）的方向相反）波動方程：波動方程： 復振幅：復振幅： kr01, ,cosau x y z ttkrr0, ,jkraU x y zern電光源不在坐標原點電光源不在坐標原點設：點光源相對坐標原點的坐標為設：點光源相對坐標原點的坐標為 ，任意任意 點相對點光源的距離為點相對點

15、光源的距離為波動方程：波動方程： 復振幅：復振幅： 000,xy zp222000rxxyyzz0,cosau r ttk rr 0jk raU rer2，2 光場中任一平面的復振幅光場中任一平面的復振幅221 平面波光場中任一平面的復振幅平面波光場中任一平面的復振幅1物平面的復振幅物平面的復振幅選定光軸沿選定光軸沿 軸，物平面與軸，物平面與 面平行，并面平行，并設物平面與設物平面與 平面的坐標原點的距離平面的坐標原點的距離為為 ，平面波復振幅為：平面波復振幅為： zxyxy1z0, ,jk rU x y zu e12coscoscos0jxyzu e122coscoscos0jzjxyu e

16、e其中：其中： 為一個復常數，為一個復常數， 復振幅為：復振幅為： 12cos0jzu e22cos1coscoscoscos0,jk xyU x yU e2空間周期性討論空間周期性討論 （1）波矢在平面?zhèn)鞑サ钠矫娌ㄌ攸c）波矢在平面?zhèn)鞑サ钠矫娌ㄌ攸cn 平面上的等相位線是一族垂直軸的平行平面上的等相位線是一族垂直軸的平行線族；線族；n相位沿圖中箭頭的方向線性增長；相位沿圖中箭頭的方向線性增長；由于相位差為的各點光振動是相同的，故由于相位差為的各點光振動是相同的，故在平面上復振幅呈周期分布。在平面上復振幅呈周期分布。 （2）空間周期的表達式）空間周期的表達式 * 若波矢若波矢 在在 平面內，則有：

17、平面內，則有： 方方向余弦向余弦 * 位相線族方程：位相線族方程： 常量，即常量，即 常量常量kxycos0coskxx *對應對應 的兩條平行線，其兩個波振面的相的兩條平行線，其兩個波振面的相位差位差 *相位差為的相位差為的 兩平行線間沿兩平行線間沿 方向的距離方向的距離為為 x2xcosxk 方向上的空間周期方向上的空間周期 方向上的空間頻率方向上的空間頻率 可取正值，也可取負值?？扇≌?，也可取負值。xx2coscosxTk1xxfTxf討論：1.當 ， 為銳角，沿 正方向位相逐漸落后；2.當 ， 為鈍角，沿正方相位相逐漸向前。同時，在 方向上， 等位相線是一組平行 軸的平行線組，即復振

18、幅沿 方向沒有變化，其空間周期； 0 xfx0 xfyyyyT沿 方向的空間頻率 y01yyTf結論：（1）沿 平面直線傳播的單色平面波其方向余弦為：（2）空間頻率為；（3）光場復振幅為： xz0 ,cos0 ,cosxfjxeUyxU20,3空間沿任意 方向傳播：（1）沿 平面?zhèn)鞑サ姆较蛴嘞覟椋海?）等位線是斜線，相位依次相差 ；（3）等相線方程為： 常數 當坐標原點的初相位=0時，以 為間隔的等相線方程為： k1xyzcos,cos2coscosyx2coscoscosny（4）平面上沿 方向與沿 方向的復振幅都是周期性變化的，其空間周期分別為：（5）空間頻率分別為： （6） 光場的復振幅

19、為： xycosxTcosyTcos1xxTfcos1yyTf1xyzyfxfjyxeUxyU20223 球面波光場中任意平面上的復振幅1任意平面的復振幅分布假設條件：坐標原點與球面波中心重合 軸與所考察的平面垂直 該球面波離球心單位距離處的振 幅為所考察平面上的復振幅為： 其中 z0ark jerazyxU01,2122zyxr2.近軸條件下的任意平面的球面波的復振幅（1）近軸條件： 即：成像區(qū)域在距離軸不大的范圍內（2）振幅部分的分析 當滿足近軸條件時， 2221yxz221222122121221812111zyxzyxzzyxzr因為對于球面波而言其振幅為 當滿足近軸條件 時，可有振幅

20、為：rayxU0,11222zzyx10,zayxU（3）相位部分的分析 一般來說 （光波遠小于所考察問題的空間線度）在近軸條件下，相位因子可近似為： （4）滿足近軸條件下的任意球面波復振幅表達式 r12212zyxzr1221210,zyxjkjkzeezayxU（5）特點： 振幅是與 成反比的常量（不隨 的變化而變化） 相位包含兩部分，一部分是與 有關的常相位因子 ，另一部分相位在面上呈現二次型分布； 等相線的軌跡方程 常量即以坐標原點為中心的一組同心圓1zyx,1zxy22yx（6）一般情況下的分析 當觀察面為 平面，球面中心與坐標原點不重合時，設球面波中心坐標為 時，其復振幅為： 其中

