非線性振動(dòng)匯總

1、 目錄1.兩端鉸支偏置轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)渦動(dòng)分析11.1轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型三維立體示意圖：（UG）31.2轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型二維平面示意圖：（CAD）41.3導(dǎo)出兩端彈性支承剛性薄單盤偏置轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)渦動(dòng)微分方程：51.3.1偏置轉(zhuǎn)子在平動(dòng)坐標(biāo)系中的動(dòng)量矩51.3.2在平動(dòng)坐標(biāo)系中外力矩的表達(dá)71.3.3在平動(dòng)坐標(biāo)系中定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程71.4形心穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)時(shí)的頻率方程，畫出渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系曲線圖：81.4.1同步渦動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速：91.4.2穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系：91.4.3渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系曲線如下：101.5mathematic源代碼112. 威爾遜-法求解等加速時(shí)的瞬

2、態(tài)渦動(dòng)幅頻特性122.1 分析122.2 MATLAB編程求解16兩端鉸支偏置轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)渦動(dòng)分析已知：設(shè)有兩端鉸支偏置單盤轉(zhuǎn)子，兩端的滾動(dòng)軸承簡(jiǎn)化為鉸支座，彈性軸跨長(zhǎng)直徑彈性模量，材料密度。固定在離支承處的圓盤厚，直徑，若不計(jì)重力影響與系統(tǒng)阻尼，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似按薄圓盤計(jì)算。為自轉(zhuǎn)角位移，取。假設(shè)無質(zhì)量偏心，不計(jì)重力影響，外力矩的作用是保證轉(zhuǎn)子作等加速轉(zhuǎn)動(dòng)。求：畫出轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型三維立體示意圖，導(dǎo)出兩端鉸支承剛性薄單盤偏置轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)渦動(dòng)微分方程；應(yīng)用軟件求解該轉(zhuǎn)子形心穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)時(shí)的頻率方程，畫出渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系曲線圖；應(yīng)用數(shù)值方法求解等加速度時(shí)的瞬態(tài)渦動(dòng)的幅頻特性，并畫出渦動(dòng)振

3、幅與自轉(zhuǎn)角速度的幅頻關(guān)系曲線圖和瞬態(tài)渦動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程曲線。1.1轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型三維立體示意圖：（UG）1.2轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型二維平面示意圖：（CAD）1.3導(dǎo)出兩端彈性支承剛性薄單盤偏置轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)渦動(dòng)微分方程：1.3.1偏置轉(zhuǎn)子在平動(dòng)坐標(biāo)系中的動(dòng)量矩偏置轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)是剛體在三維空間中的一般運(yùn)動(dòng)，可以分解成形心的平動(dòng)和相對(duì)形心的運(yùn)動(dòng)。隨形心的平動(dòng)用3個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程描述，相對(duì)形心的轉(zhuǎn)動(dòng)用3個(gè)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程描述，共計(jì)需要6個(gè)方程。假設(shè)渦動(dòng)引起的轉(zhuǎn)軸彎曲變形很小，忽略橫向彎曲引起的軸向位移。因而偏置轉(zhuǎn)子在空間的一般運(yùn)動(dòng)用5個(gè)方程描述。下面導(dǎo)出單盤偏置轉(zhuǎn)子由于變轉(zhuǎn)速引起的瞬態(tài)渦動(dòng)方程。歐拉角表示的剛性支承偏置

4、轉(zhuǎn)子位置示意圖圓盤無偏心，圖中為固定坐標(biāo)系，為過圓盤形心的平動(dòng)坐標(biāo)系，為過圓盤形心的隨盤轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，采用第二類歐拉角表示的各坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。當(dāng)圓盤以自轉(zhuǎn)角速度繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，單盤偏置轉(zhuǎn)子的角速度矢量在旋轉(zhuǎn)后的動(dòng)坐標(biāo)系中的投影用第2類歐拉角表示為 （1-1）注意，在圖示情況下圓盤在作第2次旋轉(zhuǎn)時(shí)繞負(fù)軸旋轉(zhuǎn)，固角速度，這與第1章所述有所不同。在平動(dòng)坐標(biāo)系中圓盤對(duì)形心的動(dòng)量矩為 （1-2）式中 （1-3）由于動(dòng)坐標(biāo)軸與的夾角的夾角很小，有代入對(duì)圓盤形心的動(dòng)量矩，略去二階以上高階無窮小量，有 （1-4）注意，這里采用的是平動(dòng)坐標(biāo)系，如果采用旋轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)量矩的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式不為此，但這兩種坐標(biāo)

