數學建模簡單13個例子

1、通常，通常，1 1公斤面，公斤面， 1 1公斤餡，包公斤餡，包100100個湯圓（餃子）個湯圓（餃子） 今天，今天，1 1公斤面不變，餡比公斤面不變，餡比 1 1公斤多了，問應多包幾公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題問題圓面積為圓面積為S S的一個皮，包成體積為的一個皮，包成體積為V V的湯圓。若的湯圓。若分成分成n n個皮，每個圓面積為個皮，每個圓面積為s s，包成體積為，包成體積為v v。V V和和 nv nv 哪個大哪個大? ?S Ss ss ss sV Vv vv vv v( (共共n n個個) )1 1、從包湯圓（餃子

2、）、從包湯圓（餃子）定性分析定性分析V V比比 nvnv大多少大多少? ?定量分析定量分析假設假設1. 1. 皮的厚度一樣皮的厚度一樣2. 2. 湯圓湯圓( (餃子餃子) ) 的形狀的形狀一樣一樣 模型模型應用應用若若100100個湯圓（餃子）包個湯圓（餃子）包1 1公斤餡公斤餡, ,則則5050個湯圓個湯圓( (餃子餃子) ) 可以包可以包 公斤餡公斤餡R R 大皮大皮 的半徑；的半徑；r r 小皮的半小皮的半徑徑3221,RkVRkS3221,rkvrksnsS nvnvnV)(2/3kSV 2/3ksv vnV2/3V V是是 nvnv是是 倍倍n1.41.4返返回回問題殺羊方案問題殺羊

3、方案 現(xiàn)有現(xiàn)有26只羊，要求只羊，要求7天殺完且每天必須殺奇數只，天殺完且每天必須殺奇數只，問各天分別殺幾只？問各天分別殺幾只？分析：分析：1). 這是一個有限問題，解決此類問題的一這是一個有限問題，解決此類問題的一類方法是枚舉，你可以試試。類方法是枚舉，你可以試試。2). 依題意，設第依題意，設第i天殺天殺)( 12為自然數iikk 只，只，則所提問題變?yōu)樵谧匀粩导锨蠼夥匠虅t所提問題變?yōu)樵谧匀粩导锨蠼夥匠?126)12(iik于是，我們有了該問題的數學語言表達于是，我們有了該問題的數學語言表達數學模型數學模型求解：求解：建模：建模：用反證法容易證明本問題的解不存在。用反證法容易證明本問題

4、的解不存在。2、殺羊方案、殺羊方案返回 某人平時下班總是按預定時間到達某處，然某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問題就迎換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇刃而解了。假如他的妻子遇

5、到他后仍載著他開往會合地到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？間從何而來？ 顯然是由于節(jié)省了從顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又從會合相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需故，故由相遇點到會合點需開開5 5分鐘。而此人提前了三分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。時他已步行了二十五分鐘。 3、相遇問題、相遇問題某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地

6、沿原路地沿原路返回返回 A A 地。問：在什么條件下，可以保證途中地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。地。假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由人在同一天由B B去去A A，問題就化為在什么條件下，兩，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。兩人必會在途中相遇。 某

7、人早某人早8 8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5 5時到達山頂并留宿，次日早時到達山頂并留宿，次日早8 8時沿同一路徑下山，下午時沿同一路徑下山，下午5 5時回到旅店，則這人在兩天中的同一時刻經過途中的時回到旅店，則這人在兩天中的同一時刻經過途中的同同地點，為什么地點，為什么? ? 解法一：解法一： 將兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天兩將兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運功，因為人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運功，因為兩人同時出發(fā)，同時到達目的地，又沿向一路徑反向兩人同時出發(fā)，同時到達目的地，又沿向一

8、路徑反向運動，所以必在中間某一時刻運動，所以必在中間某一時刻t t兩人相遇，這說明某人兩人相遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經過路途中的同一地點。在兩天中的同一時刻經過路途中的同一地點。4、爬山問題、爬山問題 解法二：以時間解法二：以時間t t為橫為橫坐標，以沿上山路線從山下旅坐標，以沿上山路線從山下旅店到山頂的路程店到山頂的路程x x為縱坐標，為縱坐標，從山下到山頂的總路程為從山下到山頂的總路程為d;d;嚴格的數學論證：嚴格的數學論證：令令 思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都想吃，思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都想吃，妹妹指著蛋糕上的一點妹妹指著蛋糕上的一點P P，讓哥哥過點，

