倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)說(shuō)明

1、摘要：為實(shí)現(xiàn)多輸入、多輸出、高度非線(xiàn)不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)平衡穩(wěn)定控制，將倒立擺系統(tǒng)的非線(xiàn)性模型進(jìn)行近似線(xiàn)性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線(xiàn)性化模型。利用牛頓歐拉方法建立直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上，基于狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法對(duì)直線(xiàn)型倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，設(shè)計(jì)的控制器對(duì)直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性效果好，提高了系統(tǒng)的干擾能力。關(guān)鍵詞：倒立擺、極點(diǎn)配置、MATLAB仿真引言：倒立擺是進(jìn)行控制理論研究的典型試驗(yàn)平臺(tái)，由于倒立擺本身所具有的高階次、不穩(wěn)定、非線(xiàn)性和強(qiáng)耦合性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將他視為典型的研究對(duì)象，不斷從中

2、發(fā)掘出新的控制策略和控制方法?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心容，因?yàn)榈沽[是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，基于極點(diǎn)配置法給直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器1數(shù)學(xué)模型的建立倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在著一定的困難。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立擺系統(tǒng)就是一典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。下面采用牛頓-歐拉方法建立直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.1微分方程的數(shù)學(xué)模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后，可將直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示：圖1：直線(xiàn)一級(jí)倒立擺模型設(shè)系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)定

3、義如下：M：小車(chē)質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b：小車(chē)摩擦系數(shù)l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿質(zhì)量F：加在小車(chē)上的力x：小車(chē)位置：擺桿與垂直方向上方向的夾角：擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）如下圖2所示為小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖2：小車(chē)和擺桿受力分析圖應(yīng)用牛頓方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下：分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面的等式：將此等式代入上述等式中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面的

4、方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)=+，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小時(shí)，即<<1時(shí)，則可以進(jìn)行如下近似處理：線(xiàn)性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式：1.2狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫(xiě)成如下形式：解代數(shù)方程可得如下解：整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：代入微分方程模型中得：化簡(jiǎn)后可得：設(shè)則有：1.3實(shí)際系統(tǒng)模型實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M：小車(chē)質(zhì)量，0.5Kg;m：擺桿質(zhì)量，0.2Kg;b：小車(chē)摩擦系數(shù)，0.1N/m/sec；

5、l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，0.3m;I：擺桿質(zhì)量，0.006Kg·m·m；T：采樣時(shí)間，0.005s。將上述系統(tǒng)參數(shù)代入可得系統(tǒng)實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：2.狀態(tài)空間極點(diǎn)配置經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在

6、期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿(mǎn)足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)要求：用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制器，使得在小車(chē)上施加0.1N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）要求系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間小于3s（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度狀態(tài)方程為：選擇控制信號(hào)：可解得：直接利用MATLAB極點(diǎn)配置函數(shù)K，PREC，MESSAGE=PLACE(A，B，P)來(lái)計(jì)算。選取調(diào)整時(shí)間ts=2.0s，阻尼比為=0.5，可得期望的閉環(huán)極點(diǎn)：u3，u4為一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，u1，u2距離閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)5倍，可忽略其對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的影響。矩陣（A-BK）的特征值是方程式| Is-（A-BK）|=0的根：這是s 的四次代數(shù)方程式，可表示

7、為適當(dāng)選擇反饋系數(shù)k1, k2，k3，k4系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。把四個(gè)特征根設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有如果給出的是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù)。據(jù)此可求解出實(shí)數(shù)k1,k2,k3,k4當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí)=，-10, -10又a = 29.4, b = 3利用方程式可列出關(guān)于k1,k2,k3,k4的方程組：求解后得k1=-65.3061k2=-29.3878k3=114.3224k4=21.3551所以反饋矩陣：即施加在小車(chē)水平方向的控制力u： = KX = -65.3061x + -29.3878x - 114.3224-21.35513.仿真驗(yàn)證圖3

8、：倒立擺極點(diǎn)配置仿真框圖可以看出在干擾的情況下，系統(tǒng)在3s之基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置。圖4：直線(xiàn)一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATALAB SIMULINK仿真結(jié)果圖圖5：直線(xiàn)一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制結(jié)果（施加干擾）在給倒立擺施加干擾后，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖12所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間在3s之，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。4結(jié)論傳統(tǒng)的非線(xiàn)性系統(tǒng)分析方法需要非線(xiàn)性系統(tǒng)的精確模型，而實(shí)際中存在的大量復(fù)雜的多變量非線(xiàn)性系統(tǒng)則表現(xiàn)為參數(shù)的不確定性和結(jié)構(gòu)的不確定性。本文用現(xiàn)代控制理論的極點(diǎn)配置方法對(duì)直線(xiàn)一級(jí)倒立擺控制進(jìn)行了分析，并用Simulink進(jìn)行了倒立擺的系統(tǒng)仿真。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，得到如下結(jié)論：(1) 對(duì)于具有非線(xiàn)性、多變量等特點(diǎn)的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析，分析其非線(xiàn)性因素，在誤差允許的圍忽略某些次要因素將其線(xiàn)性化。(2)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器既能實(shí)現(xiàn)對(duì)擺桿角度的控制，又能控制小車(chē)位移。（3）基于極點(diǎn)配置法對(duì)直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制器，可使系統(tǒng)在很小振動(dòng)圍保持平衡，穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為3 S。5.參考文獻(xiàn)1于長(zhǎng)官，現(xiàn)代控制理論第3版工業(yè)大學(xué)，20052郭釗俠，方建安，苗清影倒立擺系統(tǒng)與其智能控制研究J東華大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，29(2)：1221263豹現(xiàn)代控制理論M：機(jī)械工業(yè)，20054王正林，王勝開(kāi)MATL