空間平面方程（課堂PPT）

1、.1平面的確定條件平面的確定條件返回下一頁上一頁平面的一般方程平面的一般方程點法式方程點法式方程兩平面夾角兩平面夾角.2平面的確定條件平面的確定條件 由立體幾何知道，過空間一點可以而由立體幾何知道，過空間一點可以而且只可以作一個垂直于一條已知直線的平且只可以作一個垂直于一條已知直線的平面利用這個結論，若平面經(jīng)過一定點面利用這個結論，若平面經(jīng)過一定點M0(x0,y0,z0), 且與向量且與向量n=A,B,C垂直垂直, ,則則這個平面就唯一確定了這個平面就唯一確定了 與平面垂直的非零向量稱為該平面的與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向法向 量量那么，可以確定平面的兩個條件是：那么，可以確定平面的兩

2、個條件是：返回下一頁上一頁.3返回下一頁上一頁).,()1(0000zyxM經(jīng)經(jīng)過過定定點點.,)2(CBAn 平平面面的的法法向向量量下面我們利用以上結論建立平面的方程下面我們利用以上結論建立平面的方程.4 現(xiàn)在來建立平面現(xiàn)在來建立平面 的方程的方程. .設平面設平面 過點過點,),(0000zyxM是平面是平面 的法向量的法向量. . 在平面在平面 上上任取一點任取一點 M(x, y, z)，則點則點 M 在平面在平面 上的充要條件是上的充要條件是,n0 MM.0n0 MM即即nMM0 .,CBA n二、二、 點法式方程點法式方程返回下一頁上一頁.5該方程稱為平面該方程稱為平面 的的點法式

3、方程點法式方程. ., 0)()()(000 zzCyyBxxA ,0000zzyyxxMM 因因為為所以有所以有 ,nCBA 返回下一頁上一頁.6例例 5-10 求過點求過點(2, 1, 1)且且垂直于向垂直于向量量 i + 2j + 3k 的平面方程的平面方程 . . 解解 所求平面的法向量所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ，又因為平面過又因為平面過( 2, 1, 1 )，所以由公式可得所以由公式可得該平面方程為該平面方程為, 0)1(3)1(2)2( zyx即即 x + 2y + 3z7 = 0 .返回下一頁上一頁.7解解所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2

4、(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例5-115-11 求過三點求過三點) )4 4 , ,1 1, ,2 2( ( - -A A、) )2 2, ,3 3 , ,1 1( (- - -B B和和) )3 3 , ,2 2 , ,0 0( (C C的平面方程的平面方程. .返回下一頁上一頁,1, 3 , 2,6, 4 , 3 ACAB取取,1,9,14 ACABn.8由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 返回下一頁上一頁.9平面

5、一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A ,0,0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0) 3 ( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形. .0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形返回下一頁上一頁.10例例 5-125-12 設一平面通過設一平面通過 x 軸和點軸和點 M(4, 3, 1)，試求該平面的方程試求該平面的方程. .解解因為所求平面通過因為所求平面通過 x 軸，軸， 所以可設所以可設它的方程為它的方

6、程為By By + + Cz Cz = 0 .= 0 .由于點由于點 M M 在所求的平面上，在所求的平面上， 因此有因此有 3 3B B C C = 0 = 0 ，將將 C = 3B 代回方程代回方程 ，并簡化，即得并簡化，即得所求平面方程為所求平面方程為y 3z = 0返回下一頁上一頁.11 設平面設平面兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角稱為兩平面的稱為兩平面的夾角夾角. .,011111 DzCyBxA .022222 DzCyBxA 它們的夾角為它們的夾角為 . .222222212121212121CBACBACCBBAA 212121),(coscosnnnnnn 返回下一頁上一頁.12返回下一頁上一頁則平面則平面 1、 2 垂直的充要條件是垂直的充要條件是A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；平行的充要條件是平行的充要條件是.212121CCBBAA .13例例 5-135-13 求兩平面求兩平面