5、系下動(dòng)量矩的最終形式是一致的。1.3.2在平動(dòng)坐標(biāo)系中外力矩的表達(dá)下面分析作用在彈性軸上的力矩。作用在轉(zhuǎn)軸上的力矩有，彈性恢復(fù)力矩和阻力矩。由材料力學(xué)知，圓軸在平面上彈性恢復(fù)力和彎矩 （1-5）注意，力矩的下標(biāo)表示在平面內(nèi)的力矩。同理圓軸在平面內(nèi)彈性恢復(fù)力和恢復(fù)力矩 （1-6）因忽略阻尼，所以沒有阻力矩。由合力矩定理得到各力矩在相應(yīng)軸上的投影 （1-7）注意，因假設(shè)轉(zhuǎn)軸具有無限大扭轉(zhuǎn)剛度，所以第3個(gè)方程等號(hào)右端等于零。如果考慮扭轉(zhuǎn)剛度，則彈性軸受到不均勻外力矩作用形成的彈性扭矩為1.3.3在平動(dòng)坐標(biāo)系中定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程將圓盤的動(dòng)量矩和外力矩帶入相對(duì)形心的動(dòng)量矩定理 （1-8）整理得到描述相對(duì)圓

6、盤形心運(yùn)動(dòng)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 （1-9）再加上圓盤隨形心運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)微分方程 （1-10）這就是剛性支承偏置單盤轉(zhuǎn)子變轉(zhuǎn)速瞬態(tài)自由渦動(dòng)微分方程，共計(jì)5個(gè)方程。對(duì)于圓軸截面，。第2和第3個(gè)方程可簡(jiǎn)化為：（1-11）1.4形心穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)時(shí)的頻率方程，畫出渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系曲線圖：由題目給出的條件代入數(shù)據(jù)，得：，（因?yàn)槭莿?dòng)力對(duì)稱轉(zhuǎn)子圓盤）對(duì)于等截面軸，有1.4.1同步渦動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速：當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)為同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)。由方程：（1-12）代入數(shù)據(jù)，得臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：當(dāng)同步反進(jìn)動(dòng)時(shí)，由方程：（1-13）代入數(shù)據(jù)得臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：1.4.2穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系：由偏置單盤轉(zhuǎn)子

7、穩(wěn)態(tài)自由渦動(dòng)渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系式為： （1-14）將前面已求得的各個(gè)數(shù)據(jù)代入上式，可寫為：（1-15）取不同值時(shí)，經(jīng)Mathematic算出對(duì)應(yīng)的值，如下表所示：01721.3269.2839-1721.3-269.2842001926.589276.2289-1540.8-262.0176002408.598289.0732-1251.01-246.66110002973.112300.489-1043.04-230.56614003600.57310.5334-896.845-214.25818004273.044319.3285-794.088-198.28520004621.

8、761323.3033-754.491-190.5731.4.3渦動(dòng)角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系曲線如下：1.5mathematic源代碼2. 威爾遜-法求解等加速時(shí)的瞬態(tài)渦動(dòng)幅頻特性2.1 分析因假設(shè)沒有作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡外力，不計(jì)重力，沒有重力矩，只有保持轉(zhuǎn)子作等加速轉(zhuǎn)動(dòng)的外力矩。取廣義坐標(biāo)，有前面分析可知，系統(tǒng)微分方程簡(jiǎn)化為 （1-16）轉(zhuǎn)子形心的瞬態(tài)渦動(dòng)幅頻特性:圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)軸的截面慣性矩及材料的彈性模量，由影響系數(shù)法假定轉(zhuǎn)子受單位力作用求轉(zhuǎn)子的位移和轉(zhuǎn)角，其表達(dá)式為 （1-17）假定轉(zhuǎn)子受單位力矩作用求轉(zhuǎn)子的位移和轉(zhuǎn)角，其表達(dá)式為 （1-18）從而得柔度矩陣 （1-19）則剛度矩

