高數(shù)微積分多元函數(shù)微積分

1、第六章總結(jié)：第六章總結(jié)：6.2 多元函數(shù)的根本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)概念 三、二元函數(shù)的極限 四、二元函數(shù)的連續(xù)性 注： 設(shè)P0(x0 y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn) 是某一正數(shù) 點(diǎn)P0的鄰域記為U(P0 ) 它是如下點(diǎn)集 v鄰域 | |),(00PPPPU 或 )()( | ) ,(),(20200yyxxyxPU 點(diǎn) P0的去心鄰域 記作) ,(0PU 即 |0 |) ,(00PPPPU 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑 則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域 點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域記作 )(0PU下頁(yè)下頁(yè) 任意一點(diǎn)PR2與任意一個(gè)點(diǎn)集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種 v點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系

2、內(nèi)點(diǎn) 如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P) 使得U(P)E 那么稱P為E的內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn) 如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P) 使得U(P)E 那么稱P為E的外點(diǎn) 邊界點(diǎn) 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn) 也有不屬于E的點(diǎn) 那么稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn) E的邊界點(diǎn)的全體 稱為E的邊界 記作E v開集 v 如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 那么稱E為開集. 下頁(yè)v閉集v 如果點(diǎn)集的余集Ec為開集 那么稱E為閉集 舉例 點(diǎn)集E(x y)|1x2y20 函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域?yàn)?(x y)|x2y21 舉例 下頁(yè)222222yxazyxaz和 zaxbycv二元函數(shù)的圖形 點(diǎn)集(x y z)|zf(

3、x y) (x y)D稱為二元函數(shù)zf(x y)的圖形 二元函數(shù)的圖形是一張曲面 zaxbyc表示一張平面 舉例 方程x2y2z2a2確定兩個(gè)二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面 其定義域均為D(x y)|x2y2a2首頁(yè) 二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限 三、多元函數(shù)的極限v二重極限的定義 設(shè) 二 元 函 數(shù) f ( P ) f ( x y )Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也記作 下頁(yè)下頁(yè) 例 設(shè)22221sin)(),(yxyxyxf 求),(lim)0 , 0(),(yxfyx

4、),(lim)0 , 0(),(yxfyx=0v必須注意v (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時(shí), 函數(shù)都無限接近于A . v (2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí), 函數(shù)趨于不同的值, 那么函數(shù)的極限不存在. 提示討論 下頁(yè) 函數(shù)0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在點(diǎn)(0 0)有無極限？ 四、多元函數(shù)的連續(xù)性0000( , )(,)lim( , )(,)x yx yf x yf xyv二元函數(shù)連續(xù)性定義 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去 下頁(yè)2( , )(0,1)limln()1x yyyxx性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理) 在有界閉區(qū)域

5、D上的多元連續(xù)函數(shù) 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值v多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)2(介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值 結(jié)束一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 類似地 可定義函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)v偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)極限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在 那么稱此極限為函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù) 記作 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz 或 fx(x0 y0) 一、偏導(dǎo)數(shù)

6、的定義及其計(jì)算法v偏導(dǎo)數(shù)的定義 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz ),(00yxfx 如果函數(shù)zf(x y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么f(x y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù) 這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)) 記作xz xf xz 或),(yxfx v偏導(dǎo)函數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法v偏導(dǎo)數(shù)的定義 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz ),(00

7、yxfx xz xf xz 或),(yxfx v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 v偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào) v偏導(dǎo)數(shù)的求法 求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí) 只要把其它自變量看作常數(shù) 然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 yxxz32 例 求zx23xyy2在點(diǎn)(1 2)處的偏導(dǎo)數(shù) 解 8231221yxxz8231221yxxz 7221321yxyz8231221yxxz 7221321yxyz yxxz32 yxxz32 yxyz23 yxyz23 x

8、yxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 解 例例 4 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) 解 rxzyxxxr222解 rxzyxxxr222rxzyxxxr222 ryzyxyyr222 ryzyxyyr222ryzyxyyr222 例 求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù) 解 yxxz2sin2yxxz2sin2 yxyz2cos22yxxz2sin2 yxyz2cos22 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立).0, 0()

