第二章邏輯代數(shù)基本原理及公式化簡

1、邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算基本邏輯電路基本邏輯電路邏輯代數(shù)的公式、規(guī)則邏輯代數(shù)的公式、規(guī)則公式法化簡邏輯函數(shù)公式法化簡邏輯函數(shù)圖解法圖解法(卡諾圖卡諾圖)化簡化簡多輸出函數(shù)的化簡多輸出函數(shù)的化簡包含任意項的邏輯函數(shù)化簡包含任意項的邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)的變換、化簡邏輯函數(shù)的變換、化簡第第2 2章章 邏輯代數(shù)及邏輯函數(shù)化簡邏輯代數(shù)及邏輯函數(shù)化簡2.1 2.1 邏輯代數(shù)的基本原理邏輯代數(shù)的基本原理 邏輯代數(shù)的基本概念和性質(zhì)是由英國數(shù)學家喬治邏輯代數(shù)的基本概念和性質(zhì)是由英國數(shù)學家喬治布爾布爾在在1919世紀中期首先提出的。又叫布爾代數(shù)。是數(shù)字系統(tǒng)分析世紀中期首先提出的。又叫布爾代數(shù)。是數(shù)字系

2、統(tǒng)分析和設(shè)計的數(shù)學工具。和設(shè)計的數(shù)學工具。 邏輯函數(shù)的表示：真值表，表達式，邏輯圖、卡諾圖、邏輯函數(shù)的表示：真值表，表達式，邏輯圖、卡諾圖、波形圖。波形圖。 邏輯函數(shù)的生成：邏輯問題的描述邏輯函數(shù)的生成：邏輯問題的描述由文字敘述設(shè)計要由文字敘述設(shè)計要求，抽象為邏輯表達式的過程。然后化簡。實現(xiàn)邏輯設(shè)計的求，抽象為邏輯表達式的過程。然后化簡。實現(xiàn)邏輯設(shè)計的第一步。第一步。 邏輯函數(shù)、邏輯變量的取值：、邏輯函數(shù)、邏輯變量的取值：、 邏輯代數(shù)的基本運算：與、或、非邏輯代數(shù)的基本運算：與、或、非 1 1、“與與”運算，邏輯乘運算，邏輯乘 2 2、“或或”運算，邏輯加運算，邏輯加 3 3、“非非”運算，取

3、反運算，取反2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算1 1、“與與”運算：運算： 當決定一事件的所有條件都具備之后，這事件當決定一事件的所有條件都具備之后，這事件才會而且一定會發(fā)生，稱這種關(guān)系為才會而且一定會發(fā)生，稱這種關(guān)系為“與與”邏輯關(guān)邏輯關(guān)系，也稱為邏輯乘。系，也稱為邏輯乘。A B 如圖：用兩個串聯(lián)的開關(guān)如圖：用兩個串聯(lián)的開關(guān)A A、B B來控制一盞燈。來控制一盞燈。燈亮的條件是開關(guān)燈亮的條件是開關(guān)A A“與與”開關(guān)開關(guān)B B“同時同時”處在處在“合上合上”位置。位置。 假定：燈亮為假定：燈亮為“1 1”，不亮為，不亮為“0 0”；開關(guān)；開關(guān)“合上合上”為為“1 1”

4、，“斷開斷開”為為“0 0”。 燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置之間的關(guān)系例表如：燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置之間的關(guān)系例表如：2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算1 1、“與與”運算：運算： 常用真值表來表示邏輯命常用真值表來表示邏輯命題的真假關(guān)系題的真假關(guān)系 。 真值表：把所有的條件的真值表：把所有的條件的全部組合以表格的形式列出來，全部組合以表格的形式列出來，再把在每一種組合下對應的事再把在每一種組合下對應的事件的值求出來，這樣的表格即件的值求出來，這樣的表格即為真值表。為真值表。 每個條件有每個條件有“0 0”、“1 1”兩種狀態(tài)，兩種狀態(tài)，n n個條件個條件有有2 2n n個組合