9、陣為 （1-20）對(duì)于等截面圓軸，有等加速過程中，不考慮中的第三式，由威爾遜-法設(shè)轉(zhuǎn)子渦動(dòng)微分方程為 （1-21）式中分別為質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣和外激勵(lì)矩陣。例如，對(duì)于單盤對(duì)稱放置轉(zhuǎn)子，有 （1-22） （1-23）設(shè)轉(zhuǎn)子按式（1-1）給定的條件作等加速度旋轉(zhuǎn)。威爾遜-法是線性加速度法的擴(kuò)展，就是將時(shí)間細(xì)化為很小的時(shí)間間隔。假定由到的時(shí)間間隔內(nèi)，結(jié)點(diǎn)的加速度按線性變化，加速度變化如下圖所示：令表示時(shí)間增量，其中，于是對(duì)從到的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，假定 （1-24）經(jīng)過積分與推導(dǎo)后可以由到時(shí)刻的向量，把這些時(shí)的向量代入運(yùn)動(dòng)微分方程后得 （1-25）把不含的項(xiàng)移到右邊，得到 （1-26）式中 （1-

10、27） （1-28）由以上式子可以解出位移向量，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到下面各式，將代入下面各式中，并令，可以得到時(shí)刻的向量： （1-29）當(dāng)某時(shí)刻t瞬時(shí)節(jié)點(diǎn)的位移，速度，加速度已知，同時(shí)還知道通過上式求出該節(jié)點(diǎn)時(shí)刻的位移，聯(lián)立上式求得時(shí)刻的位移速度加速度，由此可求得任意瞬時(shí)各節(jié)點(diǎn)的位移，速度，加速度。這個(gè)求解過程可通過計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。對(duì)于時(shí)刻軸系各節(jié)點(diǎn)的位移，可用所研究問題的運(yùn)動(dòng)微分方程求得，具體步驟如下：(1) 設(shè)定初值和計(jì)算常數(shù)：1) 設(shè)定初值，和2) 取參數(shù)，選擇時(shí)間步長(zhǎng)，積分常數(shù)(1-30) (1-31)（2） 生成剛度矩陣K，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C，并形成等效剛度矩陣： (1-32)（3）

11、 對(duì)做三角分解： 或（4） 計(jì)算等效載荷向量：（1-33）（5） 對(duì)每一時(shí)刻計(jì)算時(shí)刻的位移向量： （1-34）（6）計(jì)算時(shí)刻的加速度，速度和位移： （1-35）2.2 MATLAB編程求解求得加速度圖如下加速度速度圖如下速度求得位移圖如下位移2.3 MATLAB源代碼clcclear% 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程參數(shù)M=;K=;C=;a0=6/2;a1=3/;a2=2a1;a4=ao/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=/2;a8=/6;% 威爾遜參數(shù)theta=1.4;dt=0.02; % 時(shí)間間隔tau=dt*theta;% 數(shù)據(jù)處理eqd=load('acc_ElCentro_0.34g_

12、0.02s.txt'); % 加速激勵(lì)，第一列是時(shí)間，第二列是加速度n=size(eqd,1);t=0:dt:(n-1)*dt;xg=eqd(:,2)*9.8; % 對(duì)加速度進(jìn)行處理dxg=diff(xg)*theta; %F=-M*xg;% D2x 加速度； Dx 速度； x 位移D2x=zeros(n,1);Dx=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:n-1 K_ba=K+3/tau*C+6/tau2*M; dF_ba=-M*dxg(i)+(M*6/tau+3*C)*Dx(i)+(3*M+tau/2*C)*D2x(i); dx=dF_ba/K_ba; dD2x=(dx*6/tau2-Dx(i)*6/tau-3*D2x(i)/theta; D2x(i+1)= a4*(x(i