第6章自適應(yīng)濾波

1、（1）濾波器是線性的，以使對(duì)濾波器的數(shù)學(xué)分析更為簡(jiǎn)便；（2）濾波器是離散時(shí)間的，這將使得濾波器可以采用數(shù)字硬件或軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)；（1）濾波器的脈沖響應(yīng)是有限的還是無(wú)限的；（2）優(yōu)化統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則類型； 設(shè)計(jì)一個(gè)線性離散時(shí)間濾波器的系數(shù) ，使在給定的輸入樣本 下濾波器的輸出 為期望響應(yīng) 的估計(jì)，并且能夠使得誤差 的均方值 為最小。kw(0), (1), (2)xxx( )y n( )d n( )( )( )e nd ny n2( )E e n典型的優(yōu)化準(zhǔn)則典型的優(yōu)化準(zhǔn)則 正交性原理正交性原理 設(shè)線性離散時(shí)間濾波器 *0( )(),1,2,kky nw x nkn的期望響應(yīng)為( )d n ，則濾波器的估計(jì)誤

2、差為 ( )( )( )e nd ny n為使濾波器為最優(yōu)，則在MMSE準(zhǔn)則下，定義代價(jià)函數(shù) 2 ( )( )( )JE e n e nE e n為使J最小，定義梯度算子,0,1,2,kkkwabk,0,1,2,kkkjkab J將應(yīng)用于,0,1,2,kkkJJJjkabJJ為了使最小，梯度向量的所有元素必須同時(shí)等于零，即0,0,1,2,kJk根據(jù)J的定義，可得( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkke ne ne ne nJEe ne nje nje naabb其中( )( )()()( )( )()()kkkke ne nx nkjx nkabe ne nx nkjx n

3、kab 2 ()( )kJE x nk e n 可得2 ()( )0kJE x nk e n ()( )0,0,1,2,oE x nk e nkJ( )oe n( )x n由此表明代價(jià)函數(shù)最小化的充分必要條件是估計(jì)誤差與輸入正交另外，由于00 ( )( )( ) ()( )( ) ()( )kkkkE y n e nEw k x nk e nw k E x nk e n( )( )0ooE y n e n可得上式說(shuō)明當(dāng)濾波器工作在最優(yōu)條件時(shí)，由濾波器輸出定義的期望響應(yīng)的估計(jì) 與響應(yīng)的估計(jì)誤差 是彼此正交的。( )oy n( )oe n 設(shè)橫向?yàn)V波器的抽頭權(quán)系數(shù) 011TNw www則在輸入信號(hào)

4、為 時(shí) ，輸出為( )x n10( )()( )NTkky nw x nknw x由于( )Tnw x是標(biāo)量，所以 ( )( )TTTnnw xw x( )( )( )( )( )( )( )TTe nd ny nd nnd nnw xxw2( )( ( )( )( ( )( )TTJE e nE d nnd nnw xxw2( )( ( )( )( ( )( )TTJE e nE d nnd nnw xxw2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )TTTTJE dnEn d nE d nnEnnwxxwwxxw定義 011 ( ) ( )TNEn d np pppx0001020,

5、11011121,12021222,11,01,11,21,1 ( )( )NNTNNNNNNrrrrrrrrrrrrEnnrrrrRxx2( )2TTJE dnw pw Rw且有 ( )( )TTE d nnxpTTw pp w和，可得到均方誤差函數(shù) 是濾波器權(quán)系數(shù) Jw的二次方程，由此形成一個(gè)具有唯一最小值的多維超拋物曲面，稱為誤差性能曲面。為了使濾波器工作在最優(yōu)狀態(tài)，濾波器抽頭的權(quán)系數(shù)選取應(yīng)使 取最小值J1112000( )2NNNlllm lmllmJE dnp ww w r由102(),0,1,2,1NkllkkllkJpw rrkNw 得1022,0,1,2,1NkllklkJr

6、wpkNwlkklrr由22JRwp令0J oRwp，可得 設(shè) 存在逆矩陣，得最優(yōu)濾波系數(shù)（維納解）R1owR p q 其數(shù)學(xué)公式用狀態(tài)空間概念描述q 卡爾曼濾波是一個(gè)遞推計(jì)算維納解的過(guò)程1(1)(1, ) ( )( )nnnnnxFxv2( )( )( )( )nnnnyCxv (1), (2), ( )nyyy 1n ( ) ix 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測(cè)器 1( )(1)(1)x nfx nv n2( )( )( )y ncx nv n狀態(tài)方程 1n則 時(shí)刻的預(yù)測(cè)均方誤差為 22( )( ( )( ) ( )p nE x nx nE e n標(biāo)量卡爾曼濾波器的預(yù)測(cè)公式表示為( )( ) (1)( )

7、 ( )x nn x nn y n( )x n將 代入 ，并對(duì) 和 求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得 ( )p n( )n( )n( )2 ( ( ) (1)( ) ( )( ) (1)0( )p nEn x nn y nx n x nn( )2 ( ( ) (1)( ) ( )( ) ( )0( )p nEn x nn y nx n y nn ( ) (1) (1)( ( ) ( )( ) (1)En x nx nEn y nx n x n 經(jīng)推導(dǎo)，得到 ( )(1( )nfcn( )(1)( )( ( )(1)x nfx nny nfcx n從而得到標(biāo)量卡爾曼預(yù)測(cè)器的定義 112222222(1

8、)( )(1)vvvc f p nncf p n ( )e n( )e n( )y n( )y n( )d n線性自適應(yīng)濾波器的遞推算法分為 最小二乘估計(jì)方法是以最小加權(quán)誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)2min0min( , )| ( )|nkJn ke k 最速下降法 最速下降法是實(shí)現(xiàn)最佳搜索的一種優(yōu)化技術(shù)，它利用均方誤差的梯度信息來(lái)分析自適應(yīng)濾波器性能和追蹤最優(yōu)濾波狀態(tài)。也就是說(shuō)，最速下降法是在梯度向量的負(fù)方向上接連地調(diào)整濾波系數(shù)，即濾波系數(shù)在誤差性能曲面上以下降速度最快的路徑移動(dòng)，最終到達(dá)均方誤差的最小點(diǎn)。 (1)( )( )w nw nnRwp維納濾波的最速下降法數(shù)學(xué)表達(dá)式 最小均方（LMS）算法

9、 學(xué)習(xí)速抽頭輸誤差更新的權(quán)原權(quán)系率參數(shù)入向量信號(hào)系數(shù)向量數(shù)向量(1)( )( ) ( )( ) ( )Tnnnnn d nwIxxwx（1）由當(dāng)前時(shí)刻 的輸入信號(hào)向量 、期望的響應(yīng) 以及濾波器權(quán)系數(shù)向量估計(jì) 值 ，計(jì)算誤差信號(hào) （2）計(jì)算濾波器權(quán)系數(shù)向量的更新估計(jì)值：（3）將 增加1，返回步驟（1），重復(fù)上述步驟，一直到達(dá)穩(wěn)態(tài)為止。 n( )nx( )d n ( )nw ( )nw( )( )( )( )Te nd nnnxwn(1)( )( ) ( )nne nnwwx自適應(yīng)建模自適應(yīng)建模 ( )H z( )W z建模目的是估計(jì)未知系統(tǒng)的模型的參數(shù)，使得( )( )W zH z ( )x n( )H z( )W z( )H z( )d n( )W z( )y n( )d n( )e n( )W z( )W z( )e n信號(hào)同時(shí)加到系統(tǒng)和自適應(yīng)濾波器上，的響應(yīng)作為所期望的信號(hào)。的輸出與之間的誤差反饋給，根據(jù)自適應(yīng)算法動(dòng)態(tài)調(diào)整其參數(shù)，逐漸變小。 使得 自適應(yīng)反向建模自適應(yīng)反向建模 1/( )H z( )x tks自適應(yīng)濾波器起到反向建模的作用，即它的理想傳遞函數(shù)為，中復(fù)原出符號(hào)數(shù)據(jù) 從而可以從自適應(yīng)線性預(yù)測(cè)自適應(yīng)線性預(yù)測(cè) 線性預(yù)測(cè)的基本任務(wù)，就是根據(jù)已知的前 次觀測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前時(shí)刻的信號(hào) 的估計(jì)值p( )x n( )x n自適應(yīng)干擾抵消自適應(yīng)干擾抵消 干擾抵消指的是將混有干擾的信