畢業(yè)論文數(shù)學(xué)4

1、本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文題目： 二次曲線的方程化簡(jiǎn)、作圖及分類(lèi) 學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2007 級(jí) 5 班 姓名： 曹振佐 指導(dǎo)教師： 李秀蘭 職 稱(chēng)： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲線的方程化簡(jiǎn)、作圖及分類(lèi)摘 要:本文給出二次曲線的幾種化簡(jiǎn)方法,其中對(duì)合同變換法化簡(jiǎn)中心二次曲線作了一點(diǎn)探討.從二次曲線的由不變量所表示的簡(jiǎn)化方程出發(fā)給出了二次曲線作圖的一種新方法,從而彌補(bǔ)了通過(guò)計(jì)算不變量只知簡(jiǎn)化方程而無(wú)法在原坐標(biāo)系下畫(huà)出二次曲線圖形的缺陷. 特別地我們利用了二次曲線的主直徑為新坐標(biāo)系作坐標(biāo)變換來(lái)化簡(jiǎn)一般二次曲線的方程,從而使二次曲線的幾何

2、理論和代數(shù)理論自然地聯(lián)系在一起,使得一般二次曲線的方程化簡(jiǎn)、作圖以及根據(jù)二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的度量分類(lèi)也就比較簡(jiǎn)捷地一起完成了. 關(guān)鍵詞:坐標(biāo)變換;不變量;主直徑;主方向;合同交換 目 錄1 引言.12 預(yù)備知識(shí).13 二次曲線的方程的化簡(jiǎn).23.1 用坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)二次曲線.23.1.1 化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線.2xy3.1.1.1 利用坐標(biāo)軸平移化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線.2xy3.1.1.2 利用配方通過(guò)移軸化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線.3xy3.1.2 利用轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)含有項(xiàng)的二次曲線.3xy3.1.3 一般二次曲線方程的化簡(jiǎn).43.1.3.1 中心曲線的化簡(jiǎn).43.1.3.2 非中心二次曲線的化簡(jiǎn).53.2

3、通過(guò)主直徑, 主方向化簡(jiǎn)二次曲線.53.2.1 中心曲線的化簡(jiǎn).63.2.2 無(wú)心曲線的化簡(jiǎn).63.2.3 線心曲線的化簡(jiǎn).73.3 用不變量、半不變量化簡(jiǎn)二次曲線.83.3.1 中心曲線的化簡(jiǎn).83.3.2 無(wú)心曲線的化簡(jiǎn).83.3.3 線心曲線的化簡(jiǎn).93.4 正交變換化簡(jiǎn)二次曲線.93.5 合同變換法化簡(jiǎn)有心二次曲線.104 二次曲線的方程的作圖.124.1 中心二次曲線的作圖方法.124.2 無(wú)心二次曲線的作圖方法.134.3 線心二次曲線的作圖方法.155 二次曲線的方程分類(lèi).165.1 二次曲線的分類(lèi).16參考文獻(xiàn).1711 引言我們展開(kāi)一般二次曲線的幾何理論的研究,討論一般二次曲

4、線的漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑與主直徑等重要概念與性質(zhì),也導(dǎo)出了二次曲線按不同角度的分類(lèi)和作圖.平面上的二次曲線的理論與空間的二次曲線的理論有著十分相識(shí)的地方.而平面的情況畢竟要比空間的情況簡(jiǎn)單得多,因此我們先對(duì)一般二次曲線的理論有了比較深入的了解后,再進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間的一般二次曲線的而理論將不會(huì)感到費(fèi)力而它只是一種自然的推廣.有二次曲線方程的系數(shù)構(gòu)成的不變量以及完全可以畫(huà)出二次曲線的形狀大小,因此研究二321III，1K次曲線的不變量也就成為解析幾何的一個(gè)十分重要的中心問(wèn)題.在這樣的意義下,不變量也就最深刻地反映方程與曲線的關(guān)系,它也把我們對(duì)數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題提高到一個(gè)新的認(rèn)識(shí).2 預(yù)備知

5、識(shí)在平面直角坐標(biāo)系上,由二元一次方程xyO 022233231322212211ayaxayaaxa) 1 (所表示的曲線,叫做二次曲線.我們討論二次曲線的幾何性質(zhì)以及二次曲線方程的化簡(jiǎn),最后對(duì)二次曲線進(jìn)行分類(lèi)和作圖.為了方便起見(jiàn),我們引進(jìn)下面一些記號(hào): ,33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF ,1312111),(ayaxayxF ,2322122),(ayaxayxF ,3323133),(ayaxayxF ,222122112),(yaxyaxayx這樣我們?nèi)菀昨?yàn)證,下面的恒等式成立 ,),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF式也就可以

6、寫(xiě)成) 1 ( .),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF我們把的系數(shù)所排成的矩陣),(yxF332313232212131211aaaaaaaaaA叫做二次曲線的矩陣.）（ 12的系數(shù)所排成的矩陣），（yx22121211*aaaaA叫做的矩陣.），（yx顯然二次曲線的矩陣的第一、第二與第三行（或列）的元素分別是) 1 (A的系數(shù).),(),(),(321yxFyxFyxF下面我們引用加個(gè)符號(hào) , , , .22111aaI221212112aaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK這里的是矩陣的

7、主對(duì)角元素的和,是矩陣的行列式,是矩陣的1I*A2I*A3IA行列式.3 二次曲線的方程的化簡(jiǎn)3.1 用坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)二次曲線3.1.1 化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線xy3.1.1.1 利用坐標(biāo)軸平移化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線xy方法 將坐標(biāo)原點(diǎn)移至二次曲線的中心,在新方程中可以消去一次項(xiàng).中心的坐標(biāo)由中心方程組 給出. ),(00yx00, yx, 0, 0232212131211ayaxaayaxa)2(這樣將變換公式 代入原方程,即可化簡(jiǎn)原二次曲線.,00yyyxxx例1 化簡(jiǎn)二次曲線方程.01162422yxyx解 二次曲線的系數(shù)矩陣 .101048181A因?yàn)?,所以 此曲線是中心二次曲線. .04

8、40012I3由中心方程組得 )2(，084, 01yx解 .2, 100yx可得 變換公式 ，2, 1yyxx代入原方程, 整理得 .(橢圓)016422yx3.1.1.2 利用配方通過(guò)移軸化簡(jiǎn)缺少項(xiàng)的二次曲線xy例 2 化簡(jiǎn)二次曲線方程.010036409422yxyx解 將方程的左端配方,得: .036)2(9)5(422yx令 , 2, 5yyxx可得 變換公式 , 2, 5yyxx于是方程化為.(橢圓)0369422yx3.1.2 利用轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)含有項(xiàng)的二次曲線xy方法 轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)二次曲線方程,只要是旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?就可使方程中的乘積項(xiàng)消去,而由公式 給出.12221122cotaaa)

9、 3(然后將變換公式 代入原方程.,cossin,sincosyxyyxx例3 化簡(jiǎn)二次曲線方程.080609241622yxyxyx解 這里.242 , 9,16122211aaa由得 ,) 3(247249162cot4,257)247(12472cos2,542257122cos1sin,532257122cos1cos所以 轉(zhuǎn)軸公式為 ),34(51cossin),43(51sincosyxyxyyxyxx代入原方程,整理得.(拋物線)24xy3.1.3 一般二次曲線方程的化簡(jiǎn)3.1.3.1 中心曲線的化簡(jiǎn)方法 一般采用先移軸后轉(zhuǎn)軸較為簡(jiǎn)便. 例4 化簡(jiǎn)二次曲線方程.021101032

10、2yxyxyx解 因?yàn)?即此曲線為中心曲線.0541232312I先移軸,由中心方程組得 , 0523, 0523yxyx解得 . 2, 200yx故移軸公式為 , 2, 2yyxx代入原方程,整理得. 0132 2 yyxx)4(5對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)軸 .)4(1, 1,23, 133221211aaaa , 即 .031122cot122211aaa4故轉(zhuǎn)軸公式為 代入方程),(22),(22 yxyyxx)4(整理得最簡(jiǎn)方程為 .(雙曲線)0125212 2 yx3.1.3.2 非中心二次曲線的化簡(jiǎn)方法 一般采用先轉(zhuǎn)軸后移軸進(jìn)行化簡(jiǎn)例5 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0168222yyxyx解 因?yàn)?,

11、所以此曲線是非中心曲線. 01111112I先進(jìn)行轉(zhuǎn)軸 , 即 .02112cot4故轉(zhuǎn)軸公式為 ),(22),(22yxyyxx代入原方程,得 . 016242422 yxy)5(對(duì)進(jìn)行移軸( 實(shí)質(zhì)配方),得:)5(.)23(22)2(2xy令 則變換公式為 ,23,2 xxyy,23,2 xxyy則原方程化簡(jiǎn)為 .(拋物線) 2 22xy3.2 通過(guò)主直徑,主方向化簡(jiǎn)二次曲線方法 一坐標(biāo)軸與二次曲線主方向平行,則化簡(jiǎn)后二次曲線方程中不含項(xiàng).xy63.2.1 中心曲線的化簡(jiǎn)方法 取它唯一一對(duì)相互垂直的主直徑為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,即原點(diǎn)是曲線的中心.例6 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0122422yxyx

12、yx解 因?yàn)?, , 2111I0312212I所以 此曲線是中心曲線.其特征方程為,0322因此兩特征根為, .1132由, 分別對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主方向?yàn)?,.11321:1:11YX1:1:22YX由兩主方向決定的主直徑分別為和取二主直徑為新坐標(biāo)系軸, 02 yx0 yx得 ,2,22yxyyxx解得, 1)(22, 1)(22yxyyxx代入原方程,化簡(jiǎn)得 .(雙曲線)132 2 yx3.2.2 無(wú)心曲線的化簡(jiǎn)方法 取它的唯一的一個(gè)主直徑為軸,過(guò)頂點(diǎn)垂直于主直徑的直線為軸建xy立坐標(biāo)系(頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))例7 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0168222xyxyx解 這里.0, 4, 1, 1, 12313

13、221211aaaaa7因?yàn)?,所以 此曲線是無(wú)心曲線.231322121211aaaaaa因?yàn)?.其特征方程為0, 221II,022因此兩特征根為 .0, 221對(duì)應(yīng)于的非漸近主方向?yàn)?211:1:11YX取主直徑為 為新坐標(biāo)系軸,主直徑與曲線的交點(diǎn)即頂點(diǎn)為02 yxx)21,25(過(guò)頂點(diǎn)且以非漸近主方向?yàn)榉较虻闹本€方程為即11:YX)25(21xy. 03 yx則變換公式為 ,22,23yxyyxx解得 ,21)(22,25)(22yxyyxx代入原方程,整理得 .(拋物線)2 22xy3.2.3 線心曲線的化簡(jiǎn)方法 取它的中心直線為軸,任取垂直它的直線為軸,建立坐標(biāo)系.xy例8 化簡(jiǎn)二

14、次曲線方程.0322222yxyxyx解 因?yàn)?所以此曲線是線心曲線. ,231322121211aaaaaa唯一的主直徑為 .01 yx8取主直徑為新系的軸,取任一垂直它的直線如為軸,這時(shí)變換公式為 x0 yxy,21,2yxyyxx解得,21)(22,21)(22yxyyxx代入原方程,得.(兩條平行直線)22y3.3 用不變量、半不變量化簡(jiǎn)二次曲線3.3.1 中心曲線的化簡(jiǎn)方法 用不變量、半不變量化簡(jiǎn)中心曲線,它的最簡(jiǎn)形式為0232 22 1IIyx例9 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0121252522yxyxyx解 特征方程為,288,24,10321III.024102因此兩特征根為. 4,

15、621可知最簡(jiǎn)形式為 .024288462 2yx即 .(橢圓)1322 2 yx3.3.2 無(wú)心曲線的化簡(jiǎn)方法 用不變量,半不變量化簡(jiǎn)無(wú)心曲線,它的最簡(jiǎn)形式為.02132 1xIIyI例10 化簡(jiǎn)二次曲線方程9.048222xyxyx解 因?yàn)?.016404011411, 01111, 2321III它的最簡(jiǎn)形式為 .0216222 xy即 .(拋物線)0222 xy3.3.3 線心曲線的化簡(jiǎn)方法 用不變量、半不變量化簡(jiǎn)線心曲線,它的最簡(jiǎn)形式為: 0112 1IKyI例11 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0322222yxyxyx解 這里 即此曲線是線心曲線.,231322121211aaaaaa.83