9、,0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例如例如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：. . .求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 3. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)， 對(duì)于多元函數(shù)來說對(duì)于多元函數(shù)來說, , 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在在, ,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)也不能保證函

10、數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). . . 0 0, 0 ),(222222yxyxyxxyyxf 但函數(shù)在點(diǎn)(0 0)并不連續(xù)在點(diǎn)(0 0) 有fx(0 0)0 fy(0 0)0 提示： 當(dāng)點(diǎn)P(x y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(0 0)時(shí) 有 22222022 )0 , 0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx 因此 函數(shù)f(x y)在(0 0)的極限不存在 當(dāng)然也不連續(xù) v偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0 y0) f(x y0)x0 fy(x0 y0) f(x0 y)y0 zf(x y0) zf(x0 y) 是截線zf(x y0)在點(diǎn)(x0 y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率 是截線zf(x0 y)在點(diǎn)

11、(x0 y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率 v偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0 y0) f(x y0)x0 fy(x0 y0) f(x0 y)y0 是截線zf(x y0)在點(diǎn)(x0 y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率 是截線zf(x0 y)在點(diǎn)(x0 y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率 ( , ),Q P y設(shè)某產(chǎn)品的需求量設(shè)某產(chǎn)品的需求量v偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義其中其中P為該產(chǎn)品的價(jià)格，為該產(chǎn)品的價(jià)格，為消費(fèi)者收入。稱為消費(fèi)者收入。稱yPQ PEP Q 需求需求Q對(duì)價(jià)格對(duì)價(jià)格P的偏彈性的偏彈性yQ yEy Q 需求需求Q對(duì)收入對(duì)收入y的偏彈性的偏彈性v偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義1( , ),0,01,aap x ycx y

12、ca科布科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中其中p是由是由y,ppxy用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。x個(gè)人力單位和個(gè)人力單位和個(gè)資本單位生產(chǎn)出個(gè)資本單位生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機(jī)器、場(chǎng)地、生產(chǎn)工具和其它的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機(jī)器、場(chǎng)地、生產(chǎn)工具和其它v二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 那么它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):其中fxy(x y)、fyx(x y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù) 類似

13、地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfyxzxzyxy ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfyzyzyyy 解 22)(xzxzx yxzxzy2)( xyzyzx2)( 22)(yzyzy 此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233 xxyyxyz2392 xxyyxyz2392 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz 1

14、96222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz 例 設(shè) zx3y23xy3xy1 求22xz、33xz、xyz2和yxz2 定理 如果二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz2及yxz2在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù) 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等 定理 解 22)(xzxzx yxzxzy2)( xyzyzx2)( 22)(yzyzy 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233 xxyyxyz2392 xxyyxyz2392 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz 196222yyxy

15、xz 196222yyxxyz196222yyxxyz 例 設(shè) zx3y23xy3xy1 求22xz、33xz、xyz2和yxz2 證 證 因?yàn)?ln(21ln2222yxyxz 所以 22yxxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此 )ln(21ln2222yxyxz 所以 22yxxxz 22yxyyz 22yxyyz 222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz 222222222222)()(2)(yxyxyxyy

16、yxyz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz 0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz 例 例 7 驗(yàn)證函數(shù)22lnyxz滿足方程02222yzxz 同理 5232231ryryu 5232231rzrzu 32211rxrxrxrrxu 證 例例 8 證明函數(shù)ru1滿足方程0222222zuyuxu 其中222zyxr 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu5234322313

17、1rxrxrrxrxu 提示 6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu 因此 )31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)( 3352352223rrrrzyxr)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu 033)( 3352352223rrrrzyxr 同理 5232231r

18、yryu 5232231rzrzu 32211rxrxrxrrxu 證 例例 8 證明函數(shù)ru1滿足方程0222222zuyuxu 其中222zyxr 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu 一、全微分的定義二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用6.4 全微分上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)應(yīng)用 一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計(jì)算估計(jì)誤差),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(y