21、： 是點光源強度和 決定的復常數。oxy000,zyx0202020,zyyxxjkeUyxU0U0z當 時，光傳播方向與 正方向相同，表示由點光源 發(fā)出的發(fā)散球面波的復振幅；當 時，光傳播方向與 正方向相反，表示由點光源 發(fā)出的會聚球面波的復振幅。00zz000,zyx00zz000,zyx 2.3 二維傅立葉變換 231 概述 設 表示物場分布函數，在測量過程中描述物場分布有兩種方式：一種為用復振幅描述，常將此定義為“相干照明”；另一種用強度描述，用強度定義“非相干照明”yxg,2.3.2相干照明1.相干照明的傅立葉正變換設： ， 則 2.相干照明的傅立葉反變換 yxffGyxg, dxd

22、yeyxgffGyfxfjyxyx2, yxyfxfjyxdfdfeffGyxgyx2,2.2.3非相干照明1.厄米函數 設 為實函數，其傅立葉變換為 ，當 ，則稱為厄米函數。2證明：略yxg,yxffG,yxyxffGffG,3實函數 的傅立葉變換由 則當 為實函數時，有頻譜函數的模為偶函數 頻譜函數的輻角為奇函數 而反變換為： 在非相干照明時， 表示實函數下的光強分布。yxg,yfxfjyxyxyxeffGffG,yxyxffGffG,yxg,yxyxffGffG,yxyxffff, 00,2cos,2,yxyxyxyxdfdfffyfxfffGyxgyxg,說明：(1)與相干照明不同，在

23、非相干照明中， 只能取正值，負頻空間對光強無意義；在付氏變換中。正頻 指數基元的幅值與負頻 指數基元的幅值相等；相當于方向對稱 和的兩個平行光；yxff ,yxff ,yxff,yxff,（3） 。即零頻占有的能量大于其它頻率分量占有的能量。（4）公式的含義yxffGG,0 , 02.4 線性系統(tǒng)和線性空不變系統(tǒng)2.4.1 引言光學系統(tǒng)： 由光學元件組成的，能夠將光學物場分布轉換成像場分布的數學模型?？紤]二維空間函數，其描述有兩種形式：一種是將物場的復振幅 轉換成像場的復振幅 ；一種是將物場的光強轉換成像場的光強表示符號：yxU,yxU,yxg,2.4.2線性系統(tǒng)定義：若某種系統(tǒng)滿足如下關系：

24、 則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 yxscyxtcyxscyxtc,21212.說明：（1） 為復常數（2） 及 為實函數或復函數，考慮物、像場各點振動是相干的，則它們表示物場的復振幅分布，而 及 表示像場復振幅分布；若物、像場各點振動是不相干的，則它們分別表示物、像場的光強分布21,ccyxt,yxs,yxt,yxs,（3）任何一個物場分布函數都可以表示為無窮多個點基元函數 函數的加權的線性疊加，并可有卷積表示：（4）無窮多個單位沖激函數的疊加作用系統(tǒng)后的結果為單位脈沖響應 ，將無窮多個單位脈沖響應進行疊加即得像場分布函數 ddyxgyxg111111,22yxh ddyxhgyxg,2212222.

25、4.3空不變系統(tǒng)1定義： 若某光學系統(tǒng)，其物函數為 對應產生的像函數為 ，那么當物函數為 時，其空不變系統(tǒng)必須滿足 ， 為常數（或放大倍數）111, yxg222, yxg01011,yyxxg02022,MyyMxxgM2.線性空不變系統(tǒng)的脈沖響應設：物平面的單位沖激函數為 ，并位于坐標原點，其脈沖響應（像函數）為 ，當物平面的單位脈沖函數為 時，其脈沖響應為 ，即線性疊加后的像平面為 當 時， yx,yxh,11, yxMyMxh22, ddMyMxhgyxg221222,1M ddyxhgyxg221222,3.線性空不變系統(tǒng)的頻域分析設 ， ，由付氏變換的卷積性質有： yxffGyxg

26、,1111yxffGyxg,2222yxffHyxh,22yxyxyxffHffGffG,12說明：（1）稱 為系統(tǒng)函數，由它解決系統(tǒng)成像的質量問題； (2)系統(tǒng)的等暈性對光學系統(tǒng)而言，物平面上的一個點光源可以用 函數來描述，通過成像系統(tǒng)后得到一個分布函數 ，而 的函數形式（對空不變系統(tǒng)）將不隨 函數的空間位置而變，稱此為系統(tǒng)的等暈性。yxffH,hh(3)等暈區(qū)等暈區(qū)嚴格的說，絕對的空不變系統(tǒng)是不存在的，嚴格的說，絕對的空不變系統(tǒng)是不存在的，一般而言，像差的大小與物點位置有關，一般而言，像差的大小與物點位置有關，但對絕大多數光學系統(tǒng)而言，像差隨物點但對絕大多數光學系統(tǒng)而言，像差隨物點的變化較