5、。個組合。 真值表真值表 A BF0 01 00 11 10001F = A B = ABF = A B = AB2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算1 1、“與與”運算：運算： 兩變量兩變量“與與”運算的真值表和門電路符號。運算的真值表和門電路符號。 A AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 10001A AB BF F& &F = A B = AF = A B = AB=ABB=AB2.1.1 2.1.1 邏輯邏輯代數(shù)的基本運算代數(shù)的基本運算2 2、“或或”運算：運算： 當決定一個事件的各個條件中，只要具備一個，當決定一個事件的各個條件中，只要具備

6、一個，事件就會發(fā)生，這樣的關(guān)系稱為事件就會發(fā)生，這樣的關(guān)系稱為“或或”邏輯關(guān)系，或邏輯關(guān)系，或稱邏輯加。稱邏輯加。 A AB B 如圖：用兩個并聯(lián)的開關(guān)如圖：用兩個并聯(lián)的開關(guān)A A、B B來控制一盞燈。燈來控制一盞燈。燈亮的條件，只要開關(guān)亮的條件，只要開關(guān)A A“或或”開關(guān)開關(guān)B B在在“合上合上”位置。位置。 假定：燈亮為假定：燈亮為“1 1”，不亮為，不亮為“0 0”；開關(guān)；開關(guān)“合上合上”為為“1 1”，“斷開斷開”為為“0 0”。 把燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置之間把燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置之間的關(guān)系例表如下：的關(guān)系例表如下：2.1.1 2.1.1 邏輯邏輯代數(shù)的基本運算代數(shù)的基本運算2 2、“或

7、或”運算：運算：F = A + BF = A + BA AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 10111+ +A AB BF F11F = A + B = AF = A + B = AB B2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算3 3、“非非”運算：就是否定。運算：就是否定。 當決定事件的一個條件不具備時，事件就會當決定事件的一個條件不具備時，事件就會發(fā)生；條件具備時，事件不會發(fā)生。稱這種關(guān)系發(fā)生；條件具備時，事件不會發(fā)生。稱這種關(guān)系為為“非非”邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系。 A A 如圖：用一個與燈并聯(lián)的開關(guān)如圖：用一個與燈并聯(lián)的開關(guān)A A來控制一盞燈。來控制一

8、盞燈。開關(guān)開關(guān)A A在在“合上合上”的位置時，燈不亮；開關(guān)的位置時，燈不亮；開關(guān)A A在在“斷開斷開”的位置時，燈亮。的位置時，燈亮。 假定：燈亮為假定：燈亮為“1 1”，不亮為，不亮為“0 0”；開關(guān)；開關(guān)“合上合上”為為“1 1”，“斷開斷開”為為“0 0”。 把燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置把燈的狀態(tài)和開關(guān)的位置之間的關(guān)系例表如下：之間的關(guān)系例表如下：2.1.12.1.1邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算3 3、“非非”運算：就是否定、邏輯反運算：就是否定、邏輯反 F = A F = A A AF FA AF F 1 1 非門非門（A A是輸入，是輸入，F(xiàn) F是輸出）是輸出）真值表真值表A F0

9、 1 102.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算A AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 11110 與非門與非門（實現(xiàn)（實現(xiàn)“與非與非”邏輯）邏輯） 將基本的邏輯門加以組合，可以構(gòu)成將基本的邏輯門加以組合，可以構(gòu)成“與非與非”、“或非或非”、“與或非與或非”、“異或異或”、“同或同或”、等、等門電路。門電路。4 4、“與非與非”運算運算: F=AB : F=AB 2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算A AB BF F+ + 或非門或非門（實現(xiàn)（實現(xiàn)“或非或非”邏輯）邏輯）真值表真值表A BF0 01 00 11 110005 5

10、、“或非或非”運算運算: F = A+B : F = A+B 2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算 與或非門與或非門（實現(xiàn)（實現(xiàn)“與或非與或非”邏輯）邏輯）C CD DY Y11A AB B& & &6 6、“與或非與或非”運算運算: F = AB + CD : F = AB + CD 真值表真值表A B C DF0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 111102.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算 異或門異或門（實現(xiàn)（實現(xiàn)“異或異或”邏輯）邏輯）7 7、“異或異或”運算運算: F = AB + AB =A + B : F = AB

11、 + AB =A + B 真值表真值表A B F0 0 0 11 01 10110A AB BF F=1=1A AB BF F+ +2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算Y=A Y=A B =AB + ABB =AB + AB表示式：表示式：1 11 1& & &11A AB BY=AB + ABY=AB + AB異或門的組成異或門的組成: : 用基本邏輯門組成異或門用基本邏輯門組成異或門2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算 同或門同或門（實現(xiàn)（實現(xiàn)“同或同或”邏輯）邏輯）8 8、“同或同或”運算運算: F = AB + AB =A : F = A

12、B + AB =A B B 真值表真值表A B F0 0 0 11 01 11001A AB BF F=1=1A AB BF FB BA AB BA A “同或同或”、“異或異或”關(guān)系：關(guān)系：常用的邏輯門及符號常用的邏輯門及符號2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式互補律：互補律：1 1律：律：0 0律：律： 1 10 0A AA AA AA A A AA AA A0 00 00 0 1 11 11 1A AA AA A交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：分配律：分配律： A AB BB BA AA AB BB BA A C CB BA AC CB BA AC CB BA A

13、C CB BA A) )( () )( () )( () )( ( ) )( () )( () )( (C CA AB BA AC CB BA AC CA AB BA AC CB BA A2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式 吸收律：吸收律： 反演律：反演律：( (德德摩根定律摩根定律) ) A AB)B)A(AA(AA AB BA AA AB BA AB)B)A A( (A AB BA AB BA AA A_ _B BA AB BA AB BA AB BA A2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式包含律：包含律：推論：推論：對合律：對合律：重疊律

14、：重疊律： C)C)A AB)(B)(A(AC)C)C)(BC)(BA AB)(B)(A(AC CA AABABBCBCC CA AABAB_C CA AABABBCDBCDC CA AABAB A AA A A AA AA AA AA AA A2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式基本公式驗證方法：基本公式驗證方法：真值表真值表利用基本定理化簡公式利用基本定理化簡公式例：真值表驗證摩根定律例：真值表驗證摩根定律1 10 00 00 0A AB B1 11 11 10 0A AB B1 11 11 10 0A BA B1 10 00 00 00 00 00 10 11 0

15、1 01 11 1A BA BA BA B _B BA AB BA AB BA AB BA A2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式真值表真值表利用基本定理化簡公式利用基本定理化簡公式例：證明包含律例：證明包含律2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式C CA AA AB BB BC CC CA AA AB B 律律、互互補補律律1 1 ) )( () )( (）（A AA AB BC CB BB BC CA AC CC CA AB B 證明：證明：分分配配律律 B BC CA AA AB BC CC CB BA AB BC CA AC CA AB B

16、A AB BC C 重重疊疊律律 C CB BA AB BC CA AC CA AB BA AB BC C 分分配配律律、互互補補律律 C CA AA AB B 基本定理、公式應用：基本定理、公式應用：證明：證明：2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式C CA AABABBCDBCDC CA AABABA AB BA AB BA AA AB BA AABAB 、3 3) )()( ( 、2 2、1 12.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則f f ( (A A1 1, A, A2 2, , A, , An n) )f f ( (A A1 1, A, A

17、2 2, , A, , An n) )1 11 1、代入規(guī)則、代入規(guī)則例如：給定邏輯等式例如：給定邏輯等式 A A( (B+CB+C) )=AB+AC=AB+AC，若用若用 A+BC A+BC 代替代替A A，則該等式仍然成立，即：則該等式仍然成立，即：( (A+BCA+BC)()(B+CB+C)=()=(A+BCA+BC) )B B+(+(A+BCA+BC) )C C由互補率由互補率(A+A=1)(A+A=1)，同樣有等式同樣有等式 任何一個含有變量任何一個含有變量A A的邏輯等式，如果將所有出的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)現(xiàn)A A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F F，

