高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)

1、 高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié) 新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但在考試測(cè)驗(yàn)甚至高考中不乏對(duì)函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對(duì)稱性，因?yàn)榻滩纳蠈?duì)它有零散的介紹，例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的對(duì)稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗(yàn)看，這方面一直是教學(xué)的難點(diǎn)，尤其是抽象函數(shù)的對(duì)稱性判斷。所以這里我對(duì)高中階段所涉及的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)做一個(gè)粗略的總結(jié)。 一、對(duì)稱性的概念及常見函數(shù)的對(duì)稱性 1、對(duì)稱性的概念 函數(shù)軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。 中心

2、對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為 該函數(shù)的對(duì)稱中心。 2、常見函數(shù)的對(duì)稱性（所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值） 常數(shù)函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。 一次函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。 二次函數(shù)：是軸對(duì)稱，不是中心對(duì)稱，其對(duì)稱軸方程為x=-b/(2a)。 反比例函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中原點(diǎn)為它的對(duì)稱中心，y=x與y=-x均為它的對(duì)稱軸。 指數(shù)函數(shù)：既不是軸

3、對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。 對(duì)數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。 冪函數(shù)：顯然冪函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是y軸；而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。 正弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中（k，0）是它的對(duì)稱中心，x=k+/2是它的對(duì)稱軸。 正弦型函數(shù)：正弦型函數(shù)y=Asin(x+)既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，只需從x+=k中解出x，就是它的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)當(dāng)然為零；只需從x+=k+/2中解出x，就是它的對(duì)稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對(duì)稱軸不會(huì)改變，但對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)會(huì)跟著變化。 余弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中x=k是它的對(duì)稱軸

4、，（k+/2，0）是它的對(duì)稱中心。 正切函數(shù)：不是軸對(duì)稱，但是是中心對(duì)稱，其中（k/2，0）是它的對(duì)稱中心，容易犯錯(cuò)誤的是可能有的同學(xué)會(huì)誤以為對(duì)稱中心只是（k,0）。 對(duì)號(hào)函數(shù)：對(duì)號(hào)函數(shù)y=x+a/x(其中a>0)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以是中心對(duì)稱，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。但容易犯錯(cuò)誤的是同學(xué)們可能誤以為最值處是它的對(duì)稱軸，例如在處理函數(shù)y=x+1/x時(shí)誤以為會(huì)有f0.5)=f(1.5)，我在教學(xué)時(shí)總是問學(xué)生：你可看見過老師將“”兩邊畫得一樣齊？學(xué)生們立刻明白并記憶深刻。 三次函數(shù)：顯然三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性得因題而異。 絕對(duì)值函數(shù)：這里主要說的

5、是y=f(x)和y=f(x)兩類。前者顯然是偶函數(shù)，它會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱;后者是把x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸的上方，是否仍然具備對(duì)稱性，這也沒有一定的結(jié)論，例如y=lnx就沒有對(duì)稱性，而y=sinx卻仍然是軸對(duì)稱。 二、函數(shù)的對(duì)稱性猜測(cè) 1、具體函數(shù)特殊的對(duì)稱性猜測(cè) 一個(gè)函數(shù)一般是不會(huì)關(guān)于x軸的 這是由函數(shù)定義決定的，因?yàn)橐粋€(gè)x不會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)y的值。但我們?cè)诖寺晕⒁?，一個(gè)曲線是可能關(guān)于x軸對(duì)稱的。 例1判斷曲線y2=4x的對(duì)稱性。 函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱 例2判斷函數(shù)y=cos(sin(x)的對(duì)稱性。 函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 例3判斷函數(shù)y=（x3）×sinx的對(duì)稱性。 函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱 例4判斷函

