第五章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述和剛體的簡單運(yùn)動(dòng)

1、1運(yùn)動(dòng)學(xué)2 運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的科學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的科學(xué)。是是從從幾幾何學(xué)方面何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，不研究物體的運(yùn)動(dòng)不研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與力、慣性等物理因素的關(guān)系，單獨(dú)研究物體運(yùn)規(guī)律與力、慣性等物理因素的關(guān)系，單獨(dú)研究物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)的幾何性質(zhì)，幾何性質(zhì)，包括：包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度等度等。 學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。 由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。將觀察者所在的由于物體

2、運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考參考系。系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。 時(shí)間概念要明確：時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)瞬時(shí)和和時(shí)間間隔時(shí)間間隔。 運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)點(diǎn)和和剛體剛體。34 本章介紹三種方法（即本章介紹三種方法（即矢量法、直角坐標(biāo)法矢量法、直角坐標(biāo)法和和自然法自然法）研究點(diǎn)相對某一個(gè)參考系的幾何位置隨時(shí)）研究點(diǎn)相對某一個(gè)參考系的幾何位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和間變化的規(guī)律，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、

3、軌跡、速度和加速度及剛體的簡單運(yùn)動(dòng)（平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）等。加速度及剛體的簡單運(yùn)動(dòng)（平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）等。本章內(nèi)容本章內(nèi)容 5. 1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述 5. 2 剛體的平移剛體的平移 5. 3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 5. 4 輪系的傳動(dòng)比輪系的傳動(dòng)比 5. 5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度51. 1. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程選取參考系上某確定點(diǎn)選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)向動(dòng)點(diǎn)M作矢量作矢量r，稱為點(diǎn)，稱為點(diǎn)M相對原點(diǎn)相對原點(diǎn)O的位置矢的位置矢量，簡稱量，簡稱矢徑矢徑。5.1

4、 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述MrO以矢量表示以矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程方程)(trr 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r 隨時(shí)隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即矢端曲線即為動(dòng)點(diǎn)矢端曲線即為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡一、矢量法一、矢量法62. 2. 速度速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*rtrtrvtddlim073. 3. 加速度加速度點(diǎn)的速度矢對時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度

5、大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 有時(shí)為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加“.”表示該量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 avr220ddddlimtrtvtvat8速度矢端曲線速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定加速度的方向確定 如在空間任意取一點(diǎn)O，把動(dòng)點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到點(diǎn)O，連接各矢量的端點(diǎn)M1，M2，M3，就構(gòu)成了矢量v端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動(dòng)點(diǎn)的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)M的切線相平行。 9二、二、 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法這組方程

6、叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。123( )( )( )xf tyf tzf tMrkijyxzOyxz有一動(dòng)點(diǎn)M。也可用它的三個(gè)直角坐標(biāo)表示。也是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程1. 1. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 取一固定的直角坐標(biāo)系Oxyz，kzj yi xr 則動(dòng)點(diǎn)M在任意瞬時(shí)的空間位置，既可用相對于O的矢徑r表示， 由于矢徑的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，所以矢徑r 可表示為：10 速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2. 速度若已知速度的投影，則速度的大小為222zyxvvvv其方向余弦為txvxddtyvyddtzvzddktzjtyitxtrvddddddddkvjvivz

7、yxkzj yi xrvzkvvyjvvxiv),cos( ,),cos( ,),cos(11 加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。3. 加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為222222zyxaaaazyx 其方向也可確定22ddddtytvayy22ddddtztvazz22ddddtxtvaxxktvjtvitvtvazyxddddddddkajaiazyxkvjvivvzyx12解：解： 以以O(shè)為坐標(biāo)圓點(diǎn)，建立如圖為坐標(biāo)圓點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：sinsinxOMOAr 將將 =w w t帶入上式，得帶入上式，得M點(diǎn)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

