大一學習微積分ch1-8by

1、1第一章第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象研究對象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)1經(jīng)濟數(shù)學經(jīng)濟數(shù)學-微積分微積分 (張建梅張建梅 馬慶華馬慶華 主編主編)1.8 無窮小的比較一無窮小的階一無窮小的階二等價無窮小二等價無窮小2一一. 無窮小的階無窮小的階無窮小之比無窮小之比的極限（的極限（0/0）可以出現(xiàn)各種情況：）可以出現(xiàn)各種情況：出現(xiàn)不同情況的原因是無窮小趨向于零的出現(xiàn)不同情況的原因是無窮小趨向于零的速度速度不同不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小

2、都是無窮小時時當當xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限型）型）（0020limxxx; 2慢得多慢得多比比 xx, 3v定義定義1.8.1 ；記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比，稱稱如如果果)(,0lim)1( o 0.,且窮小是同一過程中的兩個無設(shè);,0lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與稱稱如如果果 C.;1lim 記記作作是是等等價價的的無無窮窮小小與與，稱稱如如果果特特殊殊地地， ;lim)(低低階階的的無無窮窮小小是是比比，稱稱如如果果 . 0li

3、m)4(階階的的無無窮窮小小的的是是，稱稱，如如果果kZkCk 4例例1.8.1 .tan4 ,0:3的四階無窮小的四階無窮小為為時時當當證明證明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四階無窮小的四階無窮小為為時時故當故當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx .sintan,0的階數(shù)的階數(shù)關(guān)于關(guān)于求求時時當當xxxx 例例1.8.2 5一一. 等價無窮小等價無窮小常用等價無窮小常用等價無窮小:,0時時當當 x.21cos1,1

4、,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( axaxln16解解xexx1lim0 1 xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 .1)1ln(0 xexxxx ，時時，當當.1,0 xexx 時證明：當例例1.8.3 則令,1uex),1ln(ux所以時且當, 0,0ux7注注: 在上面給出的常用等價關(guān)系中,自變量的極限過程 都是x0,而事實上,如果用u(x)代替x,只要保證 u(x)0 ,則等價關(guān)系依然成立.所以時當, 0)(,1)(xuxxxu例如例如 11l

5、n 1()xxx 8v定理定理1.8.1 , ,lim,limlim. 設(shè)是同一過程中的無窮小，且，存在 則證明: lim)lim( limlimlim.lim 求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代以簡化計算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。9解解.)5(tansinlim220 xxx求例例1.8.4 ,0時當 x,sin22x

6、x所以,55tanxx220)5(tansinlimxxx220)5(limxxx25110解解.1cos1)1 (lim3120 xxx求例例1.8.5 ,0時當 x,311)1 (2312xx2202131limxxx32,211cos2xx.1cos1)1 (lim3120 xxx11v定理定理1.8.2 b 與a是等價無窮小的充分必要條件為 b =a+o(a) 必要性: 證明 所以b a=o(a)因為設(shè)ab 只需證b a=o(a) 01lim) 1lim(lim=-=-=-ababaab, 充分性: 設(shè)b=a+o(a) 則 1)(1lim)(limlim=+=+=aaaaaaboo,因

7、此ab 即b=a+o(a) 12所以當x0時 有 sin x=x+o(x) tan x=xo(x) 例如 例例 6 因為當 x0 時 sin xx tan xx 1cos x221x )(211cos22xoxx130lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無窮小的比較設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)14解答解答不能不能例當例當 時時x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.思考題思考題任何兩個無窮小都可以比較嗎？任何兩個無窮小都可以比較嗎？15練練 習習 題題167.)0(3-+aaxa對于對于x是是_階無窮小階無窮小 .8.無窮小無窮小xcos1-與與nmx等價，則等價，則 ._,nm=二、求下列各