6、數(shù)y=1/x的對(duì)稱性。 函數(shù)關(guān)于y=-x對(duì)稱 例5判斷函數(shù)y=-4/x的對(duì)稱性。 我總結(jié)為：設(shè)（x,y）為原曲線圖像上任一點(diǎn)， 如果（x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于x軸對(duì)稱； 如果（-x,y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱； 如果（-x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 如果（y,x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=x對(duì)稱； 如果（-y,-x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=-x軸對(duì)稱。 2、抽象函數(shù)的對(duì)稱性猜測(cè) 軸對(duì)稱 例6如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數(shù)關(guān)于x=2.5對(duì)稱）

7、 例7如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱軸為x=0，可見偶函數(shù)是特殊的軸對(duì)稱） 例8如果f(x)為偶函數(shù)，并且f(x+1)=f(x+3)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（因?yàn)閒(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對(duì)稱軸x=-1，又因?yàn)樗?為周期，所以x=k是它所有的對(duì)稱軸，kZ） 中心對(duì)稱 例9如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數(shù)的對(duì)稱中心。（因?yàn)樽宰兞考悠饋頌?時(shí)函數(shù)值的和始終為6，所以中點(diǎn)固定為（3.5，3），這就是它的對(duì)稱中心） 例10如果函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函數(shù)的所

8、有對(duì)稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱中心為（0，0），可見奇函數(shù)是特殊的中心對(duì)稱） 例11如果f(x)為奇函數(shù)，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對(duì)稱軸，所以x=-1+2n為對(duì)稱軸，（2k，0）為對(duì)稱中心，其中kZ） 我總結(jié)為： 當(dāng)括號(hào)里面x前面的符號(hào)一正一負(fù)時(shí)告訴我們的就是對(duì)稱性,其中的對(duì)稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測(cè),這里并不主張記結(jié)論，因?yàn)楹苋菀着c后面的結(jié)論相混淆。 而當(dāng)x前面的符號(hào)相同時(shí)告訴我們的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5

9、)是告訴我們它以6為周期。 當(dāng)x前面的符號(hào)相同，同時(shí)告訴我們奇偶性時(shí)我們也可以推出對(duì)稱性，因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號(hào)的能力。 3、兩個(gè)抽象函數(shù)之間的對(duì)稱性猜測(cè) 例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對(duì)稱軸方程。（當(dāng)?shù)谝粋€(gè)函數(shù)的x取0時(shí)，值為f(2),這時(shí)第二個(gè)函數(shù)的x必須取-1才也對(duì)應(yīng)那么多，他們的正中間為-1.5，因而猜測(cè)對(duì)稱軸為x=-1.5） 我總結(jié)為： 當(dāng)括號(hào)里面x前面的符號(hào)一正一負(fù)時(shí)告訴我們的就是對(duì)稱性，其中的對(duì)稱為多少我們?nèi)匀豢梢杂锰厥庵荡雭聿聹y(cè),這里仍然不主張記結(jié)論，因?yàn)楹苋菀着c前面的結(jié)論相混淆。 而當(dāng)x前面的符號(hào)相同時(shí)告訴我們的是圖像平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)

10、，前者是由后者向左移三個(gè)單位得到。 三、對(duì)稱性的證明 如果在解答大題時(shí)僅僅猜測(cè)出結(jié)論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。 1、一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性證明 例13證明如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱。 證明：在y=f(x)上任取點(diǎn)（m，n），則n=f(m)，而點(diǎn)（m，n）關(guān)于x=(a+b)/2的對(duì)稱點(diǎn)為（a+b-m，n）,又因?yàn)閒（a+b-m）=f（a+（b-m）=f（b-（b-m）=f（m）=n,這正表明（a+b-m，n）也在原函數(shù)圖像上，從而原函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱。 我總結(jié)為：核心是間接法，即在函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)如果仍在函

11、數(shù)圖像上，我們就可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對(duì)稱。 2、兩個(gè)函數(shù)之間的對(duì)稱性的證明 例14證明函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(b-x)關(guān)于直線x=(b-a)/2對(duì)稱。（注意不是(a-b）/2,證明的方法類似于上例方法） 我總結(jié)為：仍是間接法，但是多一次，需在函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)如果在對(duì)方函數(shù)圖像上，同時(shí)在對(duì)方函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)又在該函數(shù)圖像上，我們才可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對(duì)稱。取兩次的原因是以免兩個(gè)圖像一個(gè)只是另一個(gè)對(duì)稱過來圖像的一部分。 3、特別地關(guān)于y=x對(duì)稱性的證明 例15證明y=（2x+1）/(3x-2)關(guān)于y=x對(duì)稱。（只需求出它的反函數(shù)是自己即可） 我總結(jié)為： 一個(gè)函數(shù)自身關(guān)于y

12、=x對(duì)稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函數(shù)是自己就可以了。 兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱性證明也不需要用上面那么繁瑣的方法，只需證明兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，即求一個(gè)的反函數(shù)為另外一個(gè)就可以了。 反過來這句話也成立，如果需要證明兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，只需要證明它們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱即可。 四、對(duì)稱性的運(yùn)用 1、求值 例16已知f（x）=4x/(4x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。（我們只需要考慮當(dāng)兩個(gè)自變量加起來為0時(shí)函數(shù)值的和是否為定值，驗(yàn)證果然。而這里顯然隱含的是函數(shù)的對(duì)稱性） 我總結(jié)為：“配對(duì)”，對(duì)稱性主要是考查

13、一對(duì)函數(shù)值之間的關(guān)系。 2、“對(duì)稱性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性 例17如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函數(shù)的最小正周期。（因?yàn)閒(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x)=f(5-(-2-x)=f(7+x)所以周期為4） 我總結(jié)為：兩個(gè)對(duì)稱性拼起來就可以將里面的符號(hào)化為同號(hào)，從而得出周期性。 3、“奇偶性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性 這在前面已經(jīng)提到，還是因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號(hào)的能力。 4、三角函數(shù)的奇偶性 例18如果函數(shù)y=3sin(2x+/4)（其中0<<）是奇函數(shù)，求的值。(2x+/4=k,而x=0，所以+/4=k，在要求的

14、范圍上只有=3/4)我總結(jié)為：幾乎所有的三角函數(shù)的奇偶性都是當(dāng)對(duì)稱性來使用，先求出所有的對(duì)稱軸，然后y軸是其中的一條（或者先求出所有的對(duì)稱中心，然后原點(diǎn)是其中的一個(gè)）。 5、關(guān)于y=x對(duì)稱的應(yīng)用 例19求函數(shù)f(x)=e(x+1)與函數(shù)g(x)=ln(x+1)的對(duì)稱軸方程。（因?yàn)閒(x)=ex與g(x)=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于y=x對(duì)稱，而f(x)=e(x+1)是由f(x)=ex向左移一個(gè)單位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一個(gè)單位得到，因而對(duì)稱軸也跟著左移一個(gè)單位，即y=x+1） 6、對(duì)稱性的本義 例20如果y=asinx+bcosx關(guān)于x=/4對(duì)稱，求直線ax+by+3=0的直線的斜率。（既然關(guān)于x=/4對(duì)稱，則f(0)=f(/2)代入求出a和b的關(guān)系即可） 我總結(jié)為：對(duì)稱性的本義就是關(guān)于對(duì)稱中心（或?qū)ΨQ軸）對(duì)稱的兩個(gè)自變量的函數(shù)值的緊密關(guān)系。 這就是我關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的簡(jiǎn)單總結(jié)，難免掛一漏萬，還請(qǐng)大家批評(píng)指正。最后筆者建議新課標(biāo)教材能類似于函數(shù)周期性，給對(duì)稱性獨(dú)立的一節(jié)，介紹它的概念和運(yùn)用，同步練習(xí)上也給安排一節(jié)對(duì)它的獨(dú)立的練習(xí)，這樣教師在教學(xué)上就可以用適當(dāng)引申的方法，而不是象現(xiàn)在這樣，老師忙于查資料，學(xué)生忙于記筆記，耗時(shí)費(fèi)力地試圖盡可能系統(tǒng)而完整地補(bǔ)充。 結(jié)論1：若對(duì)于函數(shù)y=f(x