27、慢，所以對于整個視場如果不能的變化較慢，所以對于整個視場如果不能滿足絕對空不變系統(tǒng)的條件，則可將視場滿足絕對空不變系統(tǒng)的條件，則可將視場分解為幾個區(qū)域，在每個區(qū)域內使空不變分解為幾個區(qū)域，在每個區(qū)域內使空不變特性近似成立。這樣如此劃分的子區(qū)域被特性近似成立。這樣如此劃分的子區(qū)域被稱之為稱之為“等暈區(qū)等暈區(qū)”，而每個等暈區(qū)都有各，而每個等暈區(qū)都有各自的脈沖響應自的脈沖響應h菲涅耳衍射菲涅耳衍射 夫瑯和費衍射和傅立葉夫瑯和費衍射和傅立葉變換變換4.1 菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射4.1.1衍射光場的分類衍射光場的分類按近似條件可分為兩類。按近似條件可分為兩類。一類一類 菲涅耳近

28、似條件下的近場衍射；菲涅耳近似條件下的近場衍射；一類一類 夫瑯和費近似條件下的遠場衍射。夫瑯和費近似條件下的遠場衍射。4.1.2光強分布的三種情況光強分布的三種情況 設在無限大的不透明屏上有一個小圓孔，設在無限大的不透明屏上有一個小圓孔，以單色平行光垂直照明，隨觀察屏的光強以單色平行光垂直照明，隨觀察屏的光強分布的不同，可大至分為三個階段：分布的不同，可大至分為三個階段：n第一階段：忽略衍射過程的幾何投影區(qū)，第一階段：忽略衍射過程的幾何投影區(qū)，此階段為光的直線傳播；此階段為光的直線傳播；n第二階段：當觀察屏與衍射屏有一段距離第二階段：當觀察屏與衍射屏有一段距離后，觀察屏的光強分布與圓孔的直接幾

29、何后，觀察屏的光強分布與圓孔的直接幾何投影發(fā)生偏離，衍射花樣隨兩個屏的距離投影發(fā)生偏離，衍射花樣隨兩個屏的距離變化，中心的圖形出現明、暗交替變化，變化，中心的圖形出現明、暗交替變化，此階段為近場衍射區(qū)域；此階段為近場衍射區(qū)域；n第三階段：當兩個屏之間距離足夠大，觀第三階段：當兩個屏之間距離足夠大，觀察屏出現是不變的衍射花樣，中央是圓形察屏出現是不變的衍射花樣，中央是圓形明區(qū)，常稱之為明區(qū)，常稱之為“愛里斑愛里斑”圖樣，此階段圖樣，此階段為為“遠場遠場”衍射。衍射。4.1.3菲涅耳近似菲涅耳近似1.脈沖響應脈沖響應設無窮大不透明屏上有一孔徑為設無窮大不透明屏上有一孔徑為 ，其坐標，其坐標為為 ，

30、并設觀察屏上的坐標是并設觀察屏上的坐標是 ，且衍射屏與，且衍射屏與觀察屏間距離為觀察屏間距離為11,x y, x yz根據瑞利根據瑞利索末菲衍射公式可有觀察屏上索末菲衍射公式可有觀察屏上的光場復振幅分布：的光場復振幅分布：其中：其中： 是衍射屏后的復振幅；是衍射屏后的復振幅； 而而 為脈沖響應為脈沖響應 0111111, ,U x yUx y h x y x y dx dy 011,Ux y11, ,h x y x y其中：其中： 是觀察屏是觀察屏 的點到衍射屏的點到衍射屏 的的點的矢徑點的矢徑 與與 面元面元 外法線的夾外法線的夾角。角。111, ,cosjkreh x y x yn rjr

31、 22211rzxxyyn r , x y11,x yr11,x yds說明：（說明：（1）近似條件下的脈沖響應）近似條件下的脈沖響應 近似條件：近似條件：其中：其中： 為孔徑為孔徑 上的最大距離；上的最大距離； 為觀為觀察范圍的線度察范圍的線度 脈沖響應：脈沖響應： zabzab111, ,jkrh x y x yej z傾角因子的分析：傾角因子的分析： 按近似條件，其脈沖響應中的傾角因按近似條件，其脈沖響應中的傾角因子子 ，由三角函數的取值，由三角函數的取值有有 ，則，則當夾角當夾角 ，精度可高于，精度可高于95%cos n r 10coscos180.9511 1n r 10結論：當滿足