19、xfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì) x 和和對(duì)對(duì) y 的的偏偏微微分分 (partial differential) 二元函數(shù)二元函數(shù) 對(duì)對(duì) x 和對(duì)和對(duì) y 的的偏增量偏增量(partial increment) 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分perfect differential) 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函

20、數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) P對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量全增量(perfect increment)的概念的概念v全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 那么稱函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分 下頁(yè) 如果函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x y)的全增量 zf(xx yy)f(x y) 可表示為) )()( )(22yxoyBxAz v可微分與

21、連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù) 但可微分必連續(xù) 這是因?yàn)? 如果z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 那么 zf(xx yy)f(x y)AxByo()因此函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x y)處連續(xù) 下頁(yè)0lim0z 于是),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx從而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx v可微分的必要條件v應(yīng)注意的問題下頁(yè)v可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù) 但可微分必連續(xù) 如果函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x y)可微分 則

22、函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo) 數(shù)xz、yz必定存在 且函數(shù) zf(x y)在點(diǎn)(x y)的全微分為 yyzxxzdz 偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件 但不是充分條件 v可微分的充分條件 以上結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù) 下頁(yè)v可微分的必要條件v可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù) 但可微分必連續(xù) 如果函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x y)可微分 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo) 數(shù)xz、yz必定存在 且函數(shù) zf(x y)在點(diǎn)(x y)的全微分為 yyzxxzdz 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分 如果函數(shù) zf(x y)的偏導(dǎo)數(shù)xz、yz在點(diǎn)(x y)連續(xù) v疊加原理 按著習(xí)慣 x、y分別記作dx、dy 并分別稱為自變量的微分 這樣函數(shù)z

23、f(x y)的全微分可寫作 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù) 例如uf(x y z)的全微分為下頁(yè)dyyzdxxzdz dzzudyyudxxudu 例1 計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分 解 所以 例2 計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2 1)處的全微分 解 所以 dz2xydx(x22y)dy dze2dx2e2dy 下頁(yè)設(shè) zf(x y) 則dyyzdxxzdz xyxz2 yxyz22 因?yàn)?因?yàn)?xyyexz xyxeyz 212exzyx 212exzyx 2122eyzyx 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2

24、)2cos(yxyyxyz (,)4(,)(,)44dddzzzxyxy 2(47).8設(shè) zf(x y) 則dyyzdxxzdz 解 首頁(yè) 設(shè) uf (x y z) 則dzzudyyudxxudu 例3 例 3 計(jì)算函數(shù)yzeyxu2sin的全微分 1xu 因?yàn)?1xu yzzeyyu2cos21 yzyezu dzyedyzeydxduyzyz)2cos21( 所以zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解: x

25、xxfcos3)0 , 0 ,()0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41類似 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二 、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用下頁(yè) 當(dāng)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處可微，那么函數(shù)L (x, y) f (x0, y0) +fx (x0, y0) (x-x0)fy(x y) (y - y0) 就稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的線性化. 近似式 f(x y) L (x, y) 稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似 例 求函數(shù)221( , )62f

26、x yxxyy在點(diǎn)(3,2)處的線性化. 當(dāng)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù), 并且|x|, |y|都較小時(shí), 有近似等式 zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 那么有 V r2h. 即此圓柱體在受壓后體積約減少了

27、200 cm3 220100005202(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3) VrrVhh 下頁(yè) f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y r20, h100, r0. 05, h1, 根據(jù)近似公式 有 例5 計(jì)算(104)202的近似值 (104)202 所以 x yyx y1xx yln x y f(xx yy) f(x y)fx(x y)xfy(x y)y108 12212100412ln1002 解 設(shè)函數(shù) f(x y)x y 顯然 要計(jì)算的值就是函數(shù)在 x104 y202時(shí)的函數(shù)值f(104 202) 結(jié)束 f

28、(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y 因?yàn)?取x1 y2 x004 y002 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案第五節(jié)、第五節(jié)、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法 設(shè) zf(u v) 而 u(t) v(t) 如何求dtdz？ 設(shè) zf(u v) 而 u(x y) v(x y) 如何求xz和yz？ 一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法那么xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法那么)(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒且?、多元?fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒敲疵炊ɡ矶ɡ? 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)t

