傳熱學(xué)-第三章

1、3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1. 定義：物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過(guò)程稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱， 2. 分類(lèi)第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱)(，rft 瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定值；如鋼坯在爐內(nèi)的加熱 周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間做周期性的變化；如室式熱處理爐爐壁的導(dǎo)熱著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3. 溫度分布：4. 兩個(gè)不同的階段 非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段) 正規(guī)狀況階段(正常情況階段)溫度分布主要取決于邊界溫度分布主要取決于邊界條件及物性條件及物性溫度分布主要受初始溫度溫度分布主要受初始溫度分布控制分布控制 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程總會(huì)經(jīng)歷：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非正規(guī)狀況階段非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)

2、熱過(guò)程總會(huì)經(jīng)歷：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)5. 熱量變化1 板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量2 板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量12006. 學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的(2) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式(3) 求解方法),(f(zyxft ; )()()(ztzytyxtxtc分 析 解 法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：集總參數(shù)法、積分法數(shù) 值 解 法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子動(dòng)力學(xué)模擬(1) 溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)理方程數(shù)理方程7. 畢渥數(shù)本章以第三類(lèi)邊界條件為重點(diǎn)。(

3、1) 問(wèn)題的分析 如圖所示，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié)： 流體與物體表面的對(duì)流換熱 物體內(nèi)部的導(dǎo)熱t(yī)fhtfhxt 0 tfhxt 0hrh1rhhrrBih1(2) 畢渥數(shù)的定義：物理意義：固體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與其界面上換熱熱阻之比hhrrBih1無(wú)量綱數(shù)無(wú)量綱數(shù)當(dāng)Bi時(shí)，r rh ；因此，可以忽略對(duì)流換熱熱阻當(dāng)Bi0 時(shí)，r t,固體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，固體的物性參數(shù)均保持常數(shù)。 求：根據(jù)集總參數(shù)法確定物體溫度隨時(shí)間的依變關(guān)系 解： 建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型 方法一：椐非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程： 物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻很小，忽略不計(jì)。 物體溫度在同一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即t僅是的一元函數(shù)，而與坐標(biāo)x

4、、y、z無(wú)關(guān)，即： 可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不是計(jì)算邊界（零維無(wú)任何邊界）。 cztytxtct2222220222222ztytxt(a) cddt則有： 界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源，即： tot物體被冷卻， 應(yīng)為負(fù)值 由（a），（b）式得： 這就是瞬時(shí)時(shí)刻導(dǎo)熱微分方程式。方法二：根據(jù)能量守恒原理，建立物體的熱平衡方程，即物體與環(huán)境的對(duì)流散熱量=物體內(nèi)能的減少量(b) )(ttAhV)(ttAhddtcV)(ttAhddtcV. 物體溫度隨時(shí)間的依變關(guān)系ddtVctthA-)(dVchAd方程式改寫(xiě)為：令= tt，則有00)0(ttddVchA-初始條件初始條件控制方

5、程控制方程00dVchAdVchA ln0dVchAd 積分 VchAetttt00其中的指數(shù)：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(2)()(AVaFoAVhBivvFov是傅立葉數(shù)vFovBiVchAee0物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：sJwkgKJmmkgmKmwVchA13322%8 .361e 0即與 的量綱相同，當(dāng) 時(shí)，則1hAVc1VchA此時(shí)上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于 時(shí)，物體的過(guò)余溫度 已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8。稱 為時(shí)間常數(shù)，用 表示。hAVchAVcc%8.36e10cvvFoBi 36.8%0 如果導(dǎo)熱體的熱容量(cV)小、換熱條件好

6、(h大)，那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù) ( cV / hA) 小。 對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說(shuō)明熱電偶對(duì)流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測(cè)溫技術(shù)所需要的(微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻)%83. 1 40時(shí)，當(dāng)hAVc工程上認(rèn)為=4 cV / hA時(shí)，導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)3. 瞬態(tài)熱流量導(dǎo)熱體在時(shí)間 0 內(nèi)傳給流體的總熱量： 當(dāng)物體被加熱時(shí)當(dāng)物體被加熱時(shí)(tt，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中板內(nèi)的溫度分布。平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程xtat22)0,0(xcztytxtct22222200 xxtxtthxt)( (對(duì)稱性對(duì)稱

7、性) )邊界條件00tt初始條件引入變量過(guò)余溫度令txtx),(),(xhxxxxxa0000,0022方程可化為：用分離變量法可得其解析解為：eFonnnnnnn210cossincossin2),(x式中2aFo n為超越方程 的根nnBitan2. 無(wú)限長(zhǎng)圓柱的分析解已知：半徑為R的實(shí)心圓柱，初溫為t0，初始瞬間將其放于溫度為t的流體中，而且t0t，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中圓柱內(nèi)的溫度分布。圓柱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程rtrrrat)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(邊界條件00tt初始條件ztztrrtrrrtc)()(1)(12eFon

8、nnnnnnJJJJ2121200102),(Rr式中2RaFon為超越方程 的根nnnBiJJ01用分離變量法可得其解析解為：3. 圓球的分析解已知：半徑為R的實(shí)心球，初溫為t0，初始瞬間將其放于溫度為t的流體中，而且t0t，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中圓球的溫度分布。 0222!21mmmvmvmvmxxJ第一類(lèi) v 階貝塞爾函數(shù)trtrrtrrrtc)sin(sin1)(sin1)(122222圓球非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程rtrrrat22)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(邊界條件00tt初始條件eFonnnnnnnnnn210cossinc

9、ossinsin2),(Rr式中2RaFon為超越方程 的根Binncos1用分離變量法可得其解析解為：對(duì)于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，其解均可表述為, 0,0BiFf4. 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段解的簡(jiǎn)化 數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)Fo數(shù)大于0.2時(shí)，取無(wú)窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，其計(jì)算誤差小于1%eF021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(對(duì)于平板)cos()(),(1m與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)10)(),(Jm與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)對(duì)于圓柱eFoJJJJ211211201011102),(eFomJJJ211211201110211sin)(),(m對(duì)于圓

10、球eFo21111111110cossincossinsin2),(eFom211111110cossincossin2與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)若令Q為0，內(nèi)所傳遞熱量00001)(),(ttcVdVxttcQQVeFvdVV)(1111110021cossinsin2sin1考察熱量的傳遞Q0 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所能傳遞的最大熱量)(00ttcVQ5. 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱量計(jì)算時(shí)刻 的平均過(guò)余溫度對(duì)于平板此處此處的A，B及函數(shù)f(1)見(jiàn)P127表3-1 及 可用一通式表達(dá)0無(wú)限大平板長(zhǎng)圓柱體及球22RaFohRBiRraFohBix對(duì)無(wú)限大平板，長(zhǎng)圓柱體及球1210expfFAoBFAQQo210exp16

11、. 正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法擬合公式法對(duì)上述公式中的A，B， 1 ，J0 可用下式擬合式中常數(shù)a，b，c見(jiàn)P128表3-2 a，b，c，d見(jiàn)P128表3-3320121)(1)1()(xdxcxbaxJbBicBiaBebaABibacBi),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF7. 正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法線算圖法諾謨圖：工程技術(shù)中，為便于計(jì)算，采用按分析解的級(jí)數(shù)第一項(xiàng)繪制的一些圖線，叫諾模圖。 三個(gè)變量，因此，需要分開(kāi)來(lái)畫(huà)以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)00.2 時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可(1) 先畫(huà)),(cossinsin202111110BiFofeFm海斯勒?qǐng)D：

12、諾模圖中用以確定溫度分布的圖線，稱海斯勒?qǐng)D。 (2) 再根據(jù)公式(3-28) 繪制其線算圖),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為00mm同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過(guò)程所交換的熱量也可以利用(331)和(333)繪制出。解的應(yīng)用范圍 (1) 第三類(lèi)邊界條件 (2) 一側(cè)絕熱，另一側(cè)為第三類(lèi)邊界條件 (3) 兩側(cè)均為第一類(lèi)邊界條件，且維持相同的溫度 F00.2例：一火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管，壁厚為9mm，初始溫度為30。在進(jìn)行靜推力試驗(yàn)時(shí)，溫度為1750的高溫燃?xì)馑腿朐搰姽埽細(xì)馀c壁面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為1950W/(m2K)。噴管材料的密度=8400kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)=24.6

13、W/(mK)，c=560J/(kgK)。假設(shè)噴管因直徑與厚度之比較大而可視為平壁，且外側(cè)可作絕熱處理，試確定：(1) 為使噴管的最高溫度不超過(guò)材料允許溫度(1000)而允許的運(yùn)行時(shí)間；(2) 在所允許時(shí)間的終了時(shí)刻，壁面中的最大溫差；(3) 在上述時(shí)刻壁面中的平均溫度梯度與最大溫度梯度。解：本題可視為為厚度為2=29mm的平板兩側(cè)突然受第三類(lèi)邊界條件時(shí)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。先判斷Bi數(shù)。1 . 07134. 06 .24009. 01950hBi不滿足集總參數(shù)法條件，采用擬合公式計(jì)算7692. 07134. 09188. 04022. 0111Biba0777. 1)1 (2575. 00101.

14、 1)1 (7134. 04271. 0eebaAcBi9023. 07134. 05475. 017134. 03483. 00063. 11bBicBiaB1009. 0009. 0 x7700. 0) 17692. 0cos()cos()(11f根據(jù)過(guò)余溫度的表達(dá)式77. 00777. 11750301750100027692. 00Foe2 . 00877. 1Fo根據(jù)s 8 .166 .245608400009. 00877. 1222cFoaFo壁面中心溫度5662. 010777. 117503017500877. 127692. 00etmm/m 8 .24877009. 09

15、 .223xt在上述時(shí)刻壁面的平均溫度梯度 1 .7765662. 0)175030(1750mt/m 2 .59451)17501000(6 .241950)()(fbfbtthxttthxt 9 .2231 .7761000maxt由于外表面絕熱，溫度梯度為零，故最大溫度梯度在內(nèi)壁面。根據(jù)第三類(lèi)邊界條件例例 一直徑為100mm，長(zhǎng)為1000mm的圓鋼，初始溫度為30，今將其置于1300的加熱爐中。求加熱半小時(shí)后圓鋼表面溫度與中心溫度的差。取表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的平均值為232w/(m2K)，圓鋼的導(dǎo)熱系數(shù)為40.5w/(mK)，熱擴(kuò)散率為0.62510-5m2/s。解：解：對(duì)于2R=100mm的無(wú)

16、限長(zhǎng)圓柱，有2864. 05 .4005. 0232hRBi5 . 405. 036005 . 010625. 0252RaFo7696. 02864. 04349. 017. 05 . 01采用擬合公式計(jì)算0684. 115877. 00042. 12864. 04038. 0eA0334. 09967. 00684. 1)(5 . 47696. 001210efAerFom9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 2 .1265)130030(0274. 01300)(0274. 00ttttb過(guò)余溫度比表面和中心溫度為8175. 017696.

17、 00577. 017696. 03259. 017696. 00354. 09967. 01Rrf0274. 08175. 00684. 1)(5 . 47696. 01210efAeRrFob 6 .1257)130030(0334. 01300)(0334. 00ttttm 6 . 76 .12572 .1265mbtt3-4 簡(jiǎn)單幾何形狀物體多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解 考察一無(wú)限長(zhǎng)方柱體(其截面為2122的長(zhǎng)方形)，初始溫度為t0，突然將其置于溫度為t的流體中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，求其溫度分布。00),(tttyxt)(2222yxa10 xyxyhx),(),(11yyxxhy),(),(

18、220),(00 xxyxx0),(00yyyxy12xy0 如果能用兩個(gè)一維無(wú)限大平板的解來(lái)表示該二維問(wèn)題的解，則可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單),(),(0),(01)0 ,(01022xxxxxxxhxxxxxxxxa其中其中及tttxtx0),(),(),(0),(01)0 ,(022022yyyyyyyhyyyyyyyyatttyty0),(),(),(),(yxyxyx無(wú)限長(zhǎng)方柱體的解可以表示為兩個(gè)無(wú)限大平板的解的乘積，即xyyxyx)(假設(shè)(x, y, )=x(x, )y(y, )成立，則2222)(yyyyyyxyxyx 2222)(xxxxxxyxyyx )(2222yxa看控制方程222

19、2xayaxyyxxyyx22222222yaxayxayxxy控制方程成立控制方程成立22yayy22xaxx左側(cè)：右側(cè)：一維控制方程看初始條件111)0 ,()0 ,(0yxyx00),(),(),(),(),(),(11yxhyxhyyxhyxxyxyyxx1x1x1x看邊界條件同理00),(xyhxy2y 證明了x(x，)y(y，)是無(wú)限長(zhǎng)方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，即(x, y, )=x(x, )y(y, )。這樣便可用一維無(wú)限大平壁公式、諾謨圖或擬合函數(shù)求解二維導(dǎo)熱問(wèn)題00),(), 0(),(0yxyxyxyx00),(), 0(),(0 xyxyxyxy初始條件和邊界條件成立初始條

20、件和邊界條件成立適用條件： (1) 一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類(lèi)；(2) 兩側(cè)均為一類(lèi)；(3) 初始溫度分布必須為常數(shù)；(4) 無(wú)內(nèi)熱源 如果用x(x，)P表示無(wú)限大平板的解，用x(x，)C 表示無(wú)限長(zhǎng)圓柱的解，用x(x，)R表示圓球的解，則對(duì)于如下的規(guī)則圖形可球出其解。(y,)P2(x,)P1(x, y, )(x,)P1 (y,)P2(r,)C(R,)P(r, )(r,)C (R,)R(r,)C(x,)P(r, x, )(r,)C (x,)P(x, y, z, )(x,)P1 (y,)P2 (z,)P3導(dǎo)熱量的計(jì)算二維問(wèn)題三維問(wèn)題10201001QQQQQQQQ201030102010011QQQQ

21、QQQQQQQQQQ例例4 一直徑為600mm，長(zhǎng)為1000mm的鋼錠，初始溫度為30，今將其置于1300的加熱爐中。求加熱4小時(shí)后鋼錠中心的溫度。取表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的平均值為232w/(m2K)，鋼錠的導(dǎo)熱系數(shù)為40.5w/(mK)，熱擴(kuò)散率為0.62510-5m2/s。解：解：對(duì)厚度為2=1000mm的無(wú)限大平板864. 25 .405 . 0232hBi36. 05 . 03600410625. 0252aFo7557. 1864. 29188. 04022. 05 . 01采用擬合公式計(jì)算1917. 112575. 00101. 1864. 24271. 0eA1)cos(101xf過(guò)余溫

22、度比7245. 011917. 1)(36. 021757. 101210efAexFoPm對(duì)于2R=600mm的無(wú)限長(zhǎng)圓柱72. 15 .403 . 0232hRBi0 . 13 . 03600410625. 0252RaFo5378. 172. 14349. 017. 05 . 01采用擬合公式計(jì)算2985. 115877. 00042. 172. 14038. 0eA1216. 09967. 02985. 1)(0 . 125378. 101210efAerFoCm9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 1 .1181)130030(0881

23、. 01300)(0334. 00ttttm短圓柱的中心溫度為0881. 01216. 07245. 0000CmPmm如果將鋼錠看成是無(wú)限長(zhǎng)圓柱 1 .1145)130030(1216. 01300)(0334. 00ttttm說(shuō)明短圓柱比無(wú)限長(zhǎng)圓柱加熱的快，為什么？說(shuō)明短圓柱比無(wú)限長(zhǎng)圓柱加熱的快，為什么？3-5 半無(wú)限大的物體定義：幾何上是指從x=0的界面開(kāi)始可以向正的 x方向及其他兩個(gè)坐標(biāo)（x，y）方向無(wú)限延伸的物體，稱為半無(wú)限大物體。 實(shí)際中不存在該物體，但研究物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，可把實(shí)物看為該物體處理。如：有限厚度的平板，起初有均勻溫度，后其側(cè)表面突然受到熱擾動(dòng)，如 (1)

24、壁溫突然升高到一定值并保持不變 (2) 壁面突然受到恒定的熱流量密度加熱 (3) 壁面受到溫度恒定的流體的加熱或冷卻 當(dāng)擾動(dòng)的影響只局限在表面附近，而尚未進(jìn)入平板內(nèi)部時(shí)，就可視該平板為，“半無(wú)限大”物體。xtt0twaxerfdaxe222020 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 無(wú)量綱變量無(wú)量綱變量wtt 引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為如圖所示：已知半無(wú)限大物體初始溫度均勻?yàn)閠o，當(dāng)=0時(shí)，x=0側(cè)表面溫度突然升高到tw，并保持不變，試確定物體內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化和在時(shí)間間隔0，內(nèi)的熱流量。wttxtxtxtat),0(0)0,(0022第一類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件axerfcxqeaqttax22204002002

25、20)0,(0qxtxtxtxtat第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件余誤差函數(shù)余誤差函數(shù)ahaxerfceaxerfttttahhx222200)0(0)0,(0022，tthxtxtxtxtat第三類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件誤差函數(shù)：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小時(shí)，)(0erfax4ax2)(erf9953. 09953. 0)2(,20erf時(shí)22ax時(shí)，該x處的溫度仍等于初始溫度 幾何位置 若 則 時(shí)刻x處的溫度可認(rèn)為未變化。對(duì)一原為2的平板，若 即可作為半無(wú)限大物體來(lái)處理 時(shí)間 若 ，即 則此時(shí)x處的溫度可認(rèn)為完全不變。對(duì)于有限大的實(shí)際物體，半無(wú)限大物

26、體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段。 ax42 ax1622 a4兩個(gè)重要參數(shù):06. 01612xaFo在0，時(shí)間內(nèi)，物體任一點(diǎn)的熱密度：令 即得邊界面上的熱流通量0,時(shí)間內(nèi)，流過(guò)面積A的總熱量0 x00022ttcAcAdqAQww吸熱系數(shù)吸熱系數(shù)axwxeatterfxxq4200aqw0例例5 某地地下1m處埋有自來(lái)水管，冬天來(lái)臨時(shí)，地表溫度初始為10，后突然受冷空氣侵襲，地表溫度下降到-15，并維持45天不變，試確定此種條件下45天后自來(lái)水管是否會(huì)被凍。已知土壤的物性為c=1840J/(kgK)，=2050kg/m3，=0.52w/(mK)。解：解：根據(jù)已知條件，計(jì)算導(dǎo)溫系數(shù)/sm 10379. 11840205052. 027ca對(duì)于第一類(lèi)邊界條件下的無(wú)限大非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，有3600244510379. 121erf2erf70axttttww68. 0erf0wwtttt66378. 068. 0e