32、夾角取值結論：當滿足夾角取值 時，振幅部分時，振幅部分中的中的 可代替可代替 ，而對相位部分而對相位部分 很小，其很小，其 很大，所以很大，所以 不大的誤差也會使相位遠大于不大的誤差也會使相位遠大于 ，所以，所以不能用不能用 來代替來代替 。10zrkr2rz考慮相位因子：將考慮相位因子：將 做牛頓二項式展開做牛頓二項式展開 起起 ，則上式的展開式為：，則上式的展開式為：（45） 2121212121 zyyzxxzyyxxzrr1cosrn 332121221218211zyyxxzyyxxzr4.菲涅耳近似菲涅耳近似 當衍射孔徑和觀察范圍確定后，只要當衍射孔徑和觀察范圍確定后，只要 足夠大

33、即滿足足夠大即滿足 ，對相位，對相位因子就可以將高階小項忽略掉。由此可得因子就可以將高階小項忽略掉。由此可得菲涅耳近似條件即：菲涅耳近似條件即： 這個近似的關鍵在于：用二次曲面替代這個近似的關鍵在于：用二次曲面替代了球面的惠更斯子波。了球面的惠更斯子波。zzbza,zyyxxzr22121脈沖函數為脈沖函數為 zyyxxzr221215菲涅耳衍射的復振幅表達式（菲涅耳近場菲涅耳衍射的復振幅表達式（菲涅耳近場衍射公式）衍射公式） 1111110,;,dydxyxyxhyxUyxU 1121102121,dydxeyxUzjezyyxxjkjkz6菲涅耳衍射區(qū)域菲涅耳衍射區(qū)域 定量描述什么樣的區(qū)域

34、為近場區(qū)域。定量描述什么樣的區(qū)域為近場區(qū)域。仍然以關心相位因子的近似作為討論問題仍然以關心相位因子的近似作為討論問題的前提。的前提。(1)菲涅耳衍射的條件菲涅耳衍射的條件充分條件：令充分條件：令 32212182zyyxx其中其中 允許取觀察范圍內的任何值；允許取觀察范圍內的任何值； 可以起孔徑內的任何值?？梢云鹂讖絻鹊娜魏沃?。 若使菲涅耳近似條件成立，若使菲涅耳近似條件成立， 仍遠小仍遠小于于 ，即，即（47） yx,11, yx228232max2121zyyxx2max2121381yyxxz必要條件必要條件 下列近似等式成立下列近似等式成立 11821103221212121,dydx

35、eeyxUzyyxxjkzyyxxjk 1121102121,dydxeyxUzyyxxjk 4.1.4夫瑯和費近似夫瑯和費近似1.夫瑯和費近似夫瑯和費近似當進一步增大當進一步增大 使菲涅耳衍射的復振幅表達使菲涅耳衍射的復振幅表達式中相位因子與式中相位因子與 無關，對相位因子無關，對相位因子的的影響也可忽略，即滿足近似式影響也可忽略，即滿足近似式 (4-9)zyx,zyyxxyxjkzyyxxjkee222211222121即對于即對于 一切可能最大值中滿足下列一切可能最大值中滿足下列條件條件 即即 此式為夫瑯和費近似此式為夫瑯和費近似2121yx222max2121zyxmax212121y

36、xz2.夫瑯和費衍射公式夫瑯和費衍射公式 11211021122,1,dydxeyxUeejzyxUyyxxzjzyxjkjkz3.說明說明（1）夫瑯和費近似下）夫瑯和費近似下 的取值范圍的取值范圍 菲涅耳近似下菲涅耳近似下 的取值范圍的取值范圍max212121yxz2max212181yyxxzzz（2）在計算衍射問題中，精度不同，要求）在計算衍射問題中，精度不同，要求 的取值范圍不同，一般說來，常用的取值范圍不同，一般說來，常用 來來估算估算 的取值范圍。的取值范圍。（3）兩類衍射的關系）兩類衍射的關系 滿足夫瑯和費近似，就一定滿足菲涅耳近滿足夫瑯和費近似，就一定滿足菲涅耳近似。似。z1

37、0z4.2 夫瑯和費衍射夫瑯和費衍射4.2.1夫瑯和費近似范圍夫瑯和費近似范圍但一般情況下，但一般情況下， max212121yxzz4.2.2夫瑯和費衍射公式與傅立葉變換夫瑯和費衍射公式與傅立葉變換1.傅立葉變換式傅立葉變換式夫瑯和費衍射公式夫瑯和費衍射公式dxdyeyxgffGyfxfjyxyx 2,結論：結論：(1)積分是衍射屏后復振幅積分是衍射屏后復振幅 的傅立葉的傅立葉變換；變換；(2)若單位振幅的平面波垂直照明到衍射屏上，若單位振幅的平面波垂直照明到衍射屏上，則這個積分就是孔徑函數（或衍射屏的透則這個積分就是孔徑函數（或衍射屏的透過率函數）的傅立葉變換。過率函數）的傅立葉變換。(3