29、tvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz那么復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒敲磛utt例如例如, ),(wvufz tzdd321fffzwvuttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏

30、導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .定理定理2uvxzy鏈?zhǔn)椒敲慈鐖D鏈?zhǔn)椒敲慈鐖D示示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyxzx zy zuu x zvvx zwwxzuuy zvvy zwwyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 設(shè)zf(u v) u(x y) v(x y) 那么例 1 設(shè) zeusin v uxy vxy 求xz和yz 例例. 解 xvvzxuuzxz 解解: exyy sin(x

31、y)cos(xy) eusin v 1 eucos v y yvvzyuuzyz eusin v exyx sin(xy)cos(xy)1eucos v x dtdvvzdtduuzdtdz 設(shè)zf(u v) u(t) v(t) 則 zvuyxyxzx zy zuux zuz dvuyv dy特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz zx zy 其中其中把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似fuu

32、x,fx fuuy.fy 解解:ddddddzzuzvztutvttttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2為簡(jiǎn)便起見 , 引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zy

33、xzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff全微分形式不變性的全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、全微分形式不變性全微分形式不變性dzuzvxuxvxdddzzzxyxy dzuzvyuyvyddzuuxyuxyddzvvxyvxydzuu d .z

34、vv )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例.利用全微分形式不變性解例1.解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy( ,)0F x y三、隱函數(shù)微分法三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 例. 驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有

35、連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值 解: 設(shè)F(x y)x2y21 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20隱函數(shù)存在定理:那么 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)F(x y)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 那么方程那么方程F(x y)0在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)yf(x) 它滿足條件它滿足條件y0f(x0). 由隱函數(shù)存在定理 方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能

36、唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 解: 設(shè)F(x y)x2y21 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20那么由隱函數(shù)存在定理 方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 提示: 由方程F(x y)0確定的隱函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)為 yxFFdxdy yxFFdxdyyx 00 xdxdy yxFFdxdyyx 例. 驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值 解: 設(shè)F(x y)x2y21 Fx2x Fy2

37、y F(0 1)0 Fy(0 1)20那么由隱函數(shù)存在定理 方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 00 xdxdy 32221yyyxydxyd32221yyyxydxyd 1022xdxyd 32221yyyxydxyd yxFFdxdyyxyxFFdxdyyx 例. 驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值 v隱函數(shù)存在定理 設(shè)函數(shù)F(x y z)在點(diǎn)P(x0 y0 z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 且F(x0 y0 z0)0

38、Fz(x0 y0 z0)0 那么方程F(x y z)0在點(diǎn)(x0 y0 z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zf(x y) 它滿足條件z0f(x0 y0) 并有zxFFxz zyFFyz 解解:令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒敲础胺侄斡贸? 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分

39、形式不變性, ),(vufz 對(duì)不管 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d3. 隱函數(shù)微分法. 練練 習(xí)習(xí) 題題一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法6.6 多元函數(shù)的極值及其求法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁(yè)v極值的定義 設(shè)函數(shù)z f (x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(diǎn)(x y) 都有 f (x y) f (x0 y0) 那么稱函數(shù)在點(diǎn)(x0 y0)有極大值(或極小值) f (x0 y0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 一

40、、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值v極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(diǎn)(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 那么稱函數(shù)在點(diǎn)(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 例 函數(shù)z3x24y2在點(diǎn)(0 0)處有極小值 提示 當(dāng)(x y)(0 0)時(shí) z0 而當(dāng)(x y)(0 0)時(shí) z0 因此z0是函數(shù)的極小值下頁(yè)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值v極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(diǎn)(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0)

41、 那么稱函數(shù)在點(diǎn)(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 提示函數(shù)22yxz在點(diǎn)(0 0)處有極大值 例 當(dāng)(x y)(0 0)時(shí) z0 而當(dāng)(x y)(0 0)時(shí) z0 因此z0是函數(shù)的極大值 下頁(yè)提示 因?yàn)樵邳c(diǎn)(0 0)處的函數(shù)值為零 而在點(diǎn)(0 0)的任一鄰域內(nèi) 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn) 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn) 例 函數(shù)zxy在點(diǎn)(0 0)處既不取得極大值也不取得極小值 下頁(yè)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值v極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(diǎn)(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 那么稱函數(shù)在點(diǎn)(