8、方程運(yùn)動(dòng)方程：sinxrtw將上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：將上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww BABOKMKwxx例例1 如圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄如圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄 OA 長為長為r ，自水平位置開始以勻角速度自水平位置開始以勻角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)，即轉(zhuǎn)動(dòng)，即 =wt，滑槽，滑槽K-K與導(dǎo)桿與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過滑塊在滑槽通過滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)導(dǎo)桿柄帶動(dòng)導(dǎo)桿B-B作上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和作上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)

9、桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。加速度。13例例2 一人高一人高 h2 ，在路燈下以勻速，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面行走，燈距地面的高為的高為h1 ，求人影的頂端，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。沿地面移動(dòng)的速度。解解: 取坐標(biāo)軸取坐標(biāo)軸Ox如圖所示，由幾何關(guān)系得如圖所示，由幾何關(guān)系得:上式對上式對t求一階導(dǎo)數(shù)，得求一階導(dǎo)數(shù)，得 M 點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為:221xxxhhMM2121hhxhxM12112211ddddvhhhtxhhhtxvMMh1h2xMx2MxO14)(tfs 這就是點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)方程或以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。三、三、自然法自然法1. 1. 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的

10、軌跡為如圖所示的曲線，則動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 MOs(-)(+)15 在運(yùn)動(dòng)軌跡上取極為接近的點(diǎn)M和M1，切線的單位矢量分別為和1，指向與弧坐標(biāo)正向一致。將1平移到點(diǎn)M，則 和1決定一平面。令M無限趨近點(diǎn)M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過點(diǎn)M且垂直于

11、切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與 、n構(gòu)成右手系。2. 自然軸系 16 以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點(diǎn)的曲率半徑。曲率曲率nbsssdd1lim017由左圖知：由左圖知：2sin2 100，s垂直，且有垂直，且有與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)n 則nnsssss1limlimdd00相關(guān)的計(jì)算結(jié)果相關(guān)的計(jì)算結(jié)果 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閟為正時(shí)，點(diǎn)沿切向?yàn)檎龝r(shí)，點(diǎn)沿切向 的正方向運(yùn)動(dòng)，的正方向運(yùn)動(dòng)， 指指向軌跡內(nèi)凹一側(cè)；反之

12、則相反。于是有向軌跡內(nèi)凹一側(cè)；反之則相反。于是有183 點(diǎn)的速度 tststrvttddlimlim00用矢量表示為： 在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運(yùn)動(dòng)的一方。srt0時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)vdtdsv194 點(diǎn)的切向加速度和法向加速度 由于所以nvvntsst1ddddddtvtv vttvaddddddddnaaaantnt法向加速度切向加速度，va tva2ntdd=其中nvtva2dd20naaaantntnvtva2dd 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由兩個(gè)分矢量組成：是由兩個(gè)分矢量組成：切向加速度切向加速度 反映

13、速度代數(shù)值對時(shí)間的變化率，反反映速度代數(shù)值對時(shí)間的變化率，反映速度大小的變化，它的方向沿軌跡的切線方向；映速度大小的變化，它的方向沿軌跡的切線方向；法向加速度法向加速度 反映速度方向改變的快慢程度，它反映速度方向改變的快慢程度，它的方向沿主法線的方向，指向曲率中心。的方向沿主法線的方向，指向曲率中心。atana2122tnaaa大?。捍笮。悍较颍悍较颍簍n|tanaantaaa全加速度全加速度為為切向加速度切向加速度和和法向加速法向加速度度的矢量和的矢量和22200t12ssv ta tttddacva t 了解上述關(guān)系后，容易得到曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例如所謂曲線勻速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)點(diǎn)速度的代數(shù)值保

14、持不變。0ssvt 如果動(dòng)點(diǎn)的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為曲線勻變速運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在來求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 tavvt023例例3 3 下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為升的運(yùn)動(dòng)方程為y2t2，y以以cm記，記，t 以以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在在t4s時(shí)的速度和加速度。時(shí)的速度和加速度。解：解：此時(shí)此時(shí)M點(diǎn)的點(diǎn)的切向加速度切向加速度為：為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當(dāng)當(dāng)

15、t=4 s時(shí)時(shí)速度速度為：為：M點(diǎn)的點(diǎn)的法向加速度法向加速度為：為：OMRMA0AM0yatan attsv4dd22s/cm16Rvan24M點(diǎn)的全加速度為：點(diǎn)的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aaOMRMA0AM0yatan a25例例4 列車沿曲線軌道行駛，初速度列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度，速度均勻增加，行駛均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖若鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在所示。在M1、M2點(diǎn)的曲率點(diǎn)的曲率半徑分別為半徑分別為1=600m, 2

16、=800m 。求列車從。求列車從M1到到M2所所需的時(shí)間和經(jīng)過需的時(shí)間和經(jīng)過M1和和M2處的加速度。處的加速度。M1M2v1v1at2解：解：20021tatvssttavvt02222122s/m1 . 0100025152svvatat1（1）求從）求從M1到到M2所需時(shí)間所需時(shí)間261an1a1(2)求列車經(jīng)過求列車經(jīng)過M1和和M2時(shí)的時(shí)的法向加速度法向加速度：(3)求列車經(jīng)過求列車經(jīng)過M1時(shí)的時(shí)的全加速度全加速度：s1001 . 051512tavvt221222s/m281. 060015vana2an2M1M2v1v1at2at1221211s/m042. 06005van2222

17、121s/m108. 0042. 01 . 0ntaaa（4）求列車經(jīng)過）求列車經(jīng)過M2時(shí)的時(shí)的全加速度全加速度：2222222s/m293. 0281. 01 . 0ntaaa4 .6715 .192227 例例5 桿桿AB繞繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)護(hù)環(huán)M 運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)，已知 wt (w為常數(shù)為常數(shù))。求小環(huán)。求小環(huán)M 的運(yùn)動(dòng)方程、速的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。度和加速度。解：解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則即為小環(huán)即為小環(huán)M 的運(yùn)動(dòng)方程。的運(yùn)動(dòng)方程。2cos2sinRyRxtRytRxww2c

18、os2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOxy228故故M點(diǎn)的速度大小為點(diǎn)的速度大小為wRvvvyx222其方向余弦為其方向余弦為cos( , )cos2xvvv icos( , )sin2yvv v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故故M點(diǎn)的加速度大小為點(diǎn)的加速度大小為2224wRaaayx且有且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOxy2vxvyva29MMRo例例6 半徑為半徑為R 的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無滑動(dòng)地滾無滑動(dòng)地滾動(dòng)動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，。設(shè)

19、輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)， ，試，試分析輪子邊緣一點(diǎn)分析輪子邊緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。tw30此處有影片播放此處有影片播放31解：解：取坐標(biāo)系取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)如圖所示，并設(shè)M 點(diǎn)所在的一個(gè)點(diǎn)所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn)最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個(gè)角度后，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個(gè)角度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為)cos1 (cosROMOCy這是旋輪線的參數(shù)方程。這是旋輪線的參數(shù)方程。oRCAxyMM點(diǎn)的速度和加速度為：點(diǎn)的速度和加速度為：jtRitRj yi xv)sin()cos1 (wwww-當(dāng)當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸，即點(diǎn)與地面接觸，即 時(shí)，時(shí)，M點(diǎn)速度等于零。點(diǎn)速度等于零。k2jtRitR

20、j yi xa)cos()sin(22wwww )sin(sinROMACx32如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過程中這條如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行平行移動(dòng)移動(dòng)，簡稱，簡稱平移平移。5.2 剛體的平移剛體的平移33擺式輸送機(jī)的料槽擺式輸送機(jī)的料槽直線行駛的列車車廂直線行駛的列車車廂 剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡不一定是直線，也的軌跡不一定是直線，也可能是曲線。可能是曲線。 （直線平移）（直線平移） （曲線平移）（曲線平移）34yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A

21、1O 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。 因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。平行移動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度平行移動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度BArrBABAvvBAaa 另外可知，只要把點(diǎn)另外可知，只要把點(diǎn)B的軌跡沿的軌跡沿BA方向平行移動(dòng)一段距方向平行移動(dòng)一段距離離BA，就能與點(diǎn)，就能與點(diǎn)A的軌跡完全重合。的軌跡完全重合。 35 在剛體運(yùn)動(dòng)的過程中，若在剛體運(yùn)動(dòng)的過程中，

22、若剛體上剛體上或或其延伸部分上其延伸部分上有有一條直線始終不動(dòng)，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱一條直線始終不動(dòng)，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱為為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡稱，簡稱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。該固定不動(dòng)的直線稱為。該固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸，簡稱為簡稱為軸軸。5.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3637 固定平面固定平面A與動(dòng)平面與動(dòng)平面B間的夾間的夾角角稱為剛體的稱為剛體的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角是是一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的位置，用弧度位置，用弧度(rad)表示。表示。 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正 順時(shí)針為負(fù)順時(shí)針為負(fù)符號規(guī)定：符號規(guī)定：自自z 軸的正端看去，軸的正端

23、看去，1. 轉(zhuǎn)角和運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)角和運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 是時(shí)間是時(shí)間t 的單值連續(xù)函數(shù)，即的單值連續(xù)函數(shù)，即( )f t這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程。一、轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和角加速度一、轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度和角加速度38轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角速度，剛體的瞬時(shí)角速度，用用w 表示表示: :ddtw 角速度角速度表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，是代數(shù)量，是代數(shù)量，其單其單位為位為rad/s 。2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度（1 1）角速度）角速度 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正 順時(shí)針為

24、負(fù)順時(shí)針為負(fù)符號規(guī)定：符號規(guī)定：自自z 軸的正端看去，軸的正端看去，39角速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為角速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角加剛體的瞬時(shí)角加速度速度，用字母，用字母a 表示，即表示，即22ddddttwaw角加速度表征角速度變化的快慢，也是代數(shù)量角加速度表征角速度變化的快慢，也是代數(shù)量, ,單位為單位為rad/s2 。如果如果w 與與a 同號，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果同號，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果w 與與a異號，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。異號，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。（2 2）角加速度）角加速度40 工程上常用轉(zhuǎn)速工程上常用轉(zhuǎn)速n 來表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。來表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。n 的單的單位是轉(zhuǎn)位是轉(zhuǎn)/

25、/分分(r/min)， 與與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為的轉(zhuǎn)換關(guān)系為20.16030nnnw（1 1）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)( (w w = =常數(shù)常數(shù)) )（2 2）勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)(a 常數(shù)常數(shù))3.3.特殊情形特殊情形t+=0200021tttawaww41 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)各點(diǎn)在與軸垂直的平面內(nèi)作各點(diǎn)在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑R等等于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。sR動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)速度速度的大小為的大小為ddddsvRRttw 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度如圖設(shè)任一點(diǎn)由如圖設(shè)任一點(diǎn)由O運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到M。

26、以固定點(diǎn)。以固定點(diǎn)O為弧坐標(biāo)為弧坐標(biāo)s的的原點(diǎn)，按原點(diǎn)，按角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是的正向，于是1.1.速度速度 w w , a a對整個(gè)對整個(gè)剛體剛體而言而言(各點(diǎn)都一樣各點(diǎn)都一樣)； v, a 對剛體中某個(gè)對剛體中某個(gè)點(diǎn)點(diǎn)而言而言(各點(diǎn)不一樣各點(diǎn)不一樣)。42即：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。ddddsvRRttw43tddd()dddvaRRRtttwwa（1 1）切向加速度為

27、：）切向加速度為：即：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小，等于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積，它，它的方向由角加速度的符號決定，當(dāng)?shù)姆较蛴山羌铀俣鹊姆枦Q定，當(dāng)a 是正值時(shí)，它沿是正值時(shí)，它沿圓周的切線，指向角圓周的切線，指向角 的正向；否則相反。的正向；否則相反。2.2.加速度加速度44222n()vRaRRww（2 2）法向加速度為：）法向加速度為：即：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度( (又稱向心加又稱向心加速度速度) )的大小，等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸的大小，

28、等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。軸線。45如果如果w 與與a 同號，角速度的絕對值增加，剛體作加同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)的切向加速度速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)的切向加速度at 與速度與速度v 的指向相同；的指向相同；如果如果w 與與a 異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)，異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)， at 與與v 的指向相的指向相反。這兩種情況如圖所示反。這兩種情況如圖所示atat46 (1) (1) 在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸

29、線的垂直距離成正比。度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸線的垂直距離成正比。 (2) (2) 在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度a 與半徑與半徑間的夾角間的夾角 都有相同的值。都有相同的值。點(diǎn)的全加速度為：點(diǎn)的全加速度為：2224tnt2ntanaaaRaaawaw47例例5-1 齒輪傳動(dòng)是工程上常見的一種傳動(dòng)方式，可用來改齒輪傳動(dòng)是工程上常見的一種傳動(dòng)方式，可用來改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、r2、1、a1，求求2、a2 。 解：解：因嚙合點(diǎn)無相對滑動(dòng)，所以因嚙合點(diǎn)無相對滑動(dòng)，所以tt1212,vvaa由于由于111222tt111222,v

30、rvrararwwaa于是可得于是可得11212122,rrrrwwaa即即112221rrwawaw1a1r1O1O2r2w2a2v1v2at1at248 解：解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為42 tdtdw222dtda求當(dāng)求當(dāng)t=1s時(shí)，則為時(shí)，則為rad/s2w2rad/s2a因此輪緣上任一點(diǎn)因此輪緣上任一點(diǎn)M 的速度和加速度為的速度和加速度為m/s4 . 0wRv2m/s4 . 0aRat22m/s8 . 0wRanARMOvana方向如圖所示。方向如圖所示。 例5-2 一半徑為一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方程的轉(zhuǎn)動(dòng)方程

31、為為 ，單位為弧度。求，單位為弧度。求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)求當(dāng)t=1s時(shí)，物時(shí)，物體體A 的速度和加速度。的速度和加速度。tt4249 M點(diǎn)的全加速度及其偏角為點(diǎn)的全加速度及其偏角為ARMOanaa22222m/s894. 0)8 . 0()4 . 0(ntaaa43265 . 02arctgarctgwa如圖如圖。 現(xiàn)在求物體現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)榈乃俣群图铀俣取Ｒ驗(yàn)镸Ass 上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，

32、則得上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得MAvv tMAaa因此因此m/s4 . 0Av2m/s4 . 0Aa50P解：例例5-35-3 在刮風(fēng)期間，風(fēng)車的角加速度在刮風(fēng)期間，風(fēng)車的角加速度 ，其中轉(zhuǎn)角其中轉(zhuǎn)角 以以rad計(jì)。若初瞬時(shí)若初瞬時(shí) ，其葉片半徑為其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈( )( )時(shí)其頂端時(shí)其頂端 P 點(diǎn)的速度。點(diǎn)的速度。 2rad/s 2 . 0arad/s6 , 000wrad 4wwwwaddddddddttww2 . 0ddwwww40d 2 . 0d 02022)4(2 . 0wwrad/s22. 8 wm/s17. 6 wrv51主動(dòng)輪與從動(dòng)輪角速度之比稱為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪角速度之比稱為傳動(dòng)比傳動(dòng)比，記為，記為i12。5.4 輪系的傳動(dòng)比輪系的傳動(dòng)比齒輪傳動(dòng)（外嚙合）齒輪傳動(dòng)（外嚙合）齒輪傳動(dòng)（內(nèi)嚙合）齒輪傳動(dòng)（內(nèi)嚙合）52帶輪傳動(dòng)帶輪傳動(dòng)531) 1) 齒輪傳動(dòng)齒輪傳動(dòng)121221RiRww即：即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它們節(jié)圓半徑相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它們節(jié)圓半徑成反比。成反比。由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故121221zizww即：即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比及角加速