38、)二者關系二者關系 110, yxU1102,22yxUFezjeyxUzyxjkjkz2.說明說明 （1）空頻之間的變換關系）空頻之間的變換關系 ， （2）若用衍射屏的透過率函數來描述衍射）若用衍射屏的透過率函數來描述衍射花樣，按夫瑯和費衍射的條件，則入射光花樣，按夫瑯和費衍射的條件，則入射光必須是平行光，即光源、觀察屏均距離衍必須是平行光，即光源、觀察屏均距離衍射屏為無窮遠射屏為無窮遠.若只要求觀察面上的光場若只要求觀察面上的光場分布，只需滿足觀察屏距離衍射屏足夠遠分布，只需滿足觀察屏距離衍射屏足夠遠即可。即可。 zxfxzyfy（3）衍射花樣實質就是觀察屏上的強度分布，）衍射花樣實質就是

39、觀察屏上的強度分布，而強度分布是由而強度分布是由 所決定的。所決定的。（4）滿足夫瑯和費的觀察屏，可以看成是衍）滿足夫瑯和費的觀察屏，可以看成是衍射屏后復振幅分布射屏后復振幅分布 所對應的頻譜所對應的頻譜面面 觀察屏觀察屏 頻譜面頻譜面 二者構成一對付氏變換對二者構成一對付氏變換對110, yxUF110, yxU3.計算步驟計算步驟第第1步：根據照明光場的分布和衍射屏透過率步：根據照明光場的分布和衍射屏透過率特性寫出特性寫出第第2步：求步：求第第3步：將步：將 的變換關系代入的變換關系代入觀察屏復振幅表達式中得觀察屏復振幅表達式中得 110, yxU110, yxUFzyfzxfyx,4.2

40、.3 幾種典型的夫瑯和費衍射幾種典型的夫瑯和費衍射1.矩形孔的夫瑯和費衍射矩形孔的夫瑯和費衍射設矩形孔的邊長分別為設矩形孔的邊長分別為 ，并取單位振，并取單位振幅的平行光垂直照明，幅的平行光垂直照明，衍射屏后表面的復振幅為衍射屏后表面的復振幅為 ，衍射屏，衍射屏的透過率函數為的透過率函數為 yxLL ,110, yxU11, yxt顯然顯然 將此代入夫瑯和費衍射公式中，將此代入夫瑯和費衍射公式中，yxLyrecLxrecyxtyxU1111110,1102,22yxUFezjeyxUzyxjkjkz確定確定 將變換關系式代入將變換關系式代入 可有可有 yyxxyxyxfLfLsicLLLyre

41、cLxrecFyxUF,;,11110zyfzxfyx,zyLsiczxLsicLLezjeyxUyxyxzyxjkjkz222,進一步得到衍射花樣的強度分布進一步得到衍射花樣的強度分布 zyLsiczxLsiczLLyxUyxUyxIyxyx22222,結果分析：結果分析：（1）在）在 處，處， 取最大值為取最大值為 ；（2） 與距離與距離 的平方成反比，與孔的平方成反比，與孔徑面積平方成正比；徑面積平方成正比；（3）第一個零值點為）第一個零值點為 軸：軸： ， 軸：軸： 0 yxI222max0 , 0zLLIIyxyxI,zxxLzxyLzyy(4) 軸上中央最大值的寬度為：軸上中央最大

42、值的寬度為： 軸上中央最大值的寬度為：軸上中央最大值的寬度為： (5)衍射花樣具有周期性，衍射花樣具有周期性， 方向的空間周期為：方向的空間周期為： 方向的空間周期為：方向的空間周期為： xxLz2yyLz2xyxLzyLz2.園孔夫瑯和費衍射園孔夫瑯和費衍射采用極坐標，衍射屏的坐標為采用極坐標，衍射屏的坐標為 ，觀察，觀察屏的坐標為屏的坐標為 ，園孔直徑為，園孔直徑為 。取單位振幅的平面波垂直照射取單位振幅的平面波垂直照射衍射屏后表面的復振幅為衍射屏后表面的復振幅為衍射屏的透過率函數為衍射屏的透過率函數為11,r, rl 10rU 1rt顯然顯然 由夫瑯和費衍射公式由夫瑯和費衍射公式 lrc

43、irlrcirrtrU1111022 zrzrjkjkzrUFezjeyxU1022,由可分離變量的付氏變換，對其園對稱函數由可分離變量的付氏變換，對其園對稱函數可做付可做付貝變換貝變換 此處此處 ，所以，所以 aGaargBr021la2aaJllGllrcirB222212120212212llJl將將 代入得：代入得：zr 2122222kzrjkjkzzlrzlrJlezjerUzklrzklrJzjkleezrjkjkz22281222衍射花樣的強度分布：衍射花樣的強度分布： 2122228zklrzklrJzklrUrUrI結果分析：結果分析：(1)此強度分布又稱：愛里圖樣。中央亮

44、斑為此強度分布又稱：愛里圖樣。中央亮斑為 “愛里斑愛里斑”，其半徑為，其半徑為(2) 在整個在整個 面上，愛里圖樣分布呈現園對面上，愛里圖樣分布呈現園對稱稱。lzr22. 1xy3.正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射(1)問題的提出：問題的提出：(a)作為光波的復振幅包括振幅和相位兩部分，作為光波的復振幅包括振幅和相位兩部分，這兩部分的分布都會產生衍射。作為衍射這兩部分的分布都會產生衍射。作為衍射屏除了可以反映對光振動的幅值變化，同屏除了可以反映對光振動的幅值變化，同時光場中光程的不同，也可使衍射屏表現時光場中光程的不同，也可使衍射屏表現出對光波的相位延遲。出對光波的相位

45、延遲。(b)由前面所討論的衍射物，都是無限大不透由前面所討論的衍射物，都是無限大不透明屏上開有不同形狀，作為屏的復振幅透明屏上開有不同形狀，作為屏的復振幅透過率函數都具有過率函數都具有 ， 但衍射屏的情況并非都取如上形狀，那么但衍射屏的情況并非都取如上形狀，那么如果形狀不同，透過率函數會有何不同，如果形狀不同，透過率函數會有何不同，從而導致衍射花樣回發(fā)生怎樣的變化。從而導致衍射花樣回發(fā)生怎樣的變化。01,11yxt(c)由于衍射屏的特點。一般而言由于衍射屏的特點。一般而言 是是一復函數，其模表示振幅的透過率，取值一復函數，其模表示振幅的透過率，取值為為1（全透明）和零（不透明）之間，其（全透明

46、）和零（不透明）之間，其輻角可以取任何值輻角可以取任何值11, yxt(2)正弦型振幅光柵的復振幅透過率函數正弦型振幅光柵的復振幅透過率函數 其中：其中： 表示邊長為表示邊長為 的正方的正方形孔徑；形孔徑； 表示光柵的空間頻率；表示光柵的空間頻率；lyreclxrecxfmyxt1110112sin221,lyreclxrec11l0f02sin221,1011xfmyxt其它（孔外）lylx1100孔內孔內（3）夫瑯和費復振幅分布）夫瑯和費復振幅分布采用單位振幅的平面波垂直照明采用單位振幅的平面波垂直照明 ，此時光柵后表面的復振幅為此時光柵后表面的復振幅為光柵透過率函數為則有光柵透過率函數為

47、則有 則有則有1m110, yxU11, yxt10110112sin221,xfmyxUyxt夫瑯和費衍射的復振幅分布為：夫瑯和費衍射的復振幅分布為：而而112,22yxtFezjeyxUzyxjkjkzlyreclxrecFxfmFyxtF1110112sin221,yxyxyxyxflsicflsicjmfffjmfffjmff,4,4,4,2100將變換式代入：將變換式代入： 可得復振幅：可得復振幅：zyfzxfyx,zfxzlsicjmzfxzlsicjmzlxsiczlysiceezjlyxUzyxjkjkz0022222,22（4）衍射花樣的強度分布）衍射花樣的強度分布zfxzl

48、sicjmzfxzlsicjmzlxsiczlysiczlyxI00222222,zfxzlsicjmzfxzlsicjmzlxsic0022結果分析：結果分析：（a）中央最大值寬度均為）中央最大值寬度均為 ；（b）其后各次極大值的寬度均為）其后各次極大值的寬度均為 ；（c）抽樣函數分別向）抽樣函數分別向 軸正向和負向移動軸正向和負向移動距離為距離為lz2lzxzf0（d）當）當 時，兩個抽樣函數的時，兩個抽樣函數的乘積為小量，可忽略。則強度分布中兩個乘積為小量，可忽略。則強度分布中兩個抽樣函數的交叉項不存在。此時兩個抽樣抽樣函數的交叉項不存在。此時兩個抽樣函數最大值的間隔比抽樣函數中央最大值