42、x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 下頁(yè)v定理1(取得極值的必要條件) 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)具有偏導(dǎo)數(shù) 且在點(diǎn)(x0 y0)處有極值 那么有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 類似地可推得 如果三元函數(shù)uf (x y z)在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有偏導(dǎo)數(shù) 那么它在點(diǎn)(x0 y0 z0)具有極值的必要條件為fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 但凡能使fx(x y)0 fy(x y)0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0 y0)稱為函數(shù)zf(x y)的駐點(diǎn) v駐點(diǎn) 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)具有偏導(dǎo)數(shù) 且在點(diǎn)(x

43、0 y0)處有極值 那么有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 下頁(yè)討論 駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系怎樣？提示 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn) 函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) v定理1(取得極值的必要條件) 例如,有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.yxz 下頁(yè)v定理2(取得極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 那么f (x y)在(x0 y0)處是否取得極值的條件如下 (1)ACB20時(shí)具有極值 且當(dāng)A0時(shí)有極

44、小值 (2)ACB20 那么函數(shù)在駐點(diǎn)處取得極值 如果fxxfyy-fxy20 那么函數(shù)在駐點(diǎn)處不取得極值 在極值點(diǎn)處 當(dāng)fxx0時(shí)有極小值下頁(yè)例例求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(diǎn)(3,0)

45、 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例 討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有

46、02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxzv應(yīng)注意的問題 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn) 因此 在考慮函數(shù)的極值問題時(shí) 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮 下頁(yè)但(0 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn) 例如 函數(shù)22yxz在點(diǎn)(0 0)處有極大值 v最大值和最小值問題v 如果f(x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 那么f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 討論: 比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示 不能 最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得 而極值是在區(qū)域的內(nèi)部求得的下頁(yè) 使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部 也可能

47、在D的邊界上 v最大值和最小值的求法v 將函數(shù)f(x, y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函數(shù)f(x y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) 那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x y)在D上的最大值(最小值) 下頁(yè)v最大值和最小值問題v 如果f(x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 那么f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 下頁(yè) 例 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱 問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí) 才能使用料最省 解 ) 0 , 0( )88( 2)88( 2yxyx

48、xyxyxxyyxyA 令0)8(22xyAx 0)8(22yxAy 得 x2 y2 0)8(22yxAy 得 x2 y2 根據(jù)題意可知 水箱所用材料面積的最小值一定存在 并在開區(qū)域D(x y)|x0 y0內(nèi)取得 又因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)(2 2) 所以此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn) 設(shè)水箱的長(zhǎng)為x m 寬為y m 那么所用材料的面積為 因此 當(dāng)水箱的長(zhǎng)為 2m、寬為 2m、高為2228m時(shí) 水箱所用的材料最省 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法v條件極值 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值 上述問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值問題 這是一個(gè)條件極值問題 例如, 求外表積

49、為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問題. 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x, y, z, 那么體積Vxyz. 又因假定外表積為a2, 所以自變量x, y, z還必須滿足附加條件2(xyyzxz)a2. 下頁(yè)求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值 例如 求Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值 有時(shí)可以把條件極值問題化為無條件極值問題 這就把求條件極值問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題 下頁(yè)二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法v條件極值 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值 由條件2)( 2axzyzxy 解得)( 222yxxyaz 于是得 )(2(22yxxyaxyV (2)用拉格朗日乘數(shù)法 在多數(shù)

50、情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值 需要用一種求條件極值的專用方法 這就是拉格朗日乘數(shù)法 下頁(yè)求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法v條件極值 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值 v拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)zf(x y)在附加條件(x y)0下的可能極值點(diǎn)可以先作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))F(x y)f(x y)l(x y) 其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子) 然后解方程組 上述方程組的解(x y)就是所要求的可能的極值點(diǎn) 對(duì)于所求得的可能的極值點(diǎn)還需判斷是否是極值點(diǎn)在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定 下頁(yè)0),(0),(),(),(0),(),(