18、則等式仍然則等式仍然成立。成立。2、反演規(guī)則、反演規(guī)則使用反演規(guī)則時使用反演規(guī)則時, , 應注意保持原函式中運算符號的優(yōu)先應注意保持原函式中運算符號的優(yōu)先順序不變。順序不變。 例如：已知例如：已知 例如：已知例如：已知 根據(jù)反演規(guī)根據(jù)反演規(guī)則則可得可得: : 2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 如果將邏輯函數(shù)如果將邏輯函數(shù)F F 中所有的中所有的“ ”變成變成“+ +”, ,“+ +”變成變成“ ”, ,“0 0”變成變成“1 1”, ,“1 1”變成變成“0 0”, ,原變量變成反變量，原變量變成反變量，反變量變成原變量，得到的函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)反變量變成原變量，

19、得到的函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù) 。F F 求：求： F F)()()( CBACBACBACBAF2、反演規(guī)則、反演規(guī)則 例題：已知例題：已知 1、根據(jù)反演規(guī)根據(jù)反演規(guī)則則可得可得: 求它的反函數(shù)求它的反函數(shù) 2、根據(jù)基本公式可、根據(jù)基本公式可得得: )()()( CBACBACBACBACBACBACABABCCBACBACABABCF)()()( CBACBACBACBAFCBACBACABABCF 比較兩種方法，應用反演規(guī)則比較方便。比較兩種方法，應用反演規(guī)則比較方便。 2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 例題：求下列函數(shù)的反函數(shù)例題：求下列函數(shù)的反函數(shù)B BC C

20、D DB BA A、F FD DC CA AB BF F 2 2、1 12、反演規(guī)則、反演規(guī)則2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則3 3、對偶規(guī)則、對偶規(guī)則求某一函數(shù)求某一函數(shù)F F 的對偶式時，要注意保持原函數(shù)的運算的對偶式時，要注意保持原函數(shù)的運算順序不變。順序不變。例例: : F F = = A + B + C F= A B CA + B + C F= A B C2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 如果將邏輯函數(shù)如果將邏輯函數(shù)F F 中所有的中所有的“ ”變成變成“+ +”, ,“+ +”變變成成“ ”, ,“0 0”變成變成“1 1”,

21、 ,“1 1”變成變成“0 0”, , 則所得到的新則所得到的新邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)是是F F 的對偶式的對偶式 FF。如果如果FF是是F F 的對偶式，則的對偶式，則F F 也也是是F F 的對偶式，即的對偶式，即F F 與與F F 互為對偶式。互為對偶式。 對偶規(guī)則：若兩個邏輯函數(shù)對偶規(guī)則：若兩個邏輯函數(shù)F F 和和G G 相等，則其對偶式相等，則其對偶式F F 和和GG也相等。也相等。函數(shù)的對偶的對偶式，為函數(shù)本身。函數(shù)的對偶的對偶式，為函數(shù)本身。3、對偶規(guī)則、對偶規(guī)則 例題：求下列函數(shù)的對偶式：例題：求下列函數(shù)的對偶式：M ME E) ) C C( (D DC CA A A AB B、F

22、FM MD DE E) )C C) )( (C CA AB B) )( (（A A、F FA AC CA AB B、F F C C）A A（B B、F F 4 43 32 21 12.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則附加公式一：附加公式一： 當包含變量當包含變量 x， 的函數(shù)的函數(shù)f和變量和變量x相相“與與”時，函數(shù)時，函數(shù)f f中的中的x x均可由均可由“1 1”代之，代之， 均可由均可由“0 0”代之；當代之；當f f和變和變量量 相相“與與”時，函數(shù)時，函數(shù)f f中的中的x x均

23、可由均可由“0 0”代之，代之， 均均可由可由“1 1”代之。代之。 當包含變量當包含變量x x， 的函數(shù)的函數(shù)f f和變量和變量x x相相“或或”時，函數(shù)時，函數(shù)f f中的中的x x均可由均可由“0 0”代之，代之， 均可由均可由“1 1”代之；當代之；當f f和和變量變量 相相“或或”時，函數(shù)時，函數(shù)f f中的中的x x均可由均可由“1 1”代之，代之， 均可由均可由“0 0”代之。代之。x xx xx xx xx xx xx xx x例題：若例題：若 f fx x，z zx xy yx xz zx xxyxyf f 求求) )()( (x xy yz zy yz zy yx xz zx

24、xy yx xz zx xx xy yx xf fx x y yx x ) ) 1 1) )( (0 0( (0 01 1 ) ) ) )( ( ( 化簡函數(shù)：化簡函數(shù)： A AB BB BA AC CB BC CB BC CB BC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AA A 1 11 10 00 0 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則附加公式二：附加公式二： 一個包含有變量一個包含有變量x x、x x 的函數(shù)的函數(shù)f f，可展開為，可展開為 xfxf和和xfxf的邏輯或。的邏輯或。 一個包

25、含有變量一個包含有變量x x、x x 的函數(shù)的函數(shù)f f，可展開為（，可展開為（x+fx+f）和）和（x+fx+f）的邏輯與。）的邏輯與。 利用附加公式一，可以改寫為：利用附加公式一，可以改寫為： 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則例題：化簡函數(shù)例題：化簡函數(shù) E)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABAB D DB BAEAEABABE EB BA AD DB BABABAEAED DB BA AA AB BE)E)A)(A)(A）(A）(（D DA AB BE)E)A)(A)(A）(A）(（D DA AB BE)E)

26、(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABABB BE)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABABB BE)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABAB 0 01 10 01 10 0 1 10 01 10 01 1 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則例題：化簡函數(shù)例題：化簡函數(shù) ) ) )( () )( () )( ( (E EA AD DA AC CA AB BA AA AD DF F ACEACEBDBDADADD)D)CECEA ABD)(BD)(A(AE)E)D DC CB B

27、D DA AE)E)D DC CB BD DA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADF F )0 0)()(1 1)()(0 0)()(1 1( (1 1 ( ( )1 1)()(0 0)()(1 1)()(0 0( (0 0 ( ( )()()()()()( ( ( ( )()()()()()( ( ( ( )()()()()()( ( 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則2.2 2.2 邏輯

28、函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 邏輯函數(shù)化簡的目的邏輯函數(shù)化簡的目的: : 省器件！用最少的門實現(xiàn)省器件！用最少的門實現(xiàn)相同的邏輯功能，每個門的輸入也最少。主要掌握相同的邏輯功能，每個門的輸入也最少。主要掌握“與或與或”表達式的化簡。表達式的化簡。 最簡最簡“與或與或”表達式：表達式： 1 1、乘積項的個數(shù)最少、乘積項的個數(shù)最少( (用門電路實現(xiàn)，所用與門用門電路實現(xiàn)，所用與門的個數(shù)最少的個數(shù)最少) ) 2 2、在滿足（、在滿足（1 1）的條件下，乘積項中的變量個數(shù)）的條件下，乘積項中的變量個數(shù)最少最少( (與門的輸入端最少與門的輸入端最少) ) 最簡的目標不同，達到的效果也不同。如果功耗最簡的目標不同，達到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目標，化簡的結(jié)果完全不同！最小或者可靠性最高是目標，化簡的結(jié)果完全不同！2.2.12.2.1公式法化簡邏輯函數(shù)公式法化簡邏輯函數(shù)1 1、合并乘積項法、合并乘積項法：A AC CA AACACB BB BC CA AB BB BACACC CABABC CB BA AC CB BA AABCABCC CB BA AC CABABC CB BA AABCABCC CB BA AC CABABC CB BBCBCA AF F ) )( () )( () )( () )( () )( (分配律：分配律：結(jié)合律：結(jié)