49、函數最大值的間隔比抽樣函數中央最大值的寬度大得多。的寬度大得多。（e）光柵常數）光柵常數 正弦光柵的空間周期正弦光柵的空間周期lzzf2001f（5）正弦光柵（振幅型）的色散和分辨本領）正弦光柵（振幅型）的色散和分辨本領 線色散線色散 對于正弦型光柵只有對于正弦型光柵只有 級分量（與矩形級分量（與矩形光柵不同）光柵不同）由正弦型光柵的強度分布可知所有波長的由正弦型光柵的強度分布可知所有波長的零級分量的極大值都位于零級分量的極大值都位于 處，故零處，故零級分量的色散級分量的色散=0，分辨本領，分辨本領=0。而正一級。而正一級極大值的位置由方程極大值的位置由方程 確定確定 則線色散為：則線色散為：

50、 ddx1, 0 0 x00zfxzfx0zfddx0 分辨本領分辨本領設若設若 和和 是滿足瑞利判據是滿足瑞利判據恰好恰好分開的兩個波長，則它們的最大值分開的兩個波長，則它們的最大值位置對應為位置對應為 和和 由一級極大值方程可有的方程由一級極大值方程可有的方程 111xlzx11zfx101對應對應 的方程為：的方程為： 兩式相減兩式相減 分辨本領：分辨本領： 其中其中 為光柵總條數。為光柵總條數。 正弦光柵的分辨本領由總條數決定，與正弦光柵的分辨本領由總條數決定，與 無關。無關。lzx1111011zflzx11lf0lf0z4.正弦型相位光柵的夫瑯和費衍射正弦型相位光柵的夫瑯和費衍射（

51、1）光柵透過率函數）光柵透過率函數 相位型正弦光柵是透明的，對入射光波其相位型正弦光柵是透明的，對入射光波其衍射屏保持振幅不衰減，衍射是由相位延衍射屏保持振幅不衰減，衍射是由相位延遲引起的；該光柵遲引起的；該光柵lyreclxreceyxtxfmj112sin21110,1m2.透過率函數的付氏變換透過率函數的付氏變換采用單位振幅的平面波垂直照明，則衍射采用單位振幅的平面波垂直照明，則衍射屏后表面的復振幅為屏后表面的復振幅為其中：其中： 是是 階第一類貝塞爾函數階第一類貝塞爾函數110, yxU101022sin2111102,xqfjqqxfmjemJeyxtyxUqJq 對此式取付氏變換對

52、此式取付氏變換lyreclxrecFeFyxtFyxUFxfmj112sin21111010,yqxyxqlfsiclfsiclfqffmJ20,2qxqyqfflsicmJlfsicI022夫瑯和費衍射的復振幅夫瑯和費衍射的復振幅夫瑯和費衍射花樣的強度分布夫瑯和費衍射花樣的強度分布 考慮近似條件考慮近似條件 時時qqzyxjkjkzzqfxzlsicmJzlysiceezjlyxU0222,22lf20zqfxzlsicmJzlysiczlyxIqq022222,結果分析：結果分析：（1）第）第 級與第級與第 級分量最大值之間距級分量最大值之間距離為離為 ；（2）每個分量中央最大值的寬度為；

53、）每個分量中央最大值的寬度為；（3）相位延遲可以大于）相位延遲可以大于 弧度，所以弧度，所以（4）相位型各級極大值衰減很小，且根據的）相位型各級極大值衰減很小，且根據的取值決定了相位型光柵有取值決定了相位型光柵有q1qzf0lz2211m2, 1, 0（5）每一級分量的最大值大小由）每一級分量的最大值大小由 決定，不同的值，其不同決定，不同的值，其不同（6）零級色散）零級色散=0，分辨本領，分辨本領=0。22mJq22mJq4。3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射431 菲涅耳衍射公式的兩種形式菲涅耳衍射公式的兩種形式1121102121,dydxeyxUzjeyxUzyyxxjkjkz zyxjkjkz

54、eyxUzje211022, 菲涅爾衍射的實質就是從菲涅爾衍射的實質就是從 到到是一種線性空不變的變換。是一種線性空不變的變換。當完全是幾何投影（直線傳播）時，衍射當完全是幾何投影（直線傳播）時，衍射屏上的復振幅屏上的復振幅 與觀察屏上的復振與觀察屏上的復振幅幅 完全相等；完全相等；110, yxUyxU,110, yxUyxU, 當衍射發(fā)生時，衍射屏上每個小面元的當衍射發(fā)生時，衍射屏上每個小面元的復振幅復振幅 按脈沖響應按脈沖響應 的形式擴展，而觀察屏上每一點的形式擴展，而觀察屏上每一點 的的復振幅復振幅 是所有是所有 擴展后在擴展后在該點引起的復振幅的相干疊加（即可表示該點引起的復振幅的相

55、干疊加（即可表示為空域的卷積）；為空域的卷積）；11110,dydxyxUyxh,yx,yxU,110, yxU 若將菲涅耳看成是一種變換時，則需引入系若將菲涅耳看成是一種變換時，則需引入系統(tǒng)函數統(tǒng)函數由于脈沖響應為由于脈沖響應為 所以所以zyyxxjkjkzezjeyyxxh2112121,yxhFyyxxhFffHyxyx,01111zyxjkjkzezjeF22222yxffzjjkzee系統(tǒng)函數是系統(tǒng)函數是 的點擴展函數的點擴展函數 的付氏變換的付氏變換011 yxyxh, 11221102111122,dydxeeyxUezjeyxUyyxxzjzyxjkzyxjkjkzzyxjkz

56、yxjkjkzeyxUFezje21102212122,第二種形式：第二種形式： 菲涅耳衍射是菲涅耳衍射是的傅立葉變換。的傅立葉變換。由于由于 中包含中包含 的二次相的二次相位因子，在一定條件下，它可與位因子，在一定條件下，它可與 相相消，則此時菲涅耳衍射就成為衍射屏透過消，則此時菲涅耳衍射就成為衍射屏透過率函數率函數 的傅立葉變換，這種情況的傅立葉變換，這種情況下，菲涅耳衍射的計算會變得十分簡單。下，菲涅耳衍射的計算會變得十分簡單。zyxjkeyxU21102121,110, yxU11, yxzyxjke2212111, yxt4.3.2會聚光照射下的菲涅耳衍射會聚光照射下的菲涅耳衍射1衍

57、射屏的復振幅衍射屏的復振幅采用會聚球面波照明衍射屏，設衍射屏的復采用會聚球面波照明衍射屏，設衍射屏的復振幅透過率函數為振幅透過率函數為 ，并設觀察，并設觀察屏與屏與衍射屏平行且照明會聚球面波的中心通過衍射屏平行且照明會聚球面波的中心通過觀察屏，該中心的坐標觀察屏，該中心的坐標 用表示。用表示。110, yxU11, yxtYX,在近軸條件下，衍射屏上的復振幅為在近軸條件下，衍射屏上的復振幅為 其中：其中： 為觀察屏到衍射屏間的距離；為觀察屏到衍射屏間的距離； 為照明光源強度確定的常量。為照明光源強度確定的常量。zYyXxjkezayxU201102121,z0a2觀察屏的復振幅分布觀察屏的復振

58、幅分布令：令： 同時令同時令則觀察屏的復振幅為：則觀察屏的復振幅為： 112112220112222,dydxeyxteezjeayxUzYxyzXxxjzYXjkzyxjkjkz20zjeaCjkzyxffTyxt,11yxzYXjkzyxjkzYXjkzyxjkffTeeCyxtFeeCyxU,22112222222222其中其中 zxfxzyfyzYyzXxTeeCyxUzYXjkzyxjk,2222223.說明說明（1）該式表示觀察屏在）該式表示觀察屏在 方向發(fā)生位移方向發(fā)生位移 的復振幅表達式的復振幅表達式（2）與）與 有關的相位因子有關的相位因子 對強度分布無影響；同時對已確定的會

59、聚對強度分布無影響；同時對已確定的會聚球面波它也只是常相位因子，故對相位分球面波它也只是常相位因子，故對相位分布也無影響；布也無影響；yx,YX,YX,zYXjke222（3）結論）結論 以會聚球面波照明衍射屏，在通過會聚中以會聚球面波照明衍射屏，在通過會聚中心的平面上觀察菲涅耳衍射花樣，它與以心的平面上觀察菲涅耳衍射花樣，它與以平行光垂直照明該衍射屏時的夫瑯和費衍平行光垂直照明該衍射屏時的夫瑯和費衍射一樣，只是中心不在原點，而在會聚球射一樣，只是中心不在原點，而在會聚球面波的球心。面波的球心。第五章第五章 透鏡的傅立葉變換透鏡的傅立葉變換概述概述 夫瑯和費衍射分布是平行光照射下的衍射夫瑯和費

60、衍射分布是平行光照射下的衍射屏透過率函數屏透過率函數 的傅立葉變換；的傅立葉變換； 菲涅耳衍射分布是以會聚球面波照明，在菲涅耳衍射分布是以會聚球面波照明，在通過球心的觀察屏上的復振幅分布也是通過球心的觀察屏上的復振幅分布也是 的傅立葉變換。的傅立葉變換。 透鏡是光學系統(tǒng)中最基本的元件，本章解透鏡是光學系統(tǒng)中最基本的元件，本章解決透鏡在什么條件下能實現傅立葉變換及決透鏡在什么條件下能實現傅立葉變換及透鏡傅立葉變換的性質。透鏡傅立葉變換的性質。11, yxt11, yxt5.1 光波通過薄透鏡后相位變化光波通過薄透鏡后相位變化5.1.1 基本概念基本概念1描述透鏡的物理量描述透鏡的物理量 設透鏡是