9、讓哥哥過點P P切開一人一半，能切開一人一半，能辦到嗎辦到嗎? ?返回 在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉彎不同而有長短，因樓，但由于三根電線各處的轉彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知?，F(xiàn)在工人師傅為了在頂此三根電線的長度均未知。現(xiàn)在工人師傅為了在頂樓安裝電氣設備，需要知道這三根電線的電阻。如樓安裝電氣設備，需要知道這三根電線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻何測量出這三根電線的電阻? ?5、測量電阻、測量電阻 由三元一次線性方程組解出由三元一次線性方程組解出x,y,zx,y,z即得三根即得三根電線的電阻。電線的

10、電阻。 說明：此問題的難點也是可貴之處是用方程說明：此問題的難點也是可貴之處是用方程“觀點觀點”、”立場立場”去分析，用活的數學思想使實去分析，用活的數學思想使實際問題轉到新創(chuàng)設的情景中去。際問題轉到新創(chuàng)設的情景中去。返回xylyzmxzn 37 37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支兩支 球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽？結束。問共需進行多少場比賽？36112591812224210218236一般思維一般思維：逆向思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍

11、，即每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了就是淘汰了3636名球隊，因此比賽進行了名球隊，因此比賽進行了3636場。場。6、比賽場次、比賽場次返回 在氣象臺在氣象臺A A的正西方向的正西方向300 km300 km處有一臺風中心，它以處有一臺風中心，它以40 km/h40 km/h的速度向東北方向移動；根據臺風的強度，在距的速度向東北方向移動；根據臺風的強度，在距其中心其中心250 km250 km以內的地方將受到影響，問多長時間后氣象以內的地方將受到影響，問多長時間后氣象臺所在地區(qū)將遭受臺風的影響臺所在地區(qū)將遭受臺風的影響? ?持續(xù)時間多長持續(xù)時間多長? ?此問題是某氣象臺所遇

12、到的實際問題，為了搞好氣象此問題是某氣象臺所遇到的實際問題，為了搞好氣象預報，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。預報，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。以氣象臺以氣象臺A A為坐標原點建立為坐標原點建立平而直角坐標系，設臺風中心為平而直角坐標系，設臺風中心為B B，如圖如圖7、氣象預報問題、氣象預報問題 根據題意，根據題意，A A點的坐標為點的坐標為(-300(-300，0)0)，單位為單位為kmkm臺風中心的運動軌跡為直臺風中心的運動軌跡為直線線BCBC，這里的，這里的CBACBA45450 0，當臺風中，當臺風中心在運動過程中處于以心在運動過程中處于以A A為圓心、半徑為圓心、半徑為為250 km25

13、0 km的圓內的圓內( (即即MNMN上上) )時，氣象臺時，氣象臺A A所在地區(qū)將遭受臺風的影響。所在地區(qū)將遭受臺風的影響。因為圓的方程為：因為圓的方程為：直線直線BCBC的方程為：的方程為：其中參數其中參數t t為時間為時間( (單單位為位為h)h)。當臺風中心處于圓內時，有：當臺風中心處于圓內時，有：解得解得 所以，大約在所以，大約在2h2h以后氣象臺以后氣象臺A A所在地區(qū)將會所在地區(qū)將會遭受臺風的影響，持續(xù)時間大約為遭受臺風的影響，持續(xù)時間大約為6 66h6h。交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。亮一

14、段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。 設想一下黃燈的作用是什么，不難看設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離仍將向前行駛一段距離 L L。這就是說，在。這就是說，在離街口距離為離街口距離為 L L處存在著一條停車線（盡處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖。對于那些黃管它沒被畫在地上），見圖。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍燈亮時已過線的車輛

15、，則應當保證它們仍能穿過馬路。能穿過馬路。 DL8、黃燈應當亮多久、黃燈應當亮多久 馬馬路的寬度路的寬度D D是容易測得的，問題的關鍵在于是容易測得的，問題的關鍵在于L L的確定。的確定。為確定為確定L L，還應當將，還應當將L L劃分為兩段：劃分為兩段：L1L1和和L2L2。 其中其中 L1L1是司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應是司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程，時間內駛過的路程，L2L2為剎車制動后車輛駛過的路程。為剎車制動后車輛駛過的路程。L1L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1t1早有測早有測算，反應時間過長將

16、考不出駕照），而此街道的行駛速度算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而另建模型研究，從而L1=vL1=v* *t1t1。剎車距離。剎車距離 L2L2既可用曲線擬既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來 黃燈究竟應當亮多久現(xiàn)在已經變得清楚多了。黃燈究竟應當亮多久現(xiàn)在已經變得清楚多了。第一步，第一步，先計算出先計算出L L應多大才能使看見黃燈的司機停應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。得住車。第二步，第二步，黃燈

17、亮的時間應當讓已過線黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，的車順利穿過馬路，即即T T 至少應當達到至少應當達到 （L+DL+D）/v/v。 DL返回 將形狀質量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡將形狀質量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠方，問最遠可以延伸多大距離?？赡艿匮由斓竭h方，問最遠可以延伸多大距離。設磚塊是均質的，長度與重量均設磚塊是均質的，長度與重量均 為為1 1，其，其 重重心在中點心在中點1/21/2磚長處，現(xiàn)用歸納法推導磚長處，現(xiàn)用歸納法推導。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：塊磚受到的兩個力的力矩相等，有： 1/2-1/2

18、-Z Zn n= (= (n n1) 1) Z Zn n故故Z Zn n =1/(2 =1/(2n n) )，從而上面，從而上面 n n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總距離為總距離為 ，nkk121112121,時nnknkn 9、磚塊延伸、磚塊延伸返回 飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設計一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個參試設計一些尋找黑匣子的方法。由于要確定

19、兩個參數，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣數，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強度。子發(fā)射射線的強度。10、尋找黑匣子、尋找黑匣子方法一方法一點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源的距離的平方成反比，即的距離的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易確定，關鍵在于確定方向很容易確定，關鍵在于確定 距離距離 。設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得。設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為的照度分別為I I1 1和和I I2 2，兩測量點間的距離為，兩測量點間的距離為 a，則，則有有22212)(

20、/dadadkdkII112/IIad方法二方法二在方法一中，兩檢測點與黑匣子在方法一中，兩檢測點與黑匣子 位于一直線上，這一點比較容易位于一直線上，這一點比較容易 做到，主要缺點是結果對照度測做到，主要缺點是結果對照度測 量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很大變化，即敏感性很強，現(xiàn)提出另一方法，在大變化，即敏感性很強，現(xiàn)提出另一方法，在 A A點測得黑匣子方向后點測得黑匣子方向后 ，到，到B B點再測方向點再測方向 ，AB AB 距距離為離為a a ，BACBAC= =，ABCABC= =，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d d = = a

21、 asinsin/sin (/sin (+ +) ) 。需要指出的是，。需要指出的是，當黑匣子位于較遠處而當黑匣子位于較遠處而 又較小時，又較小時，+ +可能可能非常接近非常接近（ACBACB接近于接近于0 0），而），而sinsin（+ +）又恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也又恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也會很大，為了使結果較好，應使會很大，為了使結果較好，應使a a也相對較大。也相對較大。BACa返回 1111、 艦艦艇的會合艇的會合某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行行員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與員，護衛(wèi)艦找到飛行

22、員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報了航母當前的航速與方向，問護衛(wèi)艦其匯合并通報了航母當前的航速與方向，問護衛(wèi)艦應怎樣航行，才能與航母匯合。應怎樣航行，才能與航母匯合。12,11222aabrbaah令：令：則上式可簡記成則上式可簡記成 ： 222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 護衛(wèi)艦護衛(wèi)艦 1 2 )()(22222b-yx a byx即：即：22222222) 1(411ababaayx可化為：可化為：記記v2/ v1=a通常通常a1 222|AP|a|BP|則則匯合點匯合點 p必位于此圓上。必位于此圓上。 bxy)(tan1（護衛(wèi)艦的路線方程）（護衛(wèi)

23、艦的路線方程）bxy)(tan2（航母的路線方程（航母的路線方程 ）即可求出即可求出P點的坐標和點的坐標和2 的值。的值。本模型雖簡單，但分析本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應用極清晰且易于實際應用 返回12、價格競爭、價格競爭 問題：兩個加油站位于同一條公路旁，為在公路問題：兩個加油站位于同一條公路旁，為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油，彼此競爭激烈一天，上行駛的汽車提供同樣的汽油，彼此競爭激烈一天，甲加油站推出甲加油站推出“降價銷售降價銷售”吸引顧客結果造成乙加油吸引顧客結果造成乙加油站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利利潤是受銷價和站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利利潤是受銷價和銷售量的影

24、響和控制他們?yōu)榱送旎負p失采取對策，決銷售量的影響和控制他們?yōu)榱送旎負p失采取對策，決定也降低銷售價以爭取顧客乙加油站如何決定汽油的定也降低銷售價以爭取顧客乙加油站如何決定汽油的價格，既可以同甲站競爭，又可以獲取盡可能高的利價格，既可以同甲站競爭，又可以獲取盡可能高的利潤潤分析：分析：在這場在這場“價格戰(zhàn)價格戰(zhàn)”中，我們將站在乙加油站的立中，我們將站在乙加油站的立場上為其制定價格對策因此需要組建一個模型來描述場上為其制定價格對策因此需要組建一個模型來描述甲站汽油價格下調后乙加油站銷售量的變化情況甲站汽油價格下調后乙加油站銷售量的變化情況 為描述價格和汽油銷售量之間的關系，我們引入如為描述價格和汽油

25、銷售量之間的關系，我們引入如下一些指標：下一些指標： 影響乙加油站汽油銷售量的因素影響乙加油站汽油銷售量的因素 (1)(1)甲加油站汽油降價的幅度；甲加油站汽油降價的幅度； (2)(2)乙加油站汽油降價的幅度；乙加油站汽油降價的幅度； (3)(3)兩站之間汽油銷售價格之差兩站之間汽油銷售價格之差 在這場在這場“價格戰(zhàn)價格戰(zhàn)”中，我們假設汽油的正常銷售價格中，我們假設汽油的正常銷售價格保持定常不變，并且假定保持定常不變，并且假定于是乙加油站的汽油銷售量于是乙加油站的汽油銷售量可以由下式給出可以由下式給出返回1313、遺傳模型、遺傳模型 1 1問題分析問題分析 所謂常染色體遺傳，是指后代從每個親體

26、的基因所謂常染色體遺傳，是指后代從每個親體的基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型中各繼承一個基因從而形成自己的基因型. .如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A A和和B B控制的，控制的，那么就有三種可能的基因型：那么就有三種可能的基因型：AAAA，ABAB和和BBBB. . 例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它開花的顏例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它開花的顏色，色，AAAA型開型開花，花，ABAB型的開型的開花，而花，而BBBB型的開型的開花花. .這里的這里的AAAA型和型和ABAB型表示了同一外部特征型表示了同一外部特征( (紅色紅色) )，則人們認為基

27、因則人們認為基因A A支配基因支配基因B B，也說成基因，也說成基因B B對于對于A A是隱是隱性的性的. .當一個親體的基因型為當一個親體的基因型為ABAB，另一個親體的基因型，另一個親體的基因型為為BBBB，那么后代便可從，那么后代便可從BBBB型中得到基因型中得到基因B B，從，從ABAB型中型中得到得到A A或或B B，且是等可能性地得到，且是等可能性地得到. .：某植物園中一種植物的基因型為：某植物園中一種植物的基因型為AAAA，ABAB和和BBBB. .現(xiàn)計劃采用現(xiàn)計劃采用與與相結合的相結合的方案培育植物后代。方案培育植物后代。試預測，若干年后，這種植物的任一代的三種基試預測，若干

28、年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況因型分布情況. . 2 2模型假設模型假設（1 1）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因A A或或B B是等可能的是等可能的, ,即有雙親基因型的所有可能結合使其后代形即有雙親基因型的所有可能結合使其后代形成每種基因型的概率分布情況如表成每種基因型的概率分布情況如表 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21n( n )nnaxb,

29、c0 1 2n, , , 3 3模型建立模型建立 注意到原問題是采用注意到原問題是采用AAAA型與每種基因型相結合，因此型與每種基因型相結合，因此這里只考慮遺傳分布表的前三列這里只考慮遺傳分布表的前三列. . 下一代下一代基因型基因型（n n代）代）上一代父上一代父- -母基因型（母基因型（n n-1-1代）代）AA-AAAA-AAAA-ABAA-ABAA-BBAA-BBAB-ABAB-ABAB-BBAB-BBBB-BBBB-BBAAAA1 11/21/20 01/41/40 00 0ABAB0 01/21/21 11/21/21/21/20 0BBBB0 00 00 01/41/41/21/

30、21 1首先考慮第首先考慮第n n代中的代中的AAAA型型 即第即第n-n-1 1代的代的AAAA與與AAAA型結合全部進入第型結合全部進入第n n代的代的AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的ABAB型與型與AAAA型結合只有一半進入第型結合只有一半進入第n n代代AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的BBBB型與型與AAAA型結合沒有一個成為型結合沒有一個成為AAAA型而進入第型而進入第n n代代AAAA型型 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400A