16、1113111, 211KI所以 它的最簡(jiǎn)形式為:.02822 y即 .(兩條平行的直線)2y3.4 正交變換化簡(jiǎn)二次曲線方法 任意實(shí)二次型,AXXxxaxxxfTijiijnn1n1j21),(都可以用正交變換化為平方和.QYX 2222211nnyyyf這里是的全部特征根.), 2 , 1(niiA例12 化簡(jiǎn)二次曲線方程.024241222yxyxyx解 上式中所有二次項(xiàng)構(gòu)成實(shí)二次型10.它的系數(shù)矩陣.2212),(yxyxyxf1661A特征矩陣. )5)(7(1661)(Af即 的特征根為 .A5, 721當(dāng)時(shí),的特征向量分別為單位化得5, 721A) 1 , 1(),1 , 1 (

17、21. )21,21(),21,21(21以為列向量,作正交矩陣21,21212121Q正交變換為 ,2121,2121yxyyxx代入原方程,得 .08572 yyx配方得 .0516)45(572yx令,45, yyxx則坐標(biāo)交換為,5222121,5222121 yxyyxx得標(biāo)準(zhǔn)方程為.(雙曲線)516572 2 yx3.5 合同變換法化簡(jiǎn)有心二次曲線11方法 對(duì)矩陣A作合同變換,即.333231232221131211321.000000cccccccccdddEA所作變換為 ,232221131211cycxcycycxcx這樣式就化簡(jiǎn)成 ) 1 (0),(32221dydxdyx

18、F例13 化簡(jiǎn)二次曲線方程.0211010322yxyxyx解 系數(shù)矩陣 .215551235231A 因?yàn)?,451232312I所以 此曲線為中心曲線.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001AE這樣經(jīng)變換12, 2, 223yyyxx使原方程化為 .(雙曲線)01452 2 yx檢驗(yàn) 把變換, 2, 223yyyxx代入原方程,并整理得 .01452 2 yx經(jīng)檢驗(yàn),此方法對(duì)中心曲線是成立的.4 二次曲線的方程的作圖4.1 中心二次曲線的作圖方法對(duì)中心二次曲

19、線利用不變量可將其簡(jiǎn)化方程表為0),(:yxFC. 0232 22 1IIyx)6(其中是曲線的兩特征根,且軸分別沿和對(duì)應(yīng)的主方向.因此21,C, yx12軸關(guān)于原坐標(biāo)系中軸的傾角滿足. xx2212112111tanaaaaXY可見(jiàn)要從中心二次曲線的簡(jiǎn)化方程作出其圖形,只需以過(guò)的中心C)6(C且與原坐標(biāo)系中軸的傾角為直線作為軸,建立直角坐標(biāo)系,然),(00yxOxxyxO 后在該坐標(biāo)系下作出所表示的曲線即可.)6(例14 求二次曲線的簡(jiǎn)化方程,并作042226565:22yxyxyxC出其圖形.解 因?yàn)?不變量. 128,16,10321III所以解特征方程 .016102即得曲線的兩特征根

20、且由.C, 8, 221823II13圖 1 橢圓：142 2 yx得曲線的簡(jiǎn)化方程為 .08822 2 yx即 (橢圓)142 2 yx另外通過(guò)解中心方程組 , 0253, 02335yxyx可得曲線的中心 .)241,243(O過(guò)作與軸的傾角的直線 ,并以此作為軸建立Ox41arctan22 yxx直角坐標(biāo)系,且在該坐標(biāo)系下作出方程(橢圓)所表示的曲線,yxO 142 2 yx如圖1所示.142 2 yxooxxyy4.2 無(wú)心二次曲線的作圖方法對(duì)無(wú)心二次曲線,由于 同號(hào),不妨設(shè)它們均非負(fù).利用不0),(:CyxF2211,aa變量可將其簡(jiǎn)化方程為其中號(hào)可任選, 這里不妨取-號(hào), 即簡(jiǎn)化方

21、程為0121312 xIIIy 0121312 xIIIy)7(不難驗(yàn)證新坐標(biāo)系的軸是該二次曲線的對(duì)稱(chēng)軸(主直徑),原點(diǎn)是曲線的xO頂點(diǎn)(主直徑與曲線的交點(diǎn)).對(duì)任意點(diǎn),若設(shè)其在舊、新坐標(biāo)系的坐標(biāo)為和P),(yx14,則數(shù)與至多差一個(gè)正數(shù)倍,所以若主直徑上某),(yx),(yxF0121312 xIIIy一點(diǎn)或的坐標(biāo)使或則向量便指向)0 ,(xP（), 0(yP）0)0 ,(xF（0), 0(yF）PO軸的正向 因軸正向上的點(diǎn)使為負(fù) , 否則,便指向x（x)0 ,(xP1312 12xIIIy)軸的負(fù)向.可見(jiàn)要從簡(jiǎn)化方程畫(huà)出無(wú)心二次曲線的圖形,只需x)7(0),(:CyxF先求出曲線的主直徑和

22、頂點(diǎn),并選取主直徑上一點(diǎn)或若),(00yxO)0 ,(xP（), 0(yP）或,則以作為原點(diǎn),以向量的正向作為軸正向建0)0 ,(xF（0), 0(yF）OPOx立直角坐標(biāo)系;若或則以作為原點(diǎn),以向量yxO 0)0 ,(xF（0), 0(yF）O的正向作為軸正向建立直角坐標(biāo)系,并在該坐標(biāo)系下作出方程O(píng)P xyxO 所表示的曲線即可.)7(例15 求二次曲線的簡(jiǎn)化方程,并作出其圖0256102:22yxyxyxC形.解 對(duì)所給二次曲線由于.0),(:yxFC231322121211aaaaaa所以 曲線是無(wú)心的.因?yàn)?曲線的不變量,6402321III，所以曲線的簡(jiǎn)化方程為 . 0242 xy)

23、8(又曲線的主直徑為,頂點(diǎn)為.取主直徑上一點(diǎn),由于01 yx) 1 , 2(O)0 , 1 (P,所以只需以作為原點(diǎn),以向量的正向作為軸正向建立直角坐標(biāo)0)0 , 1 (FOOP x系并在該坐標(biāo)系下作出方程所表示的曲線即可,如圖2所示.yxO )8(15圖 2 拋物線：2 24xyx2 24xyoyoxy4.3 線心二次曲線的作圖方法對(duì)線心二次曲線利用不變量可將其簡(jiǎn)化方程表為0),(:CyxF . （9）02112 IKy不難驗(yàn)證新坐標(biāo)系的軸是該二次曲線的對(duì)稱(chēng)軸 主直徑 ,所以若曲線的不x（）變量,則要作出曲線的圖形,只需作出主直徑即可;若,只需作出與主01K01K直徑平行的二直線 即0131

24、211ayaxa012211211131211aaIKayaxa可.例16 求二次曲線的簡(jiǎn)化方程,并作出其圖形.03222:22yxyxyxC解 對(duì)所給二次曲線由于0),(:yxFC.231322121211aaaaaa所以曲線是線心的.因?yàn)槎吻€的不變量,又曲線的主直徑為802321III，,所以只需在原坐標(biāo)系下作出直線,即為要作的曲線的01 yx021 yx圖形,如圖3所示.16圖 3 兩平行直線：021 yxx03 yx01 yxoy5 二次曲線的方程分類(lèi)5.1 二次曲線的分類(lèi)通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系,二次曲線的方程總可以寫(xiě)成下面九中標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式:1(橢圓)；12222byax2(虛

25、橢圓)；12222byax3(雙曲線)；12222byax4(點(diǎn)或稱(chēng)兩相交于實(shí)點(diǎn)的共軛虛直線)；02222byax5(兩相交直線)；02222byax6(拋物線)；pxy227(兩條平行直線)；22ay 8(兩平行共軛虛直線)；22ay9(兩重合直線)；02y 17參考文獻(xiàn):1呂林根,許子道.解析幾何M.第4版.北京:高等教育出版社,2006.2甘浪舟.利用不變量化簡(jiǎn)二次曲線方程的作圖問(wèn)題J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004,10(2):45-47.3呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)M北京:高等教育出版社,2006.4廖民勛.二次曲線方程的化簡(jiǎn)及作圖J.廣西師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997,14(2):7

26、6-81.5傅朝金.中心二次曲線化簡(jiǎn)的一種新方法及推廣J.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,21(2):72-74.6蘇婷.二次曲線方程化簡(jiǎn)J.陜西師范大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)報(bào),2006(23):247-249.7林夢(mèng)雷.二次曲線方程的化簡(jiǎn)J.漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào),1999,12(1):22-26.8席高文,劉曉君.二次曲線方程分類(lèi)與化簡(jiǎn)的新方法J.許昌師專(zhuān)學(xué)報(bào),2001,20(20):6 -13.9Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve EquationJ.Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.10 Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by Parameter FunctionsJ.High School Mathematics Teaching,1994,24-25. 18Second Curve Equation Reduction Mapping And ClassificationAbstract: In this paper, we give th