51、),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxxll 例例 求外表積為求外表積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積. 設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)x, y, z, 那么問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下的最大值. 作拉格朗日函數(shù) 22220)(2),(0)(2),(0)(2),(axzyzxyxyxyzyxFzxxzzyxFzyyzzyxFzyxlll 解方程組F(x y z)xyzl(2xy2yz2xza2) 結(jié)束得azyx66 這是唯一可能的極值點(diǎn) azyx66 這是唯一可能的極值點(diǎn) 因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在 所以最大值就在3366aV 這個(gè)可

52、能的值點(diǎn)處取得 此時(shí) 解 小小 結(jié)結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz

53、0),(yx),(),(yxyxfFl0 xxxfFl0yyyfFl0lF解解 按題意，即求函數(shù)按題意，即求函數(shù)2( , )0.005S x yx y作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù))1502(005. 0),(2 yxyxyxFl ll l2150 xy 下下 的的 最最 大大 值值在條件在條件20.0100.0052021500FxyxFxyxyl ll l 由由25,100 yx解解得得.12502510012525100005. 0)25,100()25,100(2噸噸值值大大噸噸，可可使使生生產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到最最原原料料噸噸，原原料料即即購(gòu)購(gòu)進(jìn)進(jìn)噸噸，為為最最大大值值，最最大大值值大大值

54、值一一定定存存在在，故故駐駐點(diǎn)點(diǎn)因因僅僅有有一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)，且且最最BAS , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)6.7 二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積 設(shè)一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z

55、軸的柱面 它的頂是曲面zf(x y) 這里f(x y)0且在D上連續(xù) 這種立體叫做曲頂柱體 iiinifVl),(lim10 iiinifV),(1 提示 相應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個(gè)小曲頂柱體提示 其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積Vi Vif(i i)i 用小平頂柱體的體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積 將分割加細(xì) 取極限 求得曲頂柱體體積的精確值i(ii)一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積 用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域 1 2 n iiinif),(1 v二重積分的定義 設(shè)f(x y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù) 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 1 2 n 其中

56、i表示第i個(gè)小閉區(qū)域 也表示它的面積 在每個(gè)小閉區(qū)域i上任取一點(diǎn)(i i) 作和 設(shè)為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 如果當(dāng) 0時(shí)這和式的極限總存在 那么稱此極限為函數(shù)f(x y)在閉區(qū)域D上的二重積分 記為dyxfD),( iiiniDfdyxfl),(lim),(10 積分號(hào) v二重積分的定義積分中各局部的名稱 f(x y)被積函數(shù) f(x y)d被積表達(dá)式 d 面積元素 x y 積分變量 D積分區(qū)域 iiinif),(1 積分和 (1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定定義義中中和和

57、式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在. 對(duì)二重積分定義的說明：對(duì)二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義:當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值 在直角坐標(biāo)系下用平行在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyO那么面積元素那么面積元素(areal element)為為 二、二重

58、積分的性質(zhì)v性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2 則 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( 注 二、二重積分的性質(zhì)v性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 那么 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)局部閉區(qū)域 那么在D上的二重積分等于在各局部閉區(qū)域上的二重積分的和 v性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2 則 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( 二、二重

59、積分的性質(zhì)v性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 那么 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2 則 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( v性質(zhì)3 DDdd1(為 D 的面積) v性質(zhì)4 如果在D上 f(x y)g(x y) 則有不等式dyxgdyxfDD),(),( 特殊地有 dyxfdyxfDD| ),(|),(| v性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值 為D的面積 則有 MdyxfmD),( v性質(zhì)6(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x y)在閉區(qū)域D上連續(xù) 為

60、D的面積 則在D上至少存在一點(diǎn)( )使得 ),(),(fdyxfD 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 222()d,xyaDee 解解22()dxyDe ab2.aab eab區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解練習(xí). 估計(jì)以下積